f分布t分布與卡方分布

1、1 1.4常用的分布及其分位數(shù)2 .卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導生的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗統(tǒng)計中常用的分布。當X1、X2、Xn相互獨立且都服從N(0,1)時，Z=Xi2的分布稱為自由度等于布密度 p(1n22n的n2Xn22分布，記作Z2 (n)z1.2 e0,其他,式中的 n2nu2稱為Gamma®數(shù)，且2分布是非對稱分布，具有可加性，即當Y=X 2+X2+ +Xn,Z=X 2Y+Z= X 2+X2 +xn+ X+X 2 n+X2 n+ +X 2 n+ +X 2 n3相互獨立，且Y2(n),Z2(m),則Y+Z2(n+m)。證明：先令X1、X2、

2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互獨立且都服從N(0,1),再根據(jù)2分布的定義以及上述隨機變量的相互獨立性，令即可得到Y+Z2(n+m)2. t分布若X與Y相互獨立，且XN(0,1), Y2(n),I Y的分布稱為自由度等于n的t分布，記作ZP(z尸t(n),它的分布密度n12。請注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當n>30時，t分布與標準正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線幾乎重疊為一。這時，t分布的分布函數(shù)值查N(0,1)的分布函數(shù)值表便可以得到。3. F分布若X與丫相互獨立，且X2(n),丫2(m),則z= X Y-的分布稱為第一自由度等于 n mn、第二自由度等于m的F分布，記作

3、ZF(n,m),它的分布密度nmP(Z尸22 (m0,請注意：F分布也是非對稱分布, 的次序有關，當 ZF (n, m)時，n 1 z2n mn z) 2其他。它的分布密度與自由度1一F (m ,n)4. t分布與F分布的關系若 Xt( n),則 Y=X2 F(1,n) o證：Xt( n) , X的分布密度p(x)=n 12.n% n2Y=X 2 的分布函數(shù) FY (y) =PY< y=PX 2 <y。當 y 0 時，F(xiàn)Y(y)=0, pY(y)=0;當 y>0 時，F(xiàn)y(y)=P- v"y<Xs/y L=.p(x)dx=2 0y p(x)dx,n-1 n n

4、2 Y=X 2的分布密度pY(y)=一丁q 21 1y21 n2 (n y) 2與第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X2F（1,n）。為應用方便起見，以上三個分布的分布函數(shù)值都可以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應用問題時，通常是查分位數(shù)表。有關分位數(shù)的概念如下：4. 常用分布的分位數(shù)1）分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機變量的分布函數(shù)有關，根據(jù)應用的需要，有三種不同的稱呼，即a分位數(shù)、上側a分位數(shù)與雙側a分位數(shù)，它們的定義如下：當隨機變量X的分布函數(shù)為F（x）,實數(shù)a滿足0<a<1時，a分位數(shù)是使PX<X口=F（Xa）=a的數(shù)Xa,上側a分位數(shù)

5、是使PX>入=1-F（入戶a的數(shù)人，雙側a分位數(shù)是使PX<入1=F（入1）=0.5a的數(shù)人1、使PX>入2=1-F（入2）=0.5a的數(shù)入2。因為1-F（入戶a,F（入）=1-八所以上側a分位數(shù)人就是1-a分位數(shù)X1-%；F（入1）=0.5民，1-F（入2）=0.5a,所以雙側a分位數(shù)入1就是0.5a分位數(shù)X0.5ot,雙側a分位數(shù)入2就是1-0.5a分位數(shù)x1-0.5a°2）標準正態(tài)分布的民分位數(shù)記作Ua,0.5a分位數(shù)記作U0.5a，1-0.5a分位數(shù)記作U1-0.5a。當XN(0,1)時，PX<Ua=F0,i(ua戶a,PX<U0.5a=F0,1(

6、U0.5a)=0.5a,PX<U1-0.5a=F0,1(u1-0.5a尸1-0.5a。根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，當a=0.5時，Ua=0；當<<0.5時，ua<0。ua=U1-a。如果在標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負的分位數(shù)，則先查由u1-a,然后得到Ua=-U1-a°論述如下：當XN(0,1)時，PX<Ua=F0,1(ua戶a,PX<U1-a=F0,1(U1-a)=1-a，PX>U1-/=1-F0,1(U1-a尸。，故根據(jù)標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性，Ua=-U1-ao例如，U0.10=-U0.90=-1.282,U0.05=-

7、U0.95=-1.645,U0.01=-u0.99=-2.326,U0.025=-U0.975=-1.960,u0.005=-u0.995=-2.576。又因為P|X|<U1-0.5a=1*所以標準正態(tài)分布的雙側u分位數(shù)分別是u1-0.5a和U1-0.5a。標準正態(tài)分布常用的上側a分位數(shù)有：a=0.10,u0.90=1.282;a=0.05,u0.95=1.645;a=0.01,u0.99=2.326;a=0.025,u0.975=1.960;a=0.005,u0.995=2.576o3)卡平方分布的a分位數(shù)記作2a(n)。2a(n)>0，當X2(n)時，PX<2a(n)=民

8、0分布巒度x0分拉數(shù),例如，20.005(4)=0.21,20.025(4)=0.48,20.05(4)=0.71,20.95(4)=9.49,20.975 t分布的民分位數(shù)記作ta=11.1,20.995=14.9。當Xt(n)時，PX<ta(n)=民,且與標準正態(tài)分布相類似，根據(jù)t分布密度曲線的對稱性，也有ta(n戶-t1-a(n),論述同Ua=-u1-a。例如，t0.95(4)=2.132,t0.975(4)=2.776,t0.995=4.604,t0.005=-4.604,t0.025(4)=-2.776,t0.05(4)=-2.132。另外，當n>30時，在比較簡略的表中

9、查不到(n),可用ua作為ta的近似值。5)F分布的5分位數(shù)記作Fa(n,m)。Fa(n,m)>0,當XF(n,m)時，PX<Fq(n,m)=民另外，當a較小時，在表中查不由Fa(n,m),須先查一1Fl-a(m,n),再求Fa(n,m)=。論述如下：Fi(m,n)當XF(m,n)時，PX<F1-a(m,n)=1-P工1=1-a,P<1=a,XFi(m,n)XF1(m,n)又根據(jù)F分布的定義，工F(n,m),P<Fa(n,m)=a,XX1因止匕Fa(n,m)=。F1(m,n)例如，F(xiàn)0.95(3,4)=6.59,F0.975(3,4)=9.98,F0.99(3,4

10、)=16.7,F0.95(4,3)=9.12,F0.975(4,3)=15.1,F0.99(4,3)=28.7,L小、1F 0.01 (3,4)=赤11F0.025(3,4)=面'F0.05(3,4)=藐°【課內(nèi)練習】1 .求分位數(shù)20.05(8),20.95(12)2 .求分位數(shù)t0.05(8),t0.95(12)。3 .求分位數(shù)F0.05(7,5),F0.95(10,12)。4 .由u0.975=1.960寫生有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。5 .由t0.95(4)=2.132寫生有關的上側分位數(shù)與雙側分位數(shù)。6 .若X2(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,試寫由有關的分位數(shù)。7 .若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41二0.95,試寫由有關的分位數(shù)。8 .設X1、X2、X10相互獨立且都服從N(0,0.09)分布,試求PXi2>1.44。習題答案:1.2.73,21.0。2.-1.860,1.7823.工，3.37。4.1.960為上側0.025分位數(shù)，-1.960與1.9604.88為雙側0.05分位數(shù)。5.2