第二章 液體靜力學

1、2009第二章第二章 液體靜力學液體靜力學流體學院流體學院王王 燕燕2009水靜力學的任務是研究液體平衡的規(guī)律及其實際水靜力學的任務是研究液體平衡的規(guī)律及其實際應用。應用。液體平衡液體平衡靜止狀態(tài)或平衡靜止狀態(tài)或平衡相對平衡狀態(tài)或相對靜止相對平衡狀態(tài)或相對靜止 靜止或平衡狀態(tài)靜止或平衡狀態(tài) 液體相對地球沒有運動，液體處于靜止狀態(tài)液體相對地球沒有運動，液體處于靜止狀態(tài) 相對平衡或相對靜止相對平衡或相對靜止 液體相對于地球處于運動，但液體相對于運動著的容器液體相對于地球處于運動，但液體相對于運動著的容器之間卻是靜止的、無相對運動的。之間卻是靜止的、無相對運動的。2009 靜止液體的特點：靜止液體的

2、特點：液體之間一定沒有相對運動，液體之間一定沒有相對運動，液體內(nèi)液體內(nèi)部不存在內(nèi)摩擦力。流體不呈現(xiàn)粘性。部不存在內(nèi)摩擦力。流體不呈現(xiàn)粘性。 因此，水靜力學中，理想液體和實際液體無區(qū)別。因此，水靜力學中，理想液體和實際液體無區(qū)別。 液體靜力學得出的結論對理想流體和粘性流體都適用。液體靜力學得出的結論對理想流體和粘性流體都適用。20092.1 2.1 靜水壓強及其特性靜水壓強及其特性圖圖 靜水壓強示意靜水壓強示意 APT隧洞隧洞隧洞閘門隧洞閘門APp APpA lim0P 為作用于微元面積上的為作用于微元面積上的動水壓力動水壓力; p 為為靜水壓強靜水壓強單位單位：Pa = Nm-2 或或 kNm

3、-2 ； 量綱量綱：F L-2 20092.1.1 2.1.1 靜水壓強的兩個性質(zhì)靜水壓強的兩個性質(zhì) 1.1. 靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓面靜水壓強的方向與受壓面垂直并指向受壓面一塊平衡流一塊平衡流體，將其分體，將其分成兩部分成兩部分 下塊液體的平衡下塊液體的平衡dPndPdP2009 下塊液體的平衡下塊液體的平衡dPndPdP液體受拉液體受拉2009圖圖 靜水壓力方向示意靜水壓力方向示意 dPndPdPdP2009 靜止液體的表面力靜止液體的表面力：只有法向應力，沒有切向應力只有法向應力，沒有切向應力。 而液體無法承受拉力作用，法向應力為內(nèi)法向應力，而液體無法承受拉力作用，法向應力

4、為內(nèi)法向應力，即壓強即壓強。20092. 2. 任一點靜水壓強大小和受壓面方向無關，任一點靜水壓強大小和受壓面方向無關，各方向液體靜壓強相等。各方向液體靜壓強相等。圖圖 靜水壓強方向示意靜水壓強方向示意 hpcpcpccc20091p2pAp1 = p22009 斜面壓力 任一點靜水壓強大小與受壓面方向無關任一點靜水壓強大小與受壓面方向無關 證證 明明? pypxpz如果能證明，任意點在三個方向的壓強相等即可如果能證明，任意點在三個方向的壓強相等即可2009 如圖所示，在靜止液體中的點如圖所示，在靜止液體中的點A取一微元四面體，取一微元四面體，與坐標軸相重合的邊長分別為與坐標軸相重合的邊長分別

5、為x、 y、 z，三角形，三角形 BCD的面積設為的面積設為An，各微小平面中心點上的壓強分別，各微小平面中心點上的壓強分別為為px、py、pz，單位質(zhì)量力在三個坐標軸方向上的投影，單位質(zhì)量力在三個坐標軸方向上的投影分別為分別為fx、fy、fz。由于流體靜止，則作用在該微元四面體上的力平衡，即：由于流體靜止，則作用在該微元四面體上的力平衡，即：000zyxFFF2009Oxyzzxy從靜止液體中任取一微元四面體，考慮其受力平衡從靜止液體中任取一微元四面體，考慮其受力平衡pxpnpypz2009Py 左側(cè)面壓力左側(cè)面壓力 Oxyzzxypz x y12pn Anpx y z12py x z12P

6、n 斜面壓力斜面壓力 Px 后側(cè)面壓力后側(cè)面壓力 Pz 底面壓力底面壓力 表面力表面力2009xyzOzxyXYZzyxV 61那么總質(zhì)量力在三個坐標上的分量為那么總質(zhì)量力在三個坐標上的分量為 設設 為單位質(zhì)量力在三個坐標上的分量為單位質(zhì)量力在三個坐標上的分量666xyzFVXxyzXFVYxyzYFVZxyzZ質(zhì)量力質(zhì)量力ZYX,其中，其中， 2009考慮四面體在三個坐標方向的力平衡，則考慮四面體在三個坐標方向的力平衡，則 cos( , )0cos( , )0cos( , ) 0 xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zFOxyzzxyn式中，式中， : : 斜面法線與三個坐標方

7、向的夾角斜面法線與三個坐標方向的夾角 ),(),(),(znynxn zzzyyyxxxApPApPApPnnnApP 636363xxxxyyyyzzzzFfx y zfx AFfx y zfy AFfx y zfz A AxAzAy2009cos( , )03cos( , )03cos( , )03xxnnxxyynnyyzznnzzpApAn xfx ApApAn yYfy ApApAn zfz A cos( , )cos( , )cos( , )xnynznAAn xAAn yAAn z 103103103xxnxxxyynyyyzznzzzpApAfx ApApAfy ApApAfz

8、 A when: ,0 xyz 2009表明連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點的靜水表明連續(xù)介質(zhì)的平衡液體內(nèi)，任一點的靜水壓強僅是空間坐標的函數(shù)壓強僅是空間坐標的函數(shù), ,與受壓面方向無關，與受壓面方向無關，即即 ),( zyxpp式中，式中，x, y, z 為液體占據(jù)的空間坐標為液體占據(jù)的空間坐標2009 研究液體處于平衡狀態(tài)時，作用于液體上的各種力研究液體處于平衡狀態(tài)時，作用于液體上的各種力及其坐標間的微分關系及其坐標間的微分關系 . .2.2.1 2.2.1 液體平衡微分方程液體平衡微分方程 2.2 2.2 液體靜力學基本平衡方程液體靜力學基本平衡方程2009 在平衡液體中，取一塊平行六面微元

9、體（其他形狀也可，在平衡液體中，取一塊平行六面微元體（其他形狀也可，但六面體方便），正交的三條邊分別與坐標軸相平行，其但六面體方便），正交的三條邊分別與坐標軸相平行，其邊長邊長dx、dy、dz，中心點為中心點為A（x,y,z），），該點的密度為該點的密度為 ，靜壓強為靜壓強為p。Abcyxzdydzdxfy2p dypy2pdypy六面體在質(zhì)量力和表面力的作用下處于平衡六面體在質(zhì)量力和表面力的作用下處于平衡2009xx0 x0+x0-O 020000021xx.)xx)(x( f)xx)(x( f)x( f)x( f!泰勒展開式泰勒展開式表面力表面力2009設該六面體形心點坐設該六面體形心點坐

10、標為標為（x，y，z），），壓強為壓強為P，則六個面，則六個面中心點的坐標分別為：中心點的坐標分別為：前后前后(, , )2dxxy z(, , )2dxxy z左右左右( , )2dyx yz( , )2dyx yz左右左右( , ,)2dzx y z ( , ,)2dzx y z 上下上下(, , )2dxxy z2009代入泰勒展開式，并略去二階無窮小量，得各表面代入泰勒展開式，并略去二階無窮小量，得各表面中心點所受的靜壓強為：中心點所受的靜壓強為：12MpPpdxx12NpPpdxxx方向方向前前后后12 ypPpdy左12pPpdyy右y方向方向z方向方向12pPpdzz上12 zp

11、Ppdz下2009乘以各表面面積，即得各表面所受的總壓力：乘以各表面面積，即得各表面所受的總壓力：2009側(cè)面?zhèn)让鎮(zhèn)让嬷行狞c側(cè)面中心點壓強壓強面積面積總壓力總壓力 左左右右前前后后上上下下dy, )2x yz （dy, )2x yz （)2dyypp （)2dyypp （zxddzxdddy)2ppdxdzy（d y)2ppd x d zy（(, )2dxxy z(,)2dxxy z2p dxpx2p dxpxd dy zd dy z()2p dxpdydzx()2p dxpdydzx( ,)2dzx y z (,)2dzx y z 2dzppz2zd zppd dx yd dx y()2dz

12、ppdxdyz()2dzppdxdyz表面力表面力 2009質(zhì)量力質(zhì)量力 xyOAdydxdz2dyypp 2dyypp zXYZ各方向質(zhì)量力為各方向質(zhì)量力為 設設X,Y,Z為為單位質(zhì)量力在三個坐標上的分量單位質(zhì)量力在三個坐標上的分量2009xyOAdydxdz2dyypp 2dyypp z考慮微元體的所有力，則考慮微元體的所有力，則 022022022zydxZyx)zzppyx)zzppzydxYzy)yyppzx)yyppzydxZzy)xxppzy)xxppdddddddddddddddddddddddd （dd)d d)d dd d d022dd)d d)d dd d d022pxp

13、xpy zpy zX x y zxxpzpzpx ypx yZ x y zzz（2009以以 除上式，并化簡，得到液體平衡微分方程形式除上式，并化簡，得到液體平衡微分方程形式1 zyxddd 表示表示表面力表面力與與質(zhì)質(zhì)量力量力相平衡。相平衡。歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程2009瑞士學者（瑞士學者（Euler）1775年首先提出的年首先提出的 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方程形式 1物理意義物理意義: : 靜水壓強沿某個方向的變化率靜水壓強沿某個方向的變化率 與該方向與該方向相等相等 ZzpYypXxp 歐拉平衡微分方程式歐拉平衡微分方程式 2009 液體平衡微分方程形式液體平衡微分方

14、程形式 2 ）zZyYxX(zzpyypxxppddddddd ZzpYypXxp +)+) dx dy dz 寫為積分式寫為積分式壓強差公式，表明壓強差公式，表明流體靜壓強的增量流體靜壓強的增量取決于單位質(zhì)量力取決于單位質(zhì)量力和坐標增量。和坐標增量。 壓強差公式壓強差公式 2009由式可見由式可見yxyzxzffyxffzyffxz 質(zhì)量力性質(zhì)質(zhì)量力性質(zhì)由理論力學可知：存在一個與坐標有關的力勢函數(shù)，使對由理論力學可知：存在一個與坐標有關的力勢函數(shù)，使對x，y，z的偏導數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標投影，即的偏導數(shù)等于單位質(zhì)量力在坐標投影，即 xyzUfxUfyUfzd( , , )ddddddxyz

15、UUUU x y zxyzfxfyfzxyzxyzdpf dxf dyf dz()xyzpdf dxf dyf dz 2.3 2.3 液體的平衡方程液體的平衡方程2009具有上式關系的力稱為有勢力，或保守力具有上式關系的力稱為有勢力，或保守力 有勢力所做的功與路徑無關有勢力所做的功與路徑無關 而只與起點和終點的坐標有關而只與起點和終點的坐標有關 重力、慣性力都屬于有勢力重力、慣性力都屬于有勢力 xyzUfxUfyUfzd( , , )ddddddxyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyz 作用在液體上的質(zhì)量力必須是有勢力，液體才能作用在液體上的質(zhì)量力必須是有勢力，液體才能保持平衡保持平

16、衡表明表明: 2009比較兩式比較兩式d(dddddd )dxyzUUUpfxfyfzxyzUxyz)= (Updd d( , , )ddddddxyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyzCUp )(00UUpp 積分上式，則積分上式，則 式中，式中， 為自由液面上的壓強和力勢函數(shù)為自由液面上的壓強和力勢函數(shù)00U,p結論：結論： 平衡液體中，邊界上的壓強平衡液體中，邊界上的壓強p p0 0將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；將等值地傳遞到液體內(nèi)的一切點上；即當增大或減小時，液體內(nèi)任意點的即當增大或減小時，液體內(nèi)任意點的壓強也相應的增大或減小同樣的數(shù)值。壓強也相應的增大或減小同樣的數(shù)值。這

17、就是著名的這就是著名的巴斯加原理。巴斯加原理。2009等壓面等壓面定義：定義：液體中壓強相等的點連成的面（液體中壓強相等的點連成的面（曲面，或平面）曲面，或平面） 等壓面性質(zhì)等壓面性質(zhì)等壓面具有兩個性質(zhì)等壓面具有兩個性質(zhì)1 1等壓面和質(zhì)量力正交等壓面和質(zhì)量力正交 dddd( dddxyzppppxyzf xf yf zxyz）由于由于而而d0p(ddd0 xyzfxfyfz）F0dl Fdl02009例例 如果液體在靜止狀態(tài)下，作用于其上的質(zhì)量力只有如果液體在靜止狀態(tài)下，作用于其上的質(zhì)量力只有重力，那么就局部范圍，等壓面一定是一個水平面；重力，那么就局部范圍，等壓面一定是一個水平面；就大范圍講

18、，等壓面是一個處處與地心正交的曲面。就大范圍講，等壓面是一個處處與地心正交的曲面。 20092在平衡液體中等壓面就是等勢面在平衡液體中等壓面就是等勢面 00Upttanconspdd 即即 dU =0 , U = constantd( , , )dddddd0 xyzUUUU x y zxyzfxfyfzxyz0U ds2009重力作用下等壓面重力作用下等壓面重力作用下的等壓面條件：重力作用下的等壓面條件： 連通、同一種流體、水平面連通、同一種流體、水平面 2009 圖圖 重力作用下的液體等壓面重力作用下的液體等壓面 (a) (a) 連通容器連通容器 非等壓面非等壓面等壓面等壓面2009(b)

19、 (b) 不連通不連通 非等壓面非等壓面20092.3 2.3 重力作用下的靜水壓強的基本公式重力作用下的靜水壓強的基本公式 在實際工程中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力常只有重力，在實際工程中，作用于平衡液體上的質(zhì)量力常只有重力，即靜止液體。即靜止液體。2.3.1 2.3.1 重力作用下靜水壓強的基本形式重力作用下靜水壓強的基本形式 1 1在重力場中，單位質(zhì)量力只有重在重力場中，單位質(zhì)量力只有重力，即：力，即：00 xyzfffg ，xzzhz0mp0 圖圖 重力作用下的靜水壓強推導示意重力作用下的靜水壓強推導示意2009代入壓力差公式得：代入壓力差公式得：dpgdz 積分得：積分得： pgzC

20、得：得：00gzpC0000ppg zzpghph注意：注意：代入邊界條件：代入邊界條件：00ppzz ，2009積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定：積分常數(shù)根據(jù)自由表面上的邊界條件確定：00,zzpp在重力場中，單位質(zhì)量力只有重力，即：在重力場中，單位質(zhì)量力只有重力，即：代入壓力差公式積分得：代入壓力差公式積分得： pgzC 00 xyzfffg ，xyzz0zp0oh00gzpC所以任意坐標所以任意坐標z處的壓強為：處的壓強為：ghpzzgpp0002009從上述公式中可以分析到以下幾點從上述公式中可以分析到以下幾點 靜止液體內(nèi)靜水壓強由兩部分組成：靜止液體內(nèi)靜水壓強由兩部分組成： p

21、= p0 +h自由液面上壓強自由液面上壓強 p0大小不變地傳到液體內(nèi)任一點。大小不變地傳到液體內(nèi)任一點。 h 相當于單位面積上高度為相當于單位面積上高度為h的水柱重量的水柱重量 )z( p)z , y, x( pp p 與與h 或或 z 是是線形線形關系關系在靜止液體內(nèi)中，位于同一深度在靜止液體內(nèi)中，位于同一深度h h的各點靜壓強相等的各點靜壓強相等，即任意水平面都是等壓面。，即任意水平面都是等壓面。20092.3.2 2.3.2 重力作用下靜水壓強基本形式重力作用下靜水壓強基本形式 2 2稱稱 為測壓管高度為測壓管高度化簡得化簡得Cpzpz 00 )zz(pp 00 由重力作用下靜水壓強的計

22、算公式由重力作用下靜水壓強的計算公式: :LCpzpz 00Cpzpz 00 基本形式基本形式 2 2式中，式中，C C 為常數(shù)，對于具體的問題是一個為常數(shù)，對于具體的問題是一個唯一唯一的常數(shù)。的常數(shù)。20092.3.3 2.3.3 流體靜力學基本方程式的物理意義流體靜力學基本方程式的物理意義z p/( g) z+p/( g) 方程的物理意義是：在重力作用方程的物理意義是：在重力作用下，靜止的不可壓縮流體中單位重量下，靜止的不可壓縮流體中單位重量流體的總勢能保持不變。流體的總勢能保持不變。xzzhpapp0hob如圖所示，玻璃管上端抽真空，對于如圖所示，玻璃管上端抽真空，對于a點和點和b點，流

23、體力學基本方程式為：點，流體力學基本方程式為：gphhzgpzppCpzpz 00 20092.3.4 2.3.4 流體靜力學基本方程式的幾何意義流體靜力學基本方程式的幾何意義zp/( g)z+ p/( g)z1z2AA1 p1gp12pgp2 2p0apgz1z2AA1 p11epg2epgp2 2p0pa完全真空完全真空2009p=pa+gh ppe=p-pa=gh pepv=- pe= pa-p2.4 2.4 壓強的度量與測量壓強的度量與測量2.4.1 2.4.1 壓強的兩種計算基準壓強的兩種計算基準注意：絕對壓強與計示壓強的關系注意：絕對壓強與計示壓強的關系2009絕對壓強計算基準面絕

24、對壓強計算基準面相對壓強計算基準面相對壓強計算基準面pNpNpapKpCppNC幾種壓強的表示圖例幾種壓強的表示圖例2009hp0p pahpap ghppaghpppaeappghvpgh2.4.2 2.4.2 壓強的測量壓強的測量2009h1h2pap 112 2由于由于1和和2點在同一流體的等壓面上，故：點在同一流體的等壓面上，故：21pp 111ghpp222ppgh故有：故有：1122ghghppa2211eapppghgh其中：其中：2009h1h2pap 112 22211appghgh2211vapppghgh2009hh2h1B 1 1A 212 由于由于1、2兩點在同一等兩

25、點在同一等壓面上，故有：壓面上，故有：ghghpghpBA22111A、B兩點的壓強差為：兩點的壓強差為：ghghghghpppBA1211212200912(sin)aApppgHglklA A2A1paph hl00 兩液面的高度差為：兩液面的高度差為：21sinAAlhhH所測的壓強差為：所測的壓強差為：2009h1h2h3h4h511223344B BA 1 1 2 3已知已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm， 1=1000kg/m3， 2=800kg/m3， 3=13598kg/m3，求，求A、B兩點的壓強差。兩點的壓強差。解：

26、圖中解：圖中1-1、2-2、3-3均為等壓面，可以逐個寫出有關點的靜壓強為均為等壓面，可以逐個寫出有關點的靜壓強為：32232312111ghppghppghppA)(45144334hhgppghppB聯(lián)立求解得：聯(lián)立求解得：4543322311hhgghghghghppABA、B兩點的壓強差為：兩點的壓強差為：Pa67864324231451ghhhghhhgppBA2009F2F1hped1d2aa兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個圓筒直徑兩圓筒用管子連接，內(nèi)充水銀。第一個圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計示壓強，密封氣體的計示壓強pe=9810

27、Pa；第二圓筒直徑；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時，開口通大氣。若不計活塞質(zhì)量，求平衡狀態(tài)時兩活塞的高度差兩活塞的高度差h。（已知水銀密度。（已知水銀密度 =13600kg/m3)。解：在解：在F1、F2作用下，活塞底面產(chǎn)生作用下，活塞底面產(chǎn)生的壓強分別為：的壓強分別為：Pa699644Pa20101422222111dFpdFp， 圖中圖中a-a為等壓面，第一圓筒上部為等壓面，第一圓筒上部是計示壓強，第二圓筒上部的大氣壓是計示壓強，第二圓筒上部的大氣壓強不必計入，故有：強不必計入，故有：21pghppem3003

28、. 012gppphe20091標準大氣壓標準大氣壓 1.03323工程大氣壓工程大氣壓= 1（atm） = 1.01325105 (N/m2) = 0.76m(Hg) = 10.336 (mH2O) 1工程大氣壓工程大氣壓 1 （ate） = 0.736 m(Hg) = 980665 (N/m2) 10 (mH2O)2009例題例題3 圖圖 水塔計算示意水塔計算示意 h2h1等壓面等壓面 12112012hhhnn ）（有一水塔，如圖。為了量出有一水塔，如圖。為了量出塔中水位，在地面上裝置一塔中水位，在地面上裝置一U形水銀測壓計，測壓計左形水銀測壓計，測壓計左支用軟管與水塔聯(lián)通。今測支用軟管

29、與水塔聯(lián)通。今測出左支水銀面高程為出左支水銀面高程為502m，左右兩支水銀面高程差左右兩支水銀面高程差116cm，試求此塔中水位。，試求此塔中水位。20092.6 2.6 作用于平面上的靜水總壓力作用于平面上的靜水總壓力 1 1 靜水總壓力圖的繪制靜水總壓力圖的繪制 在液體的受壓面模擬圖上，按一定比例繪制靜水在液體的受壓面模擬圖上，按一定比例繪制靜水壓強（以相對壓強表示）的大小和方向的圖稱為壓強（以相對壓強表示）的大小和方向的圖稱為靜壓靜壓強分布圖。強分布圖。 2.6.1 2.6.1 作用在矩形平面上的靜水總壓力圖解法作用在矩形平面上的靜水總壓力圖解法 通常情況下要研究的工程設備都處于大氣環(huán)境

30、中，壁通常情況下要研究的工程設備都處于大氣環(huán)境中，壁面兩側(cè)都受到大氣壓強的作用，因此只需按靜止液體的面兩側(cè)都受到大氣壓強的作用，因此只需按靜止液體的計計示壓強示壓強去計算總壓力。去計算總壓力。2009 1 1 靜水總壓力圖的繪制靜水總壓力圖的繪制 用箭頭表示靜水壓強方向，并與作用面垂直用箭頭表示靜水壓強方向，并與作用面垂直按一定比例，用線段長度繪制靜水壓強的大小。按一定比例，用線段長度繪制靜水壓強的大小。 計算壓強分布圖的面積計算壓強分布圖的面積, , 再乘寬度，即得總壓力的大小再乘寬度，即得總壓力的大小總壓力作用點的位置相當于壓力分布圖形心點的位置?？倝毫ψ饔命c的位置相當于壓力分布圖形心點的

31、位置。2009靜水總壓力圖的繪制靜水總壓力圖的繪制 P =HH2009 計算壓強分布圖的面積計算壓強分布圖的面積 p=Hp=hHh2009圖解法不是最通用的方法，適用一些簡單的二維問題。圖解法不是最通用的方法，適用一些簡單的二維問題。 圖解法計算的作用力，圖解法計算的作用力，作用點的位置相當于壓強分作用點的位置相當于壓強分布圖的形心點的位置。布圖的形心點的位置。2009液體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點上的平行力系的合力。液體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點上的平行力系的合力。xypao hhChDdFpdFxxCxDdACDA 在平面上取一微元面積在平面上取一微元面積dA，其中心的淹沒深度為其中心的淹沒深度為h，到，到oy軸軸的距離為的距離為x，液體作用在該微元，液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：面積上的微元總壓力為：dAgxghdAdFpsin 在平面上積分上式，可得液在平面上積分上式，可得液體作用在平面上的總壓力：體作用在平面上的總壓力：AAppxdAgdFFsin2.6.2 2.6.2 作用在