菱形難題組卷答案

1、答案四填空題（共29小題）1（2012沈陽(yáng)）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，A=60°，DEAB于點(diǎn)E，DFBC于點(diǎn)F，則四邊形BEDF的面積為16cm2考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：連接BD，可得ABD是等邊三角形，根據(jù)菱形的對(duì)稱性與等邊三角形的對(duì)稱性可得四邊形BEDF的面積等于ABD的面積，然后求出DE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解解答：解：如圖，連接BD，A=60°，AB=AD（菱形的邊長(zhǎng)），ABD是等邊三角形，DE=AD=×8=4cm，根據(jù)菱形的對(duì)稱性與等邊三角形的對(duì)稱性可得，四邊形BEDF的面積

2、等于ABD的面積，×8×4=16cm2故答案為：16點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵2（2012湖州）如圖，將正ABC分割成m個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正三角形和一個(gè)黑色菱形，這個(gè)黑色菱形可分割成n個(gè)邊長(zhǎng)為1的小三角形，若=，則ABC的邊長(zhǎng)是12考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：設(shè)正ABC的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)等邊三角形的高為邊長(zhǎng)的倍，求出正ABC的面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對(duì)角線，然后根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據(jù)所分成的小正三角形的個(gè)數(shù)的比等

3、于面積的比列式計(jì)算即可得解解答：解：設(shè)正ABC的邊長(zhǎng)為x，則高為x，SABC=xx=x2，所分成的都是正三角形，結(jié)合圖形可得黑色菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線為x，較短的對(duì)角線為（x）=x1，黑色菱形的面積=（x）（x1）=（x2）2，=，整理得，11x2144x+144=0，解得x1=（不符合題意，舍去），x2=12，所以，ABC的邊長(zhǎng)是12故答案為：12點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握有一個(gè)角等于60°的菱形的兩條對(duì)角線的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題難點(diǎn)在于根據(jù)三角形的面積與菱形的面積列出方程3（2012西寧）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=12，B

4、D=16，E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上移動(dòng)，小明同學(xué)寫出了兩個(gè)使POE為等腰三角形的P點(diǎn)坐標(biāo)（5，0）和（5，0）請(qǐng)你寫出其余所有符合這個(gè)條件的P點(diǎn)坐標(biāo)（8，0）或（，0）考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；等腰三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E為AD中點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，易求得OE的長(zhǎng)，然后分別從當(dāng)OP=OE時(shí)，當(dāng)OE=PE時(shí)，當(dāng)OP=EP時(shí)去分析求解即可求得答案解答：解：四邊形ABCD是菱形，ACBD，OA=AC=×12=6，OD=BD=×16=8，在RtAOD中，AD=10，E為AD中點(diǎn)，OE=AD

5、=×10=5，當(dāng)OP=OE時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)（5，0）和（5，0）；當(dāng)OE=PE時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與D點(diǎn)重合，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0）；如圖，當(dāng)OP=EP時(shí)，過點(diǎn)E作EKBD于K，作OE的垂直平分線PF，交OE于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)P，EKOA，EK：OA=ED：AD=1：2，EK=OA=3，OK=4，PFO=EKO=90°，POF=EOK，POFEOK，OP：OE=OF：OK，即OP：5=：4，解得：OP=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）其余所有符合這個(gè)條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為：（8，0）或（，0）故答案為：（8，0）或（，0）點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)此題難度

6、較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用4（2012鄂爾多斯）如圖，將兩張長(zhǎng)為4，寬為1的矩形紙條交叉并旋轉(zhuǎn)，使重疊部分成為一個(gè)菱形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形周長(zhǎng)的最小值是4，那么菱形周長(zhǎng)的最大值是考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：作出圖形，確定當(dāng)兩矩形紙條有一條對(duì)角線互相重合時(shí)，菱形的周長(zhǎng)最大，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，表示出AB，然后利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算求出x，再根據(jù)菱形的四條邊都相等解答解答：解：如圖，菱形的周長(zhǎng)最大，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)AC=x，則AB=4x，在RtABC中，AC2=AB2+BC2，即x2=（4x）2+12，解得x=，所以，菱形的最大周長(zhǎng)=×4

7、=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，確定出菱形的周長(zhǎng)最大時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀5（2012杭州）已知一個(gè)底面為菱形的直棱柱，高為10cm，體積為150cm3，則這個(gè)棱柱的下底面積為15cm2；若該棱柱側(cè)面展開圖的面積為200cm2，記底面菱形的頂點(diǎn)依次為A，B，C，D，AE是BC邊上的高，則CE的長(zhǎng)為1或9cm考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；認(rèn)識(shí)立體圖形；幾何體的展開圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：由底面為菱形的直棱柱，高為10cm，體積為150cm3，由體積=底面積×高，即可求得這個(gè)棱柱的下底面積，又由該棱柱側(cè)面展開圖的面積為200cm2，即可求得底面菱形

8、的周長(zhǎng)與BC邊上的高AE的長(zhǎng)，由勾股定理求得BE的長(zhǎng)，繼而求得CE的長(zhǎng)解答：解：底面為菱形的直棱柱，高為10cm，體積為150cm3，這個(gè)棱柱的下底面積為：150÷10=15（cm2）；該棱柱側(cè)面展開圖的面積為200cm2，高為10cm，底面菱形的周長(zhǎng)為：200÷10=20（cm），AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm），BE=4（cm），如圖1：EC=BCBE=54=1（cm），如圖2：EC=BC+BE=5+4=9（cm），故答案為：15；1或9點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、直棱柱的性質(zhì)以

9、及勾股定理此題難度不大，注意審題，掌握直棱柱體積與側(cè)面積的求解方法11（2009黑河）如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，DAB=60度連接對(duì)角線AC，以AC為邊作第二個(gè)菱形ACC1D1，使D1AC=60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個(gè)菱形AC1C2D2，使D2AC1=60°；，按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（）n1考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：根據(jù)已知和菱形的性質(zhì)可分別求得AC，AC1，AC2的長(zhǎng)，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律根據(jù)規(guī)律不難求得第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)解答：解：連接DB，四邊形ABCD是菱形，AD=ABACDB，DAB=60°，ADB是等邊

10、三角形，DB=AD=1，BM=，AM=，AC=，同理可得AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為（）n1故答案為（）n1點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的性質(zhì)以及學(xué)生探索規(guī)律的能力12（2009安順）如圖所示，兩個(gè)全等菱形的邊長(zhǎng)為1米，一個(gè)微型機(jī)器人由A點(diǎn)開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)動(dòng)，行走2009米停下，則這個(gè)微型機(jī)器人停在B點(diǎn)考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)律型分析：根據(jù)題意可求得其每走一個(gè)循環(huán)是8米，從而可求得其行走2009米走了幾個(gè)循環(huán)，即可得到其停在哪點(diǎn)解答：解：根據(jù)“由A點(diǎn)開始按ABCDEFCGA的順序沿菱形的邊循環(huán)運(yùn)

11、動(dòng)”可得出，每經(jīng)過8米完成一個(gè)循環(huán)，2009÷8=251余1，行走2009米停下，即是在第252個(gè)循環(huán)中行走了一米，即停到了B點(diǎn)故答案為B點(diǎn)評(píng)：本題考查的是循環(huán)的規(guī)律，要注意所求的值經(jīng)過了幾個(gè)循環(huán)，然后便可得出結(jié)論16（2008大興安嶺）如圖，菱形AB1C1D1的邊長(zhǎng)為1，B1=60°；作AD2B1C1于點(diǎn)D2，以AD2為一邊，做第二個(gè)菱形AB2C2D2，使B2=60°；作AD3B2C2于點(diǎn)D3，以AD3為一邊做第三個(gè)菱形AB3C3D3，使B3=60°依此類推，這樣做的第n個(gè)菱形ABnCnDn的邊ADn的長(zhǎng)是考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；規(guī)

12、律型分析：本題要找出規(guī)律方能解答第一個(gè)菱形邊長(zhǎng)為1，B1=60°，可求出AD2，即第二個(gè)菱形的邊長(zhǎng)按照此規(guī)律解答即可解答：解：第1個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是1，易得第2個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是；第3個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是（）2；每作一次，其邊長(zhǎng)為上一次邊長(zhǎng)的；故第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是（）n1故答案為：（）n1點(diǎn)評(píng)：本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題21（2007德州）如圖，在菱形ABCD中，B=60°，點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)給出以下四個(gè)結(jié)論：AE=AF；CEF=CFE；當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，AE

13、F是等邊三角形；當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，AEF的面積最大上述結(jié)論中正確的序號(hào)有（把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證從而得到正確的序號(hào)解答：解：點(diǎn)E、F分別從點(diǎn)B、D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC、DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，BE=DF，AB=AD，B=D，ABEADF，AE=AF，正確；CE=CF，CEF=CFE，正確；在菱形ABCD中，B=60°，AB=BC，ABC是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，BE=AB，DF=AD，ABE和ADF是直角三角形，且BAE=DAF=30°，EA

14、F=120°30°30°=60°，AEF是等邊三角形，正確；AEF的面積=菱形ABCD的面積ABE的面積ADF的面積CEF的面積=AB2BEAB××2××（ABBE）2=BE2+AB2，AEF的面積是BE的二次函數(shù)，當(dāng)BE=0時(shí)，AEF的面積最大，錯(cuò)誤故正確的序號(hào)有點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和等邊三角形的判定23（2005黑龍江）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，A=60°，如果點(diǎn)P是菱形內(nèi)一點(diǎn)，且PB=PD=2，那么AP的長(zhǎng)為或考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；分類討論分析：根據(jù)題

15、意得，應(yīng)分P與A在BD的同側(cè)與異側(cè)兩種情況進(jìn)行討論解答：解：當(dāng)P與A在BD的異側(cè)時(shí)：連接AP交BD于M，AD=AB，DP=BP，APBD（到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上），在直角ABM中，BAM=30°，AM=ABcos30°=3，BM=ABsin30°=3，PM=，AP=AM+PM=4；當(dāng)P與A在BD的同側(cè)時(shí)：連接AP并延長(zhǎng)AP交BD于點(diǎn)MAP=AMPM=2；當(dāng)P與M重合時(shí)，PD=PB=3，與PB=PD=2矛盾，舍去AP的長(zhǎng)為4或2故答案為4或2點(diǎn)評(píng)：本題注意到應(yīng)分兩種情況討論，并且注意兩種情況都存在關(guān)系A(chǔ)PBD，這是解決本題的關(guān)鍵24（2003溫州）如圖

16、：菱形ABCD中，AB=2，B=120°，E是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值是考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：過點(diǎn)E作PEAB，交AC于P，則PA=PB，根據(jù)已知得到PA=2EP，根據(jù)勾股定理可求得PE，PA的值，從而可得到PE+PB的最小值解答：解：當(dāng)點(diǎn)P在AB的中垂線上時(shí)，PE+PB有最小值過點(diǎn)E作PEAB，交AC于P，則PA=PBB=120°CAB=30°PA=2EPAB=2，E是AB的中點(diǎn)AE=1在RtAPE中，PA2PE2=1PE=，PA=PE+PB=PE+PA=故答案為點(diǎn)評(píng)：本

17、題考查的是中垂線，菱形的鄰角互補(bǔ)勾股定理和最值本題容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方是對(duì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不清楚，無(wú)法判斷什么時(shí)候會(huì)使PE+PB成為最小值29（2012涼山州）如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2=36考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計(jì)算題；壓軸題分析：連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，由E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得到EH，EF，F(xiàn)G，GH分別是ABD，ABC，BCD，ACD的中位線，根據(jù)三角形中位線定理得到EH，F(xiàn)G等于BD的一半，EF，GH等于AC的一半，由AC=BD

18、=6，得到EH=EF=GH=FG=3，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，得到EFGH為菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EGHF，且EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在RtOEH中，根據(jù)勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9，再根據(jù)等式的性質(zhì)，在等式的兩邊同時(shí)乘以4，根據(jù)4=22，把等式進(jìn)行變形，并把EG=2OE，F(xiàn)H=2OH代入變形后的等式中，即可求出EG2+FH2的值解答：解：如右圖，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，E、H分別是AB、DA的中點(diǎn)，EH是ABD的中位線，EH=BD=3，同理可得EF，F(xiàn)G，GH分別是ABC，BCD，ACD的中位線，EF=GH=AC=3，F(xiàn)G=BD=3，EH=EF=GH=FG=3，

19、四邊形EFGH為菱形，EGHF，且垂足為O，EG=2OE，F(xiàn)H=2OH，在RtOEH中，根據(jù)勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9，等式兩邊同時(shí)乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36，（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36故答案為：36點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理以及等式的基本性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，得到四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到EGHF，建立直角三角形，利用勾股定理來(lái)解決問題一解答題（共1小題）考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理；正方形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：

20、幾何綜合題；壓軸題分析：（1）連接AD、BC，利用SAS可判定APDCPB，從而得到AD=BC，因?yàn)镋F、FG、GH、EH分別是ABC、ABD、BCD、ACD的中位線，則可以得到EF=FG=GH=EH，根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形，可推出四邊形EFGH是菱形；（2）成立，可以根據(jù)四邊都相等的四邊形是菱形判定；（3）先將圖形補(bǔ)充完整，再通過角之間的關(guān)系得到EHG=90°，已證四邊形EFGH是菱形，則四邊形EFGH是正方形解答：解：（1）四邊形EFGH是菱形（2分）（2）成立（3分）理由：連接AD，BC（4分）APC=BPD，APC+CPD=BPD+CPD即APD=CPB又PA=PC，P

21、D=PB，APDCPB（SAS）AD=CB（6分）E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，EF、FG、GH、EH分別是ABC、ABD、BCD、ACD的中位線EF=BC，F(xiàn)G=AD，GH=BC，EH=ADEF=FG=GH=EH四邊形EFGH是菱形（7分）（3）補(bǔ)全圖形，如答圖（8分）判斷四邊形EFGH是正方形（9分）理由：連接AD，BC（2）中已證APDCPBPAD=PCBAPC=90°，PAD+1=90°又1=2PCB+2=90°3=90°（11分）（2）中已證GH，EH分別是BCD，ACD的中位線，GHBC，EHADEHG=90°又

22、（2）中已證四邊形EFGH是菱形，菱形EFGH是正方形（12分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用及推理論證能力二解答題（共15小題）4（2013昭通）如圖，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形（2）當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；矩形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NDAM，再根

23、據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NDE=MAE，DNE=AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明NDE和MAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DMAB，再求出ADM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答解答：（1）證明：四邊形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，DE=AE，在NDE和MAE中，NDEMAE（AAS），ND=MA，四邊形AMDN是平行四邊形；（2）AM=1理由如下：四邊形ABCD是菱形，AD

24、=AB=2，平行四邊形AMDN是矩形，DMAB，即DMA=90°，DAB=60°，ADM=30°，AM=AD=1點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口6（2012南通）菱形ABCD中，B=60°，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上（1）如圖1，若E是BC的中點(diǎn)，AEF=60°，求證：BE=DF；（2）如圖2，若EAF=60°，求證：AEF是等邊三角形考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：證明題；壓軸題

25、分析：（1）首先連接AC，由菱形ABCD中，B=60°，根據(jù)菱形的性質(zhì)，易得ABC是等邊三角形，又由三線合一，可證得AEBC，繼而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，繼而證得BE=DF；（2）首先由ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得AEB=AFC，證得AEBAFC，即可得AE=AF，證得：AEF是等邊三角形解答：證明：（1）連接AC，在菱形ABCD中，B=60°，AB=BC=CD，C=180°B=120°，ABC是等邊三角形，E是BC的中點(diǎn)，AEBC，AEF=60°

26、;，F(xiàn)EC=90°AEF=30°，CFE=180°FECECF=180°30°120°=30°，F(xiàn)EC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）ABC是等邊三角形，AB=AC，ACB=60°，B=ACF=60°，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60°+FAD，AFC=D+FAD=60°+FAD，AEB=AFC，在ABE和ACF中，ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60°，AEF是等邊三角形點(diǎn)評(píng)：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與

27、性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中，注意準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用10（2009龍巖）在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN：求證：ABNADN；若ABC=60°，AM=4，ABN=，求點(diǎn)M到AD的距離及tan的值（2）如圖2，若ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程為x（6x12）試問：x為何值時(shí)，ADN為等腰三角形考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型分析：（1）三角形ABN和ADN中，不難得出AB

28、=AD，DAC=CAB，AN是公共邊，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等通過構(gòu)建直角三角形來(lái)求解作MHDA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H由（1）可得MDA=ABN，那么M到AD的距離和就轉(zhuǎn)化到直角三角形MDH和MAH中，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行求解即可（2）本題要分三種情況即：ND=NA，DN=DA，AN=AD進(jìn)行討論解答：解：（1）證明：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，1=2又AN=AN，ABNADN（SAS）作MHDA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H由ADBC，得MAH=ABC=60°在RtAMH中，MH=AMsin60°=4×sin60°=2點(diǎn)M到AD的距離為2AH=2DH=

29、6+2=8在RtDMH中，tanMDH=，由知，MDH=ABN=，tan=；（2）ABC=90°，菱形ABCD是正方形CAD=45°下面分三種情形：（）若ND=NA，則ADN=NAD=45°此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6；（）若DN=DA，則DNA=DAN=45°此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12；（）若AN=AD=6，則1=2ADBC，1=4，又2=3，3=4CM=CNAC=6CM=CN=ACAN=66故x=12CM=12（66）=186綜上所述：當(dāng)x=6或12或186時(shí)，ADN是等腰三角形點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形

30、的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意本題（2）中要分三種情況進(jìn)行討論，不要丟掉任何一種情況15（2005嘉興）有一種汽車用“千斤頂”，它由4根連桿組成菱形ABCD，當(dāng)螺旋裝置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，B、D兩點(diǎn)的距離變小，從而頂起汽車若AB=30，螺旋裝置每順時(shí)針旋轉(zhuǎn)1圈，BD的長(zhǎng)就減少1設(shè)BD=a，AC=h，（1）當(dāng)a=40時(shí)，求h值；（2）從a=40開始，設(shè)螺旋裝置順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)x圈，求h關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）從a=40開始，螺旋裝置順時(shí)針方向連續(xù)旋轉(zhuǎn)2圈，設(shè)第1圈使“千斤頂”增高s1，第2圈使“千斤頂”增高s2，試判定s1與s2的大小，并說(shuō)明理由；若將條件“從a=40開始”改為“從某一時(shí)刻開始”，

31、則結(jié)果如何，為什么？考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：應(yīng)用題；壓軸題分析：（1）根據(jù)菱形的兩條對(duì)角線垂直且平分的性質(zhì)，然后根據(jù)勾股定理，即可求出h值（2）首先知道螺旋裝置順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)與BD之間的關(guān)系，然后用勾股定理，就可求出h與x之間的函數(shù)關(guān)系（3）此問首先要搞清楚增高的s是指AC增高了s，根據(jù)第2問的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行推算，就可知道s1與s2的大小關(guān)系解答：解：（1）連AC交BD于O，ABCD為菱形，AOB=90°，OA=，OB=20，（3分）在RtAOB中，AO2+BO2=AB2，即（）2+202=302，h=20；（2分）（2）從a=40開始，螺旋裝置順時(shí)針方向旋

32、轉(zhuǎn)x圈，則BD=40x，（2分）（）2+（）2=302，h=；（2分）（3）結(jié)論：s1s2在中，令x=0得，h0=44.721；令x=1得，h1=45.596；令x=2得，h2=46.435；s1=h1h00.88，s2=h2h10.84，s1s2；（3分）也可以如下比較s1、s2的大小：=而7977，s1s2；（3分）若將條件“從a=40開始”改為“從任意時(shí)刻開始”，則結(jié)論s1s2仍成立，而2a12a3，s1s2（2分）點(diǎn)評(píng)：菱形的性質(zhì)是中考常見的一個(gè)考點(diǎn)，將其與勾股定理綜合使用，是解決相似題型的常用方法16（2002常州）已知：在菱形ABCD中，BAD=60°，把它放在直角坐標(biāo)系

33、中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）（1）畫出符合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（3）設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)為P，問：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱，如果存在，寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；分類討論分析：（1）本題可分兩種情況，如圖；（2）過C作CFy軸于F，CDF=60°，CF=2，因此DF=2，CD=4因此OA=OFAF=8（4+2）=2，因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）由于菱形的邊長(zhǎng)為4，因此將C點(diǎn)坐標(biāo)向下平移4個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)（2，4）；

34、（3）在（2）中所作的F點(diǎn)其實(shí)就是P點(diǎn)關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)，理由：根據(jù)菱形的性質(zhì)可知：FAC=30°，因此在直角三角形FAC中，F(xiàn)C=AC=PC，而DCF=DCP=30°，因此CFECPE，因此CD垂直平分PF，即可得出P、F關(guān)于CD對(duì)稱解答：解：本題有兩種情況：第一種情況：（1）畫圖，如圖所示（2）過C作CFy軸于F，CDF=60°，CF=2，tan60°=，=，DF=2，CD=4因此OA=OFAF=8（4+2）=2，因此A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）由于菱形的邊長(zhǎng)為4，因此將C點(diǎn)坐標(biāo)向下平移4個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)（2，4）；則A（0，2），B（2，4）（3）F（0

35、，8）；第二種情況：（1）畫圖，如圖所示（2）A（0，14），B（2，12）（3）F（0，8）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、軸對(duì)稱圖形等知識(shí)點(diǎn)17（2001河北）如圖，在菱形ABCD中，AB=10，BAD=60度點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t10）（1）點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)M移動(dòng)過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說(shuō)明理由；（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同）以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；（3）點(diǎn)N從點(diǎn)B（與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻

36、相同）以每秒a（a2）個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著射線BC方向（可以超越C點(diǎn)）移動(dòng)，過點(diǎn)M作MPAB，交BC于點(diǎn)P當(dāng)MPNABC時(shí)，設(shè)MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S，求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時(shí)的值考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個(gè)梯形的面積相等，而兩個(gè)梯形的高相等，只需上下底的和相等即可（2）易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積（3）易得MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可解答：解：（1）設(shè)：BN=a，CN=10

37、a（0a10）因?yàn)?，點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t10）所以，AM=1×t=t（0t10），MD=10t（0t10）所以，梯形AMNB的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=（t+a）×菱形高÷2；梯形MNCD的面積=（MD+NC）×菱形高÷2=（10t）+（10a）×菱形高÷2當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時(shí)，即t+a=10，（0t10），（0a10）所以，當(dāng)t+a=10，（0t10），（0a10）時(shí)，可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩

38、部分（2）點(diǎn)N從點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)N移動(dòng)的時(shí)間為t，可知0t5，因?yàn)锳B=10，BAD=60°，所以菱形高=5，AM=1×t=t，BN=2×t=2t所以梯形ABNM的面積=（AM+BN）×菱形高÷2=3t×5×=t（0t5）所以當(dāng)t=5時(shí)，梯形ABNM的面積最大，其數(shù)值為（3）當(dāng)MPNABC時(shí)，則ABC的面積=MPN的面積，則MPN的面積為菱形面積的一半為25；因?yàn)橐缺赜蠱NAC，N在C點(diǎn)外，所以不重合處面積為×（at10）2×重合處為S=25，當(dāng)S=0時(shí)，即PM在CD上，a=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形以及相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件三解答題（共14小題）10（2010河源）如圖，ABC中，點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于點(diǎn)E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：PE=PF；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF可能是矩形嗎？說(shuō)明理由；（3