2018年材料閱讀題及答案

1、重慶中考材料閱讀題分類講練類型1代數(shù)型新定義問題例112017重慶A對任意一個三位數(shù)n,如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個數(shù)為“相異數(shù)”.將一個“相異數(shù)”任意兩個數(shù)位上的數(shù)字對調(diào)后可以得到三個不同的新三位數(shù)，把這三個新三位數(shù)的和與111的商記為F(n).例如n=123,對調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213,對調(diào)百位與個位上的數(shù)字得到321,對調(diào)十位與個位上的數(shù)字得到132,這三個新三位數(shù)的和為213+321+132=666,666+111=6,所以，F(xiàn)(123)=6.(1)計算:F(243),F(617);(2)若s,t都是“相異數(shù)"，其中s=100x+32,t=1

2、50+y(1WxW9,1<y<9,x,y都是正整數(shù))，規(guī)定:當(dāng)F(s) +F(t) =18時，求k的最大值.針對訓(xùn)練1 .對于一個兩位正整數(shù)xy(0<y<x<9,且x、y為正整數(shù))，我們把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方和叫做t的“平方和數(shù)”，把十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的平方差叫做t的“平方差數(shù)”.例如：對數(shù)62來說，62+22=40,6222=32,所以40和32就分別是62的“平方和數(shù)”與“平方差數(shù)”.(1)75的“平方和數(shù)”是,5可以是的“平方差數(shù)”；若一個數(shù)的“平方和數(shù)”為10,它的“平方差數(shù)”為8,則這個數(shù)是.(2)求證：當(dāng)x<9,yW8時，t的2倍減去

3、t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果也是另一個數(shù)的“平方差數(shù)”.(3)將數(shù)t的十位上的數(shù)與個位上的數(shù)交換得到數(shù)t',若t與t的“平方和數(shù)”之和等于t'與t'的“平方差數(shù)”之和，求t.2 .將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后(含n本身).得到新三位數(shù)abc(avc)，在所有重新排列中，當(dāng)|ac2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F(n)=b2ac.例如215可以重新排列為125、152、215,因為|1+52X2|=2,|1+2-2X5|=7,|2+5-2X1|=5,且2<5<7,所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(215)=221

4、X5=1.(1)F(236)=;(2) 如果在正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證：F(n)是一個完全平方數(shù)；(3)設(shè)三位自然數(shù)t=100x+60+y(1WxW9,1<y<9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t'.若tt'=693,那么我們稱t為“和順數(shù)”.求所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值3進制也就是進位制，是人們規(guī)定的一種進位方法對于任何一種進制X進制，就表示某一位置上的數(shù)運算時是逢X進一位十進制是逢十進一，十六進制是逢十六進一，二進制就是逢二進一，以此類推，X進制就是逢X進一為與十進制進行區(qū)分，我們常把用X進制

5、表示的數(shù)a寫成(a)x.類比于十進制，我們可以知道：X進制表示的數(shù)(1111)x中，右起第一位上的1表示1XX0,第二位上的1表示1XX1,第三位上的1表示1XX2,第四位上的1表示1XX3.故(1111)x=1xX5+1xX2+1xX1+1xX),即：(1111)x轉(zhuǎn)化為十進制表示的數(shù)為X3+X2+X1+X0.如：(1111)2=1X23+1X22+1X21+1X20=15,(1111)5=1X53+1X52+1X51+1X5°=156.根據(jù)材料，完成以下問題：(1) 把下列進制表示的數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制表示的數(shù)：(101011)2=；(302)4=;(257)7=(2)若一個五進制三位

6、數(shù)(a4b)5與八進制三位數(shù)(ba4)8之和能被13整除(1waW5,1<bw5,且a、b均為整數(shù))，求a的值；(3) 若一個六進制數(shù)與一個八進制數(shù)之和為666，則稱這兩個數(shù)互為“如意數(shù)”，試判斷(mm1)6與(nn5)8是否互為“如意數(shù)”？若是，求出這兩個數(shù)；若不是，說明理由.4.我們知道，任意一個正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=pxq(p,q是正整數(shù)，且pWq),在n的所有這種分解中，如果p,q兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱pXq是n的最佳分解.并規(guī)定：F(n)=p.例如12可以分解成1X12,2X6或3X4,因為121>62q>4-3,所以3X4是12的最佳分解，所

7、以F(12)=4.(1)如果一個正整數(shù)m是另外一個正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù).求證：對任意一個完全平方數(shù)m總有F(m)=1.(2)如果一個兩位正整數(shù)t,t=10x+y(1WxWyW9,x,y為自然數(shù))，交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36,那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；在(2)所得的“吉祥數(shù)”中，求F(t)的最大值.類型2函數(shù)型新定義問題例2已知一個大于1的正整數(shù)t可以分解成t=ac+b2的形式(其中a<c,a,b,c均為正整數(shù))，在t的所有表示結(jié)果中，當(dāng)bcba取得最小值時，稱“ac+b2”是t的“等比中項分解”，

8、此時規(guī)定：P(t)/b+c、,例如：7=1X6+12=2X3+12=1X3+22,12(a+b)X61X1>2X32X1>1X31X2,所以2X3+12是7的“等比中項分解”，P(7)2=3.(1)若一個正整數(shù)q=m+n2,其中mrn為正整數(shù)，則稱q為“偽完全平方數(shù)”，證明：，一，一、，.,1對任意一個“偽完全平方數(shù)”q都有P(q)=萬.(2)若一個兩位數(shù)s=10x+y(1WyWxW5,且x,y均為自然數(shù)),交換原數(shù)十位上的數(shù)字和個位上的數(shù)字得到的新數(shù)的兩倍再加上原數(shù)的14倍，結(jié)果被8除余4,稱這樣的數(shù)s為“幸福數(shù)”，求所有“幸福數(shù)”的P(s)的最大值.針對訓(xùn)練1 .如果關(guān)于x的一

9、元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關(guān)于倍根方程的說法：方程x2x2=0是倍根方程；若(x2)(mx+n)=0是倍根方程，則4m2+5mn+n2=0;若點(p,q)在反比仞函數(shù)y=2的圖象上，則關(guān)于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程.x其中正確的是.(寫出所有正確說法的序號)2 .先閱讀下列材料，再解答下列問題：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：將“x+y”看成整體，令x+y=A,則原式=A2+2A+1=(A+1)2.再將“A”還原，得原式=(x+y+1)2.上述解題中用到的是“整體思想”，整體思想是

10、數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請你解答下列問題：(1)因式分解：1+2(xy)+(xy)2=;(2)因式分解：(a+b)(a+b4)+4=;(3)證明：若n為正整數(shù)，則式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.3 .若三個非零實數(shù)x,y,z滿足：只要其中一個數(shù)的倒數(shù)等于另外兩個數(shù)的倒數(shù)的和，則稱這三個實數(shù)x,v,z構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.(1)實數(shù)1,2,3可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”嗎？請說明理由；(2)若M(t,y。，N(t+1,y2),R(t+3,y。三點均在函數(shù)y="(k為常數(shù)，kw0)的圖象x、上，且這三點的縱坐標(biāo)y1,y2,y3構(gòu)成“和諧三數(shù)組"

11、;，求實數(shù)t的值；(3)若直線y=2bx+2c(bcw0)與x軸交于點A(xb0),與拋物線y=ax2+3bx+3c(aw0)交于B(x2,y2),C(x3,y3)兩點.求證：A,B,C三點的橫坐標(biāo)x1,x2,x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組”；若a>2b>3c,x2=1,求點P(c,b)與原點O的距離OP的取值范圍.aa，4若一個整數(shù)能表示成a2b2(a，b是整數(shù))的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”例如，5是“完美數(shù)”，因為5=22+12.再如，Mkx2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”(1)請你再寫一個小于10的“完美數(shù)”，并判斷29是否為“完美數(shù)”(2

12、)已知S=x2+4y2+4x12y+k(x,y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為"完美數(shù)”，試求出符合條件的一個k值，并說明理由如果數(shù)m,n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”.5. 若將自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，在數(shù)軸上的對應(yīng)點稱為“3倍點”P，取任意的一個“3倍點”P,到點P距離為1的點所對應(yīng)的數(shù)分別記為a,b.定義：若數(shù)K=a2+b2-ab,則稱數(shù)K為“尼爾數(shù)”.例如：若P所表示的數(shù)為3,則a=2,b=4,那么K=22+42-2X4=12;若P所表示的數(shù)為12,則a=11,b=13,那么K=132+11213X11=147,所以12，147是“尼爾數(shù)”(1) 請直接判斷6和39是不

13、是“尼爾數(shù)”，并且證明所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3；(2) 已知兩個“尼爾數(shù)”的差是189，求這兩個“尼爾數(shù)”類型3整除問題例3我們知道，任意一個大于1的正整數(shù)n都可以進行這樣的分解：n=p+q(p、q是正整數(shù)，且pwq),在n的所有這種分解中，如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是n的最佳分解.并規(guī)定在最佳分解時：F(n)=pq.例如6可以分解成1+5或2+4或3+3,因為1X5<2X4<3X3,所以3+3是6的最佳分解，所以F(6)=3X3=9.(1) 求F(11)的值；(2) 一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1,前三位數(shù)被

14、3除余2,前四位數(shù)被4除余3,，一直到前N位數(shù)被N除余(N1)，我們稱這樣的數(shù)為“多余數(shù)”如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除，前兩位數(shù)“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個“多余數(shù)”若把一個小于200的三位“多余數(shù)”記為t，它的各位數(shù)字之和再加1為一個完全平方數(shù)，請求出所有“多余數(shù)”中F(t)的最大值針對訓(xùn)練1.一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成，若從左向右它的第一位數(shù)可以被1整除，它的前兩位數(shù)可以被2整除，前三位數(shù)可以被3整除，一直到前N位數(shù)可以被N整除，則這樣的數(shù)叫做“精巧數(shù)”如：123的第一位數(shù)“1”可以被1整除，前兩位數(shù)“12”可以被2整除，“123”可以被3整除，則123

15、是一個“精巧數(shù)”(1) 若四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，求k的值；(2) 若一個三位“精巧數(shù)”2ab各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，請求出所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”2.人和人之間講友情，有趣的是，數(shù)與數(shù)之間也有相類似的關(guān)系.若兩個不同的自然數(shù)的所有真因數(shù)(即除了自身以外的正因數(shù))之和相等，我們稱這兩個數(shù)為“親和數(shù)”.例如：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18,它的真因數(shù)之和為1+2+3+6+9=21;51的正因數(shù)有1、3、17、51,它的真因數(shù)之和為1+3+17=21,所以稱18和51為“親和數(shù)”.數(shù)還可以與動物形象地聯(lián)系起來，我們稱一個兩頭(首位與末位)都是1的數(shù)為“兩頭蛇數(shù)”.仞0口：

16、121、1351等.(1)8的真因數(shù)之和為;求證：一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍的差，能被7整除；2 2)一個百位上的數(shù)為4的五位“兩頭蛇數(shù)”能被16的“親和數(shù)”整除，若這個五位“兩頭蛇數(shù)”的千位上的數(shù)字小于十位上的數(shù)字，求滿足條件的五位“兩頭蛇數(shù)”x2x+33 .材料1：將分式-x拆分成一個整式與一個分式(分子為整數(shù))的和的形式.x2-x+3x(x+1)2(x+1)+5x(x+1)2(x+1)55解:=xn-+為="2+，xx+35這樣，分式x+1就拆分成一個整式x2與一個分式不的和的形式.材料2:已知一個能被11整除的個位與百位相同的三位整數(shù)100x+10

17、y+x,且1WxW4,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.101x+10y99x+11y+2xy2x-y解：=而=9x+y+k,一一八2x一y一，又1WxW4,0WyW9,7W2xyW8,還要使為整數(shù),2x-y=0.2(1)將分式x-6x:3拆分成一個整式與一個分子為整數(shù)的分式的和的形式，則結(jié)果為x1的值為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)x2x25x20(2)已知整數(shù)x使分式；一x3已知一個六位整數(shù)20xy17能被33整除，求滿足條件的x,y的值.4 .在任意n(n>1且n為整數(shù))位正整數(shù)K的首位后添加6得到的新數(shù)叫做K的“順數(shù)”，在K的末位前添加6得到的新數(shù)叫做K的“逆數(shù)”.若K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差能被1

18、7整除，稱K是“最佳拍檔數(shù)”.比如1324的“順數(shù)”為16324,1324的“逆數(shù)”為13264,1324的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差為1632413264=3060,3060+17=180,所以1324是“最佳拍檔數(shù)”.(1)請根據(jù)以上方法判斷31568(填“是”或“不是”)“最佳拍檔數(shù)”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數(shù)”N,其個位數(shù)字與十位數(shù)字之和為8,且百位數(shù)字不小于十位數(shù)字，求所有符合條件的N的值；(2)證明：任意三位或三位以上的正整數(shù)K的“順數(shù)”與“逆數(shù)”之差一定能被30整除.a5 .若整數(shù)a能被整數(shù)b整除，則一定存在整數(shù)n,使得石=n,即a=bn.例如：若整數(shù)a能被整數(shù)7整除，則一定

19、存在整數(shù)n,使得a=7n.(1)將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)減去個位數(shù)的兩倍，若所得之差能被7整除，則原多位自然數(shù)一定能被7整除.例如：將數(shù)字1078分解為8和107,107-8X2=91,因為91能被7整除，所以1078能被7整除，請你證明任意一個三位數(shù)都滿足上述規(guī)律.(2)若將一個多位自然數(shù)分解為個位與個位之前的數(shù)，讓個位之前的數(shù)加上個位數(shù)的k(k為正整數(shù)，1wkw5)倍，所得之和能被13整除，求當(dāng)k為何值時使得原多位自然數(shù)一定能被13整除.參考答案例1.解：(1)F(243)=(423+342+234)-111=9,F(617)=(167+716+671)-1

20、11=14.(2) s,t都是“相異數(shù)”，F(xiàn)(s)=(302+10x+230+x+100x+23)-111=x+5,F(t)=(510+y+100y+51+105+10y)+111=y+6,F(s)+F(t)=18,，x+5+y+6=x+y+11=18,x+y=7,.1WxW9,1<y<9,x, y都是正整數(shù),x= 1, y= 6x=2, y= 5x=3,x=4,x=5,或 成 或y= 4y = 3y = 2x = 6, 或y=1.(2)s是"相異數(shù)”，.xw2,xw3,t是“相異數(shù)”，x=1,x=4,x=5,yw1,yw5,或或y=6y=3y=2.F(s)=6,F(s)

21、=9,F(s)=10,F(t)=12&F(t)=9&F(t)=8.F(s)1F(s)F(s)5."而=2或k=Fiy=1或"大了4k的最大值為.4針對訓(xùn)練1解：(1)74;32;31(2)證明：令t=10x+y,2(10x+y)-(x2-y2)-99=20x+2yx2+y299=(y2+2y+1)-(x2-20x+100)=(y+1)2-(x-10)2,.t的2倍減去t的“平方差數(shù)”再減去99所得結(jié)果是另一個數(shù)的“平方差”數(shù).令t=xy,t'=yx,由題意知：10x+y+x2+y2=10y+x+y2x2,所以9x-9y+2x2=0,9(x-y)+2x

22、2=0,x-y>0,2x2>0,，x=y=0.故t=0.2.解：(1)F(236)=-3(2)證明：設(shè)這個正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字分別為:x+yx,y.22x+y,|a+c2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，.F(n)=bac=x2+y2xyx-y2xy=-彳=；F(n)為一個完全平方數(shù)；(3) t = 100x+ 60+y, t=100y+60+x,.tt'=99x-99y=693,.99(xy)=693,x-y=7,x=y+7,1<x<9,1<y<9,1<y+7<9,1<y<2,y=1,y=2,或，t=861或

23、t=962,x=8x=9,當(dāng)t=861時，可以重新排列為168,186,618.|1+8-2X6|=3,|1+6-2X8|=9,|6+8-2X1|=12,168為861的“調(diào)和優(yōu)選F(861)=6X61X8=28;當(dāng)t=962時，可以重新排列為269,296,629,v|2+92X6|=1,|2+62X9|=10,|6+92X2|=11,269為962的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)(962)=6X62X9=18.所有“和順數(shù)”中F(t)的最大值為28.3.解：(1)43;50;140(2)b+4X51+aX52+4+aX8+bx82=33a+65b+24=13(2a+5b+1)+7a+11,.13整除7

24、a+11,15而1waw5,1<b<5,18<7a+11<46,7a+11=26或39.解得a=(舍去)或4,a=4.(3)(mnh)6+(nn5)8=1+6m+36m+5+8n+64n=6+42W72n.若互為“如意數(shù)”，則6+42餅72n=666,.7m+12n=110,此時m必為偶數(shù)，經(jīng)檢驗，當(dāng)m=2,n=8時，7m12n=110,，這兩個數(shù)為85和581.4.(1)證明：對任意一個完全平方數(shù)m設(shè)m=a2(a為正整數(shù))，|a-a|=0,axa是m的最佳分解，對任意一個完全平方數(shù)E總有F(n)=1=1.a(2)設(shè)交換t的個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t'

25、,則t'=10y+x,t是"吉祥數(shù)”，t't=(10y+x)(10x+y)=9(yx)=36,，y=x+4,1<x<y<9,x,y為自然數(shù)，滿足“吉祥數(shù)”的有15,26,37,48,59.32163133211F(15)=5F(26)F(37)=37,F(48)=8=4F(59)=5?.TW汨說>593所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)(t)的最大值是4.類型二例2解：(1)證明：.a<c,a,b,c為正整數(shù)，bc-ba=b(c-a)>0.又4=宿+產(chǎn)=斤(,n2,令n=b,m=a=c,則此時bcba最小為0,故m-mn2是q的“等比中項分解”，

26、nm1 ,Rq)=2(mn)=2.(2)由題意，得2(10y+x)+14(10x+y)=8k+4(k為整數(shù)),即：142x+34y=8k+4.8(18x+4y)+2y2x4=8k,2(yx2)是8的倍數(shù)，y-x2是4的倍數(shù).又1wyWxW5且x,y均為自然數(shù)， 一6Wy一x-2&-2),.y一x一2=一4, x=y+2),s=31,42)53.bc-ba=b(c-a),且a,b,c為正整數(shù)，a<c,，當(dāng)b越小，ca的差越小，b(c-a)越小. 當(dāng)s=31時，31=5X6+12,則P(31)=21、=37；當(dāng)s=42時，42=2X3+2X(5十1)122皿r6+396'人(

27、42)=2X(6+2)=16；當(dāng)s=53時，53=7X7+22或53=2X2+7：貝UP(53)=-.1Rs)max=.216122''s16針對訓(xùn)練12.解：(1)1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2;(2)令A(yù)=a+b,則原式變?yōu)锳(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,故(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2；(3)證明:(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)(n+1)(n+2)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2,.n為正整數(shù),.n2+3n+1也為正整數(shù)，.代數(shù)

28、式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一個整數(shù)的平方.3.解：(1)2,3的倒數(shù)分別為1,J,；,且1>1>1.232311，一：+萬W1,1,2,3不可以構(gòu)成“和諧三數(shù)組”.23(2)Mt,k),Nt+1,占)，R(t+3,占),且k,占，上構(gòu)成“和諧三數(shù)組”tt十It十3tt十1t十3若!=t+t4,彳導(dǎo)2t+4=t,得t=4;kkkt+1tt+3若t-k-=k+%，得2t+3=t+1,得t=-2;t3tt1若中=t-+中，得2t+1=t+3,彳導(dǎo)t=2.kkk綜上，t的值為4或2或2.（3）證明：a, b, c均不為0,. .X1,X2, X3 都不為*,一 c

29、0,令 y = 2bx+2c=0,貝Ux1= 工, by = 2bx+ 2c,聯(lián)立y_ax2+3bx+3c整理得:ax2+ bx+ c= 0. , xi + x3 = - - , x2 , a11xi+ x3+ =-x2x3x2 - x3cX3 = -1x?.A,B,C三點的橫坐標(biāo)xi, x2, x3構(gòu)成“和諧三數(shù)組xi= 1,a+ b+c= 0,，c= a b.a>2b>3c,a>2b>3( - a- b),且 a>0,整理得a>2b,5b>-3a,3 b 1 bc b5<a<2且 aSRa，？2 c 2 b 2.°p= 9)+

30、(a)=(b 31a b 2 b 2丁)+q)=2(a+2)+2,令 m= a，貝U_ 5Vm<2且0,則 OP= 2( m TV+I，. I>。, 31 ,當(dāng)一£<ir<一力時,521oP有最小值2；11當(dāng)一2<m<2且 mOOP有最大值|,313.1.0P隨m的增大而減小，當(dāng)m=-5時，0P有取大值與，當(dāng)m=-2時,91911時，OP隨m的增大而增大，當(dāng)m2時，OP有最小值2,當(dāng)m2時,近WOP10且OW1.4.解：（1）（答案不唯一）0,1,2,4,8,9均可.因為29=52+22,所以29是“完美數(shù)”(2)當(dāng)k=13時，S=x2+4y2+4

31、x12y+13=x2+4x+4+4y2-12y+9=(x+2)2+(2y-3)2,x,y是整數(shù)，x+2,2y3也是整數(shù)S是"個兀美.mWn都是“完美數(shù)"，設(shè)m=a2+b2,n=c2+d2(a,b,c,d都是整數(shù))，則mn=(a2+b2)(C2+d2)=a2c2+a2d2+b2c+b2d2=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2.1a,b,c,d是整數(shù)，ac+bd與bcad都是整數(shù)，mn也是“完美數(shù)”.5.解：(1)6不是“尼爾數(shù)”；39是“尼爾數(shù)”；設(shè)a=3n+1,b=3n1(其中n為自然數(shù))，K=(3n+1)2+

32、(3n-1)2-(3n+1)(3n-1)=2X9n2+2X1(9n21)=9n2+3,.所有“尼爾數(shù)”一定被9除余3.(2)設(shè)這兩個“尼爾數(shù)”分別為9ni+3,9n2+3,其中mn為整數(shù)，則(9R2+3)-(9n2+3)=189,mn2=21.(mn)(m-n)=1X21或3X7.n=21,mn=7,m=11,m=5,或解得或m-n=1m-n=3.n=10n=2.當(dāng)f11,n=10時，9ni+3=9X112+3=1092,9n2+3=9X102+3=903.當(dāng)f5,n=2時，9ni+3=9X52+3=228,229n+3=9X2+3=39.答：這兩個“尼爾數(shù)”分別是1092和903或228和3

33、9.類型3.整除問題例3.解：(1)11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,且1X10<2X9<3X8<4X7<5X6,所以F(11)=5X6=30.(2)設(shè)此數(shù)為1bc,由題可得10+b=2m1，由得：10+b為奇數(shù)，所以b為奇數(shù)；100+10b+c=3n+2，由得：1+b+c+1是3的倍數(shù);1 +b+c+1=k2.(其中mn,k為整數(shù))又因為1WbW9,Kc<9,所以4<1+b+c+1<20,所以1+b+c+1只能等于9,即b+c=7.所以當(dāng)b=1時，c=6,此數(shù)為116.當(dāng)b=3時，c=4,此數(shù)為134;當(dāng)b=5時，c=2,此數(shù)為152;

34、當(dāng)b=7時，c=0,此數(shù)為170;當(dāng)b=9時，舍去；所以Rt)max=F(170)=85X85=7225.針對訓(xùn)練1 .解：(1).四位數(shù)123k是一個“精巧數(shù)”，.1230+k是4的倍數(shù)；即1230+k=4n,當(dāng)n=308時，k=2；當(dāng)n=309時，k=6,，k=2或6;(2)2ab是“精巧數(shù)”，二.a為偶數(shù)，且2+a+b是3的倍數(shù)，.a<10,b<10,2+a+b<22,各位數(shù)字之和為一個完全平方數(shù)，.2+a+b=32=9,，當(dāng)a=0時，b=7；當(dāng)a=2時，b=5；當(dāng)a=4時，b=3；當(dāng)a=6時，b=1,，所有滿足條件的三位“精巧數(shù)”有：207,225,243,261.2

35、.解：(1)證明：設(shè)這個四位“兩頭蛇數(shù)”為1ab1,由題意，得1ab1-3ab=1001+100a+10b30a3b=1001+70a+7b=7(143+10a+b).a、b為整數(shù)，143+10a+b為整數(shù)，一個四位的“兩頭蛇數(shù)”與它去掉兩頭后得到的兩位數(shù)的3倍能被7整除.(2)16的真因數(shù)有：1,2,4,8,1+2+4+8=15.-15=1+3+11,，16的“親和數(shù)”為33.設(shè)這個五位“兩頭蛇數(shù)”為1x4y1,由題意，得嚕1為整數(shù)，33.-315+30X+10x+ 10y+633為整數(shù)，故 10x+10y+6=66,，x+y=6.= 0wxw9,0WyW9,且 x, y 為整數(shù)，x<y,x=0, x=1 ,或y = 6