數(shù)列求通項與求和方法總結(jié)

1、、公式法數(shù)列通項公式的十種求法已知數(shù)列a*滿足an.i =2an2n ,a2，求數(shù)列a*的通項公式。解：an i =2an2n兩邊除以2n 1，得養(yǎng)專 ，則弄-君#，故數(shù)列是以jl二£ 為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得=1 (n -1)?，所以數(shù)列an的通項22n' 7 2« 丿公式為 = (3 n - 1)2n。2 2an 二(an - an_1)(an j - an_2)丨丨 I (a3 - a2)' (a2 - a1 ) a1n 1n 221=(2 31) (2 31) |)|(2 31) (2 31) 3= 2(3n3n， |l

2、 32 31) (n-1) 33(1-3n)=2(n-1) 31-3=3n -3 n-1 3=3nn -1所以 an =3n n-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an2an 3 2n轉(zhuǎn)化為an 12n 1a3書二上，說明數(shù)列222-是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出an評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an畀=an 2 3n 1轉(zhuǎn)化為- an = 2 3 1，進而求出an =(an - an_1)(an_1- an/) 111 (a3 - a2)(a2 - a1)a，,即得數(shù)列an的通項公式。例4 已知數(shù)列an滿足an3an - 2 3n 1，a 3，求數(shù)列an的通項公式。、累

3、加法2n=1 (n -1)-，進而求出數(shù)列2an的通項公式。解:3a21兩邊除以3得刖牛£卡例2已知數(shù)列an滿足an i二an 2n 1, ai =1，求數(shù)列an的通項公式。an 1盯3n3n 1，故解：由 anan 2n 1 得 a. 1 -a. = 2n 1 則an=(an-an)(an-and)|l(3-a2) -aja1-2(n-1) 1 2(n-2) 1 |l| (2 2 1) (2 1 1) 1= 2(n -1) (n -2) |l| 2 1 (n -1) 1=2 (n-1) 12=(n -1)(n 1) 12二 n所以數(shù)列an的通項公式為an = n2。a3n(an a

4、nJ、：. ( an 二 an_2、： 訝-無 0_3)=(2 丄)(25 3八3= 2 .丄1 3(3n 3n 3an-3n 3212131 1n_1于山扌)1因此罕沁).如匚).3n31 - 3勺丄丄，n 丿32 2 3n評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式anan2n1轉(zhuǎn)化為an- an=2n 1，進而求出(an -an) (an4 -anMH (a3 -a2)2-aj a1，即得數(shù)列an的通項公式。例3已知數(shù)列an滿足an 1二an 2 3n 1，a 3，求數(shù)列%的通項公式。解：由 an an - 2 3n 1 得 a -a. =2 3n 1 則評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1

5、 = 3an 2 31轉(zhuǎn)化為一詈3(4 _ anX )亠(and _ an -2 )亠(an-2(n n 二丿 (n1n-2 丿(n-233333求數(shù)列an的通項公式。an 21禹，進而求出3n 3 3n 1a 1，即得數(shù)列n的通項公式，最后再1.3 J三、累乘法例5已知數(shù)列an滿足an1=2( n T)5n a., a3，求數(shù)列an的通項公式。解:a因為an 1 =2(n 1)5n a.,印=3，所以務(wù)=0，則亠丄2(n 1)5n，故an四、待定系數(shù)法ananan 1a3 a2a1anl an 2a2 ai= 2(n-1 1)5-j2(n-2 1)5n| 2(2 1) 522(1 1) 51

6、 32n An(n1)3 2 5(n)心 2 1 3n(n)=3 2nln!例7已知數(shù)列an滿足an2an 3 5n，a 6，求數(shù)列；云 的通項公式。解：設(shè) an d x 5n d =: 2(an x 5n)將an申= 2an +3x：5n代入式，得2a3 5 + 5* 乳+ 2 5,等式兩邊消去2an ,得3 -5n x 5nd = 2( 5,兩邊除以 5n，得 3 5x = 2x,則x- -1,代入式得 and - 5n" = 2(an - 5n)n(n J)所以數(shù)列an的通項公式為an =3 2nd 5 n!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an d 2( n1)5n an轉(zhuǎn)化

7、為也 =2( n 1)5n ,進而求出ana _ 5n*由印-51 =6- 5 = 1 = 0及式得a. -5n = 0，則亠1 = 2，則數(shù)列a 5n是以q - 51 = 1為首 an-5n項，以2為公比的等比數(shù)列，則 an -5n =2nJ，故an = 2心 5n 。'n 1anan A也|(邑邑a1，即得數(shù)列an的通項公式。 an _2a2 a1評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an d - 2an 3 5n轉(zhuǎn)化為an d-5nd-2(a 5n)，從而可知數(shù)列% -5n是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 a. -5n的通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公式。(2004年全國I第15題，原

8、題是填空題)已知數(shù)列an滿足a1 =1, an 二a1 2a? 3a dl| (n -1応(n 一 2)，例8已知數(shù)列an滿足an d -3an - 5 2n 4, a1，求數(shù)列務(wù)的通項公式。求an的通項公式。解：設(shè) an d x 2nd y = 3(an x 2n y) 解：因為 an = a1 2a2 3a3 V (n -1)an(n _ 2)將an d = 3an 5 2n 4代入式，得所以 a* 1 = a1 2a2 ' 3a11(n -1)an'na*3an 5 2n 4 x 2n 1 y = 3(an x 2n y)用式一式得an d -an二nan.整理得(52x

9、) 2n 4 y = 3x 2n 3y 。則 an 1 =(n 1)an(n _2)故色亠=n 1(n亠2) an人 5 2x = 3x令4 y = 3y1 x = 5，則，代入式得卄2an1 5 2n1 2=3(an 5 2n 2)所以an乩也III魚兔=n(n -1)川4 3aan4 anda2n!2石牡由 a1 5 21 2=1 12 = 13= 0 及式,由 an=a12a23aH (n-1總4(n-2),取n =2得aa12a?，則aa1，又知a1，則_ n_! 。2a2 -1，代入得an =1 3 4 5川a + 5漢 2“比 + 2得 an 5 22=0，則電2 = 3 ,an

10、5 2n 2所以,n!an的通項公式為an :2評注:本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式故數(shù)列a 5 22是以a1 5 21 2 =1 T2 = 1釣首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此an 5 2n 2 = 13 3nJ，則 a 13 3n_l-5 2n - 2。anan 4們|昱a2，從而可得當(dāng)an -2a2a占an 1 =(n 1)an(n - 2)轉(zhuǎn)化為 亠二n 1(n - 2)，進而求出an-2時，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列 an的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an d - 3an 5 2n 4轉(zhuǎn)化為an 1 5 2n1 - 2=3(an 5 2n 2)，從而可知數(shù)列a. 5

11、2 2是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 an 5 2n 2的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。2例9已知數(shù)列an滿足an = 2an 3n 4n 5, a 1，求數(shù)列an的通項公式。2 2解：設(shè) an 彳 x(n 1) y(n 1) z 二 2(an xnyn z) 2將an 2an 3n 4n 5代入式，得代入迫式，得lg an d (n 1)里 dMSQgan衛(wèi)3 n 里 )41644164122 2 22an 3n4n 5 x(n 1)y(n 1) z = 2(an xn yn z)，則由 lg a1凰141642 22an (3 x) n (2x y 4)n (x y z 5) = 2a

12、n 2xn 2yn 2z得 lg an等式兩邊消去 2an，得(3 x)n2(2x y 4)n (x y z 5) = 2xn2 2yn 2z,l3 x = 2xx = 3II解方程組丿2x+y+4=2y ，貝U <y=10，代入式，得(x+y+z+5=2z z =18an , 3(n 1)2 10(n 1) 18 =2(an 3n2 10n 18)由 a1 3 12 10 1 18 =1 3 3=0 及式，得 an 3n2 10n 18 = 02則騷 如 1)1°(n1) 18=2，故數(shù)列an 3n210n18為以2a 3n 10n 182a13 110 118 =1332為

13、首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此an 3n2 10n 18 =32 2nl，則 an=2n 4 -3n2 -10n -18。0an 1 =2an 3n 4n 5轉(zhuǎn)化為2 23n -10n，18)，從而可知數(shù)列an ' 3n 10n T8是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列an 3n2 10n 18的通項公式，最后再求出數(shù)列 外的通項公式。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式2an ,3(n 1)2 10(n 1) 18 =2(an五、對數(shù)變換法例10已知數(shù)列an滿足an 1 =2 3n a： , a7，求數(shù)列an的通項公式。I ,n 5n 5解：因為a* 1 = 2 3 an, a - 7，所以an

14、 0, an 10。在an - 2 3 a*式兩邊取常用對數(shù)得lg an 1 =5lg an n lg 3 lg 2設(shè) lg an 1 x( n 1) y =5(lg an xn y)11將式代入 式，得5lg an ' nlg3 lg 2 x(n 1) y = 5(lg anxn y)，兩邊消去5lg an并整理,得(lg3 x)n x y lg 25xn 5y，則lg31 y = m lg3 x =5x，故x +y +lg2=5y4里必= lg7里1 . Jg3 . r 0及辺式，41644164曲爭n 1)器 則416lgan+字 n +4-= 0,4 = 5, lg3 Jg21

15、64所以數(shù)列l(wèi)g an n 空 是以lg 74164416.蛭n朋必=(g7型四必)5_141644164?lg 3 lg 3 lglg 3 lg 3 lg 2= (lg7)5n-4164464111n1= (lg7 lg37lg 3® lg27)51111nlganlgan則anJg3 Jg3 Jg2為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則4因此1一 lg 34 - lg 316 - lg 241 1二lg(7 34 316 24)5n一 lg(34 316 24)5n -J= lg(75n -J= lg(7113而刁)5n_l - lg，3兀 2刁)5-n5 J5n 13 3 162 )

16、5n/n45n_J3 162 4 )5n4n45ncn_L二 3 162 4 。本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an. 2 3n £轉(zhuǎn)化為lg an 1 (n 1) 尬 =5(lg a n 朋 )，從而可知數(shù)列41644164lg an n 也.是等比數(shù)列，進而求出數(shù)列l(wèi)g an n 朋.的通項公式，最后41644164再求出數(shù)列an的通項公式。評注:六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足anr = ajn 1)2 , a 5，求數(shù)列an的通項公式。3(n 1)2n3n2n3(n)2n/ 3n 2n解：因為an4t=a,1 ，所以an=an_1=an篤132(nn2(n (n1)二

17、 an _23(n _2) 2n 3 32(n 丄)n 2(n H= an；33(n _2)(n 丄)n 2(n 耳(n 目(n1 an J3=ill_ 3“丄2 3|”|”5_2) (,n n 21申柚中型牛2傘衛(wèi) 二 an(n 1)3n 丄 n! 2F =a-in(n _U3n n ! 22 又a5，所以數(shù)列an的通項公式為an =5!。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an 1 = a3"12"兩邊取常用對數(shù)得 lgan1.=3(n 1) 2n lg an，即 lg ann(n 1)2lg a. lg忙晉X乜5宀2lg a1七、數(shù)學(xué)歸

18、納法例12已知數(shù)列a.滿足 an 1 = an8( n+1)2 2 ?(2n 1) (2n 3)= 3(n 1)2n再由累乘法可推知3nn!2鳴，從而an = 5。ai8,求數(shù)列an的通項公式。92(2k 1) -18(k 1) 1 2 2 2(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)-(2k + 1)2(2k + 3)2(2k 1)2(2k 3)2-(2k 3)2 8(k 1)2 2(2k + 1)2(2k + 3)2(2k 1)2(2k 3) -(2k 1)22 2(2k + 1)2(2k + 3)22(2k 3)-1-(2k 3)22(

19、k 1) 12 -122( k 1) 12由此可知，當(dāng)n = k 1時等式也成立。根據(jù)(1)，(2)可知，等式對任何 n N*都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法解：由 a'an (2n Xn 3)8兀及a1，得91 例13已知數(shù)列an滿足an計(1 4an 1 24an), a 1，求數(shù)列an的通項公式。a2 =aia3 = a28(1+1)8 丄 8疋2(2 1 1)2(2 1 3)299 258(2 1)2425. 1解：令 bn1 24an，則 an 二另(b：-1)a4 - a3(

20、2 2 1)2(2 2 3)28(3 1)24 8 3= r 25 25 4948491 2 1 ,故 an1 二 N(bn 1 -1)，代入 an 1 = 16 (1 4an J 24an)得+(2 3 1)2(2 3 3)248 8 4=I 49 49 8181=80由此可猜測an2(2n 1) -12 ?(2n 1)2往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。知bU 計1 £1) bn即 4b；廠(bn - 3)2(1)當(dāng) n =1 時,(2 1 1)24 =-1(2 1 1)2=，所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)n二k時等式成立，即ak(2k ° J，則當(dāng) n = k 1 時,(2

21、k 1)2ak 1 ak (2k 1)2(2k 3)2因為 bn h；：1 24an 一 0，故 bn1 二 1 24務(wù)十-01 3則 2bn .1 二 bn 3，即 bn10 二，2 21可化為bn1-3(bn -3)，2所以bn-3是以0-3=. 1一24q-3= 1 24 1-3=2為首項，以-1為公比的等比數(shù)列，因此11 1 1bn -3=駕嚴(yán)七嚴(yán)，則bn出嚴(yán)"，即 .F七)夕3，得an £4)n (2)n 3。3 42313評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將.1 24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化 bndbn 形式,v 2 2 從而可知數(shù)列bn_3為等比數(shù)列，

22、進而求出數(shù)列 bn-3的通項公式，最后再求出數(shù)列 an的通項公 式。1 3評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將1 24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化 bn .1bn形式,2 2bn -3的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公專題講座數(shù)列求和的基本方法和技巧從而可知數(shù)列bn -3為等比數(shù)列，進而求出數(shù)列 式。數(shù)列在高考中的要求:九、不動點法21a -24例14已知數(shù)列an滿足an 44an 1ai-4，求數(shù)列an的通項公式。解:令 x = 21x 24，得 4x2 -204x 1x24 0=21 x_24則 x1 = 2, x2 = 3是函數(shù) f (x)=的兩個不動點。4x 1因為an 1_2

23、an 1 -321an 242_ 4an 121an -24321務(wù)24-2(4可 ° J3-26-13。所以數(shù)列21an - 24 - 3(4an 1) 9an - 274213=2為首項，以13為公比的等比數(shù)列，故6 -3 4 -39an 一2"=2計an2 3評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)21x 24f(x)二24的不動點，即方程21x 24x的兩個根4x + 1a + 2x1 =2, x2 =3，進而可推出an出一39 an 一34x 113 a -2a 2 I13 汕二，從而可知數(shù)列n .為等比數(shù)列，再求出數(shù)列l(wèi)an 3J1 等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本、最重

24、要及使用最廣泛的數(shù)列，其他數(shù)列問題的解決往往借 助它們完成，或經(jīng)過變形轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或利用等差、等比數(shù)列的研究方法。所以等差數(shù)列和 等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識是數(shù)列中最基本、最重要也最易把握的知識。2 數(shù)列的通項是數(shù)列最重要、最常見的表達(dá)形式，它是數(shù)列的核心。應(yīng)弄清通項公式的意義一一 項數(shù)n的函數(shù)；理解通項公式的作用一一可以用通項公式求數(shù)列的任意一項的值及對數(shù)列進行一般性的 研究。3 數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達(dá)形式，可以是一階線性遞推、二階線性遞推、二次函數(shù)形式 遞推、勾函數(shù)形式遞推、和奇偶聯(lián)系的遞推等，是高考的熱點。要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的 訓(xùn)練。4 數(shù)列求和的問題往往和其他知

25、識綜合在一起，綜合性教強。數(shù)列求和就顯得特別 重要，數(shù)列求和就需要根據(jù)數(shù)列的特點選擇最適合的方法，那么必須掌握幾種常用的數(shù)列 求和方法。5 自從文科不考數(shù)學(xué)歸納法以來，數(shù)學(xué)歸納法幾乎成了一個理科必考的內(nèi)容。而且常常和放縮法、 函數(shù)單調(diào)性、構(gòu)造法等聯(lián)系在一起，能力要求較高。6 縱觀近幾年的高考，每年都有求極限的題目。常以選擇題、填空題的形式命題，有時也作為某 一大題的某一問出現(xiàn)，難度不大。7 數(shù)列的使用極其廣泛，因此盡管現(xiàn)在的使用題多為概率統(tǒng)計，但不排除考數(shù)列使用題的可能， 也有可能是數(shù)列和概率交匯。8 數(shù)列常和函數(shù)、不等式、分析幾何、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、三角、向量、二項式等知識聯(lián)系在一起， 以它的

26、復(fù)雜多變、綜合性強、解法靈活等特征成為高考的中檔題或壓軸題。也三的通項公式，最后求出數(shù)列 an的通項公式。an -3、利用常用求和公式求和1、等差數(shù)列求和公式:7a -2例15已知數(shù)列an滿足an 1n ，ai =2，求數(shù)列an的通項公式。2an +3(q = 1)2、等比數(shù)列求和公式:Sn =丿 a1(1 -q")7x 2解:令 x，得 2x2 -4x，2=0，貝U x = 1 是函數(shù) f (x)=2x 33x_1的不動點。4x 7因為an 1 T二7an -22an 3= 5an 一5，所以2 an 33、nSn二 kkd17(n 1)(q =1)4、SnkT2 1k n(n 1

27、)(2 n 1)62/5 an 葛(7nSn 八 k3kN1 2 p(n 1)例1已知數(shù)列an,an=xn,(XM 0),Sn數(shù)列的前n項和，求Sn。解：當(dāng)x=1時，Sn =n當(dāng)x m 1時，、an J為等比數(shù)列，公比為 x由等比數(shù)列求和公式得Sn = X X2 X亠 亠Xn(利用常用公式)x(1 -Xn)1 -X【鞏固練習(xí)】1:已知數(shù)列an ?的通項公式為an =3 n-14 , Sn為;、an /的前n項和，(1 )求Sn ；( 2)求 an 的前20項和。解：二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an 、

28、bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 2求和：Sn =1 3x 5x2 7x3 爲(wèi)“宀(2n - 1)xn4 (x = 0)解：當(dāng) x=1 時，Sn=13 *15 *127*13-(2n -1)1n=1 3 5 11|(2n-1) = n22n1解：由題可知，=的通項是等差數(shù)列2n的通項和等比數(shù)列一 的通項之積2n2n?2232n?n 1位)一得(1)Sn = 2 g W W2 2n2 2 22 23 24c 1 2n =2-2c , n十 2 Sn 4 -22 n 2*4三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)原數(shù)列相加，就可以得到n個(a&

29、lt; an).例 3求證：c0 3Cn - 5Cn2 -(2n T)C：二(n 1)2n證明：設(shè) Sn =C0+3C：+5C：+(2n + 1)C； .把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得& =(2n 1)C：(2n - 1心心 3C： C當(dāng) xm 1 時， Sn =1 +3x +5x2 +7x3 + +(2n _ 1)xn式兩邊同乘以x得xSn =1x+3x2+咳3+ (n2- X?)牛n 2 xn -1) (設(shè)制錯位)一得 (1 - x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2x 2xn4 - (2n - 1)xn(錯位相減)1 _xnx再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 -x)sn 1 2x(2n -

30、 1)xn1 - xc (2n 1)xn_h -(2n +1)xn +(1 +x)Sn :【鞏固練習(xí)】2：求數(shù)列2二,2，2 22 23又由cmn -mn可得Sn =(2n 1)C：(2n - 1)C：3C；-1 - C：+得2Sn = (2n 2)(C0 CC；)=Sn =(n 1) 2n2(n1) 2【鞏固練習(xí)】3：求sin21 sin22 sin23幾；心in288sin289的值(1 -x)2，前n項的和. ，2nQ OQ OQ OQOQO解：設(shè) S = sin21sin2 2sin 2Sin2 88sin289 將式右邊反序得2。 2。 2。 2。 2 °S = si n

31、89 + si n 88 + + si n3 + s in2 +sin1 .(設(shè)制錯(錯位相減)，再把它和(反序)(反序相加)(反序)722又因為 sin x = cos(90 - x), sin x cos x = 1+得（反序相加）20202 Q2。2。2。2S 二(sin 1 cos 1 ) - (sin 2 cos 2 )圧 吒(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.52_ n(n 1) (n 2) 2五、裂項法求和四、分組法求和這是分解和組合思想在數(shù)列求和中的具體使用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適

32、當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比后重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的目的.通項分解（裂項）如:或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.形如:On _bn ?的形式，其中 an 、 bn是等差數(shù)列、等比數(shù)列或常見的數(shù)列(1)an(2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) - tan n例4求數(shù)列的前n項和：11,-4,-1+ 7 2> na aa3n 2 ,-1 1解：設(shè) Sn =(1 1) ( 4) (p 7)naaa13n -2)(3)an將其每一項拆開再重新組合得(5)n(n 1)(4)(2n)2(2n-1)(2n 1)2 2n-1 2n 1當(dāng)a= 1時,當(dāng)a

33、=1時,丄1a2SnanSnnJ)(1 47 九n _2)a(3n-1)n(3n1)nr （分組）n(n- 1)( n 2)Tn(n 1)(n 1)(n2)（分組求和）ann 2n(n 1)2(n1) - nn(n 1)1n_Jn 21,則 Sn = 1-1(n 1)2n '、n(n 1)2n1 _nan + (3a_a *(3n_1)n2=廠aa -1【鞏固練習(xí)】 4：求數(shù)列n（n+1）（2n+1）的前n項和.解：設(shè) ak = k(k 1)(2k 1) = 2k3 3k2 kSn 二' k(k 1)(2k 1) =、 (2k3 3k2 k)k=1(7)(8)將其每一項拆開再重

34、新組合得Sn= 2 二 k 3 二 k（分組）(An B)(A n C)C - B (AnB=2(13 23n3) 3(1222n2) (1 2 n)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)（分組求和）1(n 1)! n! (n 1)!(9) an 二例5求數(shù)列-，-,1 +V2（2七3解：設(shè)an則Sn【鞏固練習(xí)】，.，的前n項和.n i n 1（裂項）（裂項求和）=(. 2 - . 1)(. 3 - i 2)n 1 -n)-n 1 _15：在數(shù)列a n中，an二 -，又bnn+1 n+1，求數(shù)列bnan -an-1解:12nnan+ +* *.+n1n 1n 12bn2=

35、8(-nn 1nn 122數(shù)列b n的前n項和1111（裂項）【鞏固練習(xí)】6:在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6 = 9,求log3a1log3a2：log3a10的值.解：設(shè) Sn = log3 a1log3 a 川 log 381。求證:-(1n（裂項求和）由等比數(shù)列的性質(zhì) m n = p q= aman = apaq（找特殊性質(zhì)項）8n111C0S12 =cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89 sin 11 1 1解：設(shè)S-cos0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89sin 1cos n cos(n 1)-=tan(n 1) -tan n（裂項）1 1 1 S(裂項求和)cos0 c