小學(xué)奧數(shù)帶余除法

1、2.6帶余除法2.6.1 相關(guān)概念在整數(shù)范圍內(nèi)，整數(shù)a除以整數(shù)b） （bw0）,若有a+ b=q r,（即a=bq+r）, 0wrvb。 當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除；當(dāng)rw0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)， q為a除以b的商。2.6.2 余數(shù)的性質(zhì)被除數(shù)=除數(shù)x商十余數(shù)，除數(shù)=（被除數(shù)余數(shù)）+商，商 =（被除數(shù)余數(shù)）+除 數(shù)。余數(shù)小于除數(shù)。2.6.3 同余定理（1） 如果a, b除以c的余數(shù)相同，就稱 a、b對于除數(shù)c來說是同余的，且有 a與b 的差能被c整除。（a、b、c均為正整數(shù)）例如，17與11除以3的余數(shù)都是2,所以17-11 能被3整除。（2） a與b的和除以c的余

2、數(shù)，等于a, b分別除以c的余數(shù)之和（或這個和除以 c的 余數(shù)）。例如，23, 16除以5的余數(shù)分別是 3和1,所以（23+16）除以5的余數(shù)等于3+1=4。 注意：當(dāng)余數(shù)之和大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如，23, 19除以5的余數(shù)分別是3和4,所以（23+19）除以5的余數(shù)等于（3+4）除以5的余數(shù)。（3） a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a, b分別除以c的余數(shù)之積（或這個積除以 c 的余數(shù)）。例如，23, 16除以5的余數(shù)分別是3和1 ,所以（23X16）除以5的余數(shù)等于3M=3。 注意：當(dāng)余數(shù)之積大于除數(shù)時，所求余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如，23, 19除以

3、5的余數(shù)分別是3和4,所以（23X19）除以5的余數(shù)等于（3X4）除以5的余數(shù)。性質(zhì)（2） （3）都可以推廣到多個自然數(shù)的情形。2.6.4典型例題例15122除以一個兩位數(shù)得到的余數(shù)是66,求這個兩位數(shù)。分析與解：由性質(zhì)（2）知，除數(shù)X商=被除數(shù)-余數(shù)。5122-66=5056,5056應(yīng)是除數(shù)的整數(shù)倍。將 5056分解質(zhì)因數(shù)，得到5056=26 H9。由性質(zhì)（1）知，除數(shù)應(yīng)大于 66,再由除數(shù)是兩位數(shù)，得到除數(shù)在6799之間，符合題意的5056的約數(shù)只有79,所以這個兩位數(shù)是 79。例2被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和是2143,已知商是33,余數(shù)是52,求被除數(shù)和除數(shù)。解：因為被除數(shù)=除數(shù)喇+余

4、數(shù)=除數(shù)必3+52,被除數(shù)=2143-除數(shù)-商-余數(shù)=2143-除數(shù) -33-52=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)3+52=2058-除數(shù)，所以 除數(shù)=（2058-52） 34=59 ,被除數(shù) =2058-59=1999。例3甲、乙兩數(shù)的和是 1088,甲數(shù)除以乙數(shù)商 11余32,求甲、乙兩數(shù)。解：因為 甲=乙刈1+32,所以 甲+乙=乙><11+32+乙=乙X12+32=1088 , 所以 乙二(1088-32) +12=88,甲=1088-乙=1000。例4有一個整數(shù)，用它去除70, 110, 160得到的三個余數(shù)之和是 50。求這個數(shù)。分析與解：先由題目條件，求出這個數(shù)的大致范圍

5、。因為 50+3=162,所以三個余 數(shù)中至少有一個大于 16,推知除數(shù)大于16。由三個余數(shù)之和是 50知，除數(shù)不應(yīng)大于 70, 所以除數(shù)在1770之間。由題意知（7+110+160） -50=290應(yīng)能被這個數(shù)整除。將 290分解質(zhì)因數(shù)，得到 290=2 >5X29, 290在1770之間的約數(shù)有 29和58。因為110+58=152>50,所以58不合題意。所求整數(shù)是 29。例5求478X296X351除以17的余數(shù)。分析與解：先求出乘積再求余數(shù)，計算量較大。根據(jù)性質(zhì)（5）,可先分別計算出各因數(shù)除以17的余數(shù)，再求余數(shù)之積除以17的余數(shù)。478, 296, 351除以17的余數(shù)

6、分別為 2, 7和11, （2X7M1） +17=91。所求余數(shù)是1。例6甲、乙兩個代表團(tuán)乘車去參觀，每輛車可乘36人。兩代表團(tuán)坐滿若干輛車后，甲代表團(tuán)余下的11人與乙代表團(tuán)余下的成員正好又坐滿一輛車。參觀完，甲代表團(tuán)的每個成 員與乙代表團(tuán)的每個成員兩兩合拍一張照片留念。如果每個膠卷可拍36張照片，那么拍完最后一張照片后，相機(jī)里的膠卷還可拍幾張照片？分析與解：甲代表團(tuán)坐滿若干輛車后余11人，說明甲代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱甲數(shù)）除以36余11;兩代表團(tuán)余下的人正好坐滿一輛車，說明乙代表團(tuán)余36-11=25 （人），即乙代表團(tuán)的人數(shù)（簡稱乙數(shù)）除以 36余25;甲代表團(tuán)的每個成員與乙代表團(tuán)的每個成員兩兩

7、合拍 一張照片，共要拍 甲數(shù)X乙數(shù)”張照片，因為每個膠卷拍36張，所以最后一個膠卷拍的張數(shù)， 等于甲數(shù)X乙數(shù)”除以36的余數(shù)。因為甲數(shù)除以36余11,乙數(shù)除以36余25,所以甲數(shù)X乙數(shù)”除以36的余數(shù)等于11X25 除以36的余數(shù)。（ 11X25） +36=723,即最后一個膠卷拍了 23張，還可拍36-23=13 （張）。例79437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是 。講析：一個數(shù)被9除的余數(shù)與這個數(shù)各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)是一樣的。9437569各位數(shù)字之和除以 9余7; 8057127各位數(shù)字之和除以 9余3。7X3=21, 21 + 9=23。所以，9437569與80571

8、27的乘積被9除，余數(shù)是3。例8在1、2、3、4、1993、1994這1994個數(shù)中，選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中 的每兩個數(shù)的和都能被 26整除，那么這樣的數(shù)最多能選出 個。講析：可將1、2、3、1994這1994個數(shù)，分別除以26。然后，按所得的余數(shù)分 類。要使兩個數(shù)的和是 26的倍數(shù)，則必須使這兩個數(shù)分別除以26以后，所得的余數(shù)之和等于26。但本題要求的是任意兩個數(shù)的和都是26的倍數(shù)，故26的倍數(shù)符合要求。這樣的數(shù)有1994 + 26=76 （個）余18 （個）。但被26除余13的數(shù)，每兩個數(shù)的和也能被26整除，而余數(shù)為13的數(shù)共有77個。所以，最多能選出 77個。例9 一個整數(shù)，除300、

9、262、205,得到相同的余數(shù) （余數(shù)不為0）。這個整數(shù)是 。講析：如果一個整數(shù)分別除以另兩個整數(shù)之后，余數(shù)相同，那么這個整數(shù)一定能整除這兩個數(shù)的差。因此，問題可轉(zhuǎn)化為求（300262）和（262205）的最大公約數(shù)。不難求出它們的最大公約數(shù)為19,即這個整數(shù)是19。例10小張在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)113錯寫成131,結(jié)果商比原來多 3,但余數(shù)恰巧相同。那么該題的余數(shù)是多少？講析：被除數(shù)增加了 131-113=18,余數(shù)相同，但結(jié)果的商是3,所以，除數(shù)應(yīng)該是18+ 3=6。又因為113+6的余數(shù)是5,所以該題的余數(shù)也是 5。例11五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡覺

10、，明天再說。夜 里，一只猴子偷偷起來，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份， 然后去睡覺；第二只猴子起來，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡覺。第三、四、五只猴子也都這樣做。問：最初至少有 個桃 子。講析：因為第一只猴子把桃 5等分后，還余1個桃；以后每只猴子來時，都是把前一只 猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1個桃子。于是，我們可設(shè)想，如果另加進(jìn) 4 個桃子，則連續(xù)五次可以分成5等份了。加進(jìn)4個桃之后，這五只猴每次分桃時，不再吃掉一個，只需 5等份后，拿走一份。因為4與5互質(zhì)，每次的4份能分成5等份，這說明每次等分出的每一份桃

11、子數(shù)， 也能 分成5等份。這樣，這堆桃子就能連續(xù)五次被 5整除了。所以，這堆桃子至少有 5X5X5X 5X5-4=3121 （個）。例12在1、2、3、30這30個自然數(shù)中，最多能取出 個數(shù)，使取出的這些數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)。講析：我們可將1到30這30個自然數(shù)分別除以7,然后按余數(shù)分類。余數(shù)是0: 7、余數(shù)是1:1、余數(shù)是2: 2、余數(shù)是3: 3、余數(shù)是4: 4、余數(shù)是5: 5、余數(shù)是6: 6、14、 21、 288、15、22、299、16、23、3010、17、2411、 18、 2512、19、2613、20、27要使兩數(shù)之和不是7的倍數(shù)，必須使這兩個數(shù)分別除以7所

12、得的余數(shù)之和不等于7。所以，可以取余數(shù)是 1、2、3的數(shù)，不取余數(shù)是 4、5、6的數(shù)。而余數(shù)為0的數(shù)只取一個。故最多可以取15個數(shù)。例13 一個數(shù)除以3余2,除以5余3,除以7余2。求滿足條件的最小自然數(shù)。分析與解：這道例題就是孫子算經(jīng)中的問題。這個問題有三個條件，一下子不好解答。那么，我們能不能通過先求出滿足其中一個條件的數(shù)，然后再逐步增加條件，達(dá)到最終 解決問題的目的呢？我們試試看。滿足除以3余2”的數(shù)，有2, 5, 8, 11, 14, 17,在上面的數(shù)中再找滿足除以5余3”的數(shù)，可以找到8, 8是同時滿足 除以3余2”、除以5余3”兩個條件的數(shù)，容易知道，8再加上3與5的公倍數(shù)，仍然滿

13、足這兩個條件，所以 滿足這兩個條件的數(shù)有8, 23, 38, 53, 68,在上面的數(shù)中再找滿足除以7余2”的數(shù)，可以找到23, 23是同時滿足 除以3余2”、除以5余3”、除以7余2”三個條件的數(shù)。23再加上或減去3, 5, 7的公倍數(shù)，仍然滿足這三個條件，3, 5, 7=105,因為23V105,所以滿足這三個條件的最小自然數(shù)是23。在例1中，若找到的數(shù)大于3, 5, 7,則應(yīng)當(dāng)用找到的數(shù)減去 3, 5, 7的倍數(shù)，使得 差小于3, 5, 7,這個差即為所求的最小自然數(shù)。例14求滿足除以5余1,除以7余3,除以8余5的最小的自然數(shù)。分析與解：與例1類似，先求出滿足 除以5余1”的數(shù)，有6,

14、 11, 16, 21, 26, 31 , 36,在上面的數(shù)中，再找滿足除以7余3”的數(shù)，可以找到31。同時滿足 除以5余1”、除以7余3”的數(shù)，彼此之間相差 5夕=35的倍數(shù)，有 31, 66, 101, 136, 171, 206,在上面的數(shù)中，再找滿足除以8余5”的數(shù)，可以找到101。因為101 V 5, 7, 8=280 ,所以所求的最小自然數(shù)是 101。在例1、例2中，各有三個約束條件，我們先解除兩個約束條件，求只滿足一個約束條件的數(shù)，然后再逐步加上第二個、第三個約束條件，最終求出了滿足全部三個約束條件的數(shù)。這種先放寬條件，再逐步增加條件的解題方法，叫做逐步約束法。例15在10000

15、以內(nèi)，除以3余2,除以7余3,除以11余4的數(shù)有幾個？解：滿足除以3余2”的數(shù)有5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,再滿足除以7余3”的數(shù)有17, 38, 59, 80, 101,再滿足 除以11余4”的數(shù)有59。因為陽3, 7, 11=231,所以符合題意的數(shù)是以59為首項，公差是 231的等差數(shù)列。（10000-59） +231=438,所以在10000以內(nèi)符合題意的數(shù)共有44個。例16求滿足除以6余3,除以8余5,除以9余6的最小自然數(shù)。分析與解：如果給所求的自然數(shù)加3,所得數(shù)能同時被6, 8, 9整除，所以這個自然數(shù)是6, 8, 9-3=72-3=69。帶余除法（五年級奧數(shù)題及答案）來源：奧數(shù)網(wǎng)整理 文章作者：2010-08-17 10:09:26標(biāo)簽：五年級奧數(shù)答案帶余除法69、90和125被某個正整數(shù) N除時，余數(shù)相同，試求N的最大值。分析在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1, 19除以2余1,即15和19被2除余數(shù)相同（余數(shù)都是 1）。但是19-15能被2整除.由此我們可以得到帶余除法69、90和125被某個正整數(shù) N除時，余數(shù)相同，試求 N的最大值。分析 在解答此題之前，我們先來看下面的例子：15除以2余1 , 19除以2余1 ,即15和