《信息光學》第四章透鏡的位相調(diào)制和

1、本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容1、透鏡的位相調(diào)制作用2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)3、光學頻譜分析系統(tǒng)0 0、序、序 言言透鏡是一種非常重要的光學元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡的成像功能ff2）透鏡的傅里葉變換功能 （夫瑯和費衍射）f Question:Question: 透鏡為什么具有這樣的功能？透鏡為什么具有這樣的功能？1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.1 1.1 透鏡對入射波前的作用透鏡對入射波前的作用透鏡的復振幅透過率：,llUx ytx yU x y在旁軸近似下，忽略透鏡對光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復振幅分布為2200,expexp2lkUx y

2、Ajkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用則透鏡復振幅透過率表示為：則透鏡復振幅透過率表示為：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常數(shù)項常數(shù)項) )( (調(diào)制項調(diào)制項) )對于常數(shù)項，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對空間分布，分析時可忽略掉。對于調(diào)制項，它改變了平面上位相的相對空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會聚球面波。根據(jù)幾何光學中介紹的透鏡成像公式0111iddf(

3、( 為透鏡的焦距為透鏡的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用因此，透鏡的位相調(diào)制因子：因此，透鏡的位相調(diào)制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer:Answer: 透鏡本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡的不同部位時，經(jīng)過的光程差不同，即所受時間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。等相位面結論結論：通過上面的分析可知，透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會具有這種能力呢？1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.2 1.2 透鏡的厚度函

4、數(shù)透鏡的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況主要考慮薄透鏡的情況 ( (忽略了折射效應忽略了折射效應) )如果進一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認為通過透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個大小正比于透鏡各點厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：,exp,exp,ltx yjkx yjkL x yL(x,y)L(x,y) 00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之間的光程：則則 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度

5、函數(shù)(x,y)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結構參數(shù)(構成透鏡的兩個球面的曲率半徑R1和R2)之間的關系。2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 222221011101121222222022202222,11,11xyx yRRxyRRxyx yRRxyRR 僅考慮旁軸光僅考慮旁軸光2201211,2xyx yRR 將透鏡一剖為二將透鏡一剖為二12,x yx yx y 1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用1.3 1.3

6、透鏡的復振幅透過率透鏡的復振幅透過率根據(jù)厚度函數(shù)的表達式，可得到在旁軸近似下，光波通過透鏡時在(x,y)點發(fā)生的位相延遲 0,expexp1,ltx yjkjk nx y2201211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lktx yjknjxyf常數(shù)項常數(shù)項透鏡位相因子透鏡位相因子(n(n為透鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率) )1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用以上推導的關系適用于各種形式的薄透鏡，而且是在旁軸近似條件下推導出來的。透鏡的作用： 將入射平面波入射平面波變換為會聚（發(fā)散）球面波

7、會聚（發(fā)散）球面波 ，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是由于透鏡具有 的位 相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結果。22exp2kjxyf1 1、透鏡的位相調(diào)制作用、透鏡的位相調(diào)制作用22exp2kjxyf1）若在非旁軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生波像差。2）實際透鏡總是有大小的，即存在一個有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他于是透鏡的復振幅透過率可以完整的表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透鏡對入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對于入射波前大小

8、范圍的限制。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 回顧一下：利用透鏡實現(xiàn)夫瑯和費衍射，可以在透鏡的焦平面上得到入射場的空間頻譜，即實現(xiàn)傅里葉變換的運算。f 透鏡為什么具有這種功能呢？* * * * 根本原因在于它具有能對入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的根本原因在于它具有能對入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用。二次位相因子在起作用。 下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透鏡后焦面上的場是透鏡前端場U1(x,y)的

9、傅立葉變換(空間頻譜) 根據(jù)透鏡的位相調(diào)制功能，透鏡后端場U2(x,y)為:2221,exp2kUx yUx yjxyf從透鏡后端到后焦面光的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場U(x,y)為：221,expexp2fffffkUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff ?2.1 2.1 物體放置在透鏡前物體放置在透鏡前d d處處2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)后焦面上的場分布為22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffx

10、xxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面場是透鏡前端場的傅里葉變換焦面場是透鏡前端場的傅里葉變換( (空間頻譜空間頻譜) )。如上圖所示，距離透鏡前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)。若用振幅為A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場為：00000,UxyA t xy根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyH ffjd ff則有：則有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyH ffj ffF2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 上式具有普遍意義，它

11、證明在物體透射場的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場的傅里葉變換(空間頻譜)。 如果d0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個位相彎曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjdffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff 其中，T( )為透過率函數(shù)t( )的頻譜。對應的強度分布為22,fffffxyAIxyTfff（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 如果d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布是物體準

12、確的傅里葉變換。 如果d=0，物體在透鏡前端面，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個位相彎曲。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd2.2 2.2 物體放置在透鏡后方物體放置在透鏡后方沿光波傳播方向逐面進行計算，最終可獲得透鏡后焦面上的場分布為222,fffffxyAfIxyTddd對應的強度分布為2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結一下： 在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變

13、換平面或（空間）頻譜面。 如果采用球面波照明時，透鏡還能進行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎? Answer:Answer: 透鏡還能其傅里葉變換作用，但是頻譜面不再是焦平面，而是點光源的像面位置。具體推導過程可參考有關參考書，這里不再贅述。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)2.3 2.3 透鏡孔徑的影響透鏡孔徑的影響引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他透鏡的復振幅透過率可以表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf則后焦面上的光場分布為：22,exp,*,2fffffffffxyxyAkUxyjxyTPjffffff,ff

14、xyP x yPffF其中，2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì),xP x yrectl卷積的效果是使物體頻譜圖象產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說失真。透鏡孔徑越小，這種模糊越嚴重。假定透鏡孔徑是寬度為的矩形函數(shù)，即下圖是物體頻譜與光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結果。2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd220000000,exp,2ffAfkffUxyjxyt xyP xydddd 物體放置在透鏡后方時物體放置在透鏡后方時物體的透射光場為00,ffxyffPP xyddddF焦平面上的復振幅分

15、布為其中，* 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。（投影光瞳函數(shù)）（投影光瞳函數(shù)）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì) 物體放置在透鏡前方時物體放置在透鏡前方時以 波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況來說明對于譜面光場的影響。（1）002lLd0部分的空間頻率將全部成像在焦平面上2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)0M部分的空間頻率將部分成像在焦平面上（2）02MlLd2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)02MlLdM部分的空間頻率都不能成像在焦平面上。

16、（3）2 2、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)、透鏡的傅里葉變換性質(zhì)總結一下：總結一下：（1）有限大小的透鏡孔徑可能會造成物體頻譜的失真有限大小的透鏡孔徑可能會造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實際上 是一個低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率成分可以部分通過，高 頻部分則完全被濾出。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準確的物體頻譜，給傅 里葉變換結果帶來誤差，頻率越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈漸暈 效應效應。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。3 3、光學頻譜分析系統(tǒng)、光學頻譜分析系統(tǒng)光學頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對它進行測量、分析來研究物體的空間結構。上圖所示為二維光學頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點光源，L1為準直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復振幅透過率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xykTff3 3、光學頻譜分析系統(tǒng)、光學頻譜分析系統(tǒng)強度記錄得到物體的功率譜為 222222,xyI xyk Tff光學頻譜分析可用于微小物體的