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常微分方程 試卷(A)答案：一. 填空題（每小題3分, 共15分） 1.; 2. ; 3. ; 4. ; 5. .二單項選擇題（每小題3分, 共15分） 1. D 2.B 3. C 4 . A 5. C 三. 求下列微分方程的解 ( 共36分) 1.分離變量：（3分）積分，得通解（7分）2. 令, 則（分）（分） （分）得通解：（分）有特解：（分）令（分）積分因子（4分）通解：（7分）的特征根：通解：（分）原方程特解設為：，（分）代入原方程，可得：即（分）所求通解為：（分）為一解. 令 , 代入原方程，可得：（分） （4分） （6分）故通解為：（7分）四特征根：（分）對應特征向量：；對應特征向量：；（分）基解矩陣：，（分）, (8分) （分）五 （分）取則定正 （分）定負， （分）故零解漸近穩(wěn)定 (8分)六敘述: 一階線性微分方程: 其中 在 上連續(xù), 則方程滿足 的解在上存在, 且是唯一的. (3分)關于唯一性的證明: (不妨設 ). 作逐步逼近序列: (5分)有 且 為原初值問題的解. 即滿足積分方程 .設 也為原初值問題的解, 則滿足積分方程 記 由 以及數(shù)學歸納法可得 . (7分)于是有 由極限的唯一性,知 (8分)七. (反證法) 假設非零解在上有無窮多個零點 即 (2分)有收斂子列, 不妨取為. 設 則有 (4分) (6分)于是為

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