函數(shù)的定義域值域最值

1、第五講函數(shù)的定義域與值域(最值)1.函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的_自變量_的取值范圍.注意:(1)確定函數(shù)定義域的原那么:當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí),函數(shù)的定義域是指表格中實(shí)數(shù)x的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí),函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上投影所覆蓋的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí),函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實(shí)數(shù)的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問題給出時(shí),函數(shù)的定義域由實(shí)際問題的意義確定.(2)定義域可分為自然定義域與限定定義域兩類:如果只給函數(shù)解析式(不注明定義域),其定義域應(yīng)為使解析式有意義的自變量的取值范圍,稱為自然定義域;如果函數(shù)受應(yīng)用條件或

2、附加條件制約,其定義域稱為限定定義域.(3)復(fù)合函數(shù)定義域的求法:假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不等式ag(x)b解出.2. 函數(shù)的值域在函數(shù)y=f(x)中,與自變量x的值相對應(yīng)的y的值叫函數(shù)值,_的集合叫做函數(shù)的值域.注意:確定函數(shù)的值域的原那么當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí),函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí),函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合;當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí),函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)關(guān)系唯一確定;當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時(shí),函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定.1.函數(shù)f(x)= +lg(

3、3x+1)的定義域是( B ) 3.如果函數(shù)y=f(4x-3)的定義域是 ,那么函數(shù)f(x)的定義域是( ) 5.函數(shù)y=f(x)的值域是 -2,2 ,那么函數(shù)y=f(x-2)的值域是_.類型一:函數(shù)的定義域解題準(zhǔn)備:(1)解析式求定義域的問題,應(yīng)根據(jù)解析式中各局部的要求,首先列出自變量應(yīng)滿足的不等式或不等式組,然后解這個(gè)不等式或不等式組,解答過程要注意考慮全面,最后定義域必須寫成集合或區(qū)間的形式;(2)確定函數(shù)的定義域當(dāng)f(x)是整式時(shí),其定義域?yàn)镽.當(dāng)f(x)是分式時(shí),其定義域是使得分母不為0的實(shí)數(shù)的集合.當(dāng)f(x)是偶次根式時(shí),其定義域是使得根號內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集合.對于x0

4、,x不能為0,因?yàn)?0無意義.f(x)=tanx的定義域?yàn)閒(x)=logax(a>0,且a1)的定義域?yàn)閤|x>0.由實(shí)際問題確定的函數(shù),其定義域要受實(shí)際問題的約束,要具體問題具體分析.分段函數(shù)的定義域是各段中自變量取值范圍的并集.抽象函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?0,1),是指x(0,1)而非0<2x+1<1;函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,1),求f(2x+1)的定義域時(shí),應(yīng)由0<2x+1<1得出x的范圍即為所求.典例1求函數(shù)f(x)= 的定義域.只需要使解析式有意義,列不等式組求解.要使函數(shù)有意義,那么只需要: 即, 解得-3<x<0或2&l

5、t;x<3.故函數(shù)的定義域是(-3,0)(2,3).解 (1)f(x)的定義域是 ,要使f(x2)有意義,必有0x21,解得-1x1.f(x2)的定義域?yàn)?.由0 -11得1 2.1x4(x0時(shí), 才有意義)函數(shù)f( -1)的定義域?yàn)?2)f 的定義域?yàn)?,0x9,1x+110,0lg(x+1)1f(x)的定義域?yàn)?.由02x1,解得x0.f(2x)的定義域?yàn)?-,0.類型三:函數(shù)的值域解題準(zhǔn)備:(1)要記住各種根本函數(shù)的值域;要記住具有什么結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的函數(shù)用什么樣的方法求值域.(2)對各種求函數(shù)值域的方法要熟悉,遇到求值域的問題,應(yīng)注意選擇最優(yōu)解法.(3)求函數(shù)的值域,不但要重視對應(yīng)法那

6、么的作用,而且要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用.(4)函數(shù)的值域常?；瘹w為求函數(shù)的最值問題,要重視函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)最值過程中的應(yīng)用.典例3求以下函數(shù)的值域: 此題主要考查函數(shù)值域問題,考查運(yùn)算能力數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想,對于(1),利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域問題;對于(2),利用根本不等式或利用函數(shù)的單調(diào)性求解;對于(3),由函數(shù)的有界性或由幾何法求解;對于(4),用求導(dǎo)數(shù)法求解. 當(dāng)x1<x2-2或2x1<x2時(shí),f(x)遞增,當(dāng)-2<x<0或0<x<2時(shí),f(x)遞減.故x=-2時(shí),f(x)極大=f(-2)=-4,x=2時(shí),f(x)極小=f(2)=4,所

7、求函數(shù)的值域?yàn)?-,-4.典例4函數(shù)f(x)= ,x1當(dāng)a=4時(shí)，求f(x)的最小值；2當(dāng)a= 時(shí),求f(x)的最小值; (3)假設(shè)a為正常數(shù),求f(x)的最小值.探究2 函數(shù)f(x)=kx+b的圖象與xy軸分別相交于AB, =2i+2j(ij分別是與xy軸正半軸同方向的單位向量),函數(shù)g(x)=x2-x-6.(1)求kb的值;(2)當(dāng)x滿足f(x)>g(x)時(shí),求函數(shù) 的最小值.誤區(qū)一:應(yīng)用題中函數(shù)的定義域不考慮實(shí)際意義典例1如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,點(diǎn)P在AD上移動,BQCQ,Q為垂足,設(shè)BP=x,CQ=y,試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.誤區(qū)二:求函數(shù)值域不考慮定義域典

8、例2求函數(shù)f(x)= 的值域.典例:f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足以下條件:(1)x,yR,有f(x+y)=f(x)+f(y);(2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,且f(1)=-2.求函數(shù)f(x)在上的最大最小值. 1.求函數(shù)的定義域,其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算可以施行為準(zhǔn)那么,列出不等式或不等式組,然后求出它們的解集,其準(zhǔn)那么一般是:分式中,分母不為零;偶次方根中,被開方數(shù)非負(fù);對于y=x0,要求x0;對數(shù)式中,真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1; 由實(shí)際問題確定的函數(shù),其定義域要受實(shí)際問題的約束.如果函數(shù)是由兩個(gè)以上數(shù)學(xué)式子的和差積商的形式構(gòu)成時(shí),定義域是使各局部有意義的公

9、共局部的集合.(1)所謂抽象函數(shù)是指用f(x),g(x)或F(x),G(x)等表示的函數(shù),而沒有具體解析式的函數(shù)類型.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?那么函數(shù)f 的定義域是指滿足不等式ag(x)b的x的取值范圍;一般地,假設(shè)函數(shù)f的定義域是 ,指的是x ,要求f(x)的定義域就是求x 時(shí)g(x)的值域.2. 求函數(shù)值域(最值)的常用方法:(1)根本函數(shù)法對于根本函數(shù)的值域可通過它的圖象性質(zhì)直接求解.(2)配方法對于形如y=ax2+bx+c(a0)或F(x)= (a0)類的函數(shù)的值域問題,均可用配方法求解.(3)換元法利用代數(shù)或三角換元,將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成易求值域的函數(shù), 形如y=ax+b±

10、; (a,b,c,d均為常數(shù),ac0)的函數(shù),令 =t;形如含 的結(jié)構(gòu)的函數(shù),可利用三角代換,令x=acos,或令x=asin,.(4)不等式法利用根本不等式:a+b2,用此法求函數(shù)值域時(shí),要注意條件“一正二定三相等.如利用a+b2求某些函數(shù)值域(或最值)時(shí)應(yīng)滿足三個(gè)條件:a>0,b>0;a+b(或ab)為定值;取等號條件a=b.三個(gè)條件缺一不可.(5)函數(shù)的單調(diào)性法確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域,例如,f(x)=ax+ (a>0,b>0).當(dāng)利用不等式法等號不能成立時(shí),可考慮用函數(shù)的單調(diào)性.(6)數(shù)形結(jié)合法如果所給函數(shù)有較明顯的幾何意義,可借助幾何法求函數(shù)的值域,形如: 可聯(lián)