基本不等式完整版(非常全面)1整理.doc

1、根本不等式專題輔導(dǎo)一、知識點(diǎn)總結(jié)1、根本不等式原始形式(1)假設(shè)a,beR,那么.之2ab(2)假設(shè)a,beR,那么"?心宜22、根本不等式一般形式(均值不等式)假設(shè)a,beR*,那么a+bN3、根本不等式的兩個重要變形<1)假設(shè)a,bwR6,那么竺2之2(2)假設(shè)a,bwR,那么ab<總結(jié)：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時,它們的和有最小值；當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時,它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng).=時取“=4、求最值的條件：“一正,二定,三相等5、常用結(jié)論(1)假設(shè)x>.,那么x(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時取“二)x(2)假設(shè)xvO,那么工+1«2(當(dāng)且

2、僅當(dāng)太=一1時取“二)x(3席加>0,那么州+2之2(當(dāng)且僅當(dāng)時取“二)ba假設(shè)(啜?手(5)假設(shè)?bwR,那么二、題型分析題型一：利用根本不等式證實(shí)不等式1、設(shè)4,6均為正數(shù),證實(shí)不等式:,記上了工了+-ab2、為兩兩不相等的實(shí)數(shù),求證：a2+c2>ab+be+ca3、a+c=l,求證：a2+b2+c2>-34、a.b,ce/?+,且a+h+c=,求證：(1-6/)(1-/?)(l-c)>8«bc5、a,b,ceR+,且a+b+c=t求證：6、(2021年新課標(biāo)U卷數(shù)學(xué)(理)選修4一5：不等式選,講設(shè)小4C均為正數(shù),且a+C=1,證實(shí)：(I)ab+be+ca

3、<-;(II)+>1.3bca特別說明：以上不等式中,當(dāng)且僅當(dāng).=時取"=6、柯西不等式(1)假設(shè).也c,"eR,那么(/+b2)(c2+d2)>(ac+hd)27、(2021年江蘇卷(數(shù)學(xué))選,修4-5：不等式選,講.之.>0,求證：2,廣一3(2)假設(shè)?,2必,4也也eR,那么有：(“J+«22+%2)(也2+h22+by2)>(q仿+/與十%&(3)設(shè)m"與瓦與,a是兩組實(shí)數(shù),那么有+%-+q)(優(yōu)+4-+：)之(.仇+a2b?+q"尸題型二：利用不等式求函數(shù)值域1、求以下函數(shù)的值域(1)y=3x2+

4、2x2(2)y=x(4-x)(3)y=x+-(X>0)X(4)y=x+-(x<0)x2、求函數(shù)v=4x-2+的最大值:44a-5題型三：利用不等式求最值一湊項(xiàng)41、己知x>2,求函數(shù)y=2x4+的最小值;2_x題型四：利用不等式求最值二湊系數(shù)1、當(dāng)0XC4時,求,=x8-2x的最大值：變式1：當(dāng)時,求y=4x82x的最大值:4變式1：x>2,求函數(shù)y=2x+的最小值:2x-44變式2：xv2,求函數(shù)y=2x+的最大值:2x43變式2：設(shè)Ovk<5,求函數(shù),=4x32幻的最大值.2練習(xí)：1、求函數(shù),=4.t-2+L-的最小值:44x-52、假設(shè)0<xv2,求y

5、=Jx(6-3x)的最大值:法二:變式：假設(shè)0<xv4,求丁=,«8-2<的最大值;3、求函數(shù),=由+目；.高的最大值;提示：平方,利用根本不等式變式1：己知a,>0.+2/?=2,求/=!+的最小值:ab2Q變式2：演y>0,+=1,求W的最小值:xy變式：求函數(shù),=«不二5+«TT=的最大值;44變式3：x,y>.,且,+'=9,求x+,的最小值.x'題型五：巧用“1的代換求最值問題1、小.>0,+2/?=1,求/='+!的最小值:ab法一：10變式4：x,y>0,且一+=4,求x+y的最小值:

6、丫,+X變式：求函數(shù)了=x>l的值域:X-1變式5：1假設(shè)>0且2x+y=1,求!+的最小值：xy2假設(shè).,Z?,x,y£尺+且2+2=1,求x+y的最小值:2、求函數(shù)y的最大值；提示：換元法2x+5變式6：正項(xiàng)等比數(shù)列滿足：%=4+2%,假設(shè)存在兩項(xiàng)%,2,使得瘋=4q,求,+士的最小值:mn變式：求函數(shù),=±1的最大值:4a+9題型六：別離換元法求最值了解r2+1x+101、求函數(shù)丁二:xw-l的值域;x+1題型七：根本不等式的綜合應(yīng)用1、logzO+kjgzbNl,求3°+9的最小值2、2021天津./>0,求_1+«1+2而的最

7、小值;ah變式1：a,>0,滿足a=a+3,求ab范圍;變式1：2021四川如果.>.>0,求關(guān)于“次的表達(dá)式/+'+!一的最小值：abaa-b變式2：2021山東x,y>0,-2+x2+y3求外最大值；提示：通分或三角換元變式2：2021湖北武漢診斷,當(dāng)>0,.工1時,函數(shù)y=log.a-1+1的圖像恒過定點(diǎn)A,假設(shè)點(diǎn)A在直線?x-y+=O上,求4'+2的最小值：變式3：2021浙江x,y>0,/+?+工,=1,求孫最大值：3、己知x,y>0,x+2y+2沖=8,求x+2y最小值;4、2021年山東理設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足/一3與,+

8、4,2一2=0,那么當(dāng)？取得最大值z212時,二+上一±的最大值為xyz9A.0B.1C.-D.34提示：代入換元,利用根本不等式以及函數(shù)求最值1.2021沈陽檢測x,yOC且.+y-+-9恒成立,求正實(shí)數(shù)4的最小值：2、x,z0且一+2/一恒成立,x-yy-zx-z如果wN+,求的最大值：參考：4提示：別離參數(shù),換元法變式：設(shè)乂y,z是正數(shù),滿足x2y+3z=O,求工的xz最小值：14變式：己知滿那么一+=2,假設(shè).+之c恒成立,ab求c的取值范圍：題型八：利用根本不等式求參數(shù)范圍題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式(a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)色=2；即4d=Z?c時等

9、號成立)cd假設(shè)a,b,c»deR,那么(a?+b2)(c2+d2)>(ac+bd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1)yla1+b2-ylc2+cl>+(a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)色=9；即ad=兒時等號成立)ca(2)Ja?+/-ylc2+d2>|r/c|+bd(a,b,c,deR,當(dāng)且僅當(dāng)3=2；即4d=Z?c時等號成立)cd(3)(a+)(c+d)>(Vnc+VM)2(a,b,c,dN.當(dāng)且僅當(dāng)2=4；即ad=兒時等號成立)ca3、二維形式的柯西不等式的向量形式.萬卜同同(當(dāng)且僅當(dāng)/=6,或存在實(shí)數(shù)口使三時,等號成立)4、三維柯西不等式假設(shè)火,%,

10、.3力1力2由3WR,那么有：(“J+%2)(e2+V+42)之(.14+a2b2+a3b3)2(q立6R,當(dāng)且僅當(dāng)*=詈=答時等號成立)仄瓦45、一般維柯西不等式設(shè)?與b也,也是兩組實(shí)數(shù),那么有：(a；+.：+一.,：)(裙+42)2(他+<也+.也尸.也r,當(dāng)且僅當(dāng)斗=如寸等號成立)仄人bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值最小值為時,(x,y,z)=析：(x2y+2z><(x2+y2+2)12+(-2)2+22=4x9=36.X-2y+2z最小值為-6此時t=2=三=-±_=二1-2212+(-2)2+223.-24-4x=,y=,z=2、設(shè)2x-y-2z=6,求/的最小值7,并求此時x,y,z之值.Ans：4247=4；.,>)=(；,一三,一；)3、設(shè)x,y,z£R,2x-3y+z=3,求X：+(y-l)2+z2之最小值為,此時),=(析：2x-3y+z=3<=>2x-3(y-l)+z=0)4、(2021年湖南卷(理)a,6,ceM+2b+3c=6,1、設(shè)x,y,Z£R,假設(shè)12+)3+22=4,那么x-2y+2z