2018屆初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)：三元一次方程組教學(xué)案

1、三元一次方程組及其解法1 .三元一次方程的定義：含有三個未知數(shù)的一次整式方程2 .三元一次方程組：由三個一次方程（一元、二元或三元）組成并含有三個未知數(shù)的方程組叫做三元一次方程組3 .三元一次方程組的解：能使三個方程左右兩邊都成立的三個未知數(shù)的值解題思路：利用消元思想使三元變二元，再變一元4 .三元一次方程組的解法：用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.例題解析一、三元一次方程組之特殊型'x+y+z=12例1：解方程組Jx+2y+5z=22x=4y分析：方程是關(guān)于x的表達(dá)式，通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組,因此確定“消x”

2、的目標(biāo)。解法1:代入法,消x.把分別代入、得'5y+z=126y+5z=22解得y=2,z=2.把y=2代入，得x=8.x=8,Jy=2,是原方程組的解.z=2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為:類型一：有表達(dá)式，用代入法型.針對上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺z,因此利用、消z,也能達(dá)到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。解法2:消z.X5得5x+5y+5z=60-得4x+3y=38由、得x=4y4x+3y=38解得y=2.把x=8,y=2代入得z=2.x=8,，y=2,是原方程組的解z=2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為：類型二：缺某元，消某元型.2x+y+z=15例2：解

3、方程組Jx+2y+z=16x+y+2z=17分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個方程未知項(xiàng)的系數(shù)和相等；每一個未知數(shù)的系數(shù)之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換方程組”，可采取求和作差的方法較簡潔地求出此類方程組的解。解：由+得4x+4y+4z=48,即x+y+z=12.-得x=3,-得y=4,-得z=5,x=3,.y=4,是原方程組的解.z=5.fx+y=20,典型例題舉例：解方程組y+z=19,、x+z=21.解：由喳+得2(x+y+z)=60,即x+y+z=30.-得z=10,-得y=11,-得x=9,x=9,.<y=11,是原方程組的解.Iz=10.根據(jù)方程組的特

4、點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型三：輪換方程組，求和作差型.x:y:z=1:2:7例3:解方程組7、2x-y+3z=21分析1：觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，看見比例式就會想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式，即y=2x,|z=7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可選用“有表達(dá)式，用代入法”求解。2xy+3z=21.解法1：由得y=2x,z=7x,并代入，得x=1.把x=1,代入y=2x,得y=2;把x=1,代入z=7x,得z=7.x=1,I、i.y=2,是原方程組的解.z=7.分析

5、2：由以往知識可知遇比例式時，可設(shè)一份為參數(shù)k,因此由方程x:y:z=1：2：7,可設(shè)為x=k,y=2k,z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2：由設(shè)x=k,y=2k,z=7k,并代入，得k=1.把k=1,代入x=k,得x=1;把k=1,代入y=2k,得y=2;把k=1,代入z=7k,得z=7.x=1,.y=2,是原方程組的解.z=7.'x十y+z=111典型例題舉例：解方程組4y:x=3:2y:z=5:4分析1:觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、中未知項(xiàng)間存在著比例關(guān)系，由例3的解題經(jīng)驗(yàn)，易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得x=-y;由得z

6、=9y.從而利用代入法求解。35解法1：略.分析2:受例3解法2的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將、轉(zhuǎn)化為x:y:z的形式呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)、中都有y項(xiàng)，所以把它作為橋梁，先確定未知項(xiàng)y比值的最小公倍數(shù)為15,由x5得y:x=15:10,由X3得y:z=15:12,于是得到x:y:z=10:15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式，就能解決了。解法2:由、得x:y:z=10:15:12.設(shè)x=10k,y=15k,z=12k,并代入，得k=3.把k=3,代入x=10k,得x=30;把k=3,代入y=15k,得y=45;把k=3,代入z=12k,得z=36.x=30,1y=45,是原方程組的解.

7、Jz=36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型.二、三元一次方程組之一般型'3x-y+z=4,例4：解方程組«x+y+z=6,、2x+3y-z=12.分析：對于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消元目標(biāo)一一消哪個未知項(xiàng)；二是在消元的過程中三個方程式如何正確的使用，怎么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出：（1） 消元的選擇1 .選擇同一個未知項(xiàng)系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個未知數(shù)消元；2 .選擇同一個未知項(xiàng)系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個未知數(shù)消元。（2） 方程式的選擇采取用不同符號標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程

8、選擇。3x-y+z=47解：x+y+z=62x+3y-z=127也（明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來一一畫線）+得5x+2y=16,（體現(xiàn)第一次使用在后做記號，）+得3x+4y=18,（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號）5x+2y=16,由、得y,x+4y=18./口x=2,解得y=3.把x=2,y=3代人，得z=1.x=2,«y=3,是原方程組的解.z=1.2x+4+3z=9,7典型例題舉例：解方程組3x-T+5z=11,"A5x-64+7z=13.分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項(xiàng)y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y。以方程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：X2得6x4y+10z

9、=22,2x+4y+3z=9,+得8x+13z=31.X3得9x6y+15z=33,5x6y+7z=13,得4x+8z=20.x+2z=5.目I8x+13z=31,由、得x+2z=5.Xx-1,解得z=3.，一八、一1把x=-i,z=3代人，佝y=.2x=-1,1一一、yy=,是原方程組的解.2z=3.在此需要說明的是，每一個三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需要進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以以不變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會三元一次方程組的解法。三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用EG01:某車間有60人，生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時能生產(chǎn)甲24個，或乙20個，或

10、丙16個，現(xiàn)用零件甲9個，乙15個，丙12個，裝配成某機(jī)件，如何安排勞動力，才能使每小時生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有x人，y人，z人.根據(jù)題意得x+y+z=6024x/9=20y/15=16z/12解得x=12,y=24,z=2424X12/9=32答：安排生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有12人，24人，24人，共有32套.EG02:甲、乙、丙三個數(shù)的和是35,甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大5,乙數(shù)的1/3（三分之一）等于丙數(shù)的1/2（二分之一），求這三個數(shù)。解：設(shè)甲是x,乙是v,丙是z則x+y+z=35(1)甲數(shù)的2倍比乙數(shù)大52x-y=5(2)乙數(shù)的1/3(三分之一)等于

11、丙數(shù)的1/2y/3=z/2(3)由(2)和(3)得到y(tǒng)=2x-5,z=2y/3=(4x-10)/3代入x+2x-5+4x/3-10/3=3513x/3=130/3x=10y=2x-2=15z=2y/3=10所以甲是10,乙是15,丙是10EX:1 .有甲乙丙三種貨物，若購物甲種3件，乙種7件，丙1件需要31.5元，如果購買甲4件，乙10件，丙1件共需要42元，若購甲乙丙各一件，需要10.5元。問甲乙丙每件各多少元？2 .汽車在平路上每小時行30公里，上坡時每小時行28公里，下坡時每小時行35公里，現(xiàn)在行駛142公里的路程用去4小時三十分鐘，回來使用4小時42分鐘，問這段平路有多少公里？去時上下

12、坡路各有多少公里？3 .某校初中三個年級一共有651人，初二的學(xué)生數(shù)比初三學(xué)生數(shù)多10%初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多5%求三個年級各有多少人？AW:1式子：3x+7y+z=31.54x+10y+z=42x+y+z=10.5答案：？這題有問題，多解的(只要符合x+3y=10.5)就行，真不知樓上怎么算出來的。2 :去時上坡x平路y下坡zx+y+z=142x/28+y/30+z/35=4.5z/28+y/30+x/35=4.7答案：x=42y=30z=703 :初一：x初二：y初三：zx+y+z=651y=1.1zx=1.05y答案：x=231y=220z=200訓(xùn)練集中營1?，F(xiàn)有1角，5角，1元

13、硬幣各10枚.從中取出15枚，共值7元，1角，5角，1元各取幾枚？2。甲地到乙地全稱是3.3KM,一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小時行3KM平路每小時行4KM下坡每小時行5KM那么，從甲地到乙地需行51分，從乙地到甲地需行53.4分，求從甲地到乙地時的上坡。平路。下坡的路程各是多少？3。水費(fèi)價格：不超過6立方米部分，每立方米2元。超過6立方米至10立方米部分，每立方米4元。超過10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共用水15立方米，交水費(fèi)44元，(四月用水量多于三月用水量)，求三月和四月用水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，則他需要交水費(fèi)多少元?4。某足球聯(lián)賽一個

14、賽季共進(jìn)行26場比賽(即每隊(duì)均賽26場)，其中勝一場得三分，平一場得一分，負(fù)一場得0分。某隊(duì)在這個賽季中平局的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)多7場，結(jié)果共得34分。這個隊(duì)在這個賽季中勝，平，負(fù)各多少場？5。學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2:3,三種球共41個，求三種球各有多少6。一個水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管，若打開甲管4小時，乙管2小時和丙管2小時，則水池中余水5噸；若打開甲管2小時，乙管3小時，丙管1小時，則池中余水1噸，求打開甲管22小時，乙管5小時，丙管11小時，池中余水多少噸？7。小紅買了面值為50分和230分的郵票共8枚，共用去9元4角問50分和230分的郵票各買幾枚？8。運(yùn)往某地的兩批貨物，第一批為440噸，用8節(jié)火車車廂和10輛汽車正好運(yùn)完；第二批貨物520噸，多用了2節(jié)火車車廂而少用了5輛汽車，正好運(yùn)完。求每節(jié)火車車廂和每輛汽車平均各裝多少噸？9。1、有一批零件共420個，若甲先做2天，乙加入，合作2天可以完成；若乙先做2天，甲加入，合作3天可以完成，求二人每天平均做多少個？10。、張紅用7元錢買2角和5角一張的郵票共20張，問兩種郵票各買多少張？11。有甲乙兩數(shù)，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的2倍之和是47,甲數(shù)的5倍比乙數(shù)的6倍小1,求這兩個數(shù)。12。某車隊(duì)運(yùn)一批貨物，若每輛裝3.5噸，就有2噸