小學五年級數(shù)學下冊第二單元《因數(shù)和倍數(shù)》教材解讀

1、新人教版小學五年級數(shù)學下冊第二單元因數(shù)和倍數(shù)教材解讀一.教材說明：本單元讓學生在前面所學的整數(shù)知識基礎上，進一步探索整數(shù)的性質。本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內容。數(shù)論是一個歷史悠久的數(shù)學分支，它是研究整數(shù)的性質的一門學問，以嚴格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學一直被認為是“科學的皇后”，而數(shù)論則更被譽為“數(shù)學的皇后”，可見數(shù)論在數(shù)學中的地位。本單元的知識作為數(shù)論知識的初步，一直是小學數(shù)學教材中的重要內容。通過這部分內容的學習，可以使學生獲得一些有關整數(shù)的知識，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。二.教學內容1因數(shù)和倍數(shù) 2. 2、5、3的

2、倍數(shù)的特征 3質數(shù)和合數(shù)三.教學目標1使學生掌握因數(shù)、倍數(shù)、質數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。2使學生通過自主探索，掌握2、5、3的倍數(shù)的特征。3逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。四.編排特點1精簡概念，減輕學生記憶負擔。（也是與舊教材的區(qū)別）（1）不再出現(xiàn)“整除”概念，直接從乘法算式引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（2）不再正式教學“分解質因數(shù)”，只作為閱讀性材料進行介紹。（3）公因數(shù)、最大公因數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)移至“分數(shù)的意義和性質”單元，作為約分和通分的知識基礎，更突出其應用性。2注意體現(xiàn)數(shù)學的抽象性。數(shù)論知識本身具有抽象性。學生到了高年級也應注意培養(yǎng)其抽象思維。五.教學建議1加強對概

3、念間相互關系的梳理，引導學生從本質上理解概念，避免死記硬背。從因數(shù)和倍數(shù)的含義去理解其他的相關概念。本單元中因數(shù)和倍數(shù)是最基本的兩個概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，對于一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的、倍數(shù)的個數(shù)是無限的等結論自然也就掌握了，對于后面的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。要引導學生用聯(lián)系的觀點去掌握這些知識，而不是機械地記憶一堆支離破碎、毫無關聯(lián)的概念和結論。 2要注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力。由于本單元知識特有的抽象性，教學時要注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力。雖然我們強調從生活的角度引出數(shù)學知識，但數(shù)論本身就是研究整數(shù)性質的一門學科，有時不太容易與具體情境結合起來，如質數(shù)、合數(shù)等概念，

4、很難從生活實際中引入。而學生到了五年級，抽象能力已經有了進一步發(fā)展，有意識地培養(yǎng)他們的抽象概括能力也是很有必要的，如讓學生通過幾個特殊的例子，自行總結出任何一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)都是無限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力，等等。3. 這部分內容可以用6課時進行教學。六.具體編排及教學建議1因數(shù)和倍數(shù)因數(shù)和倍數(shù)的概念：過去：用ban表示b能被a整除，b是a的倍數(shù)，a是b的約數(shù)?，F(xiàn)在：用na=b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（1）用2612給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。（2）用3412進一步鞏固上述概念。（3）讓學生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念自主發(fā)現(xiàn)12的其他因數(shù)。（4）可引導學生利用一般的乘法算式=歸納出因數(shù)和倍數(shù)

5、的概念。（5）說明本單元的研究范圍。注意以下幾點：（1）雖然不出現(xiàn)“整除”一詞，但本質上仍是以整除為基礎，因此，乘法算式中的乘數(shù)和積都必須是整數(shù)。（2）因數(shù)和倍數(shù)是一對相互依存的概念，不能單獨存在。（3）注意區(qū)分乘法各部分名稱中的“因數(shù)”和本單元中的“因數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別。（4）注意區(qū)分“倍數(shù)”與前面學過的“倍”的聯(lián)系與區(qū)別。例1：一個數(shù)的因數(shù)的求法（1）可用不同的方法求出18的因數(shù)（列出積是18的乘法算式或列出被除數(shù)是18的除法算式），但應引導學生有序思考。（2）用集合圈表示因數(shù)，為后面求兩個數(shù)的公因數(shù)作鋪墊。一個數(shù)的因數(shù)的特點：（1）最大因數(shù)是其自身，最小因數(shù)是1。（2）因數(shù)個數(shù)有限。（3）

6、此結論通過例1和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。例2：一個數(shù)的倍數(shù)的求法（1）求法：用該數(shù)乘任一非0自然數(shù)所得的積都是該數(shù)的倍數(shù)。（2）用集合圈表示倍數(shù)，為后面求兩個數(shù)的公倍數(shù)作鋪墊。做一做與例2結合起來，提供了2、3、5的倍數(shù)，為后面探討2、3、5倍數(shù)的特征做準備。一個數(shù)的倍數(shù)的特點：（1）最小倍數(shù)是其自身，沒有最大的倍數(shù)。（2）倍數(shù)個數(shù)無限。（3）此結論通過例1和“做一做”中的特例通過不完全歸納法得出，體現(xiàn)了從具體到一般的思路。 關于練習二中一些習題的說明和教學建議。第2題，讓學生分別找出36和60的因數(shù)，在學生完成題目后，教師可以有意識地讓學生觀察一下有

7、哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的因數(shù)，這些共同因數(shù)中最大的是什么，為后面學習“公因數(shù)”和“最大公因數(shù)”做準備。 第3題，讓學生分別找出8和9的倍數(shù)，在學生完成題目后，教師可以有意識地讓學生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的倍數(shù)，這些共同倍數(shù)中最小的是什么，為后面學習“公倍數(shù)”“最小公倍數(shù)”“互質的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積”等知識做準備。 第5題，幫助學生辨析某些概念。如說因數(shù)和倍數(shù)時，必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。再如，任何一個非零自然數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)都是無限的，任何非零自然數(shù)都有因數(shù)1，等等。 第6題，通過猜數(shù)游戲鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念，第（1）題，使學生認識到，隨著限制條件的增多，符合條件的數(shù)越

8、來越少。實際上，題目中共有四個限制條件，先看42的因數(shù)有1、2、3、6、7、14、21、42，其中只有7、14、21、42是7的倍數(shù)，這四個數(shù)中只有14和42是2的倍數(shù)，其中只有42才是3的倍數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有42。第（2）、（3）題，都使學生進一步理解一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。 第16頁的思考題，是通過兩個特殊的例子，引導學生通過不完全歸納，總結出以下的結論：如果兩個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。還可以引導學生用數(shù)學化的方式對這個結論加以證明：如果B是A的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù)m，使BAm，如果C也是A的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù)n，使CAn，

9、那么BCAmAnA（mn），因此，BC也是A的倍數(shù)。這個結論還可以進一步擴展：如果有n個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這n個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。2 因為2、5的倍數(shù)的特征在個位數(shù)上就體現(xiàn)出來了，而3的倍數(shù)涉及到各數(shù)位上的數(shù)字之和，較為復雜，因此后安排3的倍數(shù)的特征。本部分內容對于熟練掌握約分、通分、分數(shù)的四則運算有很重要的作用。2.2、3、5的倍數(shù)的特征 2的倍數(shù)的特征教學建議 教學時，可以先讓學生觀察情境圖，并聯(lián)想在生活中哪兒還見過雙數(shù)、單數(shù)，如街道或胡同一邊的門牌號是雙數(shù)，另一邊是單數(shù)。接下來，讓學生思考：為什么這些數(shù)稱為雙數(shù)？它們和2有什么聯(lián)系？（學生在生活中已經具備了“雙”即為“2個”的

10、經驗。）引導學生列出它們與2的倍數(shù)關系，說明這些數(shù)都是2的倍數(shù)。也可以讓學生聯(lián)系前面學過的2的倍數(shù)的求法，說出若干個2的倍數(shù)。在此基礎上，引導學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上都是0、2、4、6、8，從而形成猜想：所有2的倍數(shù)的個位上都是0、2、4、6、8。因此，判斷一個數(shù)是不是2的倍數(shù)，只要看這個數(shù)的個位上是什么數(shù)就可以了。接下來，可以讓學生舉出一些數(shù)（包括比較大的數(shù)，如1045、8394）進行驗證。由于2的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，無法一一驗證，在這兒，只要學生通過觀察有限個2的倍數(shù)的特征，總結出所有2的倍數(shù)的特征就可以了，不要求嚴格的數(shù)學證明（見參考資料）。 接下來，介紹偶數(shù)和奇數(shù)的概念。我們在

11、這個單元中一般不考慮0，在這兒需要作一個特殊說明，因為0也是2的倍數(shù)，因此0也是偶數(shù)。學生掌握了偶數(shù)和奇數(shù)的定義后，教師可以給出一些數(shù)，讓學生判斷它們是奇數(shù)還是偶數(shù)，也可以讓學生再舉出一些偶數(shù)和奇數(shù)。在此基礎上，可以引導學生將2的倍數(shù)的特征表示為“個位上是偶數(shù)的都是2的倍數(shù)”。 （1）從生活情境“雙號”引入。（2）觀察2的倍數(shù)的個位數(shù)，總結出2的倍數(shù)的特征。（3）介紹奇數(shù)和偶數(shù)的概念。（4）可讓學生隨意找一些數(shù)進行驗證，但不要求嚴格的證明。5的倍數(shù)的特征（1）編排方式與2的倍數(shù)的特征類似。（2）可進一步總結既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的特征，即10的倍數(shù)的特征。3的倍數(shù)的特征教學時，要引導學生經歷

12、觀察、猜測、驗證的完整過程。由于學生在概括2和5的倍數(shù)的特征時，只注意到了個位數(shù)，因此，學生在概括3的倍數(shù)時，也會很自然地尋找個位上的數(shù)的特征。但通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上的數(shù)有的是3的倍數(shù)，有的不是，于是產生認知沖突。接下來，經過進一步提示，引導學生觀察各位上數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)。于是，形成新的猜想：一個數(shù)如果是3的倍數(shù)，那么它各位上數(shù)的和也是3的倍數(shù)。為了驗證這一猜想，可以補充一些其他的數(shù)，如493147，1663498等，使學生進一步確認這一結論的正確性。還可以任意寫一個數(shù)，利用這一結論來驗證，如3697，369725，25不是3的倍數(shù)，而36973也不能得到整數(shù)商，因此

13、，它不是3的倍數(shù)。通過這樣的方式也使學生認識到：找出某個規(guī)律后，還要找出一些正面的、反面的例子進行檢驗，看是不是普遍適用。 為了使學生更好地掌握3的倍數(shù)的特征，進行課堂練習時，還可以把一些數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)經過不同的排列，再讓學生判斷，以加深對“各位上數(shù)的和是3的倍數(shù)”的理解。如完成“做一做”第1題時，學生判斷完45是3的倍數(shù)后，教師可以再讓學生判斷一下54是不是3的倍數(shù)。 完成“做一做”第2題時，要引導學生有序地思考問題。第18頁的“做一做”已經有所鋪墊，學生已經知道只有末尾是0的數(shù)才能同時是2和5的倍數(shù)，而此題中所求的數(shù)又是一個三位數(shù)，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數(shù)，這樣，每增加一個條件，

14、符合條件的數(shù)的范圍就縮小一些，通過層層“篩選”，求出符合條件的數(shù)是120。（1）強調自主探索，讓學生經歷觀察猜想推翻猜想再觀察再猜想驗證的過程。（2）可任意選擇一個數(shù)，用正面、反面的例子對結論進一步驗證。（3）也可對任一3的倍數(shù)的各位數(shù)調換位置，更深刻地理解3的倍數(shù)的特征。關于練習三中一些習題的說明和教學建議。第2題，是讓學生尋找生活中的奇數(shù)和偶數(shù)，應鼓勵學生盡量多地發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學信息，如住幾號樓，公共汽車是幾路的，全村有幾戶人家，全班有多少人，等等。有了這些數(shù)據后，還可以在后面的練習中進一步判斷它們是不是2、5、3的倍數(shù)。 第5題，是一個解決實際問題的題目。由于媽媽買的是一些馬蹄蓮和郁金香，

15、馬蹄蓮10元1枝，所以它的總價是10的倍數(shù)，也就是整十數(shù)，而郁金香是5元1枝，所以它的總價是5的倍數(shù)，個位上是0或5，兩者合起來的總價一定是幾十元或幾十五元，因此，服務員找的錢數(shù)不對。 第7題是開放題，要運用3的倍數(shù)的特征來解決。如想“7是3的倍數(shù)”，就要想“7是3的倍數(shù)”，中符合條件的數(shù)有2、5、8。 第8題也是開放題，要找出一個偶數(shù)，同時又是3的倍數(shù)，可以先確定該數(shù)的個位上的數(shù)，再根據3的倍數(shù)的特征來確定其他位的數(shù)。而要找一個奇數(shù)，同時又是5的倍數(shù)，也是先確定個位上的數(shù)必須是5，其他數(shù)位上可以取任意數(shù)。 第10題，可以先把從4張卡片里取3張所能組成的所有三位數(shù)列出來：430、403、340

16、、304，450、405、540、504，350、305、530、503，435、453、345、354、534、543。羅列的時候，要引導學生采用有序的思考方式，保證不重復、不遺漏。然后再分別看這些數(shù)屬于下面的哪一類。也可以先根據下面各類數(shù)的特點確定范圍，如這些數(shù)字能組成的偶數(shù)，個位數(shù)只能是0和4，那么相應的數(shù)就有430、340、350、530、450、540，304、504、354、534。再如，由于這4張卡片中的3個數(shù)相加之和是3的倍數(shù)的情況有4509，4+3+5=12，因此能組成的3的倍數(shù)有450、405、540、504；345、354、435、453、534、543。教學時，還可以把

17、本題進一步拓展，如讓學生思考用這4張卡片能組成的3的倍數(shù)中，一位數(shù)有哪些，兩位數(shù)、四位數(shù)呢？ 第11*題，是讓學生進一步探索偶數(shù)和奇數(shù)的性質。練習時，可以讓學生結合具體的數(shù)來理解。3質數(shù)和合數(shù)在數(shù)論中，有關質數(shù)和合數(shù)的理論一直吸引著數(shù)學家們不斷探索。例如，我們已經知道質數(shù)的個數(shù)是無限的，但人們仍在不斷地尋找更大的質數(shù)，1996年9月初美國的科學家找到了一個新的最大質數(shù)（21257787-1）。再比如，1742年，德國數(shù)學家哥德巴赫提出了著名的“哥德巴赫猜想”：任何大于2的偶數(shù)，都可以寫成兩個質數(shù)之和，這一數(shù)學王冠上的明珠至今仍吸引著無數(shù)人孜孜以求。因此，在質數(shù)和合數(shù)的世界里充滿了神奇的數(shù)學魅力

18、。 在小學階段，只是讓學生在因數(shù)、倍數(shù)的基礎上初步掌握質數(shù)、合數(shù)的概念，為后面學習求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎。在本單元，要求學生能用自己的方法找出100以內的質數(shù)，并熟練判斷20以內的數(shù)哪個是質數(shù)，哪個是合數(shù)。教學時，可以先復習因數(shù)的概念，然后再讓學生找出120各數(shù)的所有因數(shù)，并引導學生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎樣分類。學生通過自主探索，會自覺地把這些數(shù)分成三類：只有因數(shù)1的；只有1和它本身這兩個因數(shù)的；除了1和本身之外還有其他因數(shù)的。在分類的基礎上，再引出質數(shù)、合數(shù)的概念，說明只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質數(shù)，有兩個以上因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)，1既不是質數(shù)，也不是合數(shù)。學

19、生掌握了質數(shù)和合數(shù)的概念以后，教師可以出示幾個數(shù)，讓學生判斷是質數(shù)還是合數(shù)，也可以由學生自己分別寫出幾個質數(shù)和幾個合數(shù)。質數(shù)和合數(shù)的概念：（1）根據20以內各數(shù)的因數(shù)個數(shù)把數(shù)分成三類：1、質數(shù)、合數(shù)。（2）可任出一個數(shù)，讓學生根據概念判斷其為質數(shù)還是合數(shù)。例1：找100以內的質數(shù)（1）方法多樣。可以根據質數(shù)的概念逐個判斷，也可用篩法。（2）把握教學要求：知道100以內的質數(shù)，熟悉20以內的質數(shù)。 本例讓學生運用質數(shù)的概念找出100以內的所有質數(shù)。學生通過此例可以學會找質數(shù)的一般方法“篩法”，即劃掉每個質數(shù)的所有倍數(shù)（它本身除外），剩下的都是質數(shù)。由于小學用到的質數(shù)比較少，所以教材中只要求學生找

20、出100以內的質數(shù)。這些質數(shù)不必要求學生都背熟，但是熟悉20以內的質數(shù)還是有必要的。 分解質因數(shù)的內容雖然不作為正式教學內容，但作為一種重要的方法技能，教材還是把它安排在“你知道嗎？”中進行介紹，供學生閱讀參考。 教學時，盡量采取讓學生自己完成任務的教學方式。學生在找100以內的質數(shù)時，所用的方法可能是多樣化的。例如，有的學生是先找每個數(shù)分別有幾個因數(shù)，然后再根據質數(shù)和合數(shù)的意義進行判斷。還有的學生采用的是“排除法”，因為質數(shù)只有因數(shù)1和它本身，所以，每個質數(shù)后面該質數(shù)的所有倍數(shù)都是合數(shù)，如2是質數(shù)，但是2的倍數(shù)（2本身除外）如4，6，8，10，都是合數(shù)，3是質數(shù)，它的倍數(shù)（3本身除外）如6，9，12，15，也都是合數(shù)。因此，只要把所有質數(shù)后面的倍數(shù)都劃去，剩下的就都是質數(shù)了。劃完后，還可以讓學生體會一下劃到幾的倍數(shù)就可以了。由于自然數(shù)是無限的，所以質數(shù)和合數(shù)也是無限的。本例中只要求學生列出100以內的質數(shù)表，這是因為較大的質數(shù)不常用。但20以內的質數(shù)用得較多，最好應提醒學生逐步記住。 到本節(jié)教材為止，已經出現(xiàn)了因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質數(shù)、合數(shù)等概念，有些概念學生容易混淆，如學生往往