第2章金融工程的基本分析方法

1、第二章 金融工程的基本分析方法金融工程實(shí)際上是利用工程技術(shù)來解決金融業(yè)的實(shí)際問題的。而“技術(shù)”從廣義上講包括三個(gè)基本部分：理論、工具和工藝方法。理論：一種知識體系，支持金融工程的理論包括經(jīng)濟(jì)理論、金融理論和其他相關(guān)理論；工具（材料）：技術(shù)應(yīng)用的材料，支持金融工程的工具不僅有股票、債券等傳統(tǒng)的金融工具，還有越來越多的新興金融產(chǎn)品，包括金融衍生品。工藝方法：結(jié)合相關(guān)理論和工具來構(gòu)造和實(shí)施一項(xiàng)操作過程中的布置和過程本身。(組合與合成 、新創(chuàng)、剝離（本金和利息）、分割（風(fēng)險(xiǎn)和收益）等）幻燈片2第一節(jié) 無套利定價(jià)法 l 一、無套利定價(jià)的思想l 嚴(yán)格意義上的套利 是在某項(xiàng)金融資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在

2、不需要期初投資支出的條件下獲取無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬 。l 在有效的金融市場上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會不復(fù)存在。l 例如：l 期初有兩項(xiàng)投資A和B可供選擇。并且期末這兩項(xiàng)投資可以獲得相同 的利潤，還有這兩項(xiàng)投資所需的維持成本 也相同。那么根據(jù)無套利原則，這兩項(xiàng)投資在期初的投資成本（也就是它們期初的定價(jià)）應(yīng)該相同。l 二、無套利定價(jià)的原理與應(yīng)用l （一）無套利定價(jià)原理 （遠(yuǎn)期外匯定價(jià)的例子）l 假定市場條件如下：目前貨幣市場上美元利率是6%，馬克利率是10%；外匯市場上美元與馬克的即期匯率是1 美元兌換1.8馬克 (1:1.8)。l 問題是一年期的遠(yuǎn)期匯率是否還是1:

3、1.8呢？l 如果1:1.8是均衡的遠(yuǎn)期外匯價(jià)格，那么套利者可以:l 1.借入1美元，一年后要?dú)w還1.06美元； l 2-1.在即期市場上，他用借來的1美元兌換成1.8馬克存放一年，到期可以得到1.98馬克；l 2-2. 同時(shí) 按照目前的遠(yuǎn)期匯率（1:1.8）賣出1.98馬克，換回1.1美元。l 在扣除掉為原先借入的1美元支付的本息1.06美元之外，還有一個(gè)剩余0.04美元（1.1美元-1.06美元）。l 在本例中，均衡的遠(yuǎn)期外匯價(jià)格應(yīng)該是多少？套利者借入1美元后：l 1.如果不進(jìn)行套利活動(dòng)，他一年后將得到1.06美元；l 2.如果他實(shí)施了套利活動(dòng)，他一年后將得到1.98馬克。l 這兩種情況都

4、是從期初的1美元現(xiàn)金流出開始，到期末時(shí)兩個(gè)現(xiàn)金流入的價(jià)值也必須相等。因此：l 1.06美元=1.98馬克，即1美元=1.8679馬克l 這個(gè)價(jià)格才是無套利的均衡價(jià)格。l (遠(yuǎn)期利率的例子)：l 假設(shè)現(xiàn)在6個(gè)月即期年利率為10%，1年期的即期利率是12%。l 如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期年利率定為11%，試問這樣的市場行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？ l 答案是肯定的，套利過程是：l 第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬元）；l 第二步，按12%的利率貸出一筆1年期的款項(xiàng)金額為1000萬元。l 同時(shí)，簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后

5、從市場借入資金1051萬元（等于1000e0.10×0.5）。l 第三步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.12×1），用1110萬元（等于1051e0.11×0.5）償還1年期的債務(wù)后。l 交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。l 無套利定價(jià)機(jī)制的主要特征：l 其一，無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài) 下進(jìn)行。在實(shí)際的交易活動(dòng)中，純粹零風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)比較罕見。因此實(shí)際的交易者在套利時(shí)往往不要求零風(fēng)險(xiǎn)，所以實(shí)際的套利活動(dòng)有相當(dāng)大一部分是風(fēng)險(xiǎn)套利。l 其二，無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合 ，即開始時(shí)套利者不

6、需要任何資金的投入，在投資期間也沒有任何的維持成本。套利組合的表達(dá)式 建立套利組合需要決定哪些證券需要賣出？賣出多少？哪些證券需要買入？買入多少？即確定各證券的權(quán)重。 在計(jì)算時(shí)，一般假定b等敏感性是已知的。 因此，求解方程組中的x，即為一個(gè)套利組合。其解可能不唯一，即套利組合也不唯一。l 其三，無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。復(fù)制技術(shù)的要點(diǎn)是：l 使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復(fù)制組合的多頭（空頭）與被復(fù)制組合的空頭（多頭）互相之間應(yīng)該完全實(shí)現(xiàn)頭寸對沖。l 推論是：在金融市場上，獲取相同資產(chǎn)的資金成本一定相等。ll 無套利定價(jià)法

7、在衍生產(chǎn)品定價(jià)中的運(yùn)用l 主要思路：在一個(gè)不存在套利機(jī)會的有效市場上，投資者可以建立一個(gè)包含了衍生品（比如期權(quán)）頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)（比如股票）頭寸的無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合（復(fù)制）。l 根據(jù)無套利原則，無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率必須等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。l 因此，衍生證券的期望收益率，基礎(chǔ)證券的期望收益率和無風(fēng)險(xiǎn)利率之間存在一個(gè)均衡條件 。 l 例：假設(shè)一種不支付紅利股票（目前的市價(jià)為10元），3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%。l 一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？l 如何確定該期權(quán)的價(jià)值？l 可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的

8、組合。 成本：10X - f 。 若3個(gè)月后：l 1. 股票價(jià)格等于11元時(shí)，該組合價(jià)值等于（11 0.5）元；l 2. 股票價(jià)格等于9 元時(shí)，該組合價(jià)值等于9 元。l 適當(dāng)?shù)?應(yīng)該滿足：l 11 0.5=9 l =0.25l 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合 應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.25股標(biāo)的股票。無論3個(gè)月后股票價(jià)格等于11元還是9元，該組合價(jià)值都將等于2.25元。l 在沒有套利機(jī)會情況下，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率。則該組合的現(xiàn)值 應(yīng)為：l 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為10元，因此：l 該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.31元，否則就會存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會。 l

9、 （二）復(fù)制技術(shù)的應(yīng)用l 1、金融工具的模仿 金融工具的模仿是指通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合，使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。l 例如：可以通過買入一份看漲期權(quán),同時(shí)賣出一份看跌期權(quán)來模仿股票的盈虧。條件：看漲期權(quán)和看跌期權(quán)應(yīng)當(dāng)具有相同的 標(biāo)的資產(chǎn)S、到期日T和執(zhí)行價(jià)格（X，假設(shè)x=S），而且必須是歐式期權(quán)。l 假定在t時(shí)刻，上述看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格分別是c和p，則構(gòu)造模仿股票的成本是c-p。l 在期權(quán)的到期日T，上述組合的價(jià)值V就是買入期權(quán)價(jià)值與賣出期權(quán)價(jià)值的差，即l MS = max(0,ST -X) - max(0,X- ST)l 如果只考慮模仿股票的構(gòu)造成本而不考慮利息

10、，則該組合到期盈虧是：l max(0,ST - X) - max(0,X - ST) -（c - p）= ST X c + pl 由于投資股票的盈虧為ST -S= ST - X，顯然投資模仿股票的盈虧不如投資股票，如圖2.1所示。l 模仿股票在財(cái)務(wù)杠桿方面的巨大優(yōu)勢，為風(fēng)險(xiǎn)偏好型的投資者提供了一個(gè)性質(zhì)不同的投資渠道，在一定程度上彌補(bǔ)了這個(gè)效益差的缺陷。l 假設(shè)一只股票現(xiàn)在的市場價(jià)格是10元，以該價(jià)格作為執(zhí)行價(jià)格的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格分別是0.55元和0.45元。l 比如：一個(gè)投資者用10元錢采取兩種方案進(jìn)行投資，l 方案一是直接在股票市場上購買股票，l 方案二是用同樣的資金購買模仿股票,1

11、0元錢可以購買100個(gè)模仿股票(因?yàn)橐粋€(gè)模仿股票的構(gòu)筑成本是0.55-0.45=0.1元)。l 表2.3 股票價(jià)格上升到10.5元時(shí)兩個(gè)方案的比較l 表2.4 股票價(jià)格下跌到9.5元時(shí)兩個(gè)方案的比較期初投資凈收益投資收益率方案一方案二10元10元10.5元-10元=0.5元100×（10.5-10-0.1）=40元5%400%期初投資凈收益投資收益率方案一方案二10元10元9.5元-10元= -0.5元100×（9.5-10-0.1）= 60元-5% -600%l 結(jié)論：l 由于可以選擇不同水平的 X ，可以創(chuàng)造的模仿股票遠(yuǎn)不止一個(gè)，對于不同的X，模仿股票的盈虧特征都不相同

12、，極大地豐富了投資品種。l 運(yùn)用無套利定價(jià)的復(fù)制技術(shù)創(chuàng)造的金融衍生品，為不同類型的投資者提供了滿足其偏好的金融工具。l 2、金融工具的合成l 金融工具的合成是指通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值 。l 以股票為例。模仿股票雖然可以再現(xiàn)股票的盈虧狀況，但兩者價(jià)值畢竟有所不同。l 模仿股票的價(jià)值是ST-X，股票的價(jià)值是ST，為消除這個(gè)差別，可以構(gòu)造一個(gè)合成股票，它的價(jià)值與股票完全相同。l 合成股票的構(gòu)成是：l 一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭和無風(fēng)險(xiǎn)債券多頭。l 1) 看漲期權(quán)的價(jià)格是c，看跌期權(quán)的價(jià)格是p，看漲期權(quán)和看跌期權(quán)均是歐式，它們具有相同的標(biāo)的資產(chǎn)S、到期日

13、T、執(zhí)行價(jià)格X;l 2) 無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)值是Xe-r(T-t)(r是無風(fēng)險(xiǎn)利率)。l 到期日，無風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)值是X，該組合的價(jià)值（用SS表示）為：l SS= max(0,ST -X) - max(0,X- ST) + X = ST -X+X = STl 推論：l 既然合成股票和標(biāo)的股票在到期日有相同的價(jià)值，則在任意時(shí)刻t，它們的價(jià)值也應(yīng)該相同,即下面的等式成立：l S = c p + Xe-r(T-t) (2.1)l 否則市場就會出現(xiàn)無風(fēng)險(xiǎn)套利活動(dòng)。第二節(jié) 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法l 在對衍生證券定價(jià)時(shí)，可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。l 在所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等

14、于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，這是因?yàn)轱L(fēng)險(xiǎn)中性的投資者并不需要額外的收益來吸引他們承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)。l 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。l 一、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的原理l 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%。l 現(xiàn)在要為一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。l 在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。這種概率被稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，它與現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)概率是不同的。l 風(fēng)險(xiǎn)中性概率已經(jīng)由股票價(jià)格的變動(dòng)情況和利率所決定：l P=0.62

15、66l 這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，就可以求出該期權(quán)的價(jià)值：二、無套利定價(jià)法與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的關(guān)系l 假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻 t 股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是 f，期權(quán)的有效期是T。l 在有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降 。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，假設(shè)期權(quán)的收益為 fu ，l 如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為 fd 。l 如圖.2.2所示。圖 2.2 股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格幻燈片30l （一）無套利定價(jià)法的思路l 首先，構(gòu)造一個(gè)由股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的值。l 如果股票價(jià)值上升，該組合在期權(quán)末期的價(jià)值是Su-fu

16、,如果股票價(jià)格下降，組合的價(jià)值是 Sd-fd。l 為了求值，令 Su- fu = Sd- fd。得：l （2.2）l 無風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是l （Su- fu）e-r（T-t）l ,而構(gòu)造該組合的成本是 S- fl 在沒有套利機(jī)會的條件下，兩者必須相等。即l S- f =（Su- fu）e-r(T-t),l 將方程（2.2）代入上式化簡得：l （2.3） l （二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路l 假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過下式求得： l ，即：期權(quán)價(jià)格就可以通過下式來求：上式與公式（2.

17、3）是完全相同的。第三節(jié) 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)l 狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為 1，否則回報(bào)為 0 的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。l 如果未來時(shí)刻有 N 種狀態(tài)，而這 N 種狀態(tài)的都知道，那么只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況，以及市場無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，就可以對該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。l 狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)是無套利原則以及證券復(fù)制技術(shù)的具體運(yùn)用。l 一、狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)的原理l A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，目前的價(jià)格是PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這是市場的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q）和下降狀態(tài)（概率是1-q），如圖2.3所示。 圖2.3 證券A的價(jià)格變化圖l 記

18、r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，RA=1+rA,其中rA是證券A的收益率。它的預(yù)期收益率是：l 收益率的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別是l 假設(shè)存在兩個(gè)基本證券。l 基本證券1：在證券市場上升時(shí)價(jià)值為 1，下跌時(shí)價(jià)值為 0，現(xiàn)在的市場價(jià)格是 u 。l 基本證券2：在市場上升時(shí)價(jià)值為 0，在下跌時(shí)價(jià)值為 1，現(xiàn)在的市場價(jià)格是 d 。l 兩個(gè)基本證券可以用來復(fù)制有風(fēng)險(xiǎn)的A證券。過程是：l 購買 uPA 份基本證券1和 dPA 份基本證券2組成一個(gè)假想的證券組合。l 該組合在 T 時(shí)刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流，可以看作是證券A的復(fù)制品。 l 根據(jù)無套利原理，復(fù)制品和被復(fù)制對象現(xiàn)在的市場價(jià)格應(yīng)該相等：l P

19、A=uuPA+ddPA （2.4） l 即 l uu+dd = 1 （2.5）l 此外：單位基本證券構(gòu)成的組合在T時(shí)刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報(bào)都是1元，是一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)收益率 r,于是便有： l l （2.6）l 聯(lián)立方程（2.5）和（2.6）可解得：l 從上式可以發(fā)現(xiàn)，決定基本證券價(jià)格的實(shí)際上就是3個(gè)因素：l 無風(fēng)險(xiǎn)利率 r, 金融工具價(jià)格上升的速度 u 和其價(jià)格下降的速度 d。l 需要注意兩點(diǎn)：l 第一，只要有具備上述性質(zhì)的一對基本證券存在，就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場上的任何有價(jià)證券定價(jià)。因?yàn)椋灰悄骋蛔C券的價(jià)格在一段時(shí)間后出現(xiàn)兩種價(jià)格狀態(tài)，它的兩個(gè)基本證

20、券就是唯一確定的。l 一旦通過一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)證券確定了基本證券價(jià)格后，就可以用它來為別的有風(fēng)險(xiǎn)證券定價(jià)。（例子）l 假如有價(jià)證券A的市場情況如下：l PA=100，r = 2%，u =1.07, d=0.98，T-t =1, l 可以算出：l 現(xiàn)有一個(gè)證券B，它在一年后的價(jià)格可能上升到103元，也可能下降到98.5元。l 那么，根據(jù)（2.4）式，它當(dāng)前的價(jià)格應(yīng)該是:l PB=uuPB+ddPB l =0.4378×103+0.5424×98.5=98.52l 這相當(dāng)于用基本證券1和2來復(fù)制證券B，復(fù)制過程是購買uPB份基本證券1和 dPB 份基本證券2。l 實(shí)務(wù)中，是用現(xiàn)實(shí)中的證

21、券A和無風(fēng)險(xiǎn)證券來復(fù)制證券B。l 復(fù)制過程是：用份證券 A和當(dāng)前市場價(jià)值為 L 的無風(fēng)險(xiǎn)證券構(gòu)成B證券（市場價(jià)值為 I） 的組合，其成本是 I = 100+ L。l 一年后，該組合無論市場價(jià)格上升還是下降，都必須與證券B的價(jià)格相同。于是有l(wèi) 由該方程組可解出=0.5， 。l B的市場價(jià)值應(yīng)該是： PB= 100+ L = 100×0.5 + 48.52 = 98.52。l 把上面的例子擴(kuò)大到兩期。l 假定證券A和B的價(jià)格變動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖2.4所示，市場無風(fēng)險(xiǎn)利率仍為2%。l 從上面的右圖，可以看到 B 在第2期期末有3種價(jià)格狀態(tài)，要求出 B現(xiàn)在的均衡價(jià)格。l 使用倒推法，先從 B 的圖形

22、中右上部分開始。在第1年末，假設(shè)市場處于上升狀態(tài)，此時(shí)用u 份證券 A 和市場價(jià)值為 Lu 的無風(fēng)險(xiǎn)證券來復(fù)制證券 B 的組合，見圖2.5。l 用聯(lián)立方程組l 解出U=0.49，Lu=50.76, 因此有 l PBU=107U+Lu=102.99。l 用同樣的辦法處理右下方的二叉樹，同理解出d=0.51，Ld=48.62, 因此有l(wèi) PBd=98d+Ld=98.50。 l 最后，用份證券A和價(jià)值為L的無風(fēng)險(xiǎn)證券的組合復(fù)制證券B，如圖（2.6）l 解出=0.5, L=48.53, 證券B的價(jià)值 PB=98.52 l 第二，關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率 p，它依賴于人們作出的主觀判斷。樂觀的投資者

23、認(rèn)為 p 比較大，悲觀的投資者認(rèn)為 p 比較小，所以關(guān)于 p 并沒有統(tǒng)一的看法。l 在上述公式推導(dǎo)的以及其結(jié)論中，并沒有用上 p。這意味著人們對 p認(rèn)識的分歧不影響為有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。l 因此，無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。幻燈片49l 二、狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法的應(yīng)用l 假設(shè)某股票符合兩種市場狀態(tài)，即期初價(jià)值是 S0 ，期末價(jià)值是 S1，這里 S1只可能取兩個(gè)值：l 一是 S1 = Su = uS0,u1,l 二是 S1 = Sd = dS0,d1。l 現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？l 構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)

24、的價(jià)值特征完全相同：l 以無風(fēng)險(xiǎn)利率 r 借入一部分資金 B（相當(dāng)于做空無風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場上購入 N 股標(biāo)的股票。上述組合的成本是 N S0-B。l 到了期末，該組合的價(jià)值 V 是 N S1-RB，R 是利率因子。l 對應(yīng)于 S1 的兩種可能，V 有兩個(gè)取值：l 如果 S1=Su, 則 V=Vu= N Su-RB，l 如果 S1=Sd, 則 V=Vd= N Sd-RB。 l 令到期日組合的價(jià)值與看漲期權(quán)的價(jià)值相同，有：l 由該方程組可以解出 N 和 B，l 由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有N S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看漲期權(quán)的價(jià)值公式l c0=pcu+(1

25、-p)cde-r(T-t) (2.7)l 其中：p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。l 例：假設(shè)一份看漲期權(quán)，到期時(shí)間為1年，執(zhí)行價(jià)格X是112元；標(biāo)的股票當(dāng)前的價(jià)格是100元，無風(fēng)險(xiǎn)利率（單利）是8%。1年后，股票的價(jià)格或是上升到180元，或是下降到60元。這時(shí)，期權(quán)的到期價(jià)值c1也有兩種可能：或是68元，或是零?；脽羝?3l 根據(jù)公式代入有關(guān)參數(shù)，得到：l N=（68-0）/（180-60）=0.57（股）l B=（0.57×60-0）e-0.08=31.57（元）l 也就是說，只要買入了 0.57 股標(biāo)的股票，同時(shí)以 8% 的利

26、率借入31.57元，則相應(yīng)的組合完全可以復(fù)制上述看漲期權(quán)到期日的價(jià)值特征。l 通過 c0=NS0-B 可以得到：l c0=0.57×100-31.57=25.43（元）幻燈片54第四節(jié) 積木分析法l 在金融工程分析的過程中，主要運(yùn)用無套利分析法。但從應(yīng)用的角度，在為金融資產(chǎn)定價(jià)時(shí)，金融工程主要運(yùn)用積木分析法。積木分析法也叫模塊分析法，指將各種金融工具進(jìn)行分解和組合，以解決金融問題。l “積木”是一種比喻的說法，就象兒童拿著不同的積木或者用不同的擺法創(chuàng)造出神奇的“建筑物”一樣，金融工程師運(yùn)用他的“金融積木箱”中的積木各種金融工具（主要是衍生金融工具），來解決金融現(xiàn)實(shí)問題?；脽羝?5l

27、積木分析法主要以圖形來分析收益/風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系,以及金融工具之間的組合/分解關(guān)系。如圖2.8和圖2.9就反映了兩類價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)和收益關(guān)系。l 圖2.8多頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)幻燈片56l 圖2.9 空頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)幻燈片57l 如果金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)為多頭風(fēng)險(xiǎn)，可以用空頭遠(yuǎn)期交易來保值；如果面臨的是空頭風(fēng)險(xiǎn)，可以多頭遠(yuǎn)期交易來保值。圖2.10描繪了利用多頭遠(yuǎn)期交易規(guī)避空頭金融風(fēng)險(xiǎn)的情況。l 多頭看漲的情況（買入看漲期權(quán)）。l 當(dāng)市場現(xiàn)貨價(jià)格上升并超過協(xié)議價(jià)格時(shí)，看漲期權(quán)的價(jià)值隨之上漲。反之，當(dāng)現(xiàn)貨價(jià)格下降時(shí)，中心點(diǎn)左面的圖形與橫軸重合，說明買入看漲期權(quán)的一方的價(jià)值沒有任何變化（注意這里沒有計(jì)算期權(quán)費(fèi)），這同交易者持有

28、無風(fēng)險(xiǎn)收益證券的情況相同。l 因此，從積木分析的角度看，期權(quán)交易無非是看跌期權(quán)交易和基礎(chǔ)資產(chǎn)交易的組合。l 期權(quán)交易對多頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)的反應(yīng)可通過圖2.12來表示。l 這里多頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)是一塊積木，多頭看跌期權(quán)是另一塊積木。兩者相結(jié)合，就形成了一塊新的派生的積木。l 空頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的情況。當(dāng)面臨這類風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，可以買入看漲期權(quán)合約來保值。保值的結(jié)果形成了多頭看跌期權(quán)的情況。同樣，可以把空頭金融價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)看作一塊積木，把多頭看漲期權(quán)看作另一塊，兩塊積木的組合形成多頭看跌期權(quán)的結(jié)果，如圖2.13所示?；脽羝?2l 期權(quán)交易和遠(yuǎn)期（期貨）交易的關(guān)系。l 從圖2.14我們看到，當(dāng)把多頭看漲期權(quán)這塊積木

29、與空頭看跌期權(quán)組合在一起時(shí)，可以得到遠(yuǎn)期合約的多頭交易；l 當(dāng)把空頭看漲期權(quán)這塊積木與多頭看跌這塊期權(quán)組成一起時(shí)，可以得到遠(yuǎn)期合約的空頭交易。l 遠(yuǎn)期交易完全可以用期權(quán)交易來復(fù)制?；脽羝?3圖2.14 期權(quán)與遠(yuǎn)期的關(guān)系l 金融工程師常用以下六種積木進(jìn)行分解、組合，創(chuàng)造新的金融產(chǎn)品，見圖2.15。l 在橫線上面部分，左面圖形表示資產(chǎn)多頭交易，右面表示資產(chǎn)多頭看漲期權(quán)（上面的線段）和空頭看跌期權(quán)（下面的線段）。這一部分圖形表明的是，當(dāng)人們把某種資產(chǎn)的看漲期權(quán)和看跌期權(quán)組合在一起時(shí)，可以形成該資產(chǎn)的多頭交易。l 與此類似，不難看出橫線以下積木的含義。處在橫線以下左面的圖形表示資產(chǎn)的空頭交易，它可以運(yùn)

30、用多頭看跌期權(quán)和空頭看漲期權(quán)來組合 。 幻燈片66l 將橫線上面的資產(chǎn)多頭交易與橫線下面的期權(quán)交易中的多頭看跌期權(quán)交易組合在一起，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它就是看漲期權(quán)的多頭交易，見圖2.16。 圖2.16 資產(chǎn)多頭加看跌期權(quán)多頭=看漲期權(quán)多頭幻燈片67l 當(dāng)資產(chǎn)多頭交易同看漲期權(quán)的空頭交易結(jié)合時(shí)，形成看跌期權(quán)空頭交易，見圖 2.17。圖2.17資產(chǎn)多頭加看漲期權(quán)空頭=看跌期權(quán)空頭幻燈片68l 橫線下面的資產(chǎn)空頭交易和橫線上面期權(quán)交易結(jié)合的情況。資產(chǎn)空頭交易同多頭看漲期權(quán)結(jié)合后形成多頭看跌期權(quán)，見圖2.18。圖2.18資產(chǎn)空頭加看漲期權(quán)多頭=看跌期權(quán)多頭幻燈片69l 資產(chǎn)空頭交易與空頭看跌期權(quán)結(jié)合后形成空頭看

31、漲期權(quán)，見圖2.19。圖2.19資產(chǎn)空頭加看跌期權(quán)空頭=看漲期權(quán)空頭幻燈片70例：套利運(yùn)用l 假設(shè)有三種證券,它們都服從單因素模型,因素是 F。它們的期望收益率 和關(guān)于因素 F 的敏感度 bi 都列在表中:l 投資者總資產(chǎn)是1500 萬元,三種證券的組合 p:l 證券 ribi 115 %0.9 221 %3.0 312 %1.8幻燈片71l 現(xiàn)在,投資者對上述組合 p 作改變, 記 xi 是投資于證券 si 的比例的改變量, 亦即改變后的組合是:l l 并且x1 , x2 , x3 必須滿足什么條件？幻燈片72l (1) x1 + x2 + x3 = 0 l 表示投資者總投資額不變,既沒有增

32、加投資的總資金,也沒有從原有投資總額中抽回部分資金。l (2) b1x1 + b2x2 + b3x3 = 0 l 表示改變后的組合P的因素風(fēng)險(xiǎn)不變,與組合p 的因素風(fēng)險(xiǎn)相同。l (3) l 表示由于這一改變會增加期望收益率,或者說改變后的組合 p 的期望收益率高于原來的期望收益率 。組合(x1,x2,x3) 是套利組合。幻燈片73l 將x1 看作參數(shù), 解上述非齊次方程組（1）、（2）得:l l 由此我們便得到下面的結(jié)論:l 若取x1 > 0 ,那么x2 > 0 ,x3 < 0 , 這表明必須減少對證券3 的投資, 增加對證券1 和證券2 的投資。l 再由(3) ,x1,x2,x3還須滿足:l 9.75x1 > 0l 很顯然x1 必須大于 0 , 這表示改變后的組合可多獲得的期望收益率為 9.75%x1,l 在不允許賣空證券的情形下,減少證券3 的投資,至多減少投資于證券3 的比例是0 , 這