2177數(shù)值分析課件

1、第一章 緒論 運用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究或工程技術(shù)問題，一般按運用數(shù)學(xué)方法解決科學(xué)研究或工程技術(shù)問題，一般按如下途徑進(jìn)行：如下途徑進(jìn)行：實際問題實際問題模型設(shè)計模型設(shè)計算法設(shè)計算法設(shè)計程序設(shè)計程序設(shè)計上機計算上機計算問題的解問題的解 其中其中算法設(shè)計算法設(shè)計是數(shù)值分析課程的主要內(nèi)容是數(shù)值分析課程的主要內(nèi)容. . 結(jié)束 數(shù)值分析課程研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法數(shù)值分析課程研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法. .包含包含了了數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)( (線性方程組的解法、非線性方程的解法、矩陣求線性方程組的解法、非線性方程的解法、矩陣求逆、矩陣特征值計算等逆、矩陣特征值計算等) )、數(shù)值逼近數(shù)值逼近、數(shù)值

2、微分與數(shù)值積分、數(shù)值微分與數(shù)值積分、常微分方程及偏微分方程常微分方程及偏微分方程的數(shù)值解法等的數(shù)值解法等. .它的基本理論和研究它的基本理論和研究方法建立在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，研究對象是數(shù)學(xué)問題，因此方法建立在數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，研究對象是數(shù)學(xué)問題，因此它是數(shù)學(xué)的分支之一它是數(shù)學(xué)的分支之一. .1 但它又與計算機科學(xué)有密切的關(guān)系但它又與計算機科學(xué)有密切的關(guān)系. .我們在考慮算法時我們在考慮算法時，往往要同時考慮計算機的特性，如計算速度、存貯量、，往往要同時考慮計算機的特性，如計算速度、存貯量、字長等技術(shù)指標(biāo)，考慮程序設(shè)計時的可行性和復(fù)雜性字長等技術(shù)指標(biāo)，考慮程序設(shè)計時的可行性和復(fù)雜性. .如果如果

3、我們具備了一定的計算機基礎(chǔ)知識和程序設(shè)計方法，學(xué)習(xí)我們具備了一定的計算機基礎(chǔ)知識和程序設(shè)計方法，學(xué)習(xí)數(shù)值分析的理論和方法就會更深刻、更實際，選擇或設(shè)計數(shù)值分析的理論和方法就會更深刻、更實際，選擇或設(shè)計的算法也會更合理、更實用的算法也會更合理、更實用. . 在科學(xué)研究、工程實踐和經(jīng)濟管理等工作中，存在大在科學(xué)研究、工程實踐和經(jīng)濟管理等工作中，存在大量的科學(xué)計算、數(shù)據(jù)處理等問題量的科學(xué)計算、數(shù)據(jù)處理等問題. .應(yīng)用計算機解決數(shù)值計算應(yīng)用計算機解決數(shù)值計算問題是理工科大學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的基本能力問題是理工科大學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的基本能力. 1 1. .1 1 算法算法解決某類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法稱為解決某類數(shù)學(xué)

4、問題的數(shù)值方法稱為. .為使算法能在計為使算法能在計算機上實現(xiàn)，它必須將一個數(shù)學(xué)問題分解為有限次的算機上實現(xiàn)，它必須將一個數(shù)學(xué)問題分解為有限次的+ +、- -、運算和一些簡單的基本函數(shù)運算運算和一些簡單的基本函數(shù)運算. .結(jié)束21 1. .1 1. .1 1 算法的表述形式算法的表述形式 算法的表述形式是多種多樣的算法的表述形式是多種多樣的. . 1 1用數(shù)學(xué)公式和文字說明描述用數(shù)學(xué)公式和文字說明描述，這種方式符合人們的，這種方式符合人們的理解習(xí)慣，和算法的推證相銜接，易于學(xué)習(xí)接受，但離上理解習(xí)慣，和算法的推證相銜接，易于學(xué)習(xí)接受，但離上機應(yīng)用距離較大機應(yīng)用距離較大. . 2 2用框圖描述用框

5、圖描述，這種方式描述計算過程流向清楚，易，這種方式描述計算過程流向清楚，易于編制程序，但對初學(xué)者有一個習(xí)慣過程于編制程序，但對初學(xué)者有一個習(xí)慣過程. .此外框圖描述格此外框圖描述格式不很統(tǒng)一，詳略難以掌握式不很統(tǒng)一，詳略難以掌握. . 4 4算法程序算法程序，即，即用計算機語言描述用計算機語言描述的算法，它是面的算法，它是面對計算機的算法。我們以后討論的算法，都有現(xiàn)成的程序?qū)τ嬎銠C的算法。我們以后討論的算法，都有現(xiàn)成的程序文本和軟件可資利用文本和軟件可資利用. . 但從學(xué)習(xí)算法的角度看，這種描述但從學(xué)習(xí)算法的角度看，這種描述方式并不有利方式并不有利. .結(jié)束 3 3算法描述語言算法描述語言，它

6、是表述算法的一種通用語言。有，它是表述算法的一種通用語言。有特定的表述程序和語句?？梢院苋菀椎剞D(zhuǎn)化為某種計算機特定的表述程序和語句。可以很容易地轉(zhuǎn)化為某種計算機語言，同時也具有一定的可讀性。語言，同時也具有一定的可讀性。3 本教材將采用前三種方式表述各種算法本教材將采用前三種方式表述各種算法. .1 1. .1 1.2 .2 算法的基本特點算法的基本特點 1算法常表現(xiàn)為一個無窮過程的算法常表現(xiàn)為一個無窮過程的截斷截斷： 例例1 1 計算計算 sin sin x的值，的值，40,x 根據(jù)根據(jù)sinsin x 的無窮級數(shù)的無窮級數(shù))!12() 1(! 7! 5! 3sin12753nxxxxxxn

7、n( 1.1) 這是一個無窮級數(shù)，我們只能在適當(dāng)?shù)牡胤竭@是一個無窮級數(shù)，我們只能在適當(dāng)?shù)牡胤健敖財嘟財唷?，使計算量不太大，而精度又能滿足要求，使計算量不太大，而精度又能滿足要求. . 如計算如計算 sin 0.5sin 0.5，取，取n=3n=3479625.0!75.0!55.0!35.05.05.0sin753結(jié)束4 據(jù)泰勒余項公式，它的誤差應(yīng)為據(jù)泰勒余項公式，它的誤差應(yīng)為! 9) 1(99R4, 0( 1.2)791013.3362880)4/(R可見結(jié)果是相當(dāng)精確的可見結(jié)果是相當(dāng)精確的. .實際上結(jié)果的六位數(shù)字都是正確的實際上結(jié)果的六位數(shù)字都是正確的. 2算法常表現(xiàn)為一個連續(xù)過程的算法

8、常表現(xiàn)為一個連續(xù)過程的離散化離散化 例例2 2 計算積分值計算積分值. .1011dxxI將將0 0，1 1分為分為4 4等分，分別計算等分，分別計算4 4個小曲邊梯形的面積的個小曲邊梯形的面積的近似值，然后加起來作為積分的近似值近似值，然后加起來作為積分的近似值( (如圖如圖1-1).1-1).記被積記被積函數(shù)為函數(shù)為 f(x) ，即，即結(jié)束5xxf11)(011yxxy11圖1-1計算有：計算有：I0.697 024，與精，與精確值確值0.693 147比較，可知結(jié)比較，可知結(jié)果不夠精確，如進(jìn)一步細(xì)分果不夠精確，如進(jìn)一步細(xì)分區(qū)區(qū)間，精度可以提高間，精度可以提高.3 , 2 , 1 , 0,

9、41iihxhihxfxfTiii2)()(1 3 3算法常表現(xiàn)為算法常表現(xiàn)為“迭代迭代”形式形式. .迭代是指某一簡單算法迭代是指某一簡單算法的多次重復(fù)，后一次使用前一次的結(jié)果的多次重復(fù)，后一次使用前一次的結(jié)果. .這種形式易于在計這種形式易于在計算程序中實現(xiàn)，在程序中表現(xiàn)為算程序中實現(xiàn)，在程序中表現(xiàn)為“循環(huán)循環(huán)”過程過程. . 例例3 3 多項式求值多項式求值. . 結(jié)束6nnnxaxaxaaxP2210)(30iiTI 用用tk表示表示xk，uk表示表示(1.4)(1.4)式前式前k+1項之和項之和. .作為初值令作為初值令： (1.5)0001aut 對對k=1,2,n，反復(fù)執(zhí)行：，反

10、復(fù)執(zhí)行： (1.6)kkkkkktauuxtt11 顯然顯然Pn(x)=un，而，而(1.6)(1.6)式是一種簡單算法的多次循環(huán)式是一種簡單算法的多次循環(huán). . 令令 k=1,2, ,n (1.7)knkknaxvvav10結(jié)束 對此問題還有一種更好的迭代算法對此問題還有一種更好的迭代算法.7011012312012110111)()()()(axaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxPnnnnnnnnnnnnnnn 顯然顯然Pn(x)=vn . 這兩種算法都是將這兩種算法都是將n次多項式化為次多項式化為n個一次多項式來計算個一次多項式來計算，這種化繁為簡的方法在數(shù)值分析

11、中，這種化繁為簡的方法在數(shù)值分析中經(jīng)常使用經(jīng)常使用. 下面估計一下以上兩種算法的計算量：下面估計一下以上兩種算法的計算量： 第一法：執(zhí)行第一法：執(zhí)行n次次(1.6)(1.6)式，每次式，每次2 2次乘法，一次加法，次乘法，一次加法，共計共計2 2n次乘法，次乘法，n次加法次加法； 第二法：執(zhí)行第二法：執(zhí)行n次次(1.7)(1.7)式，每次式，每次1 1次乘法，一次加法，次乘法，一次加法，共計共計n次乘法，次乘法， n次加法次加法. . 顯然第二種方法運算量小，它是我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶顯然第二種方法運算量小，它是我國宋代數(shù)學(xué)家秦九韶最先提出的，被稱為最先提出的，被稱為“秦九韶算法秦九韶算法”.

12、. 例例4 4 不用開平方計算不用開平方計算 ( (a0)0)的值的值. .a 假定假定x0是是 的一個近似值，的一個近似值，x0 0 0，則，則 也是也是 的的一個近似值，且一個近似值，且x0和和 兩個近似值必有一個大于兩個近似值必有一個大于 ，另，另aaaa0 xa0 xa結(jié)束8a一個小于一個小于 ，可以設(shè)想它們的平均值應(yīng)為，可以設(shè)想它們的平均值應(yīng)為 的更好的平均的更好的平均值，于是設(shè)計一種算法：值，于是設(shè)計一種算法：a9 (k=0,1,2,) (1.8) 如計算如計算 ，取，取x0 =2=2，有，有 (k=0,1,2,)3kkkxaxx211kkkxxx3211計算有：計算有：x0 0=

13、2=2 x1 1=1.75=1.75 x2 2=1.732 142 9=1.732 142 9 x3 3=1.732 050 8=1.732 050 8 可見此法收斂速度很快，只算三次得到可見此法收斂速度很快，只算三次得到8 8位精確數(shù)字位精確數(shù)字. . 迭代法應(yīng)用時要考慮是否收斂、收斂條件及收斂速度等迭代法應(yīng)用時要考慮是否收斂、收斂條件及收斂速度等問題，今后課程將進(jìn)一步討論問題，今后課程將進(jìn)一步討論. .結(jié)束 1.2 誤 差 1.2.1 誤差的來源誤差的來源 在運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的過程中，每一步都可能在運用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的過程中，每一步都可能帶來誤差帶來誤差. 1模型誤差模型誤差

14、 在建立數(shù)學(xué)模型時，往往要忽視很多次在建立數(shù)學(xué)模型時，往往要忽視很多次要因素，把模型要因素，把模型“簡單化簡單化”，“理想化理想化”，這時模型就與真，這時模型就與真實背景有了差距，即帶入了誤差實背景有了差距，即帶入了誤差. . 2測量誤差測量誤差 數(shù)學(xué)模型中的已知參數(shù)，多數(shù)是通過測數(shù)學(xué)模型中的已知參數(shù)，多數(shù)是通過測量得到量得到. .而測量過程受工具、方法、觀察者的主觀因素、不而測量過程受工具、方法、觀察者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機干擾等影響必然帶入誤差可預(yù)料的隨機干擾等影響必然帶入誤差. . 3截斷誤差截斷誤差 數(shù)學(xué)模型常難于直接求解，往往要近似數(shù)學(xué)模型常難于直接求解，往往要近似替代，簡化為易

15、于求解的問題，這種簡化帶入誤差稱為方法替代，簡化為易于求解的問題，這種簡化帶入誤差稱為方法誤差或截斷誤差誤差或截斷誤差. . 4舍入誤差舍入誤差 計算機只能處理有限數(shù)位的小數(shù)運算，計算機只能處理有限數(shù)位的小數(shù)運算，初始參數(shù)或中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入運算，這必然產(chǎn)生初始參數(shù)或中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入運算，這必然產(chǎn)生舍入誤差舍入誤差. .結(jié)束10 在數(shù)值分析課程中不分析討論模型誤差；在數(shù)值分析課程中不分析討論模型誤差；截斷誤差截斷誤差是數(shù)是數(shù)值分析課程的主要討論對象，它往往是計算中誤差的主要部值分析課程的主要討論對象，它往往是計算中誤差的主要部分，在講到各種算法時，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截斷誤差

16、限分，在講到各種算法時，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截斷誤差限的公式的公式( (如如(1.2)(1.2)式式) )；舍入誤差舍入誤差的產(chǎn)生往往帶有很大的隨機的產(chǎn)生往往帶有很大的隨機性，討論比較困難，在問題本身呈病態(tài)或算法穩(wěn)定性不好時性，討論比較困難，在問題本身呈病態(tài)或算法穩(wěn)定性不好時，它可能成為計算中誤差的主要部分；至于測量誤差，我們，它可能成為計算中誤差的主要部分；至于測量誤差，我們把它作為初始的舍入誤差看待把它作為初始的舍入誤差看待. . 誤差分析是一門比較艱深的專門學(xué)科誤差分析是一門比較艱深的專門學(xué)科. .在數(shù)值分析中主要在數(shù)值分析中主要討論討論截斷誤差及舍入誤差截斷誤差及舍入誤差. .但一個訓(xùn)

17、練有素的計算工作者，但一個訓(xùn)練有素的計算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與實際不符時，應(yīng)當(dāng)能診斷出誤差的來源，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果與實際不符時，應(yīng)當(dāng)能診斷出誤差的來源，并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，直至建議對模型進(jìn)行修改并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，直至建議對模型進(jìn)行修改.結(jié)束11 1.2.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 1誤差與誤差限誤差與誤差限 定義定義1.11.1 設(shè)設(shè)x*是準(zhǔn)確值，是準(zhǔn)確值，x是它的一個近似值，稱是它的一個近似值，稱e e= =x - -x* *為近似值為近似值x的的絕對誤差絕對誤差，簡稱，簡稱誤差誤差. 誤差是有量綱的量，量綱同誤差是有量綱的量，量綱同x，它可正可負(fù)，它可正可負(fù). . 誤差

18、一般無法準(zhǔn)確計算，只能根據(jù)測量或計算情況估計誤差一般無法準(zhǔn)確計算，只能根據(jù)測量或計算情況估計出它的絕對值的一個上限，這個上界稱為近似值出它的絕對值的一個上限，這個上界稱為近似值x的的誤差限誤差限，記為，記為 x- -x* *，其意義是：，其意義是：x-x* *x+在工程中常記為：在工程中常記為： x* *= = x.如如 l=10.2=10.2. .mmmm，R=1500=1500100100 2相對誤差與相對誤差限相對誤差與相對誤差限 誤差不能完全刻畫近似值誤差不能完全刻畫近似值的精度的精度. .如測量百米跑道產(chǎn)生如測量百米跑道產(chǎn)生10cm10cm的誤差與測量一個課桌長的誤差與測量一個課桌長

19、度產(chǎn)生度產(chǎn)生1cm1cm的誤差，我們不能簡單地認(rèn)為后者更精確，還應(yīng)的誤差，我們不能簡單地認(rèn)為后者更精確，還應(yīng)考慮被測值的大小考慮被測值的大小.下面給出定義下面給出定義：結(jié)束12 定義定義1.21.2 誤差與精確值的比值誤差與精確值的比值 稱為稱為x的的相對誤差相對誤差，記作，記作er.*xxxxe 相對誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它也可正可相對誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它也可正可負(fù)負(fù). .相對誤差也常不能準(zhǔn)確計算，而是用相對誤差限來估計相對誤差也常不能準(zhǔn)確計算，而是用相對誤差限來估計. 相對誤差限相對誤差限：|*rrexxxx 實際上由于實際上由于x*不知道，用上式無法確定不知道

20、，用上式無法確定r ，常用，常用x代代x*作分作分母，此時：母，此時：結(jié)束13| xr 可見此時產(chǎn)生的影響是可見此時產(chǎn)生的影響是 量級，當(dāng)量級，當(dāng)r較小時，可以忽略較小時，可以忽略不計，以后我們就用不計，以后我們就用 表示相對誤差限表示相對誤差限.| x2r 例例5 5 在剛才測量的例子中，若測得跑道長為在剛才測量的例子中，若測得跑道長為1001000.1m0.1m，課桌長為，課桌長為1201201cm 1cm ，則，則顯然后者比前者相對誤差大顯然后者比前者相對誤差大.%1 . 01001 . 0) 1 (r%83. 01201)2(r 1.2.3 有效數(shù)字有效數(shù)字 定義定義1.31.3 如果

21、近似值如果近似值x的誤差限的誤差限是它某一數(shù)位的半個是它某一數(shù)位的半個單位，我們就說單位，我們就說x準(zhǔn)確到該位，從這一位起直到前面第一個準(zhǔn)確到該位，從這一位起直到前面第一個非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱x的的有效數(shù)字有效數(shù)字. 如：如：x=0.a1a2an10m，其中，其中a1,a2,an是是0 09 9之中的整之中的整數(shù)，且數(shù)，且a10，如，如e=|x-x*|=0.510m-l，1 ln，則稱則稱x有有 l 位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .結(jié)束14 如：如：=3.14159265=3.14159265 則則3.143.14和和3.14163.1416分別有分別有3 3位和位和5

22、5位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .而而3.1433.143相對于相對于也只能有也只能有3 3位有效數(shù)字位有效數(shù)字 在更多的情況，我們不知道準(zhǔn)確值在更多的情況，我們不知道準(zhǔn)確值x* *. .如果我們認(rèn)為計算如果我們認(rèn)為計算結(jié)果各數(shù)位可靠，將它四舍五入到某一位，這時從這一位起結(jié)果各數(shù)位可靠，將它四舍五入到某一位，這時從這一位起到前面第一個非零數(shù)字共到前面第一個非零數(shù)字共 l 位，它與計算結(jié)果之差必小于該位，它與計算結(jié)果之差必小于該位的半個單位位的半個單位. .我們習(xí)慣上說將計算結(jié)果保留我們習(xí)慣上說將計算結(jié)果保留 l 位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 如計算機上得到方程如計算機上得到方程x3 3- -x-1=0-1

23、=0的一個正根為的一個正根為1.324721.32472，保，保留留4 4位有效數(shù)字的結(jié)果為位有效數(shù)字的結(jié)果為1.3251.325，保留，保留5 5位有效數(shù)字的結(jié)果為位有效數(shù)字的結(jié)果為1.3247.1.3247.相對誤差與有效數(shù)位的關(guān)系十分密切相對誤差與有效數(shù)位的關(guān)系十分密切. .定性地講，定性地講，相相對誤差越小，有效數(shù)位越多，反之亦正確對誤差越小，有效數(shù)位越多，反之亦正確. .定量地講，有如定量地講，有如下兩個定理下兩個定理. . 定理定理1.1 設(shè)近似值設(shè)近似值x=0.=0.a1a2an1010m m有有n位有效數(shù)字，位有效數(shù)字，則其相對誤差限則其相對誤差限 此定理的證明不難，可作為習(xí)題

24、完成此定理的證明不難，可作為習(xí)題完成. .111021nra結(jié)束15 定理定理1.21.2 設(shè)近似值設(shè)近似值x= =0.0.a1a2an1010m m的相對誤差限的相對誤差限不大于不大于 ，則它至少有，則它至少有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字. .1110) 1(21na 證證 x |( |(a1+1+1）1010m-1m-1由定義由定義1. .3知知x有有n位有效數(shù)字位有效數(shù)字.nmmnaaxxxxxx105 . 010) 1(10) 1( 21|1111* 例例6 6 計算計算sin 1.2sin 1.2，問要取幾位有效數(shù)字才能保證相，問要取幾位有效數(shù)字才能保證相對誤差限不大于對誤差限不大于0.0

25、.01%. 解解 sin1.2=0.93sin1.2=0.93，故，故a1 1=9,=9,m=0=0 解關(guān)于解關(guān)于n的不等式的不等式 10-n1810-5=1.810-4.41110%01. 01021nra結(jié)束16 所以取所以取n=4，即可滿足要求，即可滿足要求. 對有效數(shù)字的觀察比估計相對誤差容易得多，故監(jiān)視有效對有效數(shù)字的觀察比估計相對誤差容易得多，故監(jiān)視有效數(shù)字是否損失，常可發(fā)現(xiàn)相對誤差的突然擴大數(shù)字是否損失，?？砂l(fā)現(xiàn)相對誤差的突然擴大. . 例例6 6 計算計算 ，視已知數(shù)為，視已知數(shù)為精確值，用精確值，用4位浮點位浮點數(shù)計算數(shù)計算. .76017591 解解 原式原式=0.1318

26、=0.13181010-2-2-0.1316-0.13161010-2-2=0.2=0.21010-5 -5 . . 結(jié)果只剩一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對結(jié)果只剩一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成相對誤差的擴大誤差的擴大. .若通分后再計算：若通分后再計算： 原式原式= =就得到就得到4 4位有效數(shù)字的結(jié)果位有效數(shù)字的結(jié)果. .下文將會提到相近數(shù)字相減會擴下文將會提到相近數(shù)字相減會擴大相對誤差大相對誤差.56101734. 0105768. 017607591結(jié)束17 1.3 設(shè)計算法時應(yīng)注意的原則設(shè)計算法時應(yīng)注意的原則 1.3.1數(shù)值運算時誤差的傳播數(shù)值運算時誤差的傳播當(dāng)參與運

27、算的數(shù)值帶有誤差時，結(jié)果也必然帶有誤差，問題當(dāng)參與運算的數(shù)值帶有誤差時，結(jié)果也必然帶有誤差，問題是結(jié)果的誤差與原始誤差相比是否擴大是結(jié)果的誤差與原始誤差相比是否擴大. 1)對函數(shù)對函數(shù)f(x)的計算的計算:設(shè)設(shè)x是是x*的近似值，則結(jié)果誤差的近似值，則結(jié)果誤差用用泰勒展式泰勒展式分析分析2)*()()*)()(*)(2xxfxxxfxfxf *)()()(xfxfxfe2*)()(*)()(2xxfxxxfxfe )(2)()(| )(|)(|2xfxxfxfe )(| )(|)(|xxfxf忽略第二項高階無窮小之后，可得函數(shù)忽略第二項高階無窮小之后，可得函數(shù)f(x)的誤差限估計式的誤差限估計

28、式結(jié)束18 2)對多元函數(shù)對多元函數(shù)f(x1*,x2*,xn*)=A*,設(shè)設(shè)x1,x2,xn是是x1*,x2*,xn*的近似值，則的近似值，則A=f(x1,x2,xn)是結(jié)果的近似值。是結(jié)果的近似值。其中其中),(),()(*2*121nnxxxfxxxfAe結(jié)束| ),(),(|*nnxxxfxxxfAA2121)(|),(2*211xOxxxxxxfkkknnk|max*kkkxxx略去高階項后略去高階項后)(),()(211kknnkxxxxxfA)10. 1 (19 3）四則運算中誤差的傳播）四則運算中誤差的傳播 按（按（1.10）易得）易得:其中其中(1.11)取等號取等號,是因為作

29、為多元函數(shù)是因為作為多元函數(shù),加減法的一次函數(shù)，泰加減法的一次函數(shù)，泰勒展開沒有二次余項。勒展開沒有二次余項。)()()(2121xxxx結(jié)束)(|)(|)(122121xxxxxx例例7：若電壓若電壓V=220 5V，電阻，電阻R=300 10 ，求電流，求電流I并計并計算其誤差限及相對誤差限。算其誤差限及相對誤差限。解：解：22122121)(|)(|xxxxxxx)11. 1 ()12. 1 ()13. 1 ()(7333. 0300220AI20所以所以)(0411. 090000530010220)(|)(|)(2ARVRRVI結(jié)束)(0411. 07333. 0AI1.3.2 算法

30、中應(yīng)避免的問題算法中應(yīng)避免的問題1）避免相近數(shù)相減）避免相近數(shù)相減 由公式由公式(1.11)(|)(|)(|)(|)()(221212112221211211212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxrrr%67333.00411.0)(Ir)()()(2121xxxx21當(dāng)當(dāng)x1和和x2十分相近時，十分相近時， x1-x2接近零，接近零，結(jié)束將很大，所以將很大，所以|211xxx)(21xxr和和|212xxx)(),(21xxrr從直觀上看，相近數(shù)相減會造成有效數(shù)位的減少，本章例從直觀上看，相近數(shù)相減會造成有效數(shù)位的減少，本章例6就就是一個例子是一個例子.有時，通過改變算法可以避免相近數(shù)相減有時，通過改變算法可以避免相近數(shù)相減.大很多，即相對誤差將顯