實(shí)變函數(shù)試題[1]

1、填空題 1、(CsA CsB) (A (A B)2、設(shè)E是0,1上有理點(diǎn)全體，那么Eo_:, E =, E =3、設(shè)E是Rn中點(diǎn)集，如果對(duì)任一點(diǎn)集T都有那么稱E是L可測的4.設(shè)E,F是兩個(gè)集合，作集合列AE,F,k為奇數(shù),k為偶數(shù),k=1,2，那么 lim Alim A 5假設(shè)Q是Rn中的有理點(diǎn)集，那么m( A)假設(shè)I是Rn中的閉矩體，那么ml nn*6設(shè)E R .假設(shè)對(duì)任意的點(diǎn)集 T R ,有m T ,那么稱E為Lebesgue 可測集.7、設(shè) Ai丄,2 -, n 1,2，那么 lim An 。n nn=o8 設(shè) P 為 Cantor 集，那么 P ， mP ， P =。9設(shè)S是一列可測集

2、，那么 mS mSi'i 110 設(shè) A2k0,2k，A2k 12k0,2k1 ,那么 lim Aklim A11假設(shè)A Rn是可數(shù)集，那么m(A)；假設(shè)I是Rn中的開矩體，那么ml 12假設(shè)f (x)是ERn上幾乎處處有限的可測函數(shù)，那么對(duì)任給的0,存在E中的閉集F ,m E F ,使得13設(shè)集合A,B,C滿足C B A，假設(shè)AC，那么二、選擇題1、以下各式正確的選項(xiàng)是nimA n1knAk； B呼代 n1knA；climA,A.；dlimA.A.；nn1knnn1kn2、設(shè)P為Cantor集，那么以下各式不成立的是AP c (B)mP 0 (C) P' P (D) P PB

3、可測集的任何子集都可測3、以下說法不正確的選項(xiàng)是(A) 凡外側(cè)度為零的集合都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集D波雷耳集都可測4、設(shè) fn(x)是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列，那么下面不成立的是()A.假設(shè) fn(x)f(X),那么 fn(X)f(X)B. SUp fn(x)是可測函數(shù)nC. inf fn(x)是可測函數(shù)；D.假設(shè)fn(x) f (x),那么f (x)可測n5、設(shè)f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，那么下面不成立的是a. f (x)在a,b上有界 b. f (x)在a,b上幾乎處處存在導(dǎo)數(shù)bC. f'(x)在a,b上 L可積 Df'(x)dx f (b) f (a)

4、a6設(shè)C為0,1中Cantor集，那么下面說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是：()A. C是閉集.B. C是完全集.C. C . D. C是可數(shù)集7以下關(guān)于開集和閉集的性質(zhì)中，錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A.,Rn既是開集，又是閉集.B.Rn中的開集和閉集一樣多.C.設(shè)Gkk 1是Rn中的一個(gè)開集列，那么其并集U Gk是開集.k 1D.設(shè) Fkk 1是R中的一個(gè)閉集列，那么其交集U Fk是閉集.k 18在下面命題中正確的選項(xiàng)是()A.假設(shè)E為Rn中的無界集，那么m E.b. 假設(shè)E為Rn中的可測集，且E中至少有一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，那么m E 0.c. 設(shè)E是0,1中的可測集，且m E 1,那么m E 1.d. 假設(shè)m E 0,那么E

5、為Rn中的可數(shù)集.9以下命題正確的選項(xiàng)是()A. .假設(shè)f x在點(diǎn)集E Rn上可測，那么f x在E上可測，反之亦然.B. 假設(shè)f x在點(diǎn)集ERn上可測，那么f2 X在E上可測，反之亦然.C. 假設(shè)f x在點(diǎn)集上可測，那么f x在E上可測，反之亦然.D. 設(shè)點(diǎn)集E Rn,那么E x是Rn上的可測函數(shù).(A) M (B)N (C) M N (D)11 以下說法不正確的選項(xiàng)是 ( )(A)P0的任一領(lǐng)域內(nèi)都有 E中無窮多個(gè)點(diǎn)，那么 P0是E的聚點(diǎn)(B) Po的任一領(lǐng)域內(nèi)至少有一個(gè)E中異于Po的點(diǎn)，貝U F0是E的聚點(diǎn)(C) 存在E中點(diǎn)列F,，使巳F0，那么Fo是E的聚點(diǎn)(D) 內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)12. 以

6、下斷言 ( ) 是正確的B. 任意個(gè)閉集的交是閉集；A. 任意個(gè)開集的交是開集；C. 任意個(gè)閉集的并是閉集； D. 以上都不對(duì)；13. 以下斷言中 () 是錯(cuò)誤的。A零測集是可測集；B可數(shù)個(gè)零測集的并是零測集；C任意個(gè)零測集的并是零測集；D零測集的任意子集是可測集;14.設(shè)Q是R中有理數(shù)的全體，那么在R中Q的導(dǎo)集Q是(A) Q(B)(C) R (D) R Q15. 設(shè) Fn 是一列閉集， FFn ，那么 F 一定是 n1(A) 開集 (B) 閉集 (C) G 型集 (D) F 型集16. 設(shè) E 是 R 中有理數(shù)全體，那么 mE (A) 0(B)1(C)(D)- 317 下面哪些集合的并組成整

7、個(gè)集合的點(diǎn)A. 內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，聚點(diǎn) B. 內(nèi)點(diǎn)，界點(diǎn)，孤立點(diǎn) C. 孤立點(diǎn)，界點(diǎn)，外點(diǎn) D . 孤立點(diǎn)，聚點(diǎn)，外點(diǎn) 18. 設(shè) P 是 Cantor 集，那么 (A)P與Rn對(duì)等，且P的測度為o(B)P與Rn對(duì)等，且P 的測度為 1(C)P與Rn不對(duì)等，P的測度為o(D)P與Rn不對(duì)等，P 的測度為 119 設(shè)f (x) 與 g(x) 在 E 上可測，那么 E fg是(A)可測集 (B)不可測集 (C) 空集(D)無法判定20. 設(shè) f (x) 在可測集 E 上有定義， fn(x) min f(x),n ，那么 fn(x) 是 (A) 單調(diào)遞增函數(shù)列 (B) 單調(diào)遞減函數(shù) (C) 可積函數(shù)列 (

8、D) 連續(xù)函數(shù)列21 設(shè) E 是任一可測集，那么 (A) E 是開集 (B) E 是閉集 (C) E 是完備集D對(duì)任意 0，存在開集G E，使mG E22以下命題錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.假設(shè)E ,那么EcB.假設(shè)E1, E2，且日E2E1E2 m E1m E2 .C.假設(shè)E1E2，那么 mE1E2EimE2.D.設(shè)Ei,那么U Eii 123以下集合不是可數(shù)集的是A.R1中的整數(shù)集Z B.自然數(shù)集C.0,1中的Cantor集D.R1中互不相交的開區(qū)間族24.以下關(guān)于開集的說法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是A.c假設(shè)G是閉集，那么G是開集B.假設(shè)E那么E是開集C.設(shè)Gkk 1是Rn中的一個(gè)開集列，那么其并集U Gkk 1

9、是開集.D.設(shè)Gkk 1是Rn中的一個(gè)開集列，那么其并集Gkk 1是開集.1.判斷題每題2分，共20分在所有基數(shù)中，連續(xù)基數(shù)c是最大基數(shù).2.E為Rn中的有限點(diǎn)集，那么E3.E,FRn，那么 E F EF.(4.E,F為Rn中的可測集，假設(shè)EF,5.假設(shè)Ek是R中的遞減可測集合列kim EkkimmEk.(6.設(shè)E Rn,假設(shè)m E0,那么E上可測.7.假設(shè)函數(shù)f x在點(diǎn)集Rn上連續(xù)，那么f x在點(diǎn)集E上可測.8.假設(shè)函數(shù)f x在點(diǎn)集Rn上有界可測，那么f x在點(diǎn)集E上可積.9.函數(shù)f x在點(diǎn)集ERn上可積的充要條件是f x在E上可積.10、由于 0,10,10,1，故不存在使 0,1和01之

10、間11對(duì)應(yīng)的映射。11可數(shù)個(gè)零測度集之和集仍為零測度集。12假設(shè)E與它的真子集對(duì)等，那么 E 一定是有限集.13. 凡非負(fù)可測函數(shù)都是 L可積的.14. 設(shè)A為R1空間中一非空集，假設(shè) A a.那么A a.15設(shè)E為可測集，那么存在 G型集F，使得F E，且m(E F) 0 .16點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn).()17E,F Rn，那么 E F E F .()18 G1,G2為 Rn 中的開集，假設(shè) G1 G2且G1 G2,那么 m Gjm G2 .()19假設(shè)eJ是Rn中的遞增可測集合列，那么m lim Eklim m Ek .()kk20假設(shè)E Rn,假設(shè)m E 0,那么f x在E上可測.()2

11、1假設(shè)函數(shù)f x在點(diǎn)集ERn上可測，那么f x在E的任何一個(gè)子集上也可測.()22 f x在點(diǎn)集ERn上可積，那么f X在點(diǎn)集E上是幾乎處處有限的.()四 證明題.(1,2,3 題各8分，第4小題10分)1. 設(shè) E S,FSC, S.證明 m* EUF m* E m*F .2. 證明點(diǎn)集E可測的充要條件是：對(duì)任給的0,存在開集G : G E且存在閉集F ： F E ,使得m G F0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為c4.設(shè)f(x)是(，)上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)c，E x| f (x) C是一開集.5設(shè) 0,開集G E,使m*(G E)，那么E是可測集。6開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集.7. Rn上全體