數(shù)值分析習(xí)題(含答案)..

1、第一章緒論姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：有效數(shù)字的計算、計算方法的比擬選擇、誤差和誤差限的計算.1假設(shè)誤差限為0.5xlr那么近似數(shù)有幾位有效數(shù)字有效數(shù)字的計算解：/=0.3400x10-2,x-x*<lxl0"5=lxlO"2"322故具有3位有效數(shù)字.24=3.14159具有4位有效數(shù)字的近似值是多少有效數(shù)字的計算解：4=0.314159xlO,欲使其近似值/具有4位有效數(shù)字,必需<lxlOH九一1x10-34,+_1*10-3,即3.141094%*«3.14209222即取,之間的任意數(shù),都具有4位有效數(shù)字.3a=L2031,0=0.9

2、78是經(jīng)過四舍五入后得到的近似值,問ax/?有幾位有效數(shù)字有效數(shù)字的計算解：a-a<x10-3,b-b"<xlO_2,而a+=2.1811,tzx/?=1.176622(a+h)-(a+bx<a-+-l/<-xO-3+-x0-2<lxlO1-2222故4+至少具有2位有效數(shù)字.(ab)-(ab*)|<ba-a+ab-l/<xlO-3+x10-2=0.0065<|xlO1-2故ax.至少具有2位有效數(shù)字.4設(shè)x>0,x的相對誤差為6,求Inx的誤差和相對誤差(誤差的計算)*Inx-Inx=JXVx解：一=.,那么誤差為XInx-In

3、xxix-xx那么相對誤差為：一=一=二hixInxxInx5測得某圓柱體高度力的值為二=20.,底面半徑r的值為/=5.,I/?-/?*I<0.2cm9lr-r4l<OAcm9求圓柱體體積U=的絕對誤差限與相對誤差限.誤差限的計算解：卜(力,<2""/?上一,卜一人"絕對誤差限為|v(h,r)-v(20,5)|<|2-.5-20|x0.1+-52x0.2=254|v(/?,r)-v(20,5)|25乃1相對誤差限為而W<"<2.八=右=4%v(20,5)715-20206設(shè)x的相對誤差為.求丁=/的相對誤差.(函數(shù)誤

4、差的計算)*H"y-yx-xx-x=-<一=(幻yxx7計算球的體積,為了使體積的相對誤差限為1%,問度量半徑廠時允許的相對誤差限為多大(函數(shù)誤差的計算)414443解：球體積為v(r)=-rv(r)=_乃ri%.v(r)-v(rx)42r-r,一/欲使=3一一=1%,必須出)土方"3卜38設(shè)/=eTfx/dj求證：(1)/“=1-如5=0,1,2)(2)利用(1)中的公式正向遞推計算時誤差逐步增大；反向遞推計算時誤差逐步減小.(計算方法的比擬選擇)解：/“=e-ljxndex=xVr|*一jx,!lexdx=1-000如果初始誤差為4=假設(shè)是向前遞推,有J=/“一I

5、；=(1/“7)一(1一/；_)=一%_1=(-1)2n(n-1X-2=-=(-I)"!/可見,初始誤差分的絕對值被逐步地擴大了.如果是向后遞推/“_=!/,其誤差為1小1；廣1£,=一.=工ii1ii1i1i-22m可見,初始誤差3的絕對值被逐步減少了.笫二章插值法姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：拉格朗日插假法的構(gòu)造,均差的計算,牛頓插值和埃爾米特插值構(gòu)造,插值余項的計算和應(yīng)用.1/(1)=2,/(1)=1,/(2)=1,求/(x)的拉氏插值多項式.(拉格朗日插值)解法一(待定系數(shù)法)：設(shè)L(x)=+0x+c,由插值條件,有a-b+c=2<a+h+c=14a+2b+c=

6、解得：a=l/6,0=1/2,c=4/3°rzx1214故LyX)=XX+o623解法二(基函數(shù)法)：由插值條件,有l(wèi)(y)_(x-D(x-2)21(a+1)(x-2)t(x+l)(x-l)t(1+1)(1-2)(2+1)(27)=1(x-l)(x-2)-i(x+l)(x-2)+l(x+l)(x-l)J乙J1214=一尸-x+6232=4,玉=9,用線性插值求J7的近似值.(拉格朗日線性插值)解：由插值節(jié)點與被插函數(shù),可知,yo=JJ=2,%=次=3,其線性插值函數(shù)為了/、工-90x-416L(x)2+3=-x+-4-99-4552.6o7A1on的近似值為l(7)=x3假設(shè)與(/=

7、0,)為互異節(jié)點,且有/j(X)=(%0)(%司)勺1)(工一勺X).一匕)(勺一/)(七一七)(勺Xjt)(Xj_加)一(七一當)試證實三/z=o,i,拉格朗日插值基函數(shù)的性質(zhì)解：考慮輔助函數(shù)尸工=其中,0«攵<,xe-00,000j0尸X是次數(shù)不超過的多項式,在節(jié)點工=七0</<77處,有F%=£x"再-X-=X；4A；-X-=X-X-=0卜.這說明,尸X有n+1個互異實根.故廠x三0,從而9.匕/工三/對于任意的.<攵均成立.04sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用拋

8、物線插值計算sinO.3367的值并估計截斷誤差.拉格朗日二次插值解：由插值條件,其拋物線插值函數(shù)為L(x)=-0.314567(x-0.34)(x-0.36)(0.32-0.34)(0.32-0.36)0.333487(x-0.32)(x-0.36)(0.34-0.32)(0.34-0.36).一0.32)*-0.34)10,352274(0.36-0.32)(0.36-0.34)將x=0.3367代入,計算可得：0.3367%0.3304.其余項為：/(x)|=二*一0.32)*-0.34)10.36)其中,0.32自<0.363!|r(x)|<|(x-0.32)(x-0.34

9、)(x-0.36)|故誤差的上界為：|“0.3367)I<!|(0.3367-0.32)(0.3367-0.34)(0.3367-0.36)|<2,14x10-71,5用余弦函數(shù)cosx在與=.,X1=4%=受三個節(jié)點處的值,寫出二次拉格朗日插值-2多項式,并近似計算cos二及其絕對誤差與相對誤差,且與誤差余項估計值比擬.拉格朗6日二次插值解：由插值條件,二次拉格朗日插值多項式為工一乃/4不一乃/2x-0x-/21x-0x一乃/4LX=1HT00乃/40乃/2乃/4一04/4一乃/242乃/20乃/2萬/48(%一4/4)(不一4/2)Sy/2x(x-711n19冗-汽、0.850

10、88(4/6/r/4)(;z76；r/2)8、歷;r/6(/r/64/2)_2+4、笈U9絕對誤差為：cos二乙乙=土史=區(qū)1110.0153662918相對誤差為：一/HF-兀、4+8,2余項為：|r(x)|=x(a-/4)(x-/2),其中,0?萬/23!其余項的上界為：,x|、kx-;r/4x乃/2|廣、/冗產(chǎn)乃、/乃九、冗crvc666646264比擬可知,實際計算所得的絕對誤差較余項公式所估計出的值要小一些.6函數(shù)值/0=6",=10,3=46,/4=82,6=212,求函數(shù)的四階均差/0,1,3,4,6和二階均差44,1,3°均差的計算解：采用列表法來計算各階均

11、差,有Xy一階均差二階均差三階均差四階均差061104461814/34823661/362126529/3>111,1/15從表中可查得：/0,1,3,4,6=oXy一階均差二階均差4%8211072/3346186故/4,1,3=6.其實,根據(jù)均差的對稱性,/4/,3=/1,3,4=6,該值在第一個表中就可以查到.7設(shè)fX=X-XoX-XX-X求/“玉Xp之值,其中4+1,而節(jié)點司,=0,1,刀+1互異.均差的計算解：由均差可以表示成為函數(shù)值的線性組合,有fix.xl-xp=£9餐七一%一七一H七一如1一一.-I氏一勺而/七=.0<z</?,故/Lq.XXp=.

12、8如下函數(shù)值表X012419233建立不超過三次的牛頓插值多項式.牛頓插值多項式的構(gòu)造解：先構(gòu)造均差表Xlx?一階均差二階均差三階均差011982231434-10-8-11/4故N(x)=1+8x+3x(x-1)一一x(x-l)(x-2).49求一個次數(shù)小于等于三次多項式(x),滿足如下插值條件：=2,p(2)=4,“(2)=3,“(3)=12.(插值多項式的構(gòu)造)解法一(待定系數(shù)法)：設(shè)p(x)=ax'+cx+d,那么px)=3ax2+2bx+c,由插值條件,有a+b+c+d=28.+4+2c+d=4V12"+4Z?+c=327a+9+3c+=12解得：a=2,b=9,c

13、=15,J=-6o故PM=2一9x2+15x-6解法二帶重節(jié)點的均差法：據(jù)插值條件,造差商表Xy一階差商二階差商三階差商12*2422431312852故p(x)=2+2(x-1)+(x-l)(x-2)+2(x-IXx-2尸=2x3-9/+15x-610構(gòu)造一個三次多項式"(x),使它滿足條件"(0)=1,"(1)=0,"(2)=1,"'(1)=1(埃爾米特插值).解：設(shè)"(X)=ax3+bx2+cx+d9H'(x)=3ax2+2bx+c利用插值條件,有d=a+b+c+d=08a+4b+2c+d=3a+2b+c=1解得

14、：=-l,/?=4,c=T,d=l.Hx=一/+4.r2-4x+1311設(shè)/*=/,%=1/4,玉=1,=9/4.試求/X在1/4,9/4上的三次埃爾米特插值多項式“X,使得“,=/與,j=0,12'區(qū)=/'為,"X以升幕形式給出.2寫出余項Rx=/'xx的表達式.埃爾米特插值及其余項的計算.11Q273-3解：/(T)=-*/=1,/(-)=>f/M=-x2,/(I)=-4o4o22設(shè)(x)=ax'+bx2+cx+d9H'(x)=3ax2+2bx+cL+_L"c+=_L64164a+b+c+d=729819,276416483

15、3a+2b+c=2解得:14,263,b=225450233f1,a=45025故H(x)=-H/+也4交225450450253-1,910Ra)=Hax-Da一7其中廣作"12假設(shè)/xec加向,/=/6=0,試證實：鶴"刈?/一療贈"I插值余項的應(yīng)用解：以/3)=/S)=o為插值條件,作線性插值多項式,有Tz、xb/x-cirtL(x)=-/()+-.f(b)=0a-bb-a其余項為R(x)=f(x)-L(x)=/(x)=(x-a)(x-b)乙.故max|/(x)|=:max|/"(x)卜一)("一=：S-max|/"(x)|.a

16、<x<bl12,金少1228a<x<b'113設(shè)/(-2)=-1,/(0)=1J(2)=2,求p(x)使(再)=/(再.)(i=0,1,2)；又設(shè)1/*(幻隆M,那么估計余項«x)=/(x)(幻的大小.(插值誤差的估計)解：由插值條件,有4a-2b+c=-1<c=4a+2b+c=24=7/8解得：W=3/4c=1i3從而p(x)=-X1+-X+184其余項為r(x)=/(x)-p(x)=人品(x+2)x(%-2)4e(2,2)|r(x)|<(x3-4x)|<V3=M1166927笫三章函數(shù)暹近姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：最小二乘法,最

17、正確平方逼近,正交多項式的構(gòu)造.1設(shè)/x=sin;rv,求/"于0,1上的線性最正確平方逼近多項式.最正確平方逼近解：0=spanl,xii1.1,=八=1,pp1=xdx=-.仍,外=/八,=,oo2oJ/必=fsin7txdx=,/"=xsin7txdx=-costd:+rsinm2線性最正確平方逼近多項式為：,=一.7C2令fx=e',-14x41,且設(shè)x=ao+/x,求.0,%使得px為/于-1,1上的最正確平方逼近多項式.最正確平方逼近解：=spanLx1 i2夕,0=卜/x=2,曰,尹2=Jx"x=°,夕2,夕2=Jx2dx=一-i-

18、i-i3/,例=JeZ/x=e-/,f,p1=xexdx=2e-i-i法方程組為線性最正確平方逼近多項式為：px=1+X.233證實：切比雪夫多項式序列TkX=cosA:arccosx在區(qū)間一覃上帶權(quán)夕x=i/JiZF正交.正交多項式的證實解：對于Iwk,有cosQaicco&v)cos(karccosx)dx0jff=f.=cos)cos(r)(-sinr)J/=icos(lt)cos(kt)dt-cos2/0I穴=jcosQ-k)t+cosQ+k)tdt2()=1sin(/-k)t+-i-sin(/+k)t=02 I-kI+k對于/=k,有(T,7)=f,cos2(karccosA

19、)Zx3 |!T4 f=cos2(kt)(-sint)dt=fcos2(kt)dt*Jl-cos"t0=1j1+cos(2幻/dt=-t+sin(2A:)r；=-2022A2故,序列,",)在T,1上帶權(quán).(x)=_正交.VI-A-2%1+x2=34求矛盾方程組：(玉+2媽=4的最小二乘解.(最小二乘法)X-x2=2解法一：求X與公,使得/(xpx2)=(演+x2-3廠+(芯+2x2-4廠+(xtx2-2廠到達最小.于是,令Ofdxx2(為+Xy3)+2(X+2x?-4)+2(xx2-2)0=2(/+x2-3)+2(x1+2x2-4)2+2(x-x2-2)(-1)=0dxy

20、3x.+2x.=9即：?22X1+6x2=9其最小二乘解為:Jx,=2.5714x2=0.6429,記作AX=.,該矛盾方程組的最小二乘解,應(yīng)滿足以下方程組解之,得x2=2.5714=0.6429試用直線擬合這組數(shù)據(jù).(ATA)X=(ATy)5一組試驗數(shù)據(jù)xk2345¥yk4689計算過程保存3位小數(shù).最小二乘線性逼近40161.252290.5622解得:a=L2288,b=L4831°其直線擬合函數(shù)為y=1.2288+1.483x06用最小二乘原理求一個形如丁=.+泣2的經(jīng)驗公式.使與以下數(shù)據(jù)相擬合.xk1925313844%1949最小二乘二次逼近解：等價于對數(shù)據(jù)表作

21、線性擬合.其法方程組為:532753277277699271.4369321.5解得：a=0.9726,b=0.0500故經(jīng)驗公式為y=0.9726+0.05衣*>361625961144419361949笫四章數(shù)值積分姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：代數(shù)精度的計算,構(gòu)造插值型求積公式(梯形,辛甫生公式),復(fù)化求積的計算,高斯公式的構(gòu)造.1給定求積公式J：J(x)公xaf(-h)+歹(0)+</(力)試確定4,4C使它的代數(shù)精度盡可能高.(代數(shù)精度的應(yīng)用和計算)解：分別取/(x)=l,x,d,使上述數(shù)值積分公式準確成立,有；a+b+c=2h<(_)+c()=0ah)2+c(h)2

22、=2/?/3解得:故求積公式為Jfxdxasf(-h)+再取/(x)=d,左邊=,/3,戊=0,右邊=g(T?)3+?.O+g(»3=ohhr、4a_,rr"4.2/z,h.f、44/z八/f、42h再取/(x)=x,左邊二Jxdx=.右邊二一(一力)+二-0+(力)=一“53333此求積公式的最高代數(shù)精度為3.2求積公式£/3)公/(O)+AJ+%/'(0),試確定系數(shù)4,A及線,使該求積公式具有盡可能高的代數(shù)精確度,并給出代數(shù)精確度的次數(shù).(代數(shù)精度的應(yīng)用和計算)解：分別取/(幻=1,不,工2,使求積公式準確成立,有4.+A=1<A,+B0=1/

23、2A1=1/3211解得：4=彳,4=三,&=.336求積公式為J；/(x)公q/(0)+9+；/(0).再取fM=v3,左邊二Cxlx=0二0+11+10=右邊J.4336故該求積公式的最高代數(shù)精度為2.3數(shù)值積分公式J；/(x)dx%37(l)+/(2),是否為插值型求積公式,為什么又該公式的o2代數(shù)精確度為多少(插值型求積公式特征)解：令/(x)=l,jt/A=3=|l+l=1/(l)+/(2)o22fW=x.jxJA-=|l+2=1/(1)+f(2)o222fM=x2,=9=11+22=|/(I)+/(2)Q乙乙乙故代數(shù)精度為1.由于求積節(jié)點個數(shù)為2,代數(shù)精度到達1次,故它是插

24、值型的求積公式.4如果/"(x)>0,證實用梯形公式計算積分所得到的結(jié)果比準確值大,并說明其幾何意義.(梯形求積)解：梯形求積公式b-a八T=-f(a)+f(b)是由過點(aj(a),(bj(b)的線性插值函數(shù)rz、x-bx-ci八、L(x)=-/()+-/S)a-bb-a在a,b上的定積分.注意到：在區(qū)間a,b上,fx)>0,而(xa)(xb)vO,有hbhb£"/石/一7=Jf(x)dx1L(x)dx=J"(x)-L(x)dx=j-a)(x-b)dx<0aaaa從而/v7其幾何意義可作以下解釋：在區(qū)間a,b上,/"(x)&

25、gt;0,故曲線y=/(x)下凹,直線y=L(x)位于曲線之上,因此,曲邊梯形的面積/=J/(x)"x小于梯形面積T=JUxdxo3,J1h1一"x=Z1T/x"Z力/(七)+/(七+1)="匕f*0)+f(Xl)+f(X2)+f(Xi)+-7(-4)xj=ojx/=()222lrl44441411171424567281680r>i因J；ch=ln2,那么誤差大約為：|ln20.697q=0.0039.Xf6設(shè)/(-I)=1,/(一0.5)=4,/(0)=6J(0.5)=9,/(I)=2,那么用復(fù)化辛甫生公式計算£/(%),假設(shè)有常數(shù)用

26、使1/l<M,那么估計復(fù)化辛甫生公式的整體截斷誤差限.(復(fù)化辛甫生公式)0+4x4+6+6+4x9+2=11.1667解：L/+Jf(x)dx141141x-/(-D+-/(-0.5)+-/(0)+-/(0)+-/(0.5)+-/(I)If|«J4;(x+l)(x+0.5)2(x-0)6/.v(x一0)(x一0.5)2(x-)dx666666<j|(x+1)(%+0.5)66(x-O)|c/x+j|(x-0)(x-0.5)2(x-1)|dx24to<j|(x-0)(x-0.5)2(X-1)卜氏=州j產(chǎn)(0.25-r)J/=X0.0042120606<0.008

27、M7高斯求積公式7(x)dxe/(0.57735)+/(0.57735)將區(qū)間0.1二等分,用復(fù)-I1化高斯求積法求定積分JJKa的近似值.(高斯公式)11/2I解：|yfxdx=Jy/xdx+Jy/xdx001/2有1/2對于作變量換工=01/2JfQdx=f正“dt比一J1+0.57735+J10.57735o8.i831對于JJX/y作變量換工=二十一,1/24411Iy/xdx=-y/3+idt->/3+0.57735+V3-0.577351/28T8|yfxdxx1V1+0.57735+Jl-0.57735+13+0.57735+73-0.57735=0.6692o88試確定常

28、數(shù)A,B,C和a,使得數(shù)值積分公式比八可'()+團'(0)+q'(a)有盡可能高的代數(shù)精度.試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少它是否為高斯型的(代數(shù)精度的應(yīng)用和計算,高斯點的特征)解：分別取/(x)=l,x,/使上述數(shù)值積分公式準確成立,有;4+B+C=4&_)+C(a)=0/、,16<4_)-+C(.廠=4_)'+C(a)3=04)4+C(a)4="、J整理得:A+8+C=4A=C/(A+C)=Fa4(A+C)=y數(shù)值求積公式為26/710一"16仆10乙便、再取/(x)=x'=0再“左邊心U竽右邊苧-停Y.喈(腎喑

29、可見,該數(shù)值求積公式的最高代數(shù)精度為5.由于該公式中的節(jié)點個數(shù)為3,其代數(shù)精度達到了2x31=5次,故它是高斯型的.9設(shè)佗(x)是01區(qū)間上帶權(quán)?(x)=x的最高次察項系數(shù)為1的正交多項式系(1)求與.(2)構(gòu)造如下的高斯型求積公式/(/)+4/.1).(高斯求積)解(1)：采用施密特正交化方法,來構(gòu)造帶權(quán)夕(x)=x且在o,1上正交的多項式序列取己)(x)=l,設(shè)R(x)=X+%/(X),且它與庶(X)在0,1上帶權(quán)0(x)=x正交,于是fx2dx(XP)J2.=(4記)=(x,%)+4©"),4=一3半=一一=一解儲)xdx3022故(x)=x-(x)=x-o設(shè)巴(幻=

30、丁+&出+4凡(x),且它與綜")、R(x)在0,1上帶權(quán)P(x)=x正交,于是,fxydx(x2pJ10=(4/)=(/4)+%(凡/),<z0=-=-解劣)xdx202jx3(X-)t/x.=(8,用)=(x")+%(A,8),4=；？-=:r-=-1(片不卜(J.5o3,61)621)63R(x)=x8(x)外()=廠(x)=尸x+-52532510解2：只幻=工2-9%+上的零點為：勺,=吆®-51010分別取/'x=l,x,使上述求積公式準確成立,有<6-V610+竺理兒=1/3'艮10A>+4=4ML-靠解得：

31、4=-41676笫五章非線性方程求根姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：二分法、迭代法、牛頓法和弦截法求根,迭代法求根的收斂性和收斂速度的討論.1用二分法求方程-X1=0的正根,要求誤差小于.(二分法)解：f(x)=x2-x-,/(0)=-1<0,/(2)=1>0,/'3)在0,2連續(xù),故0,2為函數(shù)的有根區(qū)間.(1)計算/(1)=一1<0,故有根區(qū)間為1,2.33313(2)計算/(二)=(二尸二1=一一<0,故有根區(qū)間為二,2.22242777537(3)計算/(一)=()-1=>0,故有根區(qū)間為一,一.4441624Ia1a1q1aia(4)計算/()=()

32、2-1=>0,故有根區(qū)間為二,上.88864281Q1a1Q1Q1Q(5)計算/()=()2-1=>0,故有根區(qū)間為二,上.888642875757571OS14(6)計算/()=()2-1=-<0,故有根區(qū)間為二,上.161616256168(7)計算/()=()2-<0,故有根區(qū)間為衛(wèi),U.3232321024328(8)假設(shè)取中點.=也1作為取根的近似值,其誤差小于-=<0.0326483232103取近似根/=%1,6094,可滿足精度要求.642說明方程工2+lnx4=0在區(qū)間1,2內(nèi)有惟一根丁,并選用適當?shù)牡ㄇ?(精確至3位有效數(shù)),并說明所用的迭

33、代格式是收斂的.(迭代法)解：/(a)=x2+lnx-4xel,2/=一3<0,/(2)=ln2>0,廣")=2工+1>2、歷>0,故函數(shù)單調(diào)增加,因此,x該方程在(1,2)之間存在著惟一的實根.取迭代函數(shù)火工)=34一Inxxel,2顯然1v、行W14一In2W窗x)W,4-In1=2,且1xj4-lnx故迭代x=j4-lnv(%=1,2,)對任意初始值玉el,2收斂.對于初值為=1.5,其迭代值分別為公=1.8959,.=18331,x4=1.8423,x5=1.8409由于卜4一%|=0-00144,乂101,故%=1.8409作為近似值,已精確到了3位

34、有效數(shù)字.23設(shè)有解方程123x+2cosx=0的迭代法xm=4+二cosx“證實V/eR均有l(wèi)im/=/(x*為方程的根).此迭代法的收斂階是多少,證實你的結(jié)論.(3)取x°=4一>R用此迭代法求方程根的近似值,誤差不超過10,列出各次迭代值.(和收斂性討論)2解：8x=4+1cosx,忸'22-sinx<<1x£-s,s,故該迭代對任意初值均收斂于方程的根廠.解(2)：由x=4+cosx,故有；rv=4一一vx<4+=一<2乃一一.3333332夕'(不)=一二sinW0,故該迭代的收斂速度是1階的.解(3)：取/=4,代入

35、迭代式,可計算出以下結(jié)果：X,=3.5642,x2=3.3920,x3=3.3541x4=3.3483.x5=3.3475由于卜5%|=0.0008vIO',取/13.3475可滿足精度要求.4設(shè),/=夕(/),miix|(x)|=2<1,試證實：由x“+i=3(x)=0,1,得到的序列%收斂于一.(收斂性證實)證實：由丁=夕(/)知,方程x=°(x)有根.七出一T奴X)-奴X*)|<義卜"一<九2卜1-T<I卜.一X*由當“18時,有再用一0,即序列xa收斂于<.5設(shè)方程33x2sinx=0在0,1內(nèi)的根為/,假設(shè)采用迭代公式x.=1

36、一一sinx,試rill91證實：均有l(wèi)imz=/(x*為方程的根)；此迭代的收斂階是多少,證實你的結(jié)論.(迭代法和收斂性討論)2解：迭代函數(shù)p(x)=1-二sinxM'x|=-COSX故迭代在區(qū)間(一8,8)上整體收斂.=x>那么x=1-sinx,且<!+-=-<故d(x")=-cosx>*0故該迭代的收斂速度為1階的.6方程1=0在/=1.5附近有根,把方程寫成3種不同的等價形式：(1) x=l+'r,對應(yīng)迭代格式：x“+i=1+丁廠七；(2) x-=+x2t對應(yīng)迭代格式：3=#l+x：(3) x2=,對應(yīng)迭代格式：xt=；一X-1V-l討

37、論這些迭代格式在與=1.5時的收斂性.假設(shè)迭代收斂,試估計其收斂速度,選一種收斂格式計算出%=1.5附近的根到4位有效數(shù)字.(收斂速度的計算和比擬)解：f(x)=a3-x2-1,xel,1-oi3/(1)=-1<0,/(-)=_>0,故方程在1,一上有根x,282/(-)=-<0,故方程在工匕上有根一.46442“111494+知人113占坨/()=<0故號性1二,一.根xo851282對于迭代式(1)：(p(x)=1+-L,d(x)=一二(p'(x")=一,<2-()3=")'<12而.(丁)=一二700,故該迭代局部收

38、斂,且收斂速度為1階的.X對于迭代式(2)：在xel,2上,？(x)=(l+/)"3e'(x)=2x3(l+x2)2/3<-r=v<<i,又“(r)=2二一wo,故該迭代在3(2x嚴33,3(i+J嚴xel,2上整體收斂,且收斂速度為一階的.對于迭代式(3)：o(x)=I-L在1,2上的值域為L+s),該迭代式不收斂.Vx-1取迭代式招+i=.+焉,q=1.5進行計算,其結(jié)果如下：/=1.4812,公=1.4727,x3=1.4688,x4=1.4670x5=1.4662,x6=1.4659,x1=1.4657,=1.4656Ix8-x7I=0.0001&l

39、t;-xl0,-4,取4=1.4656為近似值具有4位有效數(shù)字.2(1)寫出解/(幻=0的牛頓迭代格式;(2)證實此迭代格式是線性收斂的.(牛頓迭代的構(gòu)造與收斂速度)解：牛頓迭代式為西.=2%+=,66斤方程的根為9(x)=*K+/v,8'(x)=*-7,(V«)=-066廠63x2因"(%)=1<1,故迭代局部收斂.又因吠(“)=1.0,故迭代收斂速度為1階.228設(shè)計一個計算的牛頓迭代法,且不用除法(其中4>0).(牛頓迭代法)解：考慮方程&一L=0,/'(X)=,<P(X)=x-vaA=2x-yfcix1XJC1/尸七川=2五

40、一、值片而d(-U)=2-26-3=0,該迭代局部收斂.y/ayja9用牛頓法求JFI亍的近似值,取入=10或11為初始值,計算過程保存4位小數(shù).牛頓迭代的構(gòu)造解：考慮方程/(x)=115=0,ff(x)=2xf(p(x)=x-115=77(x+)2x2x1z115、X+1=(xn+)2x八取人=10為初始值,計算其迭代值如下：K=10.7500占=10.7238七=1072389,取、.二11為初始值,計算其迭代值如下：巧=10.7272x2=10.7238±=10723810設(shè)/是非線性方程/幻=0的m重根,試證實：迭代法具有至少2階的收斂速度.收斂速度證實解：設(shè),是非線性方程/

41、幻=0的m重根,那么z(x-x)g(x)"吆(x)+(x-x")g'(x)f(x)=(x-x)tng(x)9且g(/)wo及"?N2,其牛頓迭代函數(shù)為須)一膽一_,(一7一J'(x)m(x-x廣g(x)+(x-x)'g'(x)牛頓迭代式引出?(x“一X)g(怎)吆(x)+(x-xX)g'(x).+1=X/I-X=8(%)X=(%X)一皿%-x)g(匕)吆(%)+(%-X)g'(X)兌7'2g'zg'X,=；c吆七+X一/g'區(qū)吆立+X一8區(qū)Hm芋=lim如乙=0廿q；"廿mg

42、(xn)+區(qū)-x)g'*)ing(x)故該迭代的收斂速度至少是2階的.11設(shè)/是非線性方程/1)=0的m重根,證實：用牛頓迭代法求只是線性收斂.(收斂速度證實)解:設(shè),是非線性方程/(幻=0的m重根,那么/(x)=(x-)"'g(x),且g(/)WO及?22,其牛頓迭代函數(shù)為/(x)_v(/一丁)""(幻丫(工一)g(x)fMm(xg*)+(x一x*yg(x)mg(x)+(x-x)gx)牛頓迭代式=x/?-:,fng(xn)+(xn-x)g(xn)=o(x)_x*=1_"')4e吆(x)+(xX)g(Z)lim&=liml

43、*").1=1-*")=l->0eis吆區(qū))+(Z-x)g'區(qū))m故收斂速度為1階的.12設(shè)夕(“)=4,9(x)在“附近有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),且夕3)=0,“m3)工0,試證：迭代法七.=.(乙)在4附近是階收斂的.(收斂速度證實)解：將夕(x)在.點附近作泰勒展式,有夕(x)=夕(幻+*4)2+-ay-'+*F)(x-ay1!2!(p-1)!p=a+-,其中,自在x與“之間.！于是：儲出=Z+i一.=以5)一.=盧氏一六靖,其中,獲在乙與.之間.p!pl由于limx.=a,故lim=a,從而Hm也-少=也廿ePn->x！因此,迭代的收斂速度為P

44、.第六章常微分方程數(shù)值解姓名學(xué)號班級習(xí)題主要考察點：歐拉方法的構(gòu)造,單步法的收斂性和穩(wěn)定性的討論,線性多步法中亞當姆斯方法的構(gòu)造和討論.1用改良的歐拉公式,求以下微分方程,2xy=y-一< .yxeOJ)(0)=1的數(shù)值解(取步長=0.2),并與精確解作比擬.(改良的尤拉公式的應(yīng)用)解：原方程可轉(zhuǎn)化為W=V_2x,令？=二,有生一2z=2x2dx解此一階線性微分方程,可得y=J2x+1°利用以下公式2a-< 7=凹+.2(兌一口)< 兒=y+0.2.(y-竺)(/=0,1,2,3,4)>71 z、=5(%+K)求在節(jié)點3=0.2i(i=1,2,3,4,5)處的

45、數(shù)值解兌,其中,初值為人=0,兒=1.MATLAB程序如下:x(l)=0N初值節(jié)點y(l)=l微初值fprintf(1x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,tl,x(l),l,y(D,l,y(D);fori=l：5yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i)小預(yù)報值yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp)；%校正值y(i+l)=(yp+yc)/2;先改良值x(i+l)=x(i)+；%節(jié)點值yy(i+l)=sqrt(2*x(i+l)+l);%精確解fprintf(*x(%d)-%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fnrfi+l,x(i+l),i+lty(i+

46、l)ti+l,yy(i+l)；end程序運行的結(jié)果如下：x(l)=,y(l)=,yy(l)=x(2)=,y(2)=,yy(2)=x(3)=,y(3)=,yy(3)=x(4)=,y(4)=,yy(4)=x(5)=,y(5)=,yy(5)=x(6)=,y(6)=,yy(6)=yf+v=12用四階龍格一庫塔法求解初值問題,取=0.2.求x=020.4時的數(shù)值解.口(.)=0要求寫出由人匕,兒直接計算力.1的迭代公式,計算過程保存3位小數(shù).(龍格一庫塔方法的應(yīng)用)解：四階龍格-庫塔經(jīng)典公式為7=尤+3(K+2k2+2k3+k4)oK=/(w“)&=/(七+)勺=/'區(qū)+?,'&

47、quot;+恤)&=/(%+/?,然+/)由于/(x,y)=ly,在各點的斜率預(yù)報值分別為：占=1一%攵2=1-(+M)=1->'n-3(1-K)=o-y)(l-1)攵3=1(%+%)=1K一3(1一)')(1一,)=(1一)'")1一：(1一,乙乙乙乙乙儲=1一(%+股3)=1一心一加1一方)1一9(1-1)二(1一乂仇1一,?(1-1(1一)乙乙乙乙四階經(jīng)典公式可改寫成以下直接的形式：=>'+g(l_y“)(6_3/?+/尸一1)64*.3在工=巧=.2處,有yt=0+(1-0)(6-3x0.2+(0.2)2一6在A=/=.4處

48、,有f)7(0=0.1813+(1-0.1813)(63x0.2+(0.2)2)=0.329764注：這兩個近似值與精確解,=1在這兩點的精確值十分接近.3用梯形方法解初值問題F+y=0,0=1證實其近似解為2八2+h)并證實當/?-0時,它收斂于原初值問題的準確解y=°解：顯然,丁=6-"是原初值問題的準確解.求解一般微分方程初值問題的梯形公式的形式為y+i=+*/a,4+/匕+1,+乙對于該初值問題,其梯形公式的具體形式為hz、八h、/h、,2h、=>Tn+-一丁一%川,1+-K+I=1-2222+h于是：2-112-112-/?丫川2-hX+ly寸,=.卜,1-

49、TgJ亦即:匕尸'2-2<2+/?；汪意到：x=O+nh=nh,n=9令,=,-=有h2+hht2(2hW-士-士-土-包_xk_xn從而limyn=lim(l+f)1-lim(1+1)2=eTXn即：當/?-0時,收斂于原初值問題的準確解yx=e-%.y=-10y4對于初值問題.,證實當/?<0.2時,歐拉公式絕對穩(wěn)定.顯式和隱式歐拉公lyo=1式的穩(wěn)定性討論證實：顯式的歐拉公式為X+1=1+/毯4,方=1-10/?%從而儲*=1-,由于0v萬<0.2,-1<1-10/<L|,j+1|<|n|因此,顯式歐拉公式絕對穩(wěn)定.隱式的歐拉公式為此7=先+/

50、?/*“居川=£,一10力%.1Ve=,."-,e=-l+10/z2l+10/i由于Ov,0<一!一<1,Ie.J<|e1+10/?1"川1因此,隱式的歐拉公式也是絕對穩(wěn)定的.5證實：梯形公式,用=y+3"%y“+/x心,*無條件穩(wěn)定.梯形公式的穩(wěn)定性討論解：對于微分方程初值問題yr=一丸y'y(o)=1(2>0)其隱式的梯形公式的具體形式可表示為hr.今n助、Air,2一入h、%+i=y,i+t-4y一辦'“+i1,a+虧%+i=a一虧>、,£出=y/r2222+AJi2Ah從而與山=-一en2+

51、Ah由力>0,丸>0可知,2土2.|e“|=|e"故隱式的梯形公式無條件穩(wěn)定.2+Ahyr=fx,y6設(shè)有常微分方程的初值問題,1J,試用泰勒展開法,構(gòu)造線性兩步法數(shù)值計算公式+7=&+做自,+PJ1,使其具有二階精度,并推導(dǎo)其局部截斷誤差主項.局部截斷誤差和主項的計算解：假設(shè)立=yx“,yn.x=yxn_,利用泰勒展式,有=*“-y'x“力+二2-'；力+2ofn=f(Xn,)=f(Xn,>(%)=)A-1=f(xn-i,yn-x)=f(xn-i,y(1)=y'(%)=/K)-y"a+八-$>'n+i=2a)

52、*“)+(A)+A-o)y'(x“),?+(-笈)y"(x)h2+(1+4)'"匕)h'+2021,12又y«r+i)=yM+yxn)h+-yxnw+-)嚴(%)+2o欲使其具有盡可能高的局部截斷誤差,必須2.=1,風(fēng)+-a=1,-A=乙乙一171從而a=9/0=二,P="T244171于是數(shù)值計算公式為ym=；(%+/_1)+力(7,一彳/；一).244該數(shù)值計算公式的局部截斷誤差的主項為義加)-f4)產(chǎn)(X、+=三)嚴.、+oo2247初值問題)=2x<y(0)=0y(0.1)=0.01取步長=0.1,利用阿當姆斯公式)

53、,N=y+g(3,一/；i),求此微分方程在o,10上的數(shù)值解,求此公式的局部截斷誤差的首項.(阿當姆斯公式的應(yīng)用)解：假設(shè)yn=y(x),yn_x=y(xn_,),利用泰勒展開,有%=y(x),fn=y'(%),fn-i=y,(xn_i)=y(xn)-yxn)h+乙)=義當)+M+；V區(qū)/-川+1.1Q而)'(x+i)=)'(a)+y'(x)力+-yxn)ir+-)嚴(與)+2oy(x+i)-+i=4+)獷+=工)/(%)'+6412該阿當姆斯兩步公式具有2階精度,其局部截斷誤差的主項為上12取步長力=0.1,節(jié)點匕=0.1=0,1,2,100,注意到/x,y=2x,其計算公式可改寫為%+='"+¥6%一=>'+0.02+0.01僅需取一個初值凡=0,可實現(xiàn)這一公式的實際計算.其MATLAB下的程序如下：xO=0；%初值節(jié)點yO=0微初值for"0:99yl=yO+*n+;xl=xO+；fprintf(rx(%3d)-%10.8f.i3d)=%10.8fnf,n+l,xl,n+lty