直線與拋物線的位置關(guān)系(專題)

1、僅供個(gè)人參考For personal use only in study and research; not for commercial use拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)葉雙能一.教學(xué)目標(biāo)：1 .掌握拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2 .能夠熟練運(yùn)用性質(zhì)解題3 .掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷方法和弦長(zhǎng)問(wèn)題4 .進(jìn)一步理解用代數(shù)法研究幾何性質(zhì)的優(yōu)越性，感受坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié)合的基本思想2 .教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：拋物線的幾何性質(zhì)難點(diǎn)：拋物線幾何性質(zhì)的運(yùn)用 .易錯(cuò)點(diǎn)：直線與拋物線方程聯(lián)立時(shí)，要討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零3 .教學(xué)過(guò)程（一）復(fù)習(xí)回顧：（1）拋物線y =ax2（a #0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ；準(zhǔn)線方程.（2）頂點(diǎn)在

2、在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的拋物線過(guò)點(diǎn)M （1,4）,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為過(guò)點(diǎn)M （2,0 ）作斜率為1的直線l ,交拋物線y2 =4x于A, B兩點(diǎn)，求| AB |（二）典例分析：例1.已知拋物線y2=4x,直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2,1）,斜率為k.k為何值時(shí)，直線l與拋物線2y =4x：只有一個(gè)公共點(diǎn)；有兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：（1）類比直線與雙曲線的位置關(guān)系的處理方法，解決直線與拋物線的位置關(guān)系.（2）掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷方法；（3）培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算推理能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想2變式1 ：已知拋物線萬(wàn)程 y =4x,當(dāng)b為何值時(shí)，直線l:y=x+b與拋物線（1）只有一個(gè)交點(diǎn)；

3、（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒(méi)有公共點(diǎn)；（4）當(dāng)直線與拋物線有公共點(diǎn)時(shí)，b的最大值是多少？例2：過(guò)點(diǎn)Q（4,1）作拋物線y2 =8x的弦AB，恰好被點(diǎn)Q所平分.（1）求AB所在的直線方程；（2）求|AB|的長(zhǎng).變式1：斜率為1的直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于 A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng).（教材69頁(yè)例4）方法（一）方程聯(lián)立*求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式方法（二）方程聯(lián)立3根據(jù)韋達(dá)定理求 k+x23運(yùn)用弦長(zhǎng)公式方法(三)(數(shù)形結(jié)合)方程聯(lián)立 a根據(jù)韋達(dá)定理求x1+x2、，運(yùn)用焦點(diǎn)弦公式'(1)x軸上:AB|=+|x2|+p拓展：標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)弦公式：、J 2)焦

4、點(diǎn)在 y 軸上:|AB|=|yi |+|y2|+p(由焦半徑公式推導(dǎo)而來(lái))2一一一一、變式2：已知拋物線 y =x與直線y = k(x+1)相交于兩點(diǎn)。(1)求證：OA_LOB；(2)當(dāng)AOAB的面積等于加時(shí)，求k的值(±1)6(本題主要要熟悉，三角形面積的常見(jiàn)表示方法(1汾解成兩個(gè)共底的三角形的面積之和)(2)利用底乘高的一半公式變式3:已知拋物線 C: y2 =2x.(1) .若直線y =kx+k +1與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k的取值范圍.(2) .求過(guò)點(diǎn)P(0,1餌與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程 .(3) .過(guò)點(diǎn)A(1,1 )作拋物線C弦AB,恰好被點(diǎn)A所平分，求AB

5、的直線方程和弦| AB |的長(zhǎng).I -1 , 3 -1 - 3 丁1(1)40,卜(2)x=0或 y =1或丫 = x +1 );(3) y = x,22222例3.過(guò)拋物線y2 =2px的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2,y2)2(1) .求證：y1y2 = p2,x1x2 =匹4(2) .求證：AB|=x +x2 + p=(日為直線的傾斜角)sin1112(3) .求證：=一fa| |fb| p(4) .求證 NAiFBi =90°(5) .求證：以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切(6) .求證：以AF (或BF)為直徑的圓與y軸相切(7) .求證：點(diǎn)A、

6、O、B1三點(diǎn)共線.(8) .若 AF=a, BF=b, M 是 A1,B1 的中點(diǎn)，求證 MF| = Vab一一土變式練習(xí)：若拋物線的方程為x2 =2py ,則能得到什么結(jié)論？例4 .已知拋物線C : y2 = 4x .(1)在拋物線 C上求一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線y=x + 3的距離最短.(2)在拋物線C上求一點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到點(diǎn) A(3,0)的距離最近，并求最近的距離.(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),在拋物線C上求一點(diǎn)P使得| PF |十|PA|最小，并求最小值.(4)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),在拋物線C上找一點(diǎn)P使得|PF | 十 |PA|最小，并求最小值.(5)在拋物線 C上求一點(diǎn)P,使得

7、點(diǎn)P到點(diǎn) A(0,2)距離與P到準(zhǔn)線的距離之和最小，并 求最小的值.(6 )求下列函數(shù)的最值.y -1 z =(2) z = x-yx 2(7)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F,做互相垂直的兩條焦點(diǎn)弦 AB和CD,求| AB | 十|CD |的最小 值.變式1:過(guò)拋物線 y2 =4ax(a>0)的焦點(diǎn)F,做互相垂直的兩條焦點(diǎn)弦 AB和CD,求| AB| 十|CD |的最小值.2變式2:過(guò)定點(diǎn)M(4,0)作直線L,父拋物線y =4乂于人、8兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，求AAFB 的面積的最小值。2變式3:已知拋物線 C: y =4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線L與C相交于A、B兩點(diǎn)。(1)若AB =16,求直線

8、L的方程。(2)求AB的最小值。32例5.已知拋物線y =2 px( p A0)的動(dòng)弦AB恒過(guò)定點(diǎn)M (2 p,0),求證：kOA.koB = -1變式1:若直線L與拋物線y2 =2px(p A0)交于A、B兩點(diǎn)，且OALOB，:求證：直線L過(guò)定點(diǎn)變式2：如圖所示，F(xiàn)是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2 )為拋物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且| PA | +1 PB |的最小值為8.(1 )求拋物線的方程；(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在點(diǎn) M,使過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線交于B, C兩點(diǎn)，且OB.OC=o,若存在，求出定點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.三.練習(xí)反饋:2

9、1.2.拋物線y2 =12x上與焦點(diǎn)的距離等于 9的點(diǎn)的坐標(biāo)為2過(guò)拋物線y =8x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(xi, y ), B(x2, y2)兩點(diǎn)，如果x1+x2=6,則 |AB| 二23.已知拋物線y =2 px( p >0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)日的必 眩x2 y2B兇)在拋物線上，且為？2，%成等差數(shù)列，則有(A.|FPi| IFP2HFP3IC. 2| FP2RFP3I |F川4 .一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，都在拋物線三角形的面積222B. |FPi|2 | FP2 |2 =| FP3 |22D. |FP2|2=|FP3|.| FP|2y = 4x上，其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求這個(gè)25

10、.直線y=x2與拋物線y =2x相交于A,B兩點(diǎn)，求證：OA _L OB6 .已知直線與拋物線 y2 =2px(p >0)交于A,B兩點(diǎn)，OA_LOB,且OD _L AB并交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)D的坐標(biāo)為 (2,1)求p的值.7 .設(shè)直線y=2x+b與拋物線y2=4x交于A, B兩點(diǎn)，已知弦| AB|= 3 5,點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，S&b =30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(16,8 ),(9,-628 .過(guò)拋物線y =2px(p A0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于 A, B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn) D,求證：直線 DB平行于拋物線的對(duì)稱軸. 29 (05北京)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)

11、，過(guò)點(diǎn).P(2,0),且斜率為k的直第2l朋物線y =2x于M(X, y N m，丫2 )兩點(diǎn).(1)寫出直線l的方程；(2)求x1x2與yy2的值；(3)求證 OM _LON 2_.、10 .已知直線l:y=x+b與拋物線 y =2x相交兩點(diǎn)A、B，求：(1)線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；(2) b為何時(shí) OA _ OB .11 .過(guò)拋物線y2 =2x的焦點(diǎn)作傾斜角為450的弦AB ,則弦450的長(zhǎng)度是多少?2變式1：已知拋物線 y =2x截直線y=x+b所得的弦長(zhǎng)為4,求b的值.變式2:已知拋物線 y2 =2x截直線y =kx+1所得的弦長(zhǎng)為4 ,求k的值.（四）小節(jié).不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' etude et la recherche uniquemen