在概率的計(jì)算中的排列組合

1、 預(yù)備知識(shí)在概率的計(jì)算中經(jīng)常要用到一些排列組合知識(shí)，也常常用到牛頓二項(xiàng)式定理。這里羅列一些同學(xué)們?cè)谥袑W(xué)里已學(xué)過(guò)的有關(guān)公式，并適當(dāng)作一點(diǎn)推廣。一. 兩個(gè)原理1. 乘法原理: 完成一項(xiàng)工作有m個(gè)步驟，第一步有種方法，第二步有種方法，第m步有種方法，且完成該項(xiàng)工作必須依次通過(guò)這m個(gè)步驟，則完成該項(xiàng)工作一共有種方法，這一原理稱為乘法原理。 2. 加法原理: 完成一項(xiàng)工作有m種方式，第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，第m種方式有種方法，且完成該項(xiàng)工作只需選擇這m種方式中的一種，則完成這項(xiàng)工作一共有+種方法，這一原理稱為加法原理。二. 排列: 從n個(gè)元素里每次取出r個(gè)元素，按一定順序排成一列，稱為從

2、n個(gè)元素里每次取r個(gè)元素的排列，這里n和Z。均為正整數(shù)(以下同)。 當(dāng)這n個(gè)元素全不一樣時(shí)，上述的排列稱為無(wú)重復(fù)排列，我們關(guān)心的是可以做成多少個(gè)排列，即排列數(shù)。 對(duì)于無(wú)重復(fù)排列，要求當(dāng) 時(shí) 稱為選排列，而當(dāng)rn時(shí)稱為全排列。我們記排列數(shù)分別為即將全排列看成選排列的特例。利用乘法原理不難得到由階乘的定義由階乘的定義 將上面的n個(gè)不同的元素改為n類不同的元素，每一類元素都有無(wú)數(shù)多個(gè)。今從這n類元素中取出r個(gè)元素，這r個(gè)元素可以有從同一類元素中的兩個(gè)或兩個(gè)以上，將取出的這r個(gè)元素dl成一列，稱為從n類元素中取出r個(gè)元素的可重復(fù)排列，排列數(shù)記作，由乘法原理得 顯然，此處r可以大于n 例3 將三封信投入

3、4個(gè)信箱，問(wèn)在下列兩種情形下各有幾種投法? 1)每個(gè)信箱至多只許投入一封信；2)每個(gè)信箱允許投入的信的數(shù)量不受限制。解 1)顯然是無(wú)重復(fù)排列問(wèn)題，投法的種數(shù)為2)是可重復(fù)排列問(wèn)題，投法的種數(shù)為三、組合 從“個(gè)元素中每次取出r個(gè)元素，構(gòu)成的一組，稱為從n個(gè)元素里每次取出r個(gè)元素的組合。設(shè)這n個(gè)元素全不一樣，即得所謂無(wú)重復(fù)組合，我們來(lái)求組合數(shù)，記作將一個(gè)組合中的r個(gè)元素作全排列，全排列數(shù)為，所有組合中的元素作全排列，共有 個(gè)排列，這相當(dāng)于從n個(gè)元素里每次取r個(gè)元素的選排列，排列總數(shù)為故有 性質(zhì)(2)的左端表示從中取出r個(gè)的組合數(shù)。我們可以固定這n十1個(gè)元素中的任意一個(gè)，不妨固定于是考察所有取與所有

4、不取。的組合數(shù)，前者即從個(gè)中取r1個(gè)的組合數(shù)，而后者即從個(gè)中取r個(gè)的組合數(shù) 類似于可重復(fù)排列，也有可重復(fù)組合，即從n類不同元素中每次取出r個(gè)元素，這r個(gè)元素可以從同一類元素中取兩個(gè)或兩 例4 擲兩顆銀子可以有多少種點(diǎn)子的排列?多少種點(diǎn)子的組合? 解 每顆銀子各有六面，分別刻有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)，擲出的結(jié)果可以重復(fù)。四、較復(fù)雜的排列、組合問(wèn)題問(wèn)題1，不全相異元素的全排列將一個(gè)包含n個(gè)元素的整體分成r個(gè)有序的部分，其中第一部分包含個(gè)元素，第二部分包含個(gè)元素，第r部分包含個(gè)元素，分法數(shù)共有種，上式稱為多項(xiàng)式系數(shù)。 例5 將15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中去，這15名新生中有3名優(yōu)秀生。問(wèn)：1)

5、15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中有多少種分法?2)每個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生有多少種分法?3)3名優(yōu)秀生分配在同一個(gè)班級(jí)有多少種分法?解 1)15名新生平均分配到三個(gè)班級(jí)中的分法總數(shù)為 2)將3名優(yōu)秀生分配到三個(gè)班級(jí)使每個(gè)班級(jí)都有一名優(yōu)秀生的分法共3!種。對(duì)于其中每一種分法，其余12名新生平均到三個(gè)班級(jí)中的分法共有種，由乘法原理不難得到每個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀牛的分法總數(shù)為 3)將3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法共有3種(因有3個(gè)班級(jí))。對(duì)于這每一種分法，其余12名新生的分法是將其中的2名分配到已有3名優(yōu)秀生的班級(jí)，而另二個(gè)班級(jí)各5名，因此分法數(shù)為種，由乘法原理得3名優(yōu)秀生分配在同一班級(jí)的分法總數(shù)

6、為 例 ：將3個(gè)白球、4個(gè)紅球和4個(gè)黑球排成一行如果顏色一樣的球彼此不加區(qū)別，問(wèn)有多少種排法？解：有 種排法問(wèn)題2，不全相異元素的組合 仍設(shè)有r種不同元素，第一種有個(gè)元素，第二種有個(gè)元素，第r種有個(gè)元素，今從這n個(gè)元素中，每次取，其取法總數(shù)為下列乘積 例6 由詞中的字母，每次擇取4個(gè)，共有幾種不同的選擇法? 解 此詞中有8種字母，其中包括3個(gè)a，2個(gè)m，2個(gè)，以與 各一個(gè)，每次擇取4個(gè)，故所求的取法數(shù)由 例： 要求某學(xué)生會(huì)主席指定一個(gè)委員會(huì)，包括5名男生和3名女生，在提供的候選人中有10名男生和7名女生。問(wèn)可能有多少個(gè)委員會(huì)可供他選擇？ 解 在某一委員會(huì)中，如果改變委員的順序，結(jié)果仍一樣，因此

7、，這是一個(gè)求組合的問(wèn)題。從lo名男生中，主席能選出每組有5名男生的組合數(shù)為55 組合與排列個(gè)元素的整體分成r個(gè)有序的部分，其中第一部分包含Rt個(gè)元素，第二部分包含n2個(gè)元素，第r部分包含n r個(gè)元素，分法數(shù)共有 組合與排列研究事物的分組與排列，在計(jì)算概串方面，它們可以用來(lái)決定一切可能情況的總數(shù)以與有利情況數(shù)。 定義58 每一個(gè)集合可以由給定事物的部分或全體組成，可以不管集合中事物的順序則這一集合稱作組合。 定義59 事物的全部集合或部分集合的每一種不同的順序或排列即稱為排列。 例514 在A，B，C，D四個(gè)字母中求每組三個(gè)字母的(a)組合數(shù)，(b)排列數(shù)。 解 (a)字母A，B，C，D每組可以

8、取三個(gè)，不計(jì)順序，有以下取法：ABC，ABD，ACD和BCD。因此，共有4種組合，即4個(gè)物件中每次取三個(gè)共有4種組合。 (b)如果還考慮順序，在字母A，B，C，D中每組有三個(gè)，共有以下排列：ABC，ACB，BAC， BCA，CAB，CBA，ABD，ADB，BAD，BDA，DAB，DBA，ACD，ADC，CAD，CDA，DAC，DCA，BCD， BDC， CBD，CDB，DBC，DCB。因此，共有24種排列：即從4物件中每次取三個(gè)共有24種排列。 例515排列數(shù)。 解求四物件在每次取4件時(shí)的(a)組合數(shù)； (b)A，B，C，D四個(gè)字母的順序數(shù)容易求出為24，于是4物件每次取4件有24種排列。 為了求出計(jì)算組合數(shù)與排列數(shù)的簡(jiǎn)易公式，我們首先考慮一個(gè)特例，求n個(gè)物件(例如字母)每組有n項(xiàng)的排列數(shù)。 把這些排列都寫(xiě)出來(lái)，我們就可以看到第一個(gè)字母有n種選擇；每一種選擇對(duì)應(yīng)于圖53中的一個(gè)分校圖，這里表示的是n4的情形。在選定第一個(gè)字母后(例如A)，在第二個(gè)字母就余下(n1)種選擇，于是對(duì)前面兩個(gè)字母就有n(n1)種可能的選擇，與固53中從左邊頂端發(fā)散的分技數(shù)一樣多的選擇。在前兩個(gè)字母選定以后，對(duì)第三個(gè)字母還有n2種選擇，于是對(duì)前三個(gè)字母就有n(n1)(n2)種選擇。繼續(xù)這一過(guò)程，我們看到對(duì)第n個(gè)字