【青島版】八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講練：二次根式基本定義及其應(yīng)用試題含答案

1、二次根式基本定義及其應(yīng)用J_®竊窗I重點(diǎn)31點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)苴點(diǎn)特通一、二次根式的定義一般地，我們把形如ja(a20)的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當(dāng)a是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，行才有意義.注意：在二次根式中，被開方數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以a20是百為二次根式的前提條件，如J5,Jx2+1,Jx-1(x21)等是二次根式，而二,V-X2-5等都不是二次根式.二、二次根式的判定一次根式必具備條件含有二次根號(hào)如：Va不是一次根式；Ja2+1是一次根式；我不是二次根式；特別注意R是二次根式.被開方數(shù)大于等于0三、二次根式有意義的條件1、

2、單獨(dú)的二次根式：被開方數(shù)大于等于0,如"，V5等；2、含有分母的二次根式：被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,二者要綜合考慮，如：1I(120,X=0)；XX3、二次根式永遠(yuǎn)有意義：被開方數(shù)為完全平方加正數(shù)，如J了.總結(jié):1、二次根式與分式、函數(shù)結(jié)合討論未知數(shù)有意義的問題為中考必考內(nèi)容；2、所有的二次根式計(jì)算至最后都要化成最簡(jiǎn)二次根式.解題工真題難題名校題題題楚典】例題1已知，y=Jx-20+v30-x，且x、y均為整數(shù)，求x+y的值.解析：先求出x的取值范圍，再根據(jù)x,y均為整數(shù)，可得x的值,再分情況得到x+y的值.答案：由題意知：20WxW30,又因?yàn)閤,y均為整數(shù)，所以x-20,

3、30x均需是一個(gè)整數(shù)的平方，因而x只可以取21或29,當(dāng)x=21時(shí),y=4,x+y的值為25;當(dāng)x=29時(shí),y=4,x+y的值為33.故x+y的值為25或33.點(diǎn)撥：考查了二次根式的定義，解題的難點(diǎn)是根據(jù)x、y均為整數(shù),得到x20,30x均需是一個(gè)整數(shù)的平方.例題2已知點(diǎn)P（x,y）在函數(shù)y=4+尸的圖象上，那么點(diǎn)Px應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限解析：因?yàn)榉质接幸饬x的條件是分母不等于0;二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于或等于0.從而可以得到x<0,由x2>0,G20可以得到口+Q>0,.y>0,即可求出點(diǎn)P所在的象限.x2

4、八/答案：xL,.x<0；又<x<0,.十廠x>0,即y>0-x>0x.P應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的第二象限.故選B.點(diǎn)撥：考查了分式和二次根式有意義的條件，難點(diǎn)是判斷出所求的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的符號(hào).估算二次根式的值根據(jù)提示的方法估算二次根式的大概取值.例題閱讀苗料：學(xué)習(xí)了無理數(shù)后，某數(shù)學(xué)興趣小組開展了一次探究活動(dòng)：估算J13的手似收.小明的方法：<肉<Ji3c石6,設(shè)A=3+k（0<k<1）.（加）2=（3+k）2./.13=9+6k+k2.13=9+6k,解得k-.6.而=3+4=3、67.6問題：（1）請(qǐng)你依照小明的方法，估算J4的近

5、似值；（2）請(qǐng)結(jié)合上述具體實(shí)例，概應(yīng)H估算而的公式：_已知非負(fù)整數(shù)a、b、m,若a<而<a+1,且m=a2+b,則布（用含a、b的代數(shù)式表示）；（3）請(qǐng)用（2）中的結(jié)論估算J37的近似值.»析：（1）根據(jù)題目信息，找出41前后的兩個(gè)平方數(shù)，從而確定出、71=6+k（0<k<1）,再根據(jù)題目信息近似求解即可；（2）根據(jù)題目提供的求法，先求出k值，然后再加上a即可；（3）把a(bǔ)換成6,b換成1代入公式進(jìn)行計(jì)算即可得解.答案：(1);v36<v4i<V49，設(shè)V4i=6+k(0<k<1),.(<甲)(6+k)2,/.41=36+12k+k

6、2,z.4136+12k.解得k=9,/1"6+"6+0、42=6、42;1212(2)設(shè)Tm=a+k(0k1),m=a2+2ak+k2=a2+2ak,.m=a2+b,a2+2ak=a2+b,解得k,2a(3)；6庖6+1,依據(jù)(2)中結(jié)論J6、08.122a,a=6,b=1，.=v'37=6+求最值問題利用因式分解及二次根式的定義，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，求最值.例題若vk2-2008是整數(shù)，則整數(shù)k的最小正整數(shù)值為.解析：設(shè)衣22008=a,貝Uk2a2=2008,(k+a)(k-a)=2008,即k+a與ka是2008的因數(shù)，確定2008的因數(shù)，即可求得k,a的值,

7、即可確定k的整數(shù)值.答案：設(shè)Jk2-2008=a,貝Uk2-a2=2008,(k+a)(ka)=2008=1X2008=2X1004=4X502=8X251分別求出k值，國(guó)什k+a=2008f(k+a=1004則/或k。a=1k-a=2或jk+a=502ka=4|k+a=251ka=8解得:k=1004.5?4-fk=503屋fk=253cco二(舍去)，或a=1003.5a=501a=249、fk=129.5或a=121.5(舍去).則k的最小正整數(shù)值是：253.故答案是:253.工即學(xué)即H珠固提升】(答題時(shí)間:45分鐘)、選擇題1、已知n是A、3個(gè)正整數(shù)，幣35n是整數(shù)，則n的最小值是(B

8、、5152、F列說法錯(cuò)誤的是(A、零和負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根也是二次根式Gb2是一個(gè)非負(fù)數(shù),C、Jx2+16的最小值是4J-(x-1)2的值一定是0*3、下列根式中最簡(jiǎn)二次根式的個(gè)數(shù)有：2咫，停5（a,、膏,7x277，咨（）A、2個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè),Dk5個(gè)*4、若實(shí)數(shù)x使代數(shù)式W有意義，則x的取值范圍是)A、x>1B、 x>1C、 xA1且x#2D、x>l且x#2*5、觀察下列各式：2X旨AH；"3+3；4><弓=4+4；依此類推，則第四個(gè)式子是哪個(gè)？用n（n2）的等式表達(dá)你所觀察得到的規(guī)律應(yīng)是（A、嗚、).n2nn2-1B、5+9、nx26C、524n

9、n2-1nDK1：5+且、nx24n2-1nn2n2-1nn-2n-1二、填空題：* 6、已知化簡(jiǎn)后的二次根式3萬環(huán)而與J2xy+6是同類二次根式,貝Ux+y=.* 7、已知7x%+wHx=y+4,n+V24n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值與xy的平方根的積為一* *8、用下面“逐步逼近”的方法可以求出后的近似值.先閱讀，再答題：因?yàn)?2V7V32,所以2V折<3.第一步：取"3=2、5,由2、52=6、25V7得2、5</<3.2第二步：取2.5+3=2、75,由2、752=7、5625>7得2、5<77<22、75請(qǐng)你繼續(xù)上面的步驟，寫出第三步，并

10、通過第三步的結(jié)論，.對(duì)71十分位上的數(shù)字作一估計(jì)*9求和S41d+32+小/V+3252一+4262三、解答題：*10、如果y=)x24+74X2+1，求2x+y的值.*11、已知：Ja5+2V10-2a=J3ab+|c2-49|,求實(shí)數(shù)a、b、c的值.*12、已知|2009-a|+a-2010=a,求。a-20092+15的值.(1)由式子Ja-2010可以得出a的取值范圍是什么？(2)由(1),你能將等式|2009a|+Ja-2010=a中的絕對(duì)值去掉嗎？(3)由(2),你能求出a20092的值嗎？(4)討論總結(jié)：求v'a-20092+15的值.1、C解析：,#35F=3y'

11、;i而，若J13所是整數(shù)，貝uv15n也是整數(shù)；.n的最小正整數(shù)值是15;故選C.2、A解析:A、零的算術(shù)平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根，故錯(cuò)誤；B、a2+b2是非負(fù)數(shù)，所以次壽是一個(gè)非負(fù)數(shù)，也是二次根式，故正確；Cvx2+16>16,.當(dāng)x=0時(shí)，x2+16有最小值是4,故正確；D.一(x-1)&0,.d-(x-1)2有意義的情況下它的值一定是0,故正確.故選A.3、B解析：:2/xyy=2|x|5ry;J75x3y=5xyv3xy;J-ab=ab-；22戶=|占年;:cc它們都不是最簡(jiǎn)二次根式；因此符合最簡(jiǎn)二次根式條件的有：蟲xy、即2。2)、五F,共3個(gè)；故選B.54、D解析:

12、使代數(shù)式有意義，實(shí)數(shù)x應(yīng)滿足條件x2-4x-1>0,|x+2|-4?0,解得x>l且x?2,故選D.5、C解析：第四個(gè)式子是5X用n(n>2)的等,2424式表達(dá)你所觀察得到的規(guī)律應(yīng)是n、戶=Jn+4.故選C.,n2-11n2-16、2解析：根據(jù)題意，得戶一尸2，即4x+3y=2x-y+6!"一尸2'f,由X2+，解得,x=1，；把代入，解得,y、x+2y=3,=1,：x+y=2;故答案是2.7、士而解析：根據(jù)題意,x1A0且1xAO,解得x>l且xWl,所以x=1，所以y=-4,又,24nn0,n+/24n是整數(shù)，.n的最小值是6,/.xy=14=1

13、,正整數(shù)n的最小值與xy的平方根的積為±76,故填：士尼.8、6或7解析：取.2.5+2.75=2、625，由2、6252=6、890625c72得2、625C萬2、75;所以后十分位上的數(shù)字可能是6或7.9、12蟲解析：由小+4十一4=卜4+4n；12n2+y+16661n(n2)n2(n2)21Jl(n+1)2+32=1(n2+2n+4)=1+4=1n(n2)n(n2)n(n2)），所以S=+"噎+J/嗜=10+2(1-1+1+)1012=10+2(1+1工一工)21112=1243.6610、解：根據(jù)二次根式有意義的條件可得x24>0,4x2>0,解得:x=±2,則y=1,當(dāng)x=2時(shí),2x+y=2X2+1=5，當(dāng)x=2時(shí),2x+y=2X(2)+1=3,2x+y的值為5或一3.11、解：a5A0,且102an0,/.a=5,.、：b+|c2-49|=0,則3a-b.=0,c2-49=0,即15b=0,c249=0,