數(shù)學歸納法(1)

1、高二數(shù)學組高二數(shù)學組 問題問題 1 1: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 對對于于數(shù)數(shù)列列已已知知，猜猜想想其其通通項項公公式式111a 212a 1nan 313a 問題問題2：某人看到樹上烏鴉是黑的，某人看到樹上烏鴉是黑的，深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。深有感觸地說全世界的烏鴉都是黑的。 問題情境一問題情境一.我是白的哦！思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？思考：歸納法有什么優(yōu)點和缺點？優(yōu)點：優(yōu)點：可以幫助我們從一些具體事可以幫助我們從一些具體事 例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律缺點：缺點：僅根據(jù)有限的特殊事例歸納僅根據(jù)有限的特殊事例歸納 得到的結(jié)論有時是不正確的得到的結(jié)論有時

2、是不正確的思考思考1 1：與正整數(shù)與正整數(shù)n n有關(guān)的數(shù)學命題能否有關(guān)的數(shù)學命題能否通過通過一一驗證一一驗證的辦法來加以證明呢？的辦法來加以證明呢？思考思考2 2：如果一個數(shù)學命題與正整數(shù)如果一個數(shù)學命題與正整數(shù)n n有有關(guān)關(guān), ,我們能否找到一種既簡單又有效的證我們能否找到一種既簡單又有效的證明方法呢？明方法呢？數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法【命題成立的連命題成立的連續(xù)性續(xù)性】137951+3+5+(2n1)=n2 (nN*)證明：證明：例例1：觀察：觀察歸納猜想：歸納猜想：你能得出什么結(jié)論？你能得出什么結(jié)論？并用數(shù)學歸納法證并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論。明你的結(jié)論。nn（1）當）當n=1時，左邊時，左

3、邊=1, 右邊右邊=12=1，等式成立等式成立.（2）假設）假設n=k時等式成立，時等式成立， 即即1+3+5+(2k1)=k2 ,則則n=k+1時，時， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即即n=k+1時等式也成立時等式也成立.根據(jù)（根據(jù)（1）,（2）知等式對一切）知等式對一切nN*都成立都成立.135（2n1）用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明n2即當即當n=k+1時等式也成立。時等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1 1）和（）和（2 2）可知，等式對任何都成立。）可知，等式對任何都成立。n N證明：證明：135（2k1）+2(k+

4、1)1那么當那么當n=k+1時時（2）假設當）假設當nk時，等式成立，即時，等式成立，即（1）當）當n=1時，左邊時，左邊1，右邊，右邊1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假設）（假設）（利用假設）（利用假設）注意：注意：遞推基礎不可少，遞推基礎不可少， 歸納假設要用到，歸納假設要用到， 結(jié)論寫明莫忘掉結(jié)論寫明莫忘掉。證明傳遞性證明傳遞性（湊結(jié)論）湊結(jié)論）數(shù)學歸納法步驟，用框圖表示為：數(shù)學歸納法步驟，用框圖表示為： 驗證驗證n= =n0 0時時命題成立。命題成立。若若n = k ( k n0 0 ) 時命題成立，時命題成立，證明當證

5、明當n=k+1時命題也成立。時命題也成立。 命題對從命題對從n0 0開始的所有開始的所有的正整數(shù)的正整數(shù)n都成立。都成立。歸納奠基歸納奠基歸納遞推歸納遞推 注：兩個步驟注：兩個步驟,一個結(jié)論一個結(jié)論,缺一不可缺一不可證明證明：（1）當當n=1時時，,1a 左邊左邊,011ada 右右邊邊等式是成立的等式是成立的（2）假設當假設當n=k時等式成立，就是時等式成立，就是,) 1(1dkaak 那么那么daakk 1ddka )1(1這就是說，當這就是說，當n=k+1時，等式也成立時，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式對任何），可知等式對任何 都成立都成立Nndka1)1(1 dnaan

6、)1(1 如果如果 是等差數(shù)列，已知首項為是等差數(shù)列，已知首項為 公差為公差為 ，那么，那么na1ad對一切對一切 都成立都成立 Nn例例2 2試用數(shù)學歸納法證明試用數(shù)學歸納法證明 因此數(shù)學歸納法是一種科學的遞推方法因此數(shù)學歸納法是一種科學的遞推方法 (1)(1)是是遞推的遞推的基礎基礎 (2)(2)是是遞推的遞推的依據(jù)依據(jù)都成立。何對任時等式都成立，即等式，知道推下去，就時等式也成立，這樣遞），時等式成立，再根據(jù)（也成立。由于時等式），時等式成立，再根據(jù)（），：根據(jù)（上述結(jié)論是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 nn -1n1已 知 數(shù) 列 a 為 等為 q,求 證

7、: 通 項：公 式 為 a= a qn nn n - -1 1練練 習習比比 數(shù)數(shù) 列列 ，公公 比比（ 提提 示示 ： a a= = q qa a）例例3：用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化利 用 假利 用 假設設湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設假設n=k時命題成立時命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當則當n=k+1時，時， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2

8、)(1( kk)131( k n=k+1時命題正確。時命題正確。 由由(1)和和(2)知，當知，當 ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當當n=1時，左邊時，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 11 12 23 33 3練習練習2用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明6) 12)(1(3212222nnnn證明：證明：（1）當）當n=1時，左邊時，左邊121，右邊，右邊等式成立。等式成立。（2）假設當）假設當n=k時，等式成立，就是時，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么 61)1(21)1()1(6)32)(2)(1

9、(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk這就是說，當這就是說，當n=k+1時等式也成立。時等式也成立。根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對任何），可知等式對任何nN都成立。都成立。思考思考1 1：試問等式試問等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立嗎？某成立嗎？某同學用數(shù)學歸納法給出了如下的證明，請問該同同學用數(shù)學歸納法給出了如下的證明，請問該同學得到的結(jié)論正確嗎？學得到的結(jié)論正確嗎？解解: :設設n nk k時成立，即時成立，即這就是說，這就是說，n nk+1k

10、+1時也成立時也成立2+4+6+2kk2+k+1則當則當n=k+1n=k+1時時 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式對任何所以等式對任何nNnN* *都成立都成立事實上，當事實上，當n n1 1時，左邊時，左邊2 2，右邊，右邊3 3左邊左邊右邊，等式不成立右邊，等式不成立該同學在沒有證明當該同學在沒有證明當n=1n=1時，等式是否成立的前提時，等式是否成立的前提下，就斷言等式對任何下，就斷言等式對任何nNnN* *都成立，為時尚早都成立，為時尚早證明：證明：當當n=1時，左邊時，左邊,21右邊右邊,21

11、2111 假設假設n=k時，等式成立，時，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1時時 1322121212121kk等式成立等式成立這就是說，當這就是說，當n=k+1時，等式也成立時，等式也成立根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可知等式對任何），可知等式對任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的證明沒有在假設條件下進行，因此不符合第二步的證明沒有在假設條件下進行，因此不符合數(shù)學歸納法的證明要求數(shù)學歸納法的證明要求思考思考2 2：下面是某同學下面是某同學 用數(shù)學歸納法證明等式用數(shù)學歸納法證明等式成立的過程成立的過程, ,它符合數(shù)學歸納法的證明要求嗎？為什么它符合數(shù)學歸納法的證明要求嗎？為什么？（nN）nn2112121212132 因此，用數(shù)學歸納法證明命因此，用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，缺一不可。第一題的兩個步驟，缺一不可。第一步是步是遞推的遞推的基礎基礎，第二步是，第二步是遞遞推的推的依依據(jù)據(jù)。缺了第一步遞推失。缺了第一步遞推失去基礎；缺了第二步，遞推失去去基礎；缺了第二步，遞推失去依據(jù)，因此無法遞推下去。依據(jù)，因此無法遞推下去。1.1.數(shù)學歸納法是一種證明與數(shù)學歸納法是一種證明與正