上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)——圓與相似的綜合

1、上海中考數(shù)學(xué)壓軸題專題復(fù)習(xí)一一圓與相似的綜合一、相似1,已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2(a>0)相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸正半軸相交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AD，x軸，垂足為D.味F(1)若/AOB=60,AB/x軸，AB=2,求a的值；(2)若/AOB=90，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,AC=4BC求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)延長(zhǎng)AD、BO相交于點(diǎn)E,求證：DE=CO，OA=OB, /AOB=60； .AOB是等邊三角形， .AB=2,AB±OC, .AC=BC=1,/BOC=30,°jl.OC=IG,.A(-1,0),把A(-1,N3)代入拋物線y=ax2(a&

2、gt;0)中得：a=里;(2)解：如圖2,過(guò)B作BEXx軸于E,過(guò)A作AGBE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交y軸于F,.CF/BG,.笈布,.AC=4BC,Af=4,.AF=4FG,.A的橫坐標(biāo)為B的橫坐標(biāo)為.A(-4,16a)/AOB=90；-4,1,B(1,a), /AOD+/BOE=90； /AOD+ZDAO=90；/BOE=/DAO, /ADO=ZOEB=90； .ADOAOEB,由4/%16a2=4,1a=±-,.a>0,B(1,工)；(3)解：如圖3,設(shè)AC=nBC由(2)同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍,則設(shè)B(m,amCO=*""=am2n,

3、.DE=CQ【解析】【分析】(1)拋物線y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)AB/x軸，得出A與B是對(duì)稱點(diǎn)，可知AC=BC=1由/AOB=60,可證得4AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出OC的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。(2)過(guò)B作BEXx軸于E,過(guò)A作AG±BE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交y軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例證出AF=4FG根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,則A(-16a),B(1,a),再根據(jù)已知證明/BOE=/DAO,ZADO=ZOEB,就可證明ADOsoeb,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a的方程求解，再根據(jù)點(diǎn)B在第一象限，),則A-m

4、n,am2n2),1 .AD=am2n2,過(guò)B作BHx軸于F,2 .DE/BF,.,.BOFAEOD,OBOFBbOEODDE,?OB也甌I.宛ntnDE,/1=一麻口，DE=am2n,OB1BE7*11,?1.OC/AE,.,.BCOABAE,確定點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。(3)根據(jù)(2)可知A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B(m,am2),則A(-mn,am2n2),得出AD的長(zhǎng)，再證明BOQEOD,BC8BAE,得對(duì)應(yīng)邊成比例，證得CO=am2n,就可證得DE=CO2.已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)0.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm

5、/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).連接PO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)Q作QF/AC,交BD于點(diǎn)F.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0vtv6),解答下列問(wèn)題：atpnBEC(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AOP是等腰三角形？(2)設(shè)五邊形OECQF的面積為S(cm2),試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t,使S五邊形S五邊形oecqeSaacd=9:16?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解：二

6、.在矩形ABCD中，Ab=6cm,BC=8cm,.AC=10,當(dāng)AP=PO=t,如圖1,過(guò)P作PMXAO,.AM=AO=-,/PMA=ZADC=90；/PAM=ZCAD,.APMAADC,.AP=t=當(dāng)AP=AO=t=5,25當(dāng)t為*或5時(shí)，4AOP是等腰三角形(2)解：作EHLAC于H,QMLAC于M,DNLAC于N,交QF于G,Az±_£J圉2E在APO與ACEO中， /PAO=ZECOAO=OC,/AOP=/COE.AOPACOE, .CE=AP=t .CEHAABC,囤.區(qū)24 .DN=4r=51.QM/DN,.CQMACDN,.QM=S,2424-4t4dDG=$

7、5=亍.FQ/AC,.DFQADOC,；3I524-4tPX5X-f+-6-/+5)r-S五邊形OECQf=SOEC+S四邊形OCQf=匕門,口.S與t的函數(shù)關(guān)系式為(3)解：存在，/，3-tr+-t寺12GjfI.Saacd=2X6X8=24S五邊形OECQFSACD=(舍去)，):24=9:16,解得t=2,t=0,(不合題意,gt=I;時(shí)，S五邊形S五邊形oecqeSaacd=9:16(4)解：如圖3,過(guò)D作DMAC于M,DNAC于N,圖3/POD=/COD,24.DM=DN=5,L/.ON=OM=、加？一威=,.OP?DM=3PD,55T.OP=b,185'rPM=,.時(shí)二，重

8、：兇,門1852242(8-t)-(-,t)*)，甘5,解得：t1環(huán)合題意，舍去)，t2.88當(dāng)t=2.88時(shí)，OD平分/COP.【解析】【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得：AB=CD=6BC=AD=8,所以AC=10;而P、Q兩點(diǎn)分別從A點(diǎn)和D點(diǎn)同時(shí)出發(fā)且以相同的速度為1cm/s運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P不可能運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D;所以4AOP是等腰三角形分兩種情況討論：當(dāng)AP=PO=t時(shí)，過(guò)P作PMLAO,易證CQMsCDN,可得比例式即可求解；當(dāng)AP=AO=t=5時(shí)，4AOP是等腰三角形；(2)作EHI±AC于H,QMAC于M,DNAC于N,交QF于G,可將五邊

9、形轉(zhuǎn)化成一個(gè)三角形和一個(gè)直角梯形，則五邊形OECQF的面積S=三角形OCE的面積+直角梯形OCQF的面積；1(3)因?yàn)槿切蜛CD的面積=_AD*CD=24,再將(2)中的結(jié)論代入已知條件S五邊形S五邊形OECQFSacc=9:16中，可得關(guān)于t的方程，若有解且符合題意，則存在，反之，不存在；(4)假設(shè)存在。由題意，過(guò)D作DM，AC于M,DNAC于N,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得/7DM=DN,由面積法可得；三角形ODP的面積=-OP*DM=：PD上CD=3PD,所以可得OP?DM=3PD,則用含t的代數(shù)式可將OP和PM表示出來(lái)，在直角三角形PDM中，用勾股定理可得關(guān)于t的方程，解這個(gè)方程即可求解。

10、3.如圖1,一副直角三角板滿足AB=BC,AC=DE,/ABC=/DEF=90°,/EDF=30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P,邊EF與邊BC于點(diǎn)Qaa(1)【探究一】在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，CE1-1如圖2,當(dāng)EA時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.CE=2 如圖3,當(dāng)EA時(shí)eP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？，并說(shuō)明理由.CEffi 根據(jù)你對(duì)(1)、(2)的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為，其中皿的取值范圍是(直接寫出結(jié)論，不必證明)CE-2(2)【探究二】若好且AC

11、=30cm,連續(xù)PQ,設(shè)EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)4EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？不出相應(yīng)S值的取彳1范圍.CE=【答案】(1)解：當(dāng)EA時(shí)，PE=QE即E為AC中點(diǎn)，理由如下：連接BE,3 ABC是等腰直角三角形，BE=CE/PBE=ZC=45；又/PEB吆BEQ=90,/CEQ吆BEQ=90,/PEB=/CEQ,在PEB和4QEC中，ZPEB=BE=CE/晦«,4 .PEBAQEC(ASA),5 .PE=QE.;EP:EQ=EA:EC=1：2理由如下：作EMLAB,EN

12、7;BC,/EMP=ZENQ=90；又/PEN+ZMEP=ZPEN+/NEQ=90,/MEP=ZNEQ,6 .MEPANEQ,7 .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C,8 .MEAANEC,9 .ME:NE=EA:ECCE_=2EA10 .EP:EQ=EA:EC=1:2.;EP：EQ=1:m；0Vme2+.(2)解：存在.由【探究一】中(2)知當(dāng)M時(shí)，EP:EQ=EAEC=1:2;/設(shè)EQ=x,則EP=-x,.AB=BC=15羽,CE -EA,AC=30,.AE=10,CE=20在等腰RtCNE中， .NE=10當(dāng)x=10U，：時(shí)，Smin=50（cm2）；當(dāng)EQ=

13、EF時(shí)，S取得最大， AC=DE=30,/DEF=90,°/EDF=30,°在RtDEF中，身1. tan30=°,EF=30X'=10,此時(shí)4EPQ面積最大，.Smax=75（cm2）；由（1）知CN=NE=5-,BC=15k;-,.BN=10五,在RtBNE中，BE=5限, 當(dāng)x=BE=5寸質(zhì)時(shí)，S=62.5cm2, 當(dāng)50<S<625這樣的三角形有2個(gè)；當(dāng)S=50或62.5<SW75寸，這樣的三角形有1個(gè).【解析】【解答】（1）作EM,AB,ENXBC, /B=/PEQ=90,° /EPB吆EQB=180,°又/

14、EPB吆EPM=180,/EQB=ZEPM, .MEPANEQ, .EP:EQ=ME:NE,又/EMA=/ENC=90,/A=/C, .MEAANEC, .ME:NE=EA:ECCE, .EP:EQ=EA:EC=1：mEP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為EP:EQ=1:m,，0<mw2皿（當(dāng)m>2+同時(shí)，EF與BC不會(huì)相交）.【分析】【探究一】根據(jù)已知條件得E為AC中點(diǎn)，連接BE,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可BE=CE/PBE土C=45,由同角的余角相等得/PEB=/CEQ,由全等三角形的判定ASA可得PEg4QEC,再由全等三角形的性質(zhì)得PE=QE.作EMAB,EN±BC,由相似

15、三角形的判定分別證MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性質(zhì)得EP:EQ=ME:NE=EA:EC從而求得答案.作EMAB,EN±BC,由相似三角形的判定分別證MEPsNEQ,MEAsNEC,再由相似三角形的性質(zhì)得EP:EQ=ME:NE=EA:EC從而求得答案.I【探究二】設(shè)EQ=x,根據(jù)【探究一】(2)中的結(jié)論可知?jiǎng)tEP=jx,根據(jù)三角形面積公式得出S的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)當(dāng)EQ,BC時(shí)，EQ與EN重合時(shí)，面積取最?。划?dāng)EQ=EF時(shí)，S取得最大；代入數(shù)值計(jì)算即可得出答案.根據(jù)(1)中數(shù)據(jù)求得當(dāng)EQ與BE重合時(shí)，4EPQ的面積，再來(lái)分情況討論即可.135y=a(x-)2B(-2

16、)4.已知頂點(diǎn)為M拋物線-經(jīng)過(guò)點(diǎn)/，點(diǎn)/.(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點(diǎn)M,y軸相交于點(diǎn)E,拋物線與y軸相交于點(diǎn)F,在直線AB上有一點(diǎn)P,若/OPM=/MAF,求APOE的面積；圖1(3)如圖2,點(diǎn)Q是折線A-B-C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QN/y軸，過(guò)點(diǎn)E作EN/x軸，直線QN與直線EN相交于點(diǎn)N,連接QE,將QEN沿QE翻折得到4QEN1,若點(diǎn)Ni落在x軸上，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo).E(0,-1)，F(xiàn)(0,-)，M(-,0)，解得：a=1,(2)解：設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得:直線AB的解析式為：y=-2x-1,/OPM=ZMAF,當(dāng)OP/A

17、F時(shí)，AOPEAFAE3【答案】(1)解：把點(diǎn)/代入.OE=1,FE=&tt,-2t-1)拋物線的解析式為:解得:.OP=設(shè)點(diǎn)P.OP=化簡(jiǎn)得閾FA=(15t+2)(3t+2)=0,i1二1解得"J,SaopE=-OE/,2121當(dāng)t=-/3時(shí)，Saope=EX1Y=15,綜上，APOE的面積為心或J.(3)Q(-，泛).【解析】【解答】(3)解：由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設(shè)Q(m,-2m-1)N(n,0),1. N(m,-1)QEN沿QE翻折得到QEN.NNi中點(diǎn)坐標(biāo)為(？，2),EN=ENi,.NNi中點(diǎn)一定在直線AB上,Ni(-2-m

18、,0),.EN2=ENi2,1m2=(-工-m)2+1,解得：m=-,.Q(，【分析】(1)用待定系數(shù)法將點(diǎn)B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可得出b的二兀一次方程(2)設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b,代入點(diǎn)A、B的坐標(biāo)得一個(gè)關(guān)于k和組，解之即可得直線AB解析式，根據(jù)題意得E(0,-1),F(0,-J)據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得OP=JFA=1一'，設(shè)點(diǎn)P(t,-2t-1),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可求得t值，再由三角形面積公式POE的面積.(3)由(2)知直線AB的解析式為：y=-2x-1,E(0,-1),設(shè)Q(m,-2m-1),Ni(n,卜一刃0),從而得N(m,-1),根據(jù)翻折的性質(zhì)知

19、NNi中點(diǎn)坐標(biāo)為(二，2)且在直處件"-日-日"3線AB上，將此中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB斛析式可得n=-=-m,即Ni(-m,0),再根據(jù)翻折的性質(zhì)和兩點(diǎn)間的距離公式得m2=(-1-m)2+1,解之即可得Q點(diǎn)坐標(biāo).5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,點(diǎn)P是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DP(1)若將4DAP沿DP折疊，點(diǎn)A落在矩形的對(duì)角線上點(diǎn)A'處，試求AP的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻，過(guò)點(diǎn)P作直線PE交BC于點(diǎn)E,將DAP與PBE分另I沿DP與PE折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別落在點(diǎn)A,B'處，若P,A',B'三點(diǎn)恰好在同一直線上，且AR'

20、2,試求此時(shí)AP的長(zhǎng)；(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的中點(diǎn)處時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線PG交BC于點(diǎn)G,將4DAP與4PBG分別沿DP與PG折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合于點(diǎn)F處，連結(jié)CF,請(qǐng)求出CF的長(zhǎng).【答案】(1)解：當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP=PA'=x,Si在RtADB中，AB=4,AD=3,.BD=、聲*/=5,.AB=DA'=3,BA=2,3在RtBPA中，(4-x)2=x2+22,解得x=一iJ.AP=.當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí),由翻折性質(zhì)可知：PD±AC,則有DA'ABC,|ADABAD*BC1yM3也二.A=B(,AP=/1'=/=，.AP的長(zhǎng)為泛或&

21、#39;J(2)解：如圖3中，設(shè)AP=x,則PB=4-x,圖3根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-'A=B2,.4xx=2,x=1,PA=1;如圖4中，x,四4x,設(shè)AP=x,貝UPB=4-x,根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：PA=PA'=x,PB=PB=4-A'君2,.x-(4x)=2,.x=3,PA=3;綜上所述，PA的長(zhǎng)為1或3（3）解:如圖5中，作FHI±CD由H.由翻折的性質(zhì)可知；AD=DF=3.BG=BF,G、F、D共線，設(shè)BG=FG=x,在RtAGCD中，（x+3）2=42+（3-x）2,解得x=J,DG=DF+FG=3,CG=BC

22、-BG=,FH36361'J,CH=413=/.FH/CG,.（石15.FH=DH=I152*fJ在RtCFH中，CF=J1313【解析】【分析】（1）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上時(shí)，設(shè)AP=PA=x構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；當(dāng)點(diǎn)A落在對(duì)角線AC上時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題；（2）分兩種情形分別求解即可解決問(wèn)題；（3）如圖5中，作FHI±CD由H.想辦法求出FH、CH即可解決問(wèn)題6.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx+5與x軸交于A,點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作CD±y軸交拋物線于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作B已x軸，交DC延

23、長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD,交y軸于點(diǎn)F,直線BD的解析式為y=-x+2.（1）寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；拋物線的解析式.（2）如圖2,點(diǎn)P在線段EB上從點(diǎn)E向點(diǎn)B以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，4PQB為直角三角形?(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)B的直線BG交拋物線于點(diǎn)G,且tan/ABG=|j,點(diǎn)M為直線BG上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MH±BG,垂足為H,若HF=MF,請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)解：將點(diǎn)D(-3,5)點(diǎn)B(2,0)代入y=ax2+bx+5y=-Jx2-x+5

24、I3b=解得2，拋物線解析式為:(2)解：由已知/QBE=45,PE=t,PB=5-t,QB=7二t當(dāng)/QPB=90時(shí)，4PaB為直角三角形./QBE=45°.QB=.PB%-t=-(5-t)J解得t=上當(dāng)/PQB=90時(shí)，APQB為直角三角形.BPQsBDEBQ?BD=BP?BE5(5-t)=t?5里5一3一一時(shí)，APQB為直角三角形(3)點(diǎn)M坐標(biāo)為(-4,3)或(0,5).【解析】【解答】(3)由已知tan/ABG=,且直線GB過(guò)B點(diǎn)/則直線GB解析式為：y=-x-1延長(zhǎng)MF交直線BG于點(diǎn)K佗1.HF=MF/FMH=ZFHM.MHBG時(shí)/FMH+ZMKH=90°/FHK

25、+ZFHM=90°/FKH=ZFHKHF=KF，F(xiàn)為MK中點(diǎn)口s設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（x,-x2-上x+5）,.F（0,2），點(diǎn)K坐標(biāo)為（-x,一x2+一x-1）把K點(diǎn)坐標(biāo)代入y=?x-1解得xi=0,x2=-4,把x=0代入y=-x2,x+5,解得y=5,把x=-4代入y=-x2-x+5解得y=3則點(diǎn)M坐標(biāo)為（-4,3）或（0,5）【分析】（1）由待定系數(shù)法求點(diǎn)坐標(biāo)及函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)題意，4DEB為等腰直角三角形，通過(guò)分類討論/PQB=90或/QPB=90的情況求出滿足條件t值；（3）延長(zhǎng)MF交GB于K,由/MHK=90,HF=MF可推得HF=FK即F為MK中點(diǎn)，設(shè)出M坐標(biāo)，利用中點(diǎn)

26、坐標(biāo)性質(zhì)，表示K點(diǎn)坐標(biāo)，代入GB解析式，可求得點(diǎn)M坐標(biāo).7.如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB=5cm,BC=6cm,點(diǎn)E.F.G分別從A.B.C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s,點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s,當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，4EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是AEB'設(shè)點(diǎn)E.F.G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）.(1)當(dāng)t等于多少s時(shí)，四邊形EBFB為正方形;(2)若以點(diǎn)E、BF為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,C,G為頂點(diǎn)的三角形相似，求(3)是否存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B&

27、#39;與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在,t的值；請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)解：若四邊形EBFB為正方形，貝UBE=BF,BE=5-t,BF=3t,即：5t=3t,解得t=1.25;故答案為：1.25(2)解：分兩種情況，討論如下：若EBM"CG所毋5-/JZ|則有元一花,即6子一L5t,解得：t=1.4;若EBFGCF,陽(yáng)勢(shì)5-/貴則有花一元，即上5,一6擊,解得：t=-7-F而(不合題意，舍去)或t=-7+IV花.當(dāng)t=1.4s或t=(-7+V應(yīng))s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F,點(diǎn)的三角形相似.C,G為頂(3)解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B'與點(diǎn)O重合.

28、如圖，過(guò)點(diǎn)。作OMLBC于點(diǎn)M,則在RtOFM中，OF=BF=3t,FM=二BC-BF=3-3t,OM=2.5,由勾股定理得：OM2+FM2=OF2,即：2.52+(33t)2=(3t)261解得：t=:上；過(guò)點(diǎn)。作ON，AB于點(diǎn)N,則在RtOEN中，OE=BE=5-t,EN=BEBN=5t2.5=2.5-t,ON=3,由勾股定理得：ON2+EN2=OE2,即：32+(2.5t)2=(5t)2兆解得：t=互.613g.三m,，不存在實(shí)數(shù)t,使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合【解析】【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF,列一元一次方程求解即可；(2)4EBF與4FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐

29、一分析計(jì)算；(3)本問(wèn)為存在型問(wèn)題.假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在8.已知在ABC中，AB=AC,AD,BC,垂足為點(diǎn)D,以AD為對(duì)角線作正方形AEDF,DE交AB于點(diǎn)M,DF交AC于點(diǎn)N,連結(jié)EF,EF分別交AB、AD、AC于點(diǎn)G、點(diǎn)。、點(diǎn)H.(1)求證：EG=HF;四(2)當(dāng)/BAC=60時(shí)，求NC的值；HF三(3)設(shè)HE“AAEH和四邊形EDNH的面積分別為S和金,求號(hào)的最大值.【答案】(1)解：在正方形AEDF中，OE=OFEF±AD, .ADXBC, .EF/BC,，/AGH=/B,/AHG=/C,而AB=AC,/B=/C,/AGH=Z

30、AHG,.AG=AH, .OG=OH, .OE-OG=OF-OH.EG=FH(2)解：當(dāng)/BAC=60時(shí)，AABC為正三角形,ADXEF,ZOAH=30,設(shè)OH=a,則OA=OE=OF='Ja,EH=(d士J)a,HF=(-j|)a, .AE/FN,.AEI-MANFH,AHEH.5T.NH-FH-/, .EF/BC,.AOHAADC,OHOA/.DCADN, CD=2a,易證HNFsCND,(3)解：設(shè)EH=2m,貝UFH=2km,OA=-EF=(k+1)m,Si=(k+1)m2,由(2)得，AAEHANFH,SAHNF=k2Si=k2(k+1)m2,而Sedf=OA2=(k+1)2

31、m2,(k+1)m2,S2=S1EDF-Sahnf=(k+1)2m2-k2(k+1)m2=(-k2+k+1)3'=-l+k+1,L三g當(dāng)k=3時(shí),S/最大=?.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)易證AAGH為等腰三角形，通過(guò)主線合一”可得OG=OH,即可得證；（2）由等邊三角形的性質(zhì)可設(shè)OH=a,則OA=OE=OF=、Ga,則EH=（P4/）a,HF=（以1）a,根據(jù)相似三角形判定易證AEHsNFH,AOHsADC,AHNFACND,然后通過(guò)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比整理即可得解；(3)設(shè)EH=2m,則FH=2km,0A=_EF=(k+1)m,分別得到S、S&#

32、187;AHNF和S>AEDF關(guān)于k,m的表達(dá)式，再根據(jù)及=SEDF-S»AHNF得到發(fā)的表達(dá)式，進(jìn)而得到號(hào),關(guān)于k的表達(dá)式，通過(guò)配方法即可得解、圓的綜合9.如圖，在銳角4ABC中，AC是最短邊.以AC為直徑的O0,交BC于D,過(guò)O作0E/(1)BC,交0D于E,連接AD>AE、CE求證：/ACE之DCE;若/B=45,/BAE=15,求/EA0的度數(shù);(2)(3)4也3【解析】【分析】(1)易證/0EG/0CE,/0EG/ECQ從而可知Z0CE=ZECD,即/ACE=/DCE；(2)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G,易證ZAGC=ZB+ZBAG=60°,由于0E/BC,所

33、以ZAE0=ZAGC=60:所以ZEA0=ZAE0=60-SVC0E1SVCDF2(3)易證,由于,所以SVCAE2SVC0E3SVCD=1,由圓周角定理可知SVCAE3/AEO/FDO90；從而可證明CDQ4CEA【詳解】(1)0C=0E,Z0EC=Z0CE利用三角形相似的性質(zhì)即可求出答案.0E/BC,./OEG/ECD，/0CE=/ECD(2)延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G.即/ACDCE/AGC是4ABG的外角，ZAGC=ZB+ZBAG=60:.0E/BC,/AE0=ZAGC=60:1-0A=0E,/EA0=ZAE0=60SVC0E1(3):。是AC中點(diǎn)，-SVCAE2SVCDFSVCOE【點(diǎn)睛】

34、SVCDF1=SVCAE3.AC是直徑，/AEO/FDO90:./AC曰/FCD,ACDFACEACF=23,.CF=3CA=43.CA333本題考查了圓的綜合問(wèn)題，涉及平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).10.如圖，在VABC中，ACB90°，BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DEAD交AB于點(diǎn)E,以AE為直徑作eO.1求證：BC是eO的切線；2若AC3,BC4,求tanEDB的值.【解析】【分析】1連接OD,如圖，先證明OD/AC,再利用ACBC得至|JODBC,然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)

35、論；2先利用勾股定理計(jì)算出AB5,設(shè)eO的半徑為r,則OAODr,OB5r,15再證明VBDOsVBCA,利用相似比得到r：35r：5,解得r一，接著利用勾8531股定理計(jì)算BD金，則CD-,利用正切定理得tan1-,然后證明【詳解】1證明：連接OD,如圖,QAD平分BAC,12,QOAOD,23,13,OD/AC,QACBC,ODBC,BC是eO的切線;2解：在RtVACB中，ABJ32425,設(shè)eO的半徑為r,則OAODQOD/AC,VBDOsVBCA,OD:ACBO：ba,15即r：35r：5,解得r一8OD15OB258，在rwodb中，bdJob2OD25,2CDBCBD-,2在Rt

36、VACD中，工彳tan13CD31,AC32QAE為直徑，ADE900，EDBADC90°，Q1ADC90°，1tanEDB2【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.判定切線時(shí)連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或過(guò)圓心作這條直線的垂線”；也考查了圓周角定理和解直角三角形.11.如圖，在。0中，直徑AB，弦CD于點(diǎn)E,連接AC,BC,點(diǎn)F是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且/FCA=/B.(1)求證：CF是。的切線;(2)若AE=4,tanZACD=1,求AB和FC的長(zhǎng).40【答案】(1)見解析；(2)AB=20,CF一3

37、【解析】分析：(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理證明OC，CF即可；(2)通過(guò)正切值和圓周角定理，以及/FCA=/B求出CEBE的長(zhǎng)，即可得到AB長(zhǎng)，然后根據(jù)直徑和半徑的關(guān)系求出OE的長(zhǎng)，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似(或射影定理)證明OCaCFE,即可根據(jù)相似三角形的應(yīng)線段成比例求解詳解：證明：連結(jié)OC.AB是。O的直徑/ACB=90°/B+/BAC=90°-.OA=OCZBAC=ZOCA/B=/FCAZFCA+ZOCA=90即/OCF=90.C在。上.CF是。的切線c_AE1(2) /AE=4,tan/ACDEC2.CE=8 直徑AB,弦CD于點(diǎn)EAdAc /FCA=/B

38、/B=ZACD=ZFCA /EOC4ECACE1 .tanZB=tanZACD=BE2.BE=16.AB=20，OE=AB+2-AE=6 .CE±AB /CEO4FCE=90°.-.OCEACFEOCOECFCE10=6CF-840CF3點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合知識(shí)，關(guān)鍵是熟知圓周角定理和切線的判定與性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)求解，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想是解題的突破點(diǎn)，有一定的難度，是一道綜合性的題目12.如圖AB是4ABC的外接圓。的直徑，過(guò)點(diǎn)C作。O的切線CM,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D,使CD=BC連接AD交CM于點(diǎn)E,若。OD半徑為3,AE=5,(

39、1)求證：CMXAD;(2)求線段CE的長(zhǎng).6【答案】（1）見解析；（2）J5【解析】分析：（1）連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理證得AC垂直平分BD,然后根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)證得結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可.CM切。O于點(diǎn)C,/OCE=90,°.AB是。的直徑，/ACB=90,° .CD=BC.AC垂直平分BD,.AB=AD,/B=/D/B=/OCB/D=ZOCB .OC/AD /CED土OCE=90° CMXAD.(2)OA=OB,BC=CD.OC=1AD2.AD=6DE=AD-AE=1MffiACDE-AACECEDEAECE.C

40、E2=AEXDE.CE=.5點(diǎn)睛：此題主要考查了切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，靈活判斷邊角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵，是中檔題.13.在eO中，AB為直徑，C為eO上一點(diǎn).圖辭(I)如圖，過(guò)點(diǎn)C作eO的切線，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若CAB28,求P的大小；(n)如圖，D為弧AC的中點(diǎn)，連接OD交AC于點(diǎn)E,連接DC并延長(zhǎng)，與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P,若CAB12,求P的大小.【答案】(1)ZP=34°；(2)ZP=27?！窘馕觥俊痉治觥?1)首先連接OC,由OA=OC,即可求得/A的度數(shù)，然后由圓周角定理，求得/POC的度數(shù)，繼而求得答案；(2)因?yàn)镈為弧AC的中點(diǎn)，OD為半

41、徑，所以O(shè)DLAC,繼而求得答案.【詳解】(1)連接OC,.OA=OC,/A=/OCA=28；/POC=56°,.CP是。O的切線，/OCP=90°,/P=34°；(2)為弧AC的中點(diǎn)，OD為半徑， ODXAC, /CAB=12；/AOE=78；/DCA=39； /P=/DCA/CAB,/P=27:圖委【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.14.3一.如圖，4ABC中，AC=BC=10,cosC=，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，5以PA長(zhǎng)為半徑的OP與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)D作DE，CB于點(diǎn)E.(1)當(dāng)

42、。P與邊BC相切時(shí)，求OP的半徑.(2)連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.(3)在(2)的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的OQ與。P相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng).【答案】(1)R40;(2)y5xVx28X80;(3)501075.93x20【解析】【分析】.3(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP±BC,cosC=一，則54 HPR4sinC=,sinC=一,即可求斛；5 CP10R5EB(2)首先證明PD/BE,貝U-FPF42.5x收8x80y,即可求解;(3)證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=H,圓的半徑為R,4，5,即可求解.【詳解】(1)設(shè)。P與邊BC相切的切點(diǎn)為PD3一4連接HP,則HP±BC,cosC=-,則sinC=,55HPR440sinC=，斛仔.R,CP10R59.3(2)在4ABC中，AC=BC=10,cosC=-,5設(shè)AP=PD=x,/A=/ABC=3,過(guò)點(diǎn)B作BH,AC,則BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4J5,貝U:tan/CAB=2,BP="82+(x4)2=xx28x80，2.5.尸2.5DA=x,貝UBD=4V5-x,55如下圖所