量子力學(xué)I期末考題A答案

1、山東師范大學(xué)2014年期末考試試題（A）答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（時間：120分鐘共100分）課程編號：080910203課程名稱：量子力學(xué)適用年級:2011學(xué)制:四年適用專業(yè):物理學(xué)、光電試題類別:_A一、簡答題：（本題共5小題，每小題5分，共25分）1、在體系所處的某一個狀態(tài)中測量不同的力學(xué)量，其測值概率分布是否相同？試舉例說明。答：在體系所處的狀態(tài)中測量不同的力學(xué)量其測值概率分布是不一樣的。（2分）比如某狀態(tài)中測量出的坐標(biāo)概率分布與動量概率分布可用不同函數(shù)來表示。（3分）（給出其它合適的例子同樣給分）2、試討論：若兩算符對易，是否在所有態(tài)下它們都同時有確定值。答：對易算符可以有共同的本征態(tài)，在共同

2、本征態(tài)下它們同時取確定值。（3分）但若所給定的態(tài)不是它們的共同本征態(tài)，在此態(tài)下兩算符是不能同時取確定值的。比如aP（2）是？z的本征態(tài)，盡管S?2, ?z =0 ,但它不是S2的本征態(tài)。（2分）（不給例子，討論合適也給分）3、試述全同粒子的特點以及對波函數(shù)的要求。答：全同粒子的特點：任意交換兩個粒子的位置不影響體系的狀態(tài)。（3分）這個特點要求描述全同粒子的波函數(shù)對任意兩個粒子的交換要么是對稱的，要么是反對稱的。（2分）4、使用狄拉克符號導(dǎo)出能量本征值方程在動量表象中的表示。答：在坐標(biāo)表象下的能量本征值方程為（，+V）4 A E |中> （1分）?2方程兩邊取動量表象，有 < p|&

3、quot;p |中A + < p|V |中* E < pH A （1分）2令9（p） =< p N A,并加入完備性關(guān)系Jdp'l p'x p'|,并利用| p >動量算符屬于本征彳t p的本征函數(shù)，有（1分）22p7 (p) . dp' < p |V | p' < p'i'1 飛-E ;：(p)2即梟*(p) +dpVpp卬(p') = E(p) (2 分)（從松處理，如果寫的是含時薛定謂方程的動量表象，只扣1分）寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和5、以口和P分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù),

4、自旋三重態(tài)波函數(shù)（只寫自旋部分波函數(shù)）|11 =:(1)二(2)答：自旋三重態(tài)三個：|11王P(1)P(2)(3分)1|10>="_(1)P(2)+a(2)P(1)1 -自旋單重態(tài)一個:|00>= ' ct(1)P(2)_a(2)P(1)(2 分)2(后面兩個寫得正確，給3分)二、證明題(本題共 3小題，每小題10分，共30分)1、證明在定態(tài)下，任意不顯含時間t力學(xué)量A的取值概率分布不隨時間改變。_i.Ent證明：設(shè)在定態(tài)|Wn >e 下，不顯含時間的力學(xué)量 A屬于本征值ak的本征函數(shù)為|akA, 則有(2分)-.Ent|n >e =£ Ck

5、(t) |ak A (2分)k.i.Ent兩邊同|ai >作內(nèi)積，有 < 砌|中n a ek=£ Ck (t) < aia (2分) k即 <al |Wn > e-nt =£ ck(t)61k =cl(t) (2 分) k所以取值ak的概率分布是|ck(t) |2=|<ak |中n習(xí)2 ,顯然不隨時間改變。(2分)(用對時間求導(dǎo)的方法做，推證正確，不扣分)1 一px .、 一2、已知在坐標(biāo)表象下動量算符屬于本征值p的本征函數(shù)為< x | p a e ,試證明x2 二二表象中？算符的矩陣元是(p)x,x"=/工6(父乂

6、9;)。ex'證明：根據(jù)題意，有(p)x,x" 二< x'| p | x'X JJdp'dp'Y x'| p'x p'| p | p''x p''| x''> (2 分)-i-p"x"(2分)1-p'x'方dp'dp''ep'(p,-p,)e-p'(x'-x'')dp'ep' (2 分)12日（2分）一，1利用6函數(shù)的定乂 6（xx'）=2

7、二一“ -如（x_x'）Je" dp,有（p）x,x" =M-6（x'x''）。（2 分） fx'3、證明在氫原子的任何定態(tài)nim （r ,日，中）中，動能的平均值等于該定態(tài)能量的負(fù)值，即<?2/2N >nim = En。證明：根據(jù)位力定理，對于庫侖勢場，V = -2T （2分）對于氫原子來說，由哈密頓的表達(dá)式T? V = H?兩邊取平均值，有 T+V=En （4分）前式代入，得T = En （2分）即 <p2/2N >nim = En （2 分）三、計算題（本題共 3小題，每小題15分，共45分）1031、已

8、知在Sz表象中，sx =一 ,求：x 2U ”（1） Sx的本征值和所屬本征函數(shù);（2）Sz表象到Sx表象的變換矩陣（即將 Sx對角化的變換矩陣）一一-一一,m a解：（1）令本征值為 人，相應(yīng)的本征矢為 平= ，則有0 0 1,、fa1001Ya）（a）-=k，令九'=7，得! =九'2 4 0Ab；<b；a/2U0Ab；<bJ九'1解久期方程=0得九'=±1 （2分）1 九將X = 1代入本征值方程可得a = b ,利用歸一化條件ccX 111a1 +1b1 =1 可得=72 1（2分）同理對于K=-1 ,歸一化本征函數(shù)=_1（2分）-

9、h以上倆本征矢量分別隸屬于 sx的本征值± 。（1分）2按照本征值次序排列本征矢量，得變換矩陣T"1-1（3分）(3分)利用此變換矩陣可以將 sx變換到自身表象從而實現(xiàn)對角化:TSxT1向1 0.區(qū)1-1/210（3分）（如果只對ox求本征值和本征函數(shù)，不扣分）Hamiltonian量（不考慮軌道運動）2、設(shè)有一個定域電子， 受到沿y方向均勻磁場 B的作用,表為田=史?ymceB2mcyo設(shè)t = 0時電子自旋“向上”h（sz=_）,求t >0時？的平均 2值。解：在Sz表象下寫出哈密頓算符的矩陣形式為H2mc i0J（1分）其本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)為（令2mc）E1

10、eB2mc!及 E2 =一 ieB=-2mc（3分）則任意t時刻的態(tài)矢可以寫為|1-（t） =C1eit;:. -C2eut;:顯然在t=0時，利用初始條件有|W（0） A c出+ + c2cp_ = a （2 分）所以可得出c=中玄=3（i2C21 二2（1 i/1（2分）（t）it1瓦e 422leite4 tcos tsint）（3分）所以：二 sx（t） |sx |'- （t）0 10 1cos t=(coscct -sincct )2 J 0X-sinoths 一一sin 2 t2<sy >=2（|。6曲 |2 -Qe" |2） =0z 22< s

11、z a ,（cos cotsin cot）=萬 cos28t （4 分）2 二x3、一維無限深勢阱（0 <x <a）中的粒子受到微擾 H?'= Acos（0<x<a）的作用，其a中A為常數(shù)。求第一激發(fā)態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似。解：利用非簡并微擾中激發(fā)態(tài)能量的二級近似與波函數(shù)的一級近似公式2式中E）E2 = E20)(2分)am2 二 2 22 %2.H 、1H 3H 22_|T(01r(m#E2-Em (2 分)但 H m2y0)H?L：a(0) , 2A .2 dx =sin a 0cosa a,2 x ,sin d xaAa二sina 0m 二x . 4x sinadx=a 卅&40)dx=£"4(3 分)2o2所以E24 二2 22a2AW244 m .2|、m4 |24二 2 2 A21E20) V - 2a24 E20) - E40)對于波函數(shù),2二 2一2A2a2a224二 2 2(3分)當(dāng) 0<x<a時,.;,(0)八. H'm2 (0)2 -2(0) _(0) mm-2 E