高中函數(shù)圖像大全85218

1、指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù) y=aAx （a 0,且aw 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是 R。注意：L指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1,否則不能為指數(shù)函數(shù)。2.指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指 數(shù) 函 數(shù) 的 圖 像 與 性 質(zhì)i h行 丁，彳 ubWWTTBjFEfw * s n七 l -1 ul() 1時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y軸的右側(cè)，圖像越靠近 y軸；當(dāng)0vav1時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在 y軸的左側(cè)，圖像越靠近 y軸。在y軸右邊 底大圖高”；在y軸左邊 底大圖低”。圖像在R上是減函數(shù)。3 .四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a 1時，圖像在R上是增函

2、數(shù)；當(dāng)0vav1時,4 .指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較募式大小的方法：1 .當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2 .當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時要注意 分類討論；3 .當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4 .對多個數(shù)進(jìn)行比較，可用 0或1作為中間量進(jìn)行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。在f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。對數(shù)函數(shù)1 .對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-8, +8)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax(a0, aw 1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，

3、并記為y=logax(a0, aw 1).因為指數(shù)函數(shù)y=ax的定義域為(-8, +8),值域為(0, +oo),所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域為(0, +8),值 域為(-OO, +oo).2 .對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像 對稱于直線y=x.據(jù)此即可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì)為了研究對數(shù)函數(shù)y=logax(a0, aw 1)的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)x的草圖y=log2x, y=log10x, y=log 10x,y=log x,y=log 工210(I )y=log2(IV)y=logy=logax(a0, aw 1)的圖像的

4、特征和性質(zhì).由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對數(shù)函數(shù) 見下表.圖象a 1a 1Jy1JJ or /r*y logaji (0a0(2)當(dāng) x=1 時，y=0(3)當(dāng) x1 時，y00x1 時，y1 時，yv 00x0(4)在(0, +8)上是增函數(shù)(4)在(0, +8)上是減函數(shù)補 充性 質(zhì)設(shè) y1=logax y2=logbx其中 a 1, b 1(或 0vav10vbv1)當(dāng)x1時“底大圖低即若a b則y1 y2當(dāng)0xb,則y1y2比較對數(shù)大小的常用方法有:若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)，性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進(jìn)行分類

5、討論.若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3 .指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一式y(tǒng)=ax(a0, aw 1)y=logax(a0, aw 1)定義域(-OO, +oo)(0, +00)值域(0, +8)(-OO, +OO)當(dāng)a1時，當(dāng)a 1時函b 1(x 0)f0(x1)數(shù)值ax = 1(x =0)10g a x=0(x = 1)變,1(x 0)0(x0)k 0(x 1)ax =1(x = 0)10g a x( = 0(x = 1)1(x 0(x1時，ax是增函數(shù)；當(dāng)a1時，logax是增函數(shù)；

6、當(dāng)0vav1時，ax是減函數(shù).當(dāng)0vav 1時，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=log ax的圖像關(guān)于直線y=x對稱.號函數(shù)幕函數(shù)的圖像與性質(zhì)哥函數(shù)y =xn隨著n的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法.熟練掌握n ,-1 1 -y = x ,當(dāng)n = =2 , 1, ，一，3的圖像和性質(zhì)，列表如下.2 3從中可以歸納出以下結(jié)論：它們都過點（1,1 ）,除原點外，任何幕函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何幕函數(shù)圖像都不過第四象限.11 a =1,金，1, 2,3時，哥函數(shù)圖像過原點且在 10,+兇）上是增函數(shù).小1 一 a = -，-1, -2時，哥函數(shù)圖像

7、不過原點且在0,+30上是減函數(shù).2何兩個幕函數(shù)最多有三個公共點.奇函數(shù)偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)一不1： 1TV*4；1葉1 廣* /I /z*i1 K”*產(chǎn).1 :、定義域RRR5P /*產(chǎn) 二小卷7：；一-一4L安廠|奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第I象限的增減 性在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞增在第I象限 單調(diào)遞減哥函數(shù)y = x” （ xw R, a是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律 是：所有備函數(shù)y = xa （XWr, a是常數(shù)）的圖像都過點（1，1）;=1.2.3當(dāng)2時函數(shù)y = x的圖像都過原點（0，0）；當(dāng)口 =1時，y =xa的的圖像在第

8、一象限是第飛限的平分線（如c2）；當(dāng)u =2,3時，y=xa的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如G）_1當(dāng)二萬時，V =xa的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如c3）當(dāng)a = -1時，y=產(chǎn)的的圖像不過原點（，0）,且在第一象浪是“下滑”曲線（如c4）ot當(dāng)a A0時，哥函數(shù)y=x 有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點（0,0），（1，1）;（2）在第5限內(nèi)都是噌函數(shù)；（3）在第5限內(nèi)，a A1時，圖象是向下凸的；0 口.1時，圖象是向上凸的；（4）（在第一象限內(nèi)，過點（1，1）后，圖象向右上方無限伸展。當(dāng)a 0，b0）叫做對號函數(shù)，因其在（0, +8）的圖象似符號而得名，利用對號xb _ bb b

9、函數(shù)的圖象及均值不等式，當(dāng) x0時，ax + - 2 2. -（當(dāng)且僅當(dāng)ax =旦即x= 19時取等號），由此可得函數(shù) x , ax . aby = ax + （a0，b0，x R ）的性質(zhì)：當(dāng)x =、|也時，函數(shù)y=ax+P (a0,b0,x C R+)有最小值21也，特別地，當(dāng)a=b=1時函數(shù)有最小值 2。 axa函數(shù)y =ax+b (a0,b0)在區(qū)間(0, Jb)上是減函數(shù)，在區(qū)間(Jb , +)上是增函數(shù)。xaabb因為函數(shù)y=ax+(a0,b0)是奇函數(shù)，所以可得函數(shù)y = ax十 (a0,b0,x e R )xxbbb性質(zhì)：當(dāng)x = j一時，函數(shù)y=ax+ ( a0,b0,x C

10、 R )有取大值-2_J一,特別地，當(dāng)a=b=1時函數(shù)有最大值 , axa-2。函數(shù)y=ax+b (a0,b0)在區(qū)間(-, -J?)上是增函數(shù)，在區(qū)間(-出,0)上是減函 x aa奇函數(shù)和偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，者B有f( - x)= - (x).那么就稱f(x)為奇函數(shù).如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x值，者B有f( x)=f(x),那么就稱f(x)為偶函數(shù).說明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)于原點成對稱的若干區(qū)間時，才有可能是奇(2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x)是不易的.為了便于判斷有時可采

11、取如下辦法：計算f(x)+f( -x),視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù).用這個方法判斷此函數(shù)較為方便：f(x)(3)判斷函數(shù)的奇偶性時，還應(yīng)注意是否對定義域內(nèi)的任何x值，當(dāng)xW0時，顯然有f( x)= f(x),但當(dāng)x=0時，f(x)=f(x)=1 ,，f(x)為非奇非偶函數(shù).(4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點為對稱的中心對稱圖形；偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)于y軸為對稱軸的對稱圖形.(5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用時，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來進(jìn)行論證.例 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(0, +8)上是增函數(shù)，試判斷在( 8, 0)上的增減性.解設(shè) x1 , x2 C ( 8, 0),且 x1

12、 v x2 v 0則有一x1 -x20, f(x)在(0, +8)上是增函數(shù)，.-.f(-x1)f(-x2)又f(x)是奇函數(shù)，f(x)= f(x)對任意x成立,=f(x1) f(x2) f(x1) vf(x2).f(x)在(00, 0)上也為增函數(shù).由此可得出結(jié)論：一個奇函數(shù)若在(0, +8)上是增函數(shù)，則在(8, 0)上也必是增函數(shù)，即奇函數(shù)在 (0, +00 )上與(8 , 0)上的奇偶性相同.類似地可以證明，偶函數(shù)在 (0, +8)和(8, 0)上的奇偶性恰好相反.時，f(x)的解析式解.x0.又 f(x)是奇函數(shù)，f( x)= f(x).偶函數(shù)圖象對稱性的拓廣與應(yīng)用我們知道，如果對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)任意一個x,都有f( x)=f(x), 那么函數(shù)y=f(x)就叫做偶函數(shù).偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對稱，反之亦真.由此可拓 廣如下：如果存在常數(shù)a, b,對于函數(shù)y = f(x)定義域內(nèi)任意一個x, a+x, b-x仍在9 Irji定義域內(nèi),且他十那么函數(shù)y = 6)的圖象關(guān)于直線區(qū)二丁對稱:(這 樣的函數(shù)我們不妨稱之為廣義偶函數(shù))反之亦直.(a+b-x , f(x),而 f(a +bx)=fa +(bx) =fb (b x) =f(x),對稱點P(a+b-x ,a. + b反之，如果y=F(x)的圖象關(guān)于直線x二二一時稱,設(shè)pg +