哈工大控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)大作業(yè)——直線一級倒立擺控制器設(shè)計(jì)

1、絡(luò)需甫,衣大厚 HarbinInstituteofTechnology 課程設(shè)計(jì)說明書論文 課程名稱：限制系統(tǒng)設(shè)計(jì)課程設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)題目： 直線一級倒立撰捽制器設(shè)計(jì)院系： 航天學(xué)院捽制科學(xué)與工程系班級： 設(shè)計(jì)者： 學(xué)號： 指導(dǎo)教師：型晶 設(shè)計(jì)時(shí)間：2021.8.272021.9.9 哈爾濱工業(yè)大學(xué)教務(wù)處 哈爾濱工業(yè)大學(xué)課程設(shè)計(jì)任務(wù)書 姓名：張盛博院(系)：航天學(xué)院限制科學(xué)與工程系 專業(yè)：探測制導(dǎo)與限制技術(shù)班號：09042010904201 任務(wù)起至日期：20212021 年 8 8 月 2727 日至 20212021 年 9 9 月 9 9 日 課程設(shè)計(jì)題目：直線一級倒立擺限制器設(shè)計(jì) 技術(shù)參數(shù)和

2、設(shè)計(jì)要求： 本課程設(shè)計(jì)的被控對象采用固高公司的直線一級倒立擺系統(tǒng) GIPGIP- -100100- -L L. 系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)為： 小車質(zhì)量 0.5Kg0.5Kg;擺桿質(zhì)量 0.2Kg0.2Kg;小車摩擦系數(shù) 0.1N/m/sec0.1N/m/sec; ;l擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 0.3m0.3m; ;I擺桿慣量0.006kg*m*m0.006kg*m*m; ;T采樣時(shí)間 0.0050.005 秒. 設(shè)計(jì)要求： 1 1 . .推導(dǎo)出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程.用 MatlabMatlab 進(jìn)行階躍輸入仿真,驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性. 2 2 . .設(shè)計(jì) PIDPID 限制器,使得當(dāng)在小車上施

3、加 0.1N0.1N 的脈沖信號時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為： 3 3 1)1)穩(wěn)定時(shí)間小于 5 5 秒； 4 4 2)2)穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.10.1 弧度. 3.3.設(shè)計(jì)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置限制器,使得當(dāng)在小車上施加 0.2m0.2m 的階躍信號時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為:(1)(1)擺桿角度和小車位移 x x 的穩(wěn)定時(shí)間小于 3 3 秒 (2)(2)x x 的上升時(shí)間小于 1 1 秒 (3)(3)的超調(diào)量小于 2020 度( (0.350.35 弧度) (4)(4)穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%2%. 工作量： 1 1 . .建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； 2 2 . .倒立擺系統(tǒng)的

4、 PIDPID 限制器設(shè)計(jì)、MATLABMATLAB 仿真及實(shí)物調(diào)試； 3 3 . .倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置限制器設(shè)計(jì)、MATLABMATLAB 仿真及實(shí)物調(diào)試. 工作方案安排： 第 3 3 周(1)(1)建立直線一級倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型； (2)(2)倒立擺系統(tǒng)的 PIDPID 限制器設(shè)計(jì)、MATLABMATLAB 仿真； (3)(3)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置限制器設(shè)計(jì)、MATLABMATLAB 仿真. 第 4 4 周(1)(1)實(shí)物調(diào)試； (2)(2)撰寫課程設(shè)計(jì)論文. 同組設(shè)計(jì)者及分工: 各項(xiàng)工作獨(dú)立完成.指導(dǎo)教師簽字 年月日 教研室主任意見： 教研室主任簽字 年月日 *注：此任務(wù)書由課程設(shè)

5、計(jì)指導(dǎo)教師填寫.圖 1 1a a 本系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)定義如下： M M: :小車質(zhì)量 m m b b: :小車摩擦系數(shù) l l I:I:擺桿慣量 F F x x: :小車位置 小車隔離受力圖b b擺桿隔離受力圖 :擺桿質(zhì)量 :擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度 :加在小車上的力 4 4：擺桿與垂直向上方向的夾角 .：擺桿與垂直向下方向的夾角考慮到擺桿初始位置為豎直向下 注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定圖示方向?yàn)槭噶空较? 分析小車水平方向所受的合力,可以得到以下方程： ,因而矢量方向定義如下圖, 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： d2m- dt2 lsin 即N

6、mX&ml&cosml&sin 把這個等式代入上式中,就得到系統(tǒng)的第一個運(yùn)動方程： MmX&baml&cosml&sinF 為了推出系統(tǒng)的第二個運(yùn)動方程,我們對擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析,可以得到下面方程: 一、直線一級倒立擺數(shù)學(xué)模型的推導(dǎo)及建立 系統(tǒng)建模可以分為兩種： 機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模.實(shí)驗(yàn)建模就是通過在研究對象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號,鼓勵研究對象并通過傳感器檢測其可觀測的輸出,應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系.這里面包括輸入信號的設(shè)計(jì)選取,輸出信號的精確檢測,數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容. 機(jī)理建模就是在了解研究對象的運(yùn)動規(guī)

7、律根底上,通過物理、化學(xué)的知識和數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)內(nèi)部的輸入狀態(tài)關(guān)系. 對于倒立擺系統(tǒng),由于其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng),實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難.但是經(jīng)過小心的假設(shè)忽略掉一些次要的因素后,倒立擺系統(tǒng)就是一個典型的運(yùn)動的剛體系統(tǒng),可以在慣性坐標(biāo)系內(nèi)應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程.下面我們采用其中的牛頓-歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型. 1.1、微分方程的推導(dǎo) 在忽略了空氣阻力,各種摩擦之后,可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng).下 圖是系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖.其中,N N 和 P P 為小車與擺桿水平和垂直方向的分量. d2 m2lcos dt2 Pmgml&am

8、p;sinml&cos 力矩平衡方程如下：PlsinNlcosI旅 號. 合并這兩個方程,約去 P P 和 N N, ,得到第二個運(yùn)動方程： Iml2amglsinmb2cos 1、微分方程模型 設(shè)&=(辦是擺桿與垂直向上方向之間的夾角),假設(shè)與 1 1(單位是弧度)相比很小,艮瞪冢 1 1, , d、2c一“ 那么可以進(jìn)仃近似處理：cos1,sin,()0.用 u u 來代表被控對象的輸入力F,線性 dt 化后兩個運(yùn)動方程如下： MmX&b&ml&u Iml2戰(zhàn)mglm齦 2、傳遞函數(shù) 對以上微分方程組進(jìn)行拉普拉斯變換,得到 MmX(s)s2bX(s)

9、ml(s)s2U(s) Iml2(s)s2mgl(s)mlX(s)s2 注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0 0. 由于輸出為角度為求解方程組上述方程組的第一個方程,可以得到 或者 (s)mls2 X(s)Iml2s2mgl 如果令題那么有X(s) Iml2 ml Pmg 注意：此方程中力矩的方向,由于 ,coscos,sin sin,故等式前面有負(fù) (1(1- -12)12) (s)ml V(s)Iml2s2mgl 把上式代入 1010 式,那么有: Iml2 g Iml2 g ,、,、2,、 (QryiI(QI1( b 2 ( )ml(s)s (s) ml s ml s ( (1 1-

10、-13)13) Mm (1(1- -14)14) 整理: (s) ml2 s q 其中q U(s) s4 ml2 s3 mmgls2 3、狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型 AX bmgl q (1(1- -15)15) ml2 ml CX Bu ,可得狀態(tài)方程 Du x& Iml2b 2)& IMmMml2 2I2 mgl 2 IMmMml2 mlb x&x& mglMm 2 mlbmlb 2 IMmMmlIMmMml mlbmlb 2 MmlMml 00100010 Mml 22 mglmgl 2 MmlMml mglMmglM 2 IMmMmlIMmMml M m Mml2

11、 ml 1M m Mml2 0 0 I I 2 mlml IMIM m m 2 MmlMml u u 0 0 mlml IMIM m m 2 MmlMml u I x x & & & & I Iml2 直線一級倒立擺 PID 限制器設(shè)計(jì) 2.1、 PID 限制器各個校正環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的影響 簡單來說,PID,PID 限制器各個校正環(huán)節(jié)的作用如下： (1)(1)比例環(huán)節(jié)：成比例的反響限制系統(tǒng)的偏差信號 e(t)e(t), ,偏差一旦產(chǎn)生,限制器立即產(chǎn)生限制作用, 以減少偏差. (2)(2)積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差,提升系統(tǒng)的型別.積分作用的強(qiáng)弱取決于積分時(shí)間常數(shù)

12、 T1T1 越大,積分作用越弱,反之那么越強(qiáng). (3)(3)微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號的變化趨勢(變化速率),并能在偏差信號值變得太大之前,在系統(tǒng)中 引入一個有效的早期修正信號,從而加快系統(tǒng)的動作速度,減小調(diào)節(jié)時(shí)間. 2. 2、PID 限制器的設(shè)計(jì)及 MATLA 防真 對于倒立擺系統(tǒng)輸出量為擺桿的角度,它的平衡位置為垂直向上.系構(gòu)框圖如下: 圖 3 3 直線一級倒立擺 PIDPID 限制系統(tǒng)框 圖中 KD(s)KD(s)是限制器傳遞函數(shù),G(s)G(s)是被控對象傳遞函數(shù). 考慮到輸入 r(s)=0r(s)=0, ,結(jié)構(gòu)圖可以很容易的變換成 該系統(tǒng)的輸出為 (denPID)(den)(numPID

13、)(num) 其中,numnum- -被控對象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng) denden被控對象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) numPIDnumPIDPIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)denPIDPIDdenPIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng) 被控對象的傳遞函數(shù)是 T1,T1, 首先, y(s) G(s) KD(s)G(s) F(s) num ,亙,、F(s) (numPID)(num) (denPID)(den) num(denPID) F(s) 2 其中：qMmIml PIDPID 限制器的傳遞函數(shù)為 .一2 KDsKPsKlnumPID sdenPID 需仔細(xì)調(diào)節(jié) PIDPID 限制器的參數(shù),以得到滿意的限

14、制效果. 前面的討論只考慮了擺桿角度,那么,在我們施加限制的過程中,小車位置如何變化呢?考慮小車位置,得到改良的系統(tǒng)框圖如下： 其中,GNGGNG 是擺桿傳遞函數(shù),是小車傳遞函數(shù). 由于輸入信號 r(s)=0r(s)=0,所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成: 圖 5 5 直線一級倒立擺 PIDPID 限制簡化后改良系統(tǒng)框圖其中,反響環(huán)代表我們前面設(shè)計(jì)的限制器. 小車位置輸出為： num2 x(s)GsF(0denF(s) 1KD(s)G1(s)1(numPID)(numi) (denPID)(deR|) (num2)(denPID)(den1) (denPID)(der1)(den2)(numPID)(n

15、um1)(den2) 其中,num,dennum,deni,numa,den,numa,den2分別代表被控對象 1 1 和被控對象 2 2 傳遞函數(shù)的分子和分母.numPIDFnumPIDF 口 denPIDdenPID 代表 PIDPID 限制器傳遞函數(shù)的分子和分母. 下面我們來求 G(s)G(s), ,根據(jù)前面的推導(dǎo)：Gi(s) (s) U(s) ml2 s q 4blml23Mmmgl2bmgl ssss qqq numden 2 ml KD(s)KDsKP KI s F(s) FlaritE工 圖 5 5 直線一級倒立擺 PIDPID 限制改良系統(tǒng)框圖 可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為

16、(denPID)(den)k(numPID)(numi) 2.3、 PID 限制器參數(shù)的調(diào)節(jié) 按題目要求,施加 0.1N0.1N 的脈沖信號,觀察指標(biāo).脈沖信號仿真源程序?yàn)? M=0.5; m=0.2; b=0.1; I=0.006; g=9.8; l=0.3; numi=m*l; deni=(I+m*lA2)0-m*g*l; Kp=1; Ki=0; Kd=0; numPID=KdKpKi; denPID=10; num=conv(num1,denPID); den=polyadd(conv(denPID,den1),conv(numPID,num1); r,p,k=residue(num,d

17、en); s=p t=0:0.005:5; impulse(0.1*num,den,t) grid 當(dāng)系統(tǒng)參加 PIDPID 限制器后的方框圖為：Iml2 X(s) ml (s) G2(s) X(s) U(s) ,2 Iml2 s q mgl q 其中：qMmI ml2 2 4bIml3 43 ss q 2 ml Mmmgl2s bmgl q 可以看出,dendeni=derb=den,=derb=den, 小車的傳遞函數(shù)可以簡化成: X(s) (num2)(denPID) F(s) Geinl 直線一級倒立擺 PIDPID 限制 MATLAMATLA 昉真模型 由所查閱資料, 調(diào)節(jié) Kp,會

18、影響 ess 和振蕩次數(shù)以及 ts；Kp 太大不穩(wěn)定,Kp 可以選擇負(fù)數(shù). 調(diào)節(jié) Ki,會影響穩(wěn)定性,ess. 調(diào)節(jié) Kd,會影響p,ts;由于 Kd 的特殊性,必須選擇適宜的 Kd 才能使p與 ts 均位于 適宜的范圍. 具體的調(diào)試過程： 先調(diào)節(jié) Kp 使系統(tǒng)穩(wěn)定； 再調(diào)節(jié) Kd 使系統(tǒng)僅有一次振蕩； 最后調(diào)節(jié) Ki 使 ess 為0o 令 Kp=130Ki=130Kp=130Ki=130、Kd=10,Kd=10,得到以下仿真結(jié)果： 4、PID 系統(tǒng)的優(yōu)缺點(diǎn) 優(yōu)點(diǎn)：PIDPID 限制優(yōu)點(diǎn)明顯,應(yīng)用廣泛.PIDPID 能消除穩(wěn)態(tài)誤差；同時(shí)可以減少超調(diào)量,克服振蕩,使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提升；并且能加快

19、系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)速度,減小調(diào)整時(shí)間,從而改善系統(tǒng)的動態(tài)性能. 缺點(diǎn)：PIDPID 限制的過度期比擬長,上升過程中波動明顯；當(dāng)然,較好的 PIDPID 限制效果是以被控 對象的精確數(shù)學(xué)模型為前提的,當(dāng)被控對象的數(shù)學(xué)模型未知時(shí), G-Sin TcrsnsFwFznl PIDPID 限制的調(diào)試將會有很大的難度.直線一級倒立擺 PIDPID 限制仿真結(jié)果圖Kp=130Ki=130Kp=130Ki=130、Kd=1Kd=1. 三、狀態(tài)空間極點(diǎn)配置限制器設(shè)計(jì) p耳k0.1,ts-4-2,解得=0.59,wn=3.39=0.59,wn=3.39 Wn trj=0.804,=0.804,符合要求. Wn12 根

20、據(jù)(1)1)擺桿角度和小車位移 x x 的穩(wěn)定時(shí)間小于 3 3 秒(3)(3)的超調(diào)量小于 2020 度(0.35(0.35 弧度)(4)(4) 穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%2%求得閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為：22.74i,選取另兩個極點(diǎn)為- -12,12,- -1212.那么： 1 1、仿真程序： A=0100;0000;0001;0024.50000; B=0;1;0;2.5000; C=1000;0010; D=0;0; J=-12000;0-1200;00-2-2.74*i0;000-2+2.74*i; JA=poly(A); a1=JA;a2=JA(3);a3=JA(4);a4=JA(5); M=BA*B

21、AA2*BAA3*B; W=a3a2a11;a2a110;a1100;1000; T=M*W; JJ=poly(J) aa1=JJ(2);aa2=JJ(3);aa3=JJ(4);aa4=JJ(5); K=aa4-a4aa3-a3aa2-a2aa1-a1*(inv(T); Ac=(A-B*K); Bc=B; Cc=C; Dc=D; T=0:0.005:5; U=0.2*ones(size(T); Cn=1000; Nbar=rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn=Nbar*B; Y,X=lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); figure(1) plot(T,X(:,1),r); grid; legend(CartPosition); figure(2); plot(