三峽大學數(shù)學建模第一題_電力生產(chǎn)問題

1、精選文檔電力生產(chǎn)問題為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW），可以選用四種不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。 表1：每日用電需求（兆瓦）時段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電力量，當接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應低于某一最小輸出功率。全部發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本，并且假如功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電機狀況可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸

2、出功率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個時段開頭時才允許啟動或關閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關閉發(fā)電機不需要付出任何代價。問題（1） 在每個時段應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題（2） 假如在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為

3、多少？電力生產(chǎn)問題的數(shù)學模型摘 要本文解決的是電力生產(chǎn)問題，在發(fā)電機的發(fā)電量能滿足每日的電力需求的條件下，為了使每日的總成本達到最低，我們建立了一個最優(yōu)化模型。對于問題一：由已知條件可知有固定成本、邊際成本、啟用成本，據(jù)此，我們確定了三個指標：即固定總成本、邊際總成本、啟動總成本。總成本即為這三項總成本之和。每天分為七個時段，發(fā)電機共有四種型號，方案結(jié)果應當包括每個時段每種型號平均功率及該時段該型號發(fā)電機的數(shù)量，一共有56個未知數(shù)，為削減未知數(shù)，并將非線性約束條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，將整數(shù)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為非整數(shù)規(guī)劃，我們以每個時段每種型號的幾個發(fā)電機發(fā)出的總功率為變量，并列出相應的約束條件，然后通過

4、LINGO求出個時段各種型號發(fā)電機的總功率，再接受分支定界法求出最小總成本為146.9210萬元。再依據(jù)總功率利用Matlab軟件計算出總功率所對應的該型號發(fā)電機的數(shù)量（見表一）。對于問題二：題目要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量，以防用電量突然上升。其他條件與問題一相同，因此，只需增加一個約束條件，即發(fā)電機機組所能發(fā)出的最大總功率乘以80%后大于用電需求。為熬煉編程技術，故在其次問改用Matlab軟件編程來求解，將所要求的7個時段4種型號的發(fā)電機的平均功率一共28個未知數(shù)用X1，X2,，X28表示，將其對應的發(fā)電機數(shù)量用X29，X30，X56表示，并利用矩陣列出約

5、束條件和目標函數(shù)，然后編程并運行求解，得到的發(fā)電機數(shù)量有的不為整數(shù)，然后接受分支定界法，得到調(diào)整后的結(jié)果，最小總成本為157.5426萬元。關鍵詞：線性規(guī)劃、總功率、使用數(shù)量、總成本1.問題重述1.1問題背景為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW），可以選用四種不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。 表1：每日用電需求（兆瓦）時段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電力量，當接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應低于某一最小輸出功率。全部發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于

6、最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本，并且假如功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電機狀況可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個時段開頭時才允許啟動或關閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關閉發(fā)電機不需要付出任何代價。1.2需要解決的問題問題（1） 在每個時段應分別使用哪些發(fā)電機才能使

7、每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題（2） 假如在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為多少？2. 模型假設假設1：調(diào)整發(fā)電機功率沒有成本假設2：發(fā)電機生產(chǎn)的電量在傳輸過程中沒有損耗假設3：忽視發(fā)電機啟動的時間假設4：發(fā)電機的功率在時段初調(diào)整好后在那個時段內(nèi)保持不變3.符號說明符號符號說明型號j發(fā)電機在第i個時間段的總功率型號j發(fā)電機的總數(shù)量單個型號j發(fā)電機的最小功率單個型號j發(fā)電機的最大功率第i個時間段的時間型號j發(fā)電機每小時的固定成本型號j發(fā)電機每兆瓦邊際成本型號j發(fā)電機

8、的啟用成本第i個時間段的用電需求量型號j發(fā)電機在第i個時間段的使用數(shù)量，式中代表向下取整型號j發(fā)電機在第（i-1）個時間段的使用數(shù)量，式中代表向下取整第i時段型號為j的發(fā)電機的平均輸出功率第i時段型號為j的發(fā)電機的數(shù)量4.問題分析此題爭辯的是電力生產(chǎn)中在滿足每日電力需求的條件下，使每日的總成本達到最小的數(shù)學建模問題。針對問題一：從以下三方面來分析（1） 對已知條件的分析：從已知的條件來看，本題將一天分為了七個時間段，在每一個時間段都有對應的電力需求量。為了滿足每日的電力需求，有四種型號的發(fā)電機可供使用，每種型號的發(fā)電機都已知其可用數(shù)量、最小輸出功率、最大輸出功率、固定成本、每兆瓦邊際成本、啟用

9、成本。要使總成本達到最小，則問題的目標函數(shù)就是總成本函數(shù)。（2） 對目標函數(shù)的分析：總成本由三個指標組成，即固定總成本、邊際總成本、啟動總成本。分別對每個指標進行分析。固定總成本為第i個時間段的時間、型號j發(fā)電機在第i個時間段的數(shù)量、型號j發(fā)電機每小時的固定成本這三者之積的累積和。邊際總成本為第i個時間段的時間、型號j發(fā)電機在第i個時間段超出此時間段最小總功率的功率、型號j發(fā)電機每兆瓦邊際成本這三者之積的累積和。啟動總成本為型號j發(fā)電機啟動數(shù)量和型號j發(fā)電機的啟動成本之積的累積和。 （3）對約束條件的分析：對機型j發(fā)電機在第i個時間段總功率的約束有兩個。一是若機型j發(fā)電機在第i個時間段不使用，

10、則機型j發(fā)電機在第i個時間段的總功率為零；若機型j發(fā)電機在第i個時間段使用，則機型j發(fā)電機在第i個時間段的總功率要滿足大于等于單個機型j發(fā)電機的最小輸出功率且小于等于全部機型j發(fā)電機最大輸出功率之和；二是四種機型的發(fā)電機在第i個時間段生產(chǎn)的總功率要滿足大于等于第i個時間段的用電量需求。針對問題二：題目要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量，以防用電量突然上升，即發(fā)電機組在第i個時間段所能發(fā)出的最大總功率的80%要大于等于該時段的用電需求。 5.問題一的解答針對問題一我們建立了模型一6.1模型一的建立6.1.1確定目標函數(shù)該模型是為了解決電力生產(chǎn)中，在滿足每日電力需求的條

11、件下，用四類不同型號的發(fā)電機在一天的七個時段進行電力生產(chǎn)，使總成本達到最小的問題?？偝杀居梢韵氯椫笜私M成：指標一：固定總成本指標二：邊際總成本指標三：啟用總成本 為了使總成本達到最小，我們建立了如下的目標函數(shù)：6.1.2確定約束條件 （1）若機型j發(fā)電機在第i個時間段不使用，則機型j發(fā)電機在第i個時間 段的總功率為零；若機型j發(fā)電機在第i個時間段使用，則機型j發(fā)電 機在第i個時間段的總功率要滿足大于等于單個機型j發(fā)電機的最小輸 出功率且小于等于全部機型j發(fā)電機最大輸出功率之和。據(jù)此，我們建 立了如下約束條件： 其中=1,2，···，7 =1,2,3,4 （2）四

12、種機型的發(fā)電機在第i個時間段生產(chǎn)的總功率要滿足大于等于第i 個時間段的用電量需求。據(jù)此，我們建立如下約束條件： 其中=1,2，···，7 =1,2,3,46.1.3綜上所述，得到問題一的最優(yōu)化模型 6.2模型一的求解 我們用Lingo軟件求解這個模型，對于這個約束條件，Lingo軟件不能直接處理，因此，我們先用分支定界法將此條件改為，然后用Lingo軟件求解，分析計算結(jié)果發(fā)覺有的時段的某型號發(fā)電機輸出功率小于該型號發(fā)電機的最小功率，故對進行調(diào)整，調(diào)整后得到滿足約束條件的最低總成本為146.9210萬元。依據(jù)Lingo軟件計算得到的第i時段型號為j的幾個發(fā)電機發(fā)出的

13、總功率，然后用Matlab軟件以總功率除以該型號單個發(fā)電機的最大輸出功率，然后向正無窮方向取整，得到第i時段型號為j的發(fā)電機的數(shù)量。各個時段各種型號幾個發(fā)電機發(fā)出的總功率及對應的發(fā)電機數(shù)量如下表一所示： 表一 時 段 型 號型號1型號2型號3型號4總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量0-6006000460003006-91816.9502600041600088183.05039-123047.90826000415952.0980012-143500.00236000416000810500314-1830002600041600080018-22857.168716000416000

14、87142.831322-24005285.470412714.837006.問題二的解答 依據(jù)問題一的模型，我們已經(jīng)求出了在滿足每日電力需求的條件下，用四類不同型號的發(fā)電機在一天的七個時段進行電力生產(chǎn)，使總成本達到最小，而問題二要求在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量，以防用電量突然上升。故在第一問的目標函數(shù)和約束條件保持不變的狀況下，應再增加一個約束條件，即第i個時段發(fā)電機組所能輸出地最大功率的80%應大于第i個時段的用電需求。列出目標函數(shù)和約束條件如下： 將目標函數(shù)和約束條件用矩陣的形式表示出來，然后用Matlab軟件求解，求解結(jié)果中有的 不為整數(shù)，故用分支定界法進

15、行調(diào)整，調(diào)整后得到滿足約束條件的最小總成本為每天157.5426萬元。各個時段各種型號的發(fā)電機發(fā)出的平均功率和對應的數(shù)量見下表： 表 二 時 段 型 號型號1型號2型號3型號4平均功率數(shù)量平均功率數(shù)量平均功率數(shù)量平均功率數(shù)量0-67503143.75420002006-992051500420008180039-12750611254200080012-141075815004200081800314-18750611254200080018-22750414004200081800322-247503100043189.96007. 模型的評價、改進及推廣8.1模型評價優(yōu)點：（1）依據(jù)題目的

16、要求我們確立了三個指標，即固定總成本、邊際總 成本、啟用總成本，以上三項總成本之和即為總成本，通過對 三項總成本的逐項分析，建立了最優(yōu)的目標函數(shù)。 （2）對于約束條件的建立，我們綜合考慮了各種狀況，使約束條件 達到了具體化全面化。 （3）以每個時段每種型號的幾個發(fā)電機發(fā)出的總功率為變量，將56 個未知數(shù)縮減為28個，將約束條件中的非線性約束轉(zhuǎn)化為線性 約束，將整數(shù)規(guī)劃轉(zhuǎn)化為非整數(shù)規(guī)劃，并提高了運行速度，缺點：我們用總功率來表示數(shù)量，通過總功率來求數(shù)量，而此數(shù)量的結(jié)果不 能在LINGO中直接表示出來，需要另外通過其他軟件來得出結(jié)果，使建模工作簡單化8.2模型改進（1） 所建模型是在發(fā)電機無故障的

17、條件下建立的，假如考慮發(fā)電機隨使用 時間的增加，在不同的時間段（譬如以月為時間段單位）需要不同的 檢修費用，再把檢修費用平分到每一天，將此檢修費用也算作總成本 的一部分。增加約束條件，使模型更精準優(yōu)化。（3）所建模型假設了發(fā)電機的功率在時段初調(diào)整好后在那個時段內(nèi)保持不 變，假如在每個時段，發(fā)電機的功率在滿足約束條的狀況下為可變的， 則可以依據(jù)實際狀況做不同調(diào)整，使模型更實際化。8.3模型推廣我們建的模型不僅適用于電力生產(chǎn)，也適用于其它方面的生產(chǎn)，也可用于產(chǎn)銷平衡問題，選址問題，值班問題等等。8. 參考文獻1趙靜，但琦，數(shù)學建模與數(shù)學試驗，高等教育出版社，2008.2樓順天，姚若玉，沈俊霞，MA

18、TLAB7.x程序設計語言，西安電子科技高校出 版社，2008.9. 附錄附錄一：問題一中發(fā)電機組各時段的功率和開啟的數(shù)量 時 段 型 號型號1型號2型號3型號4總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量0-6006000460003006-91816.9502600041600088183.05039-123047.90826000415952.0980012-143500.00236000416000810500314-1830002600041600080018-22857.16871600041600087142.831322-24005285.470412714.83700附錄二：問題

19、二中發(fā)電機組各時段的功率和開啟的數(shù)量表 二 時 段 型 號型號1型號2型號3型號4總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量總功率數(shù)量0-680014800464004006-910400848004112007560029-1290007480041120070012-14112008480041280087200314-1890007480041120070018-2284006480041120075600222-2400480049600636002附錄三：模型一調(diào)整前所用程序sets:!電力生產(chǎn)問題;shiduan/1.7/:s,x;xinghao/1.4/:n,p,q,g,b,v;link(s

20、hiduan,xinghao):c;endsetsdata:!各個時段的小時數(shù);s=6,3,3,2,4,4,2;!各個時段的用電需求;x=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;!可用數(shù)量;n=10,4,8,3;!最小輸出功率;p=750,1000,1200,1800;!最大輸出功率;q=1750,1500,2000,3500;!固定成本;g=2500,1800,3750,4800;!邊際成本;b=2.7,2.2,1.8,3.8;!啟動成本;v=5000,1600,2400,1200;enddata!目標函數(shù)floor（c(i,j)/q(j)+0.9

21、99999)為第i時段型號為j的發(fā)電機的數(shù)量if函數(shù)用來推斷：當i=1時，i-1=7;min=sum(link(i,j):s(i)*(floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)*g(j)+(c(i,j)-(floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)*p(j)*b(j)+(sign(floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)-(floor(if(i #ge# 2,c(i-1,j),0)/q(j)+0.999999)+1)/2*(if(i #ge# 2,floor(c(i,j)/q(j)+0.999999)-(floor(c(i-1,j)/q(j)+0.9999

22、99),floor(c(1,j)/q(j)+0.999999)*v(j);!第i時段的總發(fā)電量大于該時段的用電需求;for(shiduan(i): sum(xinghao(j): c(i,j)>=x(i);!型號為j的發(fā)電機發(fā)出的總功率小于或等于該型號幾個發(fā)電機所能發(fā)出的最大功率;for(link(i,j):c(i,j)<=n(j)*q(j);!型號為j的發(fā)電機發(fā)出的總功率大于或等于0;for(link(i,j):c(i,j)>=0);End程序運行結(jié)果 Feasible solution found. Objective value: 1463554. Infeasibil

23、ities: 0.2394529E-11 Total solver iterations: 377 Variable Value Reduced Cost S( 1) 6.000000 0.000000 S( 2) 3.000000 0.000000 S( 3) 3.000000 0.000000 S( 4) 2.000000 0.000000 S( 5) 4.000000 0.000000 S( 6) 4.000000 0.000000 S( 7) 2.000000 0.000000 X( 1) 12000.00 0.000000 X( 2) 32000.00 0.000000 X( 3)

24、25000.00 0.000000 X( 4) 36000.00 0.000000 X( 5) 25000.00 0.000000 X( 6) 30000.00 0.000000 X( 7) 18000.00 0.000000 N( 1) 10.00000 0.000000 N( 2) 4.000000 0.000000 N( 3) 8.000000 0.000000 N( 4) 3.000000 0.000000 P( 1) 750.0000 0.000000 P( 2) 1000.000 0.000000 P( 3) 1200.000 0.000000 P( 4) 1800.000 0.0

25、00000 Q( 1) 1750.000 0.000000 Q( 2) 1500.000 0.000000 Q( 3) 2000.000 0.000000 Q( 4) 3500.000 0.000000 G( 1) 2500.000 0.000000 G( 2) 1800.000 0.000000 G( 3) 3750.000 0.000000 G( 4) 4800.000 0.000000 B( 1) 2.700000 0.000000 B( 2) 2.200000 0.000000 B( 3) 1.800000 0.000000 B( 4) 3.800000 0.000000 V( 1)

26、5000.000 0.000000 V( 2) 1600.000 0.000000 V( 3) 2400.000 0.000000 V( 4) 1200.000 0.000000 C( 1, 1) 0.000000 0.000000 C( 1, 2) 6000.000 0.000000 C( 1, 3) 6000.000 0.000000 C( 1, 4) 0.000000 0.000000 C( 2, 1) 1743.539 -1.937143 C( 2, 2) 6000.000 0.000000 C( 2, 3) 14769.19 0.000000 C( 2, 4) 9487.272 0.

27、000000 C( 3, 1) 2957.026 0.000000 C( 3, 2) 6000.000 0.000000 C( 3, 3) 16000.00 0.000000 C( 3, 4) 42.97358 -0.2914286 C( 4, 1) 4645.511 0.000000 C( 4, 2) 6000.000 0.000000 C( 4, 3) 16000.00 0.000000 C( 4, 4) 9354.489 0.000000 C( 5, 1) 2892.322 0.000000 C( 5, 2) 6000.000 0.000000 C( 5, 3) 15986.15 0.0

28、00000 C( 5, 4) 121.5283 2.982857 C( 6, 1) 2294.031 1.017143 C( 6, 2) 6000.000 0.000000 C( 6, 3) 16000.00 0.000000 C( 6, 4) 5705.969 0.000000 C( 7, 1) 9.400785 1.124286 C( 7, 2) 5997.405 0.000000 C( 7, 3) 11993.19 0.000000 C( 7, 4) 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 1463554. -1.00000

29、0 2 0.000000 -14.37000 3 0.000000 -10.85143 4 0.000000 -8.914286 5 0.000000 -10.22857 6 0.000000 -9.028571 7 0.000000 -13.72571 8 0.000000 -3.390000 9 17500.00 0.000000 10 0.000000 0.6366667 11 10000.00 0.000000 12 10500.00 0.000000 13 15756.46 0.000000 14 0.000000 5.051429 15 1230.811 0.6642857E-01

30、 16 1012.728 0.000000 17 14542.97 0.000000 18 0.000000 3.114286 19 0.000000 1.129286 20 10457.03 0.000000 21 12854.49 0.000000 22 0.000000 6.361905 23 0.000000 5.038571 24 1145.511 2.765714 25 14607.68 0.000000 26 0.000000 1.295238 27 13.84997 -1.351429 28 10378.47 0.000000 29 15205.97 0.000000 30 0

31、.000000 5.992381 31 0.000000 0.9457143 32 4794.031 0.000000 33 17490.60 0.000000 34 2.594708 -1.010000 35 4006.806 0.000000 36 10500.00 0.000000 37 0.000000 -2.030000 38 6000.000 0.000000 39 6000.000 0.000000 40 0.000000 -4.418571 41 1743.539 0.000000 42 6000.000 0.000000 43 14769.19 0.000000 44 948

32、7.272 0.000000 45 2957.026 0.000000 46 6000.000 0.000000 47 16000.00 0.000000 48 42.97358 0.000000 49 4645.511 0.000000 50 6000.000 0.000000 51 16000.00 0.000000 52 9354.489 0.000000 53 2892.322 0.000000 54 6000.000 0.000000 55 15986.15 0.000000 56 121.5283 0.000000 57 2294.031 0.000000 58 6000.000

33、0.000000 59 16000.00 0.000000 60 5705.969 0.000000 61 9.400785 0.000000 62 5997.405 0.000000 63 11993.19 0.000000 64 0.000000 -2.530000附錄四：模型一調(diào)整后所用程序 sets:!電力生產(chǎn)問題;shiduan/1.7/:s,x;xinghao/1.4/:n,p,q,g,b,v;link(shiduan,xinghao):c;endsetsdata:!各個時段的小時數(shù);s=6,3,3,2,4,4,2;!各個時段的用電需求;x=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;!可用數(shù)量;n=10,4,8,3;!最小輸出功率;p=750,1000,1200,1800;!最大輸出功率（留有20%余量）;q=1400,1200,1600,2800;!固定成本;g=2500,1800,3750,4800;!邊際成本;b=2.7,2.2,1.8,3.8;!啟動成本;v=5000,1600,2400,1200;enddata!目標函數(shù)floor（c(