數(shù)學思想與方法

1、、簡答題1、分別簡單敘說算術與代數(shù)的解題方法根本思想，并且比擬它們的區(qū)別。答:算術解題方法的根本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量， 收集和整理各種已 知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關于這些具 體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四那么運 算求得算式的結果。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途代數(shù)解題方法的根本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內含 數(shù)和未知 數(shù)的代數(shù)式，并按等量關系列出方程，然后通過對 方程進行恒等變換求出未知 數(shù)的值。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途它們的區(qū)別在于算術解題參與的量必須是的量， 而代數(shù) 解題允許未知 的量參與運算；算術方法的關鍵之處是列算式，而 代數(shù)方法的關鍵之處是列方 程。資料個人收集整理

2、，勿做商業(yè)用途2、比擬決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點，簡單敘說確定數(shù)學的局限。答:人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象，另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條 件下，其結果可以唯一確定。因此 決定性現(xiàn)象的條件和結果之間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結果如何。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結果， 也可能不發(fā)生 某種結果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結果之間不 存在必然性聯(lián)系。 資料個人 收集整理，勿做商業(yè)用途在數(shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運動和變

3、化過程，從而確定結果。但是由于隨機現(xiàn)象條件 和結果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能 用確定數(shù)學來加以定量 描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn) 象中所蘊 涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局限所在。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途論述題1、論述社會科學數(shù)學化的主要原因答:從整個科學開展趨勢來看，社會科學的數(shù)學化也是必然的趨勢，其主 要原因可以歸結為有下面四個方面第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學 數(shù)學化的最根 本的因素。的開展也需要第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系 精確化。歷史現(xiàn)象的新量化后可以進第三，隨著數(shù)學的進一步開展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會 的數(shù)

4、學分支。第四，電子計算機的開展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經過 行數(shù)值處理。2、論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學開展的作用。答：第一次數(shù)學危機促使人們去認識和理解無理數(shù)，導致了公理幾何與邏輯的產生。第二次數(shù)學危機促使人們去深入探討實數(shù)理論，導致了分析根底理論的 完善和集合論的產生。第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理邏輯和一批 現(xiàn)代數(shù)學的產生。由此可見，數(shù)學危機的解決，往往給數(shù)學帶來新的內容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā)展的歷史動力這一根本原理。整個數(shù)學的開展史就是矛盾斗爭的歷史，斗爭的結果就是數(shù)學領域的開展。三、分析題 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途1、

5、分析?幾何原本?思想方法的特點，為什么 ？答：(1)封閉的演繹體系因為在?幾何原本?中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)那么外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設、公理或前面已經證明過 的定理，并且引入的概念(除 原始概念)也根本上是符合邏輯上 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途對概念下定義的要求，原那么上不再依賴其它東西。因此?幾何原本?是一個封閉的演繹體系。另外，?幾何原本?的理論體系回避任何與社會生產現(xiàn)實生 活有關的應用 問題，因此對于社會生活的各個領域來說， 它也是 封閉的。所以，?幾何原本? 是一個圭寸閉的演繹體系。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2) 抽象化的內容：?幾何原本?中研究的對象都

6、是抽象的概念和命題， 它 所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關系，不討論這些概念和命題 與社會 生活之間的關系，也不考察這些數(shù)學模型所由之產生的現(xiàn)實原型。因此?幾何原 本?的內容是抽象的。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(3) 公理化的方法：?幾何原本?的第一篇中開頭5個公設和5個公理，是全書其 它命題證明的根本前提，接著給出 23個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設和 公理與前面已經證明過的定理。以后各篇 除了不再給出公設和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2、分析?九章算術

7、?思想方法的特點，為什么 ？答:(1)開放的歸納體系：從?九章算術?的內容可以看出，它是以應用問題 解法集成的體例編纂而成的書，因此它是一個與社會實踐緊密聯(lián)系的開放體系。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途在?九章算術?中通常是先舉出一些問題，從中歸納出某一 類問題的一般 解法；再把各類算法綜合起來，得到解決該領域中 各種問題的方法；最后，把解 決各領域中問題的數(shù)學方法全部綜 合起來，就得到整個?九章算術?。資料個人 收集整理，勿做商業(yè)用途另外該書還按解決問題的不同數(shù)學方法進行歸納， 從這些 方法中提煉出數(shù) 學模型，最后再以數(shù)學模型立章寫入?九章算 術?。 因此，?九章算術?是 一個開放的歸納體系。

8、資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(2)算法化的內容：?九章算術?在每一章內先列舉假設干個實際問題，并對 每個問題都給出答案，然后再給出“術，作為一類問題的共同解 法。因此, 內容的算法化是?九章算術?思想方法上的特點之一。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(3)模型化的方法：?九章算術?各章都是先從相應的社會實踐中選擇具有 典 型意義的現(xiàn)實原型，并把它們表述成問題，然后通過“術使其轉 化為數(shù) 學模型。當然有的章采取的是由數(shù)學模型到原型的過程，即先給出數(shù)學模型，然后再舉出可以應用的原型。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途數(shù)學思想與方法作業(yè)2簡答題1、表達抽象的含義及其過程答：抽象是指在認識事物的過程中

9、，舍棄那些個別的、偶然的非本質屬性， 抽取普遍的、必然的本質屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質和規(guī)律的思 維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比擬和區(qū)分開始的。所謂比擬,就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區(qū)分，那么是把比擬得到的 相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行 舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質， 收括那么是指把對象的我 們所需要的性質固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就 形成了表示這個概念的詞，于是完成了一個抽象過程。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2、表達概括的含義及其過程答:概括是指在認識事

10、物屬性的過程中，把所研究各局部事物得到的一般的、 本質的屬性聯(lián)系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概 念的思維過程。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途概括通?？煞譃榻涷灨爬ê屠碚摳爬▋煞N。 經驗概括是從事實出發(fā)，以對個 別事物所做的觀察陳述為根底，上升為普遍的認識-由對個體特性的認識上升為 對個體所屬的種的特性的認識。理論概括那么是指在經驗概括的根底上，由對種的 特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而到達對客觀世界的規(guī)律的認 識。在數(shù)學中經常使用的是理論概括。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途一個概括過程包括比擬、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)。3、簡述公理方法歷史開展的

11、各個階段答:公理方法經歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和 形式化的公理體系 三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的?幾何原本?。非歐幾何是抽 象的公理體系的典型代表。希爾伯特的?幾何根底?開創(chuàng)了形式化的公理體系的 先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用 形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡 量采用形式公理法作為研究和表述手段。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途4、簡述化歸方法并舉例說明。答:所謂“化歸，從字面上看，應可理解為轉化和歸結的意思。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉化過程，歸結到一類已經能解決或者比擬容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的

12、一種手段和方法。例如：要求解四次方程可以令，將原方程化為關于的二次方程這個方程我們會求其解：和，從而得到兩個二次方程：和這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的 解：，.這里所用的就是化歸方法。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途論述題1、表達不完全歸納法的推理 形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。答:不完全歸納法的一般推理 形式是：設S=;由于具有屬性p，具有屬性p，具有屬性p,因此推斷S類事物中的每 一個對象都可能具有屬性p。2、表達類比推理的 形式。如何提高類比的可靠性？答:類比推理通常可用以下 形式來表示：A具有性質B具有性質因此，B也可能具有性質。其中，分別相同或相似。欲提高類比的可

13、靠性，應盡量滿足條件：(1) A與B共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性 應是類比對象A與B的主要屬性 ;資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途(3) 這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能 是多方面的；(4) 可遷移的屬性d應該是和屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結 論一定正確。3、試比擬歸納猜測與類比猜測的異同。答:歸納猜測與類比猜測的共同點是：他們都是一種猜測，即一種推測性的判 斷，都是一種合情推理，其結論具有或然性，或者經過邏輯推理證明其為真，或 者舉出反例予以反駁。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用

14、途歸納猜測與類比猜測的不同點是：歸納猜測是運用歸納法得到的猜測，是一 種由特殊到一般的推理 形式，其思維步驟為“特例-歸納-猜測。類比猜測是運 用類比法得到的猜測，是一種由特殊到特殊的推理 形式，其思維步驟為“聯(lián)想- 類比-猜測。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途二、設計題設計運用“猜測進行數(shù)學教學的一個片斷。答:以“認識長方形的對邊相等為內容，設計一個教學片斷。將教學過程設計成四個層次：讓學生說一說：我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的 門、課本的封面等例子。要求學生仔細觀察：看一看、想一想，這些長方 形的四條邊的長短有什么關 系？學生經過觀察后，會猜測：長方形相對的兩條邊長度

15、相等。資料個人收集整理，勿做 商業(yè)用途教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜測的精神值得鼓勵！我們怎樣才能 驗證長方形相對的兩條邊的長短相等呢？這時，學生會想出許多方法，如:用尺量、 將圖形對折等方法。教師順勢引導學生通過量量、折折的具體操作，確信長方形 相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對 邊的含義，以及一個長方 形有幾組對邊的問題。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途穩(wěn)固長方形對邊相等的認識。利用多媒體展示下面的長方 形:(3厘米)(2厘米)教師提問：如何填寫括號內的數(shù)字？為什么？要求學生會用“因為所以句式答復。 如“因為長方形的對邊相等，已 知長方形的一條邊是

16、3厘米，所以它的對邊也是3厘米。資料個人收集整理，勿做商業(yè) 用途數(shù)學思想與方法作業(yè)3簡答題1、簡述計算和算法的含義答:計算是指根據(jù)數(shù)量通過數(shù)學方法求得未知數(shù)的過程，是一種最根本 的數(shù)學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要 表現(xiàn)在以下幾個方面:(1)推動了數(shù)學的應用；(2)加快了科學的數(shù)學化進程；(3) 促進了數(shù)學自身的開展。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途算法是由一組有限的規(guī)那么所組成的一個過程。 所謂一個算法它實質上是解決 一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作， 就 能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白， 不

17、會 產生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結束。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途數(shù)學中的許多問題都可以歸結為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產和科學技術中也有著重要意義。算法在科學技術中的意義主要表達在如下幾個 方面:(1)用于表述科學結論的一種 形式；(2)作為表述一個復雜過程的方法;(3) 減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種根本 的數(shù)學工具。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2、簡述數(shù)學教學中引起“分類討論的原因。答:數(shù)學教學中引起“分類討論的原因有：數(shù)學中的許多概念的定

18、義是分 類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學中有些運算性質、運算法那么 是分類給出的，進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題，根據(jù)題設不能只用 一個圖形表達，必須全面考慮各種不同的位置關系，需要分類討論；許多數(shù)學問題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會使問題出現(xiàn)不同的結果。因此需要對 字母參數(shù)的取值情況進行分類討論。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途二、論述題1、什么是數(shù)學模型方法？并用框圖表示Mh方法解題的根本步驟。答:所謂數(shù)學模型方法是利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法，簡稱MM方法。MM方法解題的根本步驟框圖表示如下：2、特殊化方法在數(shù)學教學中有哪些應用 ？答:特殊化方法在數(shù)學教學

19、中的應用大致有如下幾個方面：利用特殊值(圖形)解選擇題；利用特殊化探求問題結論；利用特例檢驗一般結果；利用特殊化探索解 題思路。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途三、計算題1、用程序框圖表述如下問題的求解過程：在1500中，找出能同時滿足用3 除余2，用5除余3，用7除余2的所有整數(shù)。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途解:設計算法：(1)給出初始值1=9(因為小于等于8的數(shù)顯然不滿足條件)。判斷I的值是否小于或等于500；假設是，那么進一步判斷I是否滿足用3除 余2,用5除余3,用7除余2三個條件，假設滿足那么輸出I，否那么I遞增1。資料 個人收集整理，勿做商業(yè)用途(3)返回第 步，直至I大于500,

20、結束。畫出程序框圖如以下圖8-1:圖8-12、一個星級旅館有150個房間。經過一段時間的經營實踐，經理得到數(shù)據(jù)： 如果每間客房定價為160元，住房率為55%;如果每間客房定價為140元，住房 率為65%;如果每間客房定價為120元，住房率為75%如果每間客房定價為100元，住房率為85%欲使每天收入提高，問每間住房的定價應是多少 ？資料個人收集整 理，勿做商業(yè)用途解：(1)、弄清實際問題加以化簡。經分析，為了建立旅館一天收入的數(shù)學模 型，可作如下假設：設每間客房的最高定價為160元;根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，設隨著房價的 下降，住房率呈線性增長；設旅館每間客房定價相等。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途

21、(2) 、建立數(shù)學模型。根據(jù)題意，設表示旅館一天的總收入，為與160元相比降低的房價。由假設，可得每降低1元房價，住房率增加為因此一天的總收入為(*)由于。于是問題歸結為：當時，求的最大值點，即求解(3) 、模型求解。將(*)左邊除以(150 X 0.005)得由于常數(shù)因子對求最大值沒有影響，因此可化為求的最大值點。利用配方法 得易知當=25時最大，因此可知最大收入對應的住房定價為160 元-25 元=135 元相應的住房率為0.55+0.005 X 25=67.5%最大收入為150X 135X 67.5%=13668.75(元)、檢驗。容易驗證此收入在各種客房定價的對應收入中確實是最大的，這

22、可從下面表格中看出。疋160140元120100元135元價元元收1320136501350012750 13668.75入J0元元元元元如果為了便于管理，那么定價140元也是可以的，因為這時它與最高收入只 差18.75元。如果每間客房定價為180元，住房率為45%其相應收入只有12150元。由 此可見假設是合理的。實際上二次函數(shù)在之內只有一個極值點。 資料個人收集整理, 勿做商業(yè)用途3、/ ACB及點P,連接OR假設P點不在CB邊上，且/ BOP表示以CB 為始邊、按逆時針方向旋轉到 OP的角，試比擬/ ACB與/BOP的大小。資料個人收 集整理，勿做商業(yè)用途答:可以有多種情形。情形一：/

23、ACB </ BOP情形二：/ ACB >/ BOP情形三：/ ACB =Z BOP數(shù)學思想與方法作業(yè)4一、簡答題1、簡述?國家數(shù)學課程標準?的幾個主要特點。答:把“現(xiàn)實數(shù)學作為數(shù)學課程的一項內容；把“數(shù)學化作為數(shù)學課程 的一個目標；把“再創(chuàng)造作為數(shù)學教育的一條原那么。把“已完成的數(shù)學當成 是“未完成的數(shù)學來教，給學生提供“再創(chuàng)造的時機 ；把“問題解決作為 數(shù)學教學的一種模式；把“數(shù)學思想方法作為課程體系的一條主線。要求學生 掌握根本的數(shù)學思想方法；把“數(shù)學活動作為數(shù)學課程的一個方面。強調學生 的數(shù)學活動，注重“向學生提供充分從事數(shù)學活動的時機，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經驗；

24、把“合作交流看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學 生在解決問題的過程中“學會與他人合作，并能“與他人交流思維的過程和結 果；把“現(xiàn)代信息技術作為學生學習數(shù)學的一種工具。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2、簡述數(shù)學思想方法教學的主要階段。答:數(shù)學思想方法教學主要有三個階段：屢次孕育、初步理解和簡單應用三個 階段。、論述題1、試述小學數(shù)學加強 數(shù)學思想方法教學的重要性。答:數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對開展 學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在:(1)掌握數(shù)學思想方法 能更好地理解數(shù)學知識。(2)數(shù)學思想方法 對數(shù)學問題的解決 有著重要的作用。

25、(3)加強數(shù)學思想方法的教學是以學生開展為本的必然要求。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途2、簡述數(shù)學思想方法教學應注意哪些事項？答:數(shù)學思想方法教學應注意以下事項:(1)把數(shù)學思想方法的教學納入教學 目標；(2)重視數(shù)學知識發(fā)生、開展的過程，認真設計數(shù)學思想方法教學的目標；(3) 做好數(shù)學思想方法 教學的鋪墊工作和穩(wěn)固工作；(4)不同數(shù)學思想方法應有不同 的教學要求；(5)注意不同數(shù)學思想方法的綜合應用。 資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途三、分析題1、利用以下材料，請你設計一個“數(shù) 形結合教學片斷材料：如圖13-3-18所示，相鄰四點連成的小正方形面積為1平方厘米。 分別連接各點，組成下面12個

26、圖形，你發(fā)現(xiàn)有什么排列規(guī)律？(2)求出各圖形外 面一周的點子數(shù)、中間的點子數(shù)以及各圖 形的面積，找出一周的點子數(shù)、中間的 點子數(shù)、各圖 形的面積三者之間的關系。資料個人收集整理，勿做商業(yè)用途教學片斷設計如下：一、找圖的排列規(guī)律師：同學們看圖，找出圖的排列規(guī)律來。(學生可以討論)生:老師我們發(fā)現(xiàn)，第一行的圖中間沒有點，第二行的圖中間有一個點，第 三行的圖中間有兩個點。師:非常好！二、數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)師:現(xiàn)在我們來數(shù)一數(shù)每個圖周邊的點數(shù)。并將結果填入以下表中。(師生一 起數(shù))三、計算面積師:數(shù)完邊點數(shù)，我們再來計算每個圖的面積。結果也填入表中。(師生一起 計算面積，過程略)形圖邊上點數(shù)內部點數(shù)面積4012)(6023)(8034)14065)(4126)(6137)8148)(14179)(42310)(62411)(82512)(1428四、尋找每一列三個數(shù)之間的規(guī)律師:我們根據(jù)這個表，找一找每列三個數(shù)之間的關系。告訴同學們，希望找 到相同的規(guī)律。生:第一列，邊點數(shù)等于面積乘以4。師:這個規(guī)律能否用到第二列呢？生:不能，因為6不等于2乘以4。生2:第一列，邊點數(shù)除以2,減去面積等于1。師:好！看看這個規(guī)律能否用到第二列？生:能。還能用到第三、第四列。生2:老師，這個規(guī)律不能用到第五列。師:很好!我們看看這個規(guī)律到第五列可以怎樣改一改。生:我發(fā)現(xiàn)了，邊點數(shù)除