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文檔簡介
1、命題與證明的知識點總結(jié)知識結(jié)構(gòu)梳理二、知識點歸類知識點一定義的概念對于一個概念特征性質(zhì)的描述叫做這個概念的定義。如:“兩點之間線段的長度,叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義。注意:定義必須嚴(yán)密的,一般避免使用含糊不清的語言,例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn)。知識點二命題的概念敘述一件事情的句子(陳述句),要么是真的,要么是假的,那么稱這個陳述句是一個命如“你是一個學(xué)生”、“我們所使用是教科書是湘教版的”等。注意:(1)命題必須是一個完整的句子。(2)這個句子必須對某事情作出肯定或者否定的判斷,二者缺一不可。知識點三命題的結(jié)構(gòu)每個命題都有條件和結(jié)論兩部分組成。條
2、件是已知的事項,結(jié)論是由已知事項推斷出的事項。一般地,命題都可以寫出“如果一一,那么”的形式。有的命題表面上看不具有“如果一一,那么”的形式,但可以寫成這種形式。如:“對頂角相等”,改寫成“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”。例把下列命題改寫成“如果-,那么”的形式,并指出條件與結(jié)論。1、同角的余角相等2、兩點確定一條直線知識點四真命題與假命題如果一個命題敘述的事情是真的,那么稱它是真命題;如果一個命題敘述的事情是假的,那么稱它是假命題注意:真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的,在判斷命題的真假時,要注意把握這點。知識點五證明及互逆命題的定義1、從一個命題的條件出發(fā),通過講道理(推理),得
3、出它的結(jié)論成立,這個過程叫作證明。注意:證明一個命題是假命題的方法是舉反例,即找出一個例子,它符合命題條件,但它不滿足命題的結(jié)論,從而判斷這個命題是假命題。2、 一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,這兩個命題稱為互逆的命題,其中的一個命題叫作另一個命題的逆命題。注意:一個命題為真不能保證它的逆命題為真,逆命題是否為真,需要具體問題具體分析。例說出下列命題的逆命題,并指出它們的真假。(1)直角三角形的兩銳角互余;(2)全等三角形的對應(yīng)角相等。原時版共計物否部噩音THSqiilp哥網(wǎng)qT劃£鼻陰對虎關(guān)3E可耳可情.保3湄可由可促可口可假可期J限$a司日可昵假低類型一:例、判
4、斷下列語句在表述形式上,哪些對事情作了判斷?哪些沒有對事情作出判斷?(1)對頂角相等;(2)畫一個角等于已知角;(3)兩直線平行,同位角相等;(4)支,占兩條直線平行嗎?(5)鳥是動物;(6)若次,=4,求4的值;(7)若像,則厘二B思路點撥:通過本題熟悉命題的定義解析:句子(1)(3)(5)(7)對事情作了判斷,句子(2)(4)(6)沒有對事情作出判斷.其中(1)(3)(5)判斷是正確的,(7)判斷是錯誤的.【變式11下列語句中,哪些是命題,哪些不是命題?(1)若a<b,則一七<一厘;(2)三角形的三條高交于一點;(3)在4ABC中,若AB>AC,則/C>/B嗎?(4
5、)兩點之間線段最短;(5)解方程鏟2萬-3=0.(6)1+23.【答案】(1)(2)(4)(6)是命題,(3)(5)不是命題.類型二:例、指出下列命題的條件和結(jié)論,并改寫成如果那么”的形式:(1)三條邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等;(2)在同一個三角形中,等角對等邊;(3)對頂角相等;(4)同角的余角相等;(5)三角形的內(nèi)角和等于180°(6)角平分線上的點到角的兩邊距離相等.思路點撥:找出命題的條件和結(jié)論是本題的難點,因為命題在敘述時要求通順和簡練,把命題中的有些詞或句子省略了,在改寫時注意要把省略的詞或句子添加上去.解析:(1)三條邊對應(yīng)相等”是對兩個三角形來說的,因此寫條件時最好把
6、兩個三角形”這句話添加上去,即命題的條件是兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等”,結(jié)論是這兩個三角形全等”.可以改寫成如果兩個三角形有三條邊對應(yīng)相等,那么這兩個三角形全等(2)等角對等邊含義”是指有兩個角相等所對的兩條邊相等??梢愿膶懗扇绻谕粋€三角形中有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等?!敝档米⒁獾氖?,命題中包含了一個前提條件:在一個三角形中”,在改寫時不能遺漏.(3)這個命題的條件是兩個角是對頂角”,結(jié)論是兩個角相等”.這個命題可以改寫成如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等(4)條件是兩個角是同一個角的余角”,結(jié)論是這兩個角相等這個命題可以改寫成如果兩個角是同一個角的余角,那么這兩個角相等(
7、5)條件是三個角是一個三角形的三個內(nèi)角”,結(jié)論是這三個角的和等于180。這個命題可以改寫如果三個角是一個三角形的三個內(nèi)角,那么這三個角的和等于1800-(6)如果一個點在一個角的平分線上,那么這個點到這個角的兩邊距離相等。”總結(jié)升華:注意原命題中省略的重要內(nèi)內(nèi)容一定要補(bǔ)充完整。【變式1】試將下列各個命題的題設(shè)和結(jié)論相互顛倒或變?yōu)榉穸ㄊ?,得到新的命題,并判斷這些命題的真假.(1)對頂角相等;(2)兩直線平行,同位角相等;(3)若a=0,則ab=0;(4)兩條直線不平行,則一定相交;【答案】(l)對頂角相等(真);相等的角是對頂角(假);不是對頂角不相等(假);不相等的角不是對頂角(真).(2)兩
8、直線平行,同位角相等(真);同位角相等,兩直線平行(真);兩直線不平行,同位角不相等(真);同位角不相等,兩直線不平行(真).(3)若a=0,貝Uab=0(真);若ab=0,貝Ua=0(假);若a,Q貝Uab,0假);若ab,O,貝Ua,0仁).(4)兩條直線不平行,則一定相交(假);兩條直線相交,則一定不平行(真);兩條直線平行,則一定不相交(真);兩條直線不相交,則一定平行(假).【變式2】判斷正誤:(1)如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等。()(2)如果兩個角相等,那么這兩個角是對頂角。()(3)如果兩個角有公共頂點,那么這兩個角是對頂角。()(4)如果兩個角有公共頂點,有一條公共邊,
9、那么這兩個角是鄰補(bǔ)角。()(5)如果兩個角是鄰補(bǔ)角,那么這兩個角一定互為補(bǔ)角。()(6)如果兩個角的和是180°,那么這兩個角是鄰補(bǔ)角。()(7)對頂角的角平分線在同一條直線上。()(8)如果兩個角有公共頂點,且角平分線互為反向延長線,那么這兩個角是對頂角?!敬鸢浮?(1)V(2)4(3)內(nèi)(4)與(5)V(6)#(7)V(8)X注:判斷題如果是正確的命題需要加以說明或論證,找出依據(jù),如果是錯誤的命題,只要舉出一個反例即可。知識點六公理與定理數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結(jié)出來的,并把它們作為判斷其它命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理。以基本定義和公理作為推理的出發(fā)
10、點,去判斷其他命題的真假,已經(jīng)判斷為真的命題稱為定理。注意:(1)公理是不需要證明的,它是判斷其他命題真假的依據(jù),定理是需要證明;(2)定理都是真命題,但真命題不一定都是定理。例填空:(1)同位角相等,則兩直線;(2)平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系是;(3)四邊形是平行四邊形。知識點七如果一個定理的逆命題也是定理,那么稱它是原來定理的逆定理,這兩個定理稱為互逆定理。注意:每個命題都有逆命題,但并非所有的定理都有逆定理。如:“對頂角相等”就沒逆定理。知識點八證明的含義從一個命題的條件出發(fā),通過講道理(推理),得出它的結(jié)論成立,從而判定該命題為真,這個過程叫做證明。推理證明的必要性:判斷猜想的數(shù)
11、學(xué)結(jié)論是否正確,僅僅依靠經(jīng)驗是不夠的,必須一步一步,有理有據(jù)地進(jìn)行推理。證明命題的步驟:由題設(shè)出發(fā),經(jīng)過一步步的推理最后推出結(jié)論(書證)正確的過程叫做證明。證明中的每一步推理都要有根據(jù),不能想當(dāng)然”,這些根據(jù),可以是已知條件,也可以是定義、公理,在此以前學(xué)過的定理。(證明命題的格式一般為:1)按題意畫出圖形;2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形在已知”中寫出條件,在求證”中寫出結(jié)論;3)在證明”中寫出推理過程)證明的四個注意(1)注意:公理是通過長期實踐反復(fù)驗證過的,不需要再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的真命題:公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù).(2)注意,定理都是真命題,但真命題不一定都是定理;一般
12、選擇一些最基本最常用的真命題作為定理,可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題.這些被選作定理的真命題,在教科書中是用黑體字排印的(3)注意:在幾何問題的研究上,必須經(jīng)過證明,才能作出真實可靠的判斷。如兩直線平行,同位角相等這個命題,如果只采用測量的方法.只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的.但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等,那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等(4)注意:證明中的每一步推理都要有根據(jù),不能想當(dāng)然”.論據(jù)必須是真命題,如;定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的定理和已知條件;論據(jù)的真實性不能依賴于論證的真實性;論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由例1.證明:兩直線平行,內(nèi)錯角相等。,已知:a/b,c是截
13、線求證:/1=/2卜分析:要證/1=/2"只要證/3=/2即可,因為/3與/1是對頂角,根據(jù)平行線的性質(zhì),易得出/3=/2,/之證明::a/b(已知):/3=/2(兩直線平行,同位角相等)1=23(對頂角相等)1=/2(等量代換)例2.如圖所示,已知:/A=/F,/C=/D,求證:BD/CE分析:要證BD/CE,只需證得/D=/CEF或/D+/CED=180即可,由于/C=/D,因此只要/C=/CEF或/C+/CED=180,這就需要有AC/DF,由已知條件中的/A=/F,可以得出AC/DF,故此題可證證明:./A=/F(已知)1 .AC/DF(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)2 .ZC=/
14、CEF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)又/D=/C(已知)./D=/CEF(等量代換)/.BD/CE(同位角相等,兩直線平行【變式】已知:如圖正方形ABCD中,E為CD邊上一點,F(xiàn)為BC延長線上一點,且CE=CF(1)求證:BCEADCF(2)若/FDC=30°,求/BEF的度數(shù)。知識點九反證法反證法:在證明一個命題時,人們有時先假設(shè)命題不成立,從這樣的假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理得出和已知條件矛盾,或者與定義,公理,定理等矛盾的結(jié)論,從而得出假設(shè)命題不成立是錯誤的,即所求證的命題成立,這種證明方法叫做反正法。反證法的基本步驟:1.假設(shè)命題的結(jié)論不成立2.從這個假設(shè)出發(fā),經(jīng)過推理論證得出矛盾。3.有
15、矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確結(jié)論的反面不止一種情形的反證法:應(yīng)用反證法證明命題時,首先要分清命題的題設(shè)和結(jié)論,再全面地否定結(jié)論,如果結(jié)論的反面不止一種情形,那么必須把各種可能性都列出來,并且在逐一加以否定之后,才能肯定原結(jié)論正確。例1、已知:如右圖,直線11,12,13在同一平面內(nèi),且11/12,13與11相交于點P.求證:13與12相交.(使用反證法)思路點撥:仔細(xì)閱讀反證法的定義,掌握這種方法的規(guī)律。解析:證明:假設(shè),13與12不相交,即13/12,又711/12(已知),過直線12外一點P有兩條直線11,13與直線12平行,這與“經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行
16、”相矛盾,假設(shè)不成立,即求證的命題成立,13與12相交.【變式u用反證法證明J5不是有理數(shù)【變式2我們年級有367名學(xué)生,請你證明這些學(xué)生中至少有兩個學(xué)生在同一天過生日.鞏固訓(xùn)練1 .把命題“三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等”寫成“如果,那么”的形式是2 .命題“如果a2b2,那么ab”的逆命題是,命題(填“真”或"假”).3 .命題“三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”是一個4 .如圖,已知梯形ABC計,AD/BC,AD=3,AB=CD=4,BC=7,則/B=.5 .用反證法證明"bi/b2”時,應(yīng)先假設(shè)6 .下列語句中,不是命題的是()D.作線段ABA.直角都等于90。B.面積相等的兩個三角形全等C.互補(bǔ)的兩個角不相等7 .下列命題是真命題的是()A.兩個等腰三角形全等B.等腰三角形底邊中點到兩腰距離相等C.同位角相等D.兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等8 .下列命題的逆命題是真命題的是()d.若(a1)xa1,則x122A.兩直線平行同位角相等B.對頂角相等C.若ab,則a2b29 .下列條件中,不能判定兩個直角三角形全等的是()A.兩條
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