第三章測(cè)度論

1、第三章測(cè)度論總授課時(shí)數(shù)14學(xué)時(shí)教學(xué)目的引進(jìn)外測(cè)度定義,研究其性質(zhì),由此過(guò)渡到可測(cè)集本章要點(diǎn)要引導(dǎo)學(xué)生注意外測(cè)度與測(cè)度之間的重要差異,測(cè)度概念抽象,要與具體點(diǎn)集諸如面積體積等概念進(jìn)行比擬.§1、外測(cè)度教學(xué)目的1、掌握外測(cè)度的定義及其根本性質(zhì).2、理解區(qū)間及有理點(diǎn)集的外測(cè)度及其證實(shí)方法本節(jié)要點(diǎn)外測(cè)度的定義及其根本性質(zhì).本節(jié)難點(diǎn)外測(cè)度的定義.授課時(shí)數(shù)4學(xué)時(shí)1Riemann積分回憶分割定義域bnaf(x)dx寸mJf()：為Xi=X-Xi_L,積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān).幾何意義非負(fù)函數(shù)：函數(shù)圖象下方圖形的面積.2新的積分Lebesgue積分,從分割值域入手記Ei=x:y-Efxcyj,y

2、匕cy,那么n(L)a,bf(x)dx二叫:jmEi問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積概念推廣？達(dá)布上和與下和上積分外包達(dá)布上和的極限nf(x)dxlim,二：Mixi|T|0i1下積分內(nèi)填達(dá)布下和的極限banf(x)dx=需mJmi"、Lebesgue外測(cè)度外包1.定義：設(shè)E=Rn,稱(chēng)非負(fù)廣義實(shí)數(shù)Ru±s=R*O0O0m*E=inf£|Ii|:EcIi,Ii為開(kāi)區(qū)間)i1i-為E的Lebesgue外測(cè)度.下確界：(1) E是數(shù)集S的下界,即VxwS,U<x(2) 是數(shù)集S的最大下界,即V名>0,三xwS,使得xM+w°ocom"E=in

3、f£|Ii|:EuIiJ為開(kāi)區(qū)間cdV®:>02開(kāi)區(qū)間列Ii,使得EuIi且od*_.*_mE二,11i|三mE；i4即：用一開(kāi)區(qū)間列Ii“近似替換集合E例1設(shè)E是0,1中的全體有理數(shù),試證實(shí)E的外測(cè)度為0.證實(shí)：由于E為可數(shù)集,故不妨令E=0,1-Q=1,2,3,小A0,作開(kāi)區(qū)間Ii=(ri-ri小=1,2,3,111QO那么EuuIi且1 1i°o00g2 11i|=z=&,i1i12從而mE<®,再由名的任意性知mE=0思考：1 .設(shè)E是平面上的有理點(diǎn)全體,那么E的外測(cè)度為0提示：找一列包含有理點(diǎn)集的開(kāi)區(qū)間Ii=(ri1,ri1

4、-(ri22,ri2.2i"),(%,ri2).QQ,i=1,2,3,l|2 .平面上的x軸的外測(cè)度為0提示：找一列包含x軸的開(kāi)區(qū)間Ii=(ri-1,ri+1)M(-,),riWZ,i=1,2,3,11(3 .對(duì)Lebesgue外測(cè)度,我們用可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋0,1中的有理數(shù)全體,是否這可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間也覆蓋0,1(除可數(shù)個(gè)點(diǎn)外).注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列(如Cantor集的余集的構(gòu)成區(qū)間)2.Lebesgue外測(cè)度的性質(zhì)(1)非負(fù)性：m*E至0,當(dāng)E為空集時(shí),m*E=0(2)單調(diào)性：假設(shè)AuB,那么m*Am*B證實(shí)：能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋A,從而能覆蓋B的開(kāi)區(qū)

5、間列比能覆蓋A的開(kāi)區(qū)間列要少,相應(yīng)的下確界反而大.*一*(3)次可數(shù)可加性m3An)mAnn1.證實(shí)：對(duì)任意白0名a0,由外測(cè)度的定義知,對(duì)每個(gè)An都有一列開(kāi)區(qū)間(即用一開(kāi)區(qū)間k列近似替換AnIn1,In2,lllInmJM,使得AnUyInm且mAn|Inm|-mAn嬴m12QOoQao從而.An-Inmn1n3m1*0_*|Inm|八'|Inm|M"冬一mAn；n,m1ndmz!n12n1可見(jiàn)ad一一*|_、mAn；n1ao88*m啟An-',|Inmn4md、一.一*由名的任息性,即得m("兒)mAnn1注：(1)一般證實(shí)都是從大的一邊開(kāi)始,由于外測(cè)度

6、的定義用的是下確界(2)外測(cè)度的次可數(shù)可加性的等號(hào)即使A,B不交也可能不成立(反例要用不可測(cè)集),但有：假設(shè)d(A,B)>0那么m(A-B)=m(A)m*(B)當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候,區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A,B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩局部,一局部含有A中的點(diǎn),一局部含有B中的點(diǎn).例2對(duì)任意區(qū)間I,有m*EJI|.思考：書(shū)本中的證實(shí)用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣例3Cantor集的外測(cè)度為0.證實(shí)：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為Ij(n)i=1,2/112n從而2n2n2nnm*(P)<m*(.4I(n)<-|Ii(

7、n)|<-n=->0yi133故mP=0注：稱(chēng)外測(cè)度為0的集合為零集；零集的子集,有限并,可數(shù)并仍為零集作業(yè)：P751,2練習(xí)題1如果將外測(cè)度的定義改為“有界集E的外測(cè)度是包含E的閉集的測(cè)度的下確界.是否合理？2設(shè)AcB=.,問(wèn)在什么條件下有*m(AB)=mB3對(duì)于有界集EUR1,是否必有m*E<依？4設(shè)E是直線上的一有界集,m*E>0,那么對(duì)任意小于m*E的正數(shù)c,恒有子集日,使mE1=c§2可測(cè)集合教學(xué)目的1、深刻理解可測(cè)集的定義,學(xué)會(huì)用Caratheodory條件驗(yàn)證集合的可測(cè)性2、掌握并能運(yùn)用可測(cè)集的性質(zhì).本節(jié)要點(diǎn)學(xué)會(huì)用Caratheodory條件驗(yàn)證

8、集合的可測(cè)性.本節(jié)難點(diǎn)用Caratheodory條件驗(yàn)證集合的可測(cè)性.授課時(shí)數(shù)4學(xué)時(shí)Lebesgue外測(cè)度(外包)00o0m*E=inf£|L|:Eu廿I"且I為開(kāi)區(qū)間i4JoQ°O_、,_._.*_._*_V®>0,三開(kāi)區(qū)間列Ii,使得EuIi且mE<z|Ii|<mE+ei=1即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似替換集合EoaCO次可數(shù)可加性(即使An兩兩不交)mQAn)<ZmAnn1n一、可測(cè)集的定義假設(shè)VTuRn,有mt=mT(TcE)+m*(TcEc)(Caratheodory條件),那么稱(chēng)E為L(zhǎng)ebesgue可測(cè)集,此時(shí)E的外測(cè)度稱(chēng)為

9、E的測(cè)度,記作mE.注：Lebesgue開(kāi)始也是利用外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度相等定義可測(cè)集,但此方法對(duì)處理問(wèn)題很不方便,故我們采用上述方法.例1：零集E必為可測(cè)集證實(shí)：VTuRn,有mTWmTcE)+m*(TcEc)三m*(E)+m*(T)<m*(T)tt>、illill*C'.八從而m什=m*(TcE)+m(TcEc)即E為可測(cè)集.二、Lebesgue可測(cè)集的性質(zhì)(1)集合E可測(cè)(即VTuRn,有mT=m*(TcE)+m*(TcEc)AVAuE,BuEc,有m*(AuB)=m=A)+m(B)證實(shí)：(充分性)VTuRn,令慶=丁門(mén)e,B=TcEc即可(必要性)令T=AuB(2)假設(shè)A

10、,B,A可測(cè),那么下述集合也可測(cè)00Q0Ac,A=B,A,nB,ABA,2AiWiW即可測(cè)集類(lèi)關(guān)于差,余,有限交和可數(shù)交,有限并和可數(shù)并,以及極限運(yùn)算封閉；假設(shè)Acb=0,那么VTURn,有m(T-(A-B)=m(T-A)m*(T-B)注：上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫(huà)馬上可得假設(shè)A兩兩不交,那么(測(cè)度的可數(shù)可加性)00oOm(-Ai)='mA假設(shè)A,B可測(cè),A二B,mA<那么有可減性m(BA)=mB-mA證實(shí)：由可測(cè)集的定義：VTuRn有m*T=m*(T,nE)+m*(TcEc)易知Ac可測(cè)假設(shè)AuB可測(cè)已證實(shí),那么易知AcB=(AcuBc)c,AB=AcBc也可測(cè).二二n1假設(shè)當(dāng)

11、A為兩兩不交時(shí),2A可測(cè)已證實(shí),那么通過(guò)令Bn=-=A可把一般情形轉(zhuǎn)化i4i=1n為兩兩不交的情形,通過(guò)取余即可證實(shí)oai1下面證實(shí)假設(shè)A,B可測(cè),那么AuB可測(cè)證實(shí)：VT仁Rn,有mT<m(T-(A-B)m*(T-(A一B)c)缶*缶*<(m(1)m(2)(m(3)m(4)*4=m(13(旬mQ(3)(眄測(cè))*_.=m(1)=(2)=(3)u(4)(A可測(cè))*=m(T)從而mT=m(T一(A-B)m*(T-(A-B)c)O0下面證實(shí)假設(shè)A兩兩不交,那么m(=A)=£mAi1i1證實(shí)：VTURn,有nnn二二m沖=m*(Tc(EA)+m*(Tc(匕A)c)之m*(Tc(：

12、A)+m*(TC(工A)c)n二二='、m(T-A)m*(T一(三A)c)i11從而8oOmT_'、m(T-A)m*(T一(一A)c)之m(Tc(；A)+m*(Tc(0A)c)(*)I1IQOQ0另外顯然有mTwm(T一(A)m(T一(：A)c)qQqQ從而ha可測(cè),并用t=a代入(*)式,即得結(jié)論nn例2：設(shè)0,1中可測(cè)集AA,川,An滿(mǎn)足條件mmAn-1,那么cA必有正測(cè)度.iwynnn證實(shí)：m(14A)=m(_A)c)c)=m(0,1(yA)c)nn=m(0,1；Ac)=m(0,1)-m(：Ac)n-1m(0,1-A)I4nn=1-%(1-mA)=mA-(n-1)011y

13、單調(diào)可測(cè)集列的性質(zhì)假設(shè)An是遞增的可測(cè)集列,那么m(lIm與)=lImmAn二ni.(2)假設(shè)An是遞減的可測(cè)集列且mA工-,那么m(limAn)=lImmAn-n工二注：(1)左邊的極限是集列極限,而右邊的極限是數(shù)列極限,(2)中的條件mA依不可少,如An=n,二qQ注：(2)假設(shè)An是遞減集列,limAnAnn-n1oO假設(shè)An是遞增集列,11mAi=8nl：n1oO-A=A-(A-A)-HI-(AnA)-HIn1假設(shè)AB可測(cè),AUB,mA一,那么m(BA)=mBmA作業(yè)：P755,6練習(xí)題1設(shè)m'tn.,能否斷定E可測(cè)？能否斷定E的任一子集可測(cè)?O02設(shè)En是可測(cè)集列,且

14、3;mEn<y,那么m布En=0nJn：3證實(shí)：任意點(diǎn)集E的外測(cè)度等于包含它的開(kāi)集G的測(cè)度的下確界,即m*E=infmG:EuG,G為開(kāi)集4設(shè)A,B是R的子集,A可測(cè),證實(shí)等式mA一BmA-B=mAmB§3可測(cè)集類(lèi)教學(xué)目的1、熟悉并掌握用開(kāi)集、閉集、G型集、F仃型集刻畫(huà)可測(cè)集的幾個(gè)定理,弄清可測(cè)集類(lèi)和Borel集類(lèi)之間的關(guān)系.2、了解一些集合可測(cè)的充要條件.本節(jié)要點(diǎn)可測(cè)集類(lèi)和Borel集類(lèi)之間的關(guān)系.本節(jié)難點(diǎn)可測(cè)集類(lèi)和Borel集類(lèi)之間的關(guān)系.授課時(shí)數(shù)4學(xué)時(shí)一、可測(cè)集例1區(qū)間I是可測(cè)集,且mI=|I|注：1零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、G型集可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交、F仃型集可數(shù)個(gè)閉集的并.B

15、orel型集粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余,取交或并有限個(gè)或可數(shù)個(gè)運(yùn)算得到都是可測(cè)集.2開(kāi)集、閉集既是Gj型集也是F仃型集；有理數(shù)集是F仃型集,但不是Gg型集；無(wú)理數(shù)集是G每型集,但不是F仃型集.有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并,而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)取余G&型集與F仃型集相互轉(zhuǎn)化并與交,開(kāi)集與閉集互換二、可測(cè)集與開(kāi)集、閉集的關(guān)系1假設(shè)E可測(cè),那么V®>0,存在開(kāi)集G,使得E匚G且mG-E<名即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差一小測(cè)度集可測(cè)集“差不多就是開(kāi)集或閉集,從而可測(cè)集根本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并.(2)假設(shè)E可測(cè),那么V8>0,存在閉集F,使得FuE且m(EF)&

16、lt;e證實(shí)：(1)當(dāng)mE<時(shí),由外測(cè)度定義知0000一一一*.*>0,存在開(kāi)區(qū)間列Ii,使得Eu曰Ii且mEE£|Ii|WmE+E-i丑oO88令G=212那么G為開(kāi)集,EuG,且E<mG<Zmli<Z|Ii|<mEi-i=1i4從而(這里用到mE<一)m(GE)=mGmE<名(2)當(dāng)mE="時(shí),這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集oOE=：Ei(mE:二二)對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果,存在開(kāi)集Gi,使得EiuGi且m(Gi巳)<QO令G=Gi,那么G為開(kāi)集,EuG,且i1m(G-E)=mJG-二E)=m(二(G-二EJi

17、iiii=ii=i<m(.JGi-Ei)<-m(G-Ei)-<；tyi=i2i假設(shè)(1)已證實(shí),由Ec可測(cè)可知Ve>0,存在開(kāi)集G,使得Ec仁G且m(GEc)<名.取F=Gc,那么F為閉集FuE且cccccccm(E-F)=m(E-F)=m(E)-F)=m(F-E)=m(G-E)；例2設(shè)E仁Rn,假設(shè)Vs>0,三開(kāi)集G,使得EuG且m-GE)<w,那么E是可測(cè)集.1一1證實(shí)：對(duì)任息的一,二Gn(開(kāi)集),使得E仁Gn且m(Gn-E)<-nnoO令O=2Gn,那么o是Gs型集且EuO1.m(O-E),(Gn-E),n=1,2,3JI|n故m(O-E)

18、=0從而E=0(OE)為可測(cè)集.例3：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體,試各寫(xiě)出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集.E=1,2/3,小開(kāi)集：G=.,(Pi-2t1,Pi271)閉集：空集.例4：設(shè)E為0,1中的無(wú)理數(shù)全體,試各寫(xiě)出一個(gè)與E只相差一小測(cè)度集的開(kāi)集和閉集.開(kāi)集：(0,1)qQ閉集：F=0,1-己(一寸,號(hào))三、可測(cè)集與Gg集和F仃集的關(guān)系(1) .假設(shè)E可測(cè),那么存在G型集0,使EuO且m(0E)=0可測(cè)集可由G百型集去掉一零集,或F仃型集添上一零集得到.(2) .假設(shè)E可測(cè),那么存在F仃型集H,使HuE且m(E-H)=0證實(shí)：假設(shè)(1)已證實(shí),由Ec可測(cè)可知三G型集0,使得Ec匚0且m(0Ec)=0取H=0c,那么H為F仃型集,HUE且cccccc_cm(E-H)=m(E.H)=m(E)一H戶(hù)m(H-E)=m(0-E)=0(1).假設(shè)E可測(cè),那么存在G型集0,使EuO且m(OE)=011證實(shí)：對(duì)任息的一,存在開(kāi)集Gn,使得EuGn且m(Gn-E)<-nnqQ令0=cGn,那么0為Gb型集,且E=0n1"m(0-E)<m(Gn-E)4n=1,2,34M故m(0-E)=0例5：設(shè)E為0,1中的有理數(shù)全體,試各寫(xiě)出一個(gè)與E只相差一零測(cè)度集的G型集或F仃型集.G§