2004年全國1卷高考數(shù)學試卷(理)請

1、2004 年高考數(shù)學試卷（理）全國 1 卷一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分）2+2iC2D1（5 分）（1i）2i=（）A22iB22（5 分）已知函數(shù) f（x）=lg，若 f（a）=b，則 f（a）等于（）bCABBD3（5 分）已知 、 均為單位向量，它們的夾角為 60°，那么|=（）ABCD44（5 分）函數(shù) y=+1（x1）的反函數(shù)是（）y=x22x+2（x1）By=x22x+2（x1）ACy=x22x（x1）Dy=x22x（x1）5（5 分）的展開式中常數(shù)項是（）A14B14C42D426（5 分）設 A、B、I 均為非空集合，且滿足 ABI，則下

2、列各式中錯誤的是（）A（IA）B=IB（IA）（IB）=ICA（IB）=D（IA）（IB）=IB7（5 分）+y2=1 的兩個焦點為 F1、F2，過 F1 作垂直于 x 軸的直線與橢圓相交，一個交點為 P，則|PF2|等于（）A CD48（5 分）設拋物線 y2=8x 的準線與 x 軸交于點 Q，若過點 Q 的直線 l 與拋物線有公共點，則直線 l 的斜率的取值范圍是（）A，B2，2C1，1D4，49（5 分）為了得到函數(shù) y=sin（2x）的圖象，可以將函數(shù) y=cos2x 的圖象（）A向右平 個單位長度B向右平 個單位長度向左平移C 向左平個單位長度D個單位長度10（5 分）已知正四面體

3、ABCD 的表面積為 S，其四個面的中心分別為 E、F、G、H設四面體 EFGH 的表面積為T，等于（）ABCD11（5 分）從數(shù)字 1，2，3，4，5 中，隨機抽取 3 個數(shù)字（允許重復）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于 9 的概率為（）ABCD12（5 分）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，則 ab+bc+ca 的最小值為（）A BD +二、填空題（共 4 小題，每小題 4 分，滿分 16 分）13（4 分）不等式|x+2|x|的解集是 _14（4 分）由動點 P 向圓 x2+y2=1 引兩條切線 PA、PB，切點分別為 A、B，APB=60°，則動點 P 的軌跡

4、方程為 _15（4 分）已知數(shù)列an，滿足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+（n1）an1（n2），則an的通項 _16（4 分）已知 a、b 為不垂直的異面直線， 是一個平面，則 a、b 在 上的射影有可能是：兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點17（12 分）求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值19（12 分）已知 aR，求函數(shù) f（x）=x2eax 的單調(diào)區(qū)間20（12 分）如圖，已知四棱錐 PABCD，PBAD 側(cè)面 PAD 為邊長等于 2 的正三角形，底面 ABCD 為菱形，側(cè)面 PAD 與底面 ABCD 所成的二面角為 120°（I）求點

5、P 到平面 ABCD 的距離，（II）求面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小21（12 分）設雙曲線 C：=1（a0）與直線 l：x+y=1 相交于兩個不同的點 A、B（）求雙曲線 C 的離心率 e 的取值范圍：（）設直線 l 與 y 軸的交點為 P，求 a 的值22（14 分）已知數(shù)列an中 a1=1，且 a2k=a2k1+（1）k，a2k+1=a2k+3k，其中 k=1，2，3，（I）求 a3，a5；（II）求an的通項公式2004 年高考數(shù)學試卷（理）全國 1 卷參考答案與試題解析一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分）1（5 分）（1i）2i=（）A22iB2

6、+2iC2D2考點： 復數(shù)代數(shù)形式的混合運算 分析： 直接化簡復數(shù)即可解答： 解：（1i）2i=2ii=2故選 D點評： 本題查復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，是基礎題2（5 分）已知函數(shù) f（x）=lg，若 f（a）=b，則 f（a）等于（）ABBbCD考點： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；對數(shù)的運算性質(zhì) 專題： 計算題分析： 方法一：將a 代入函數(shù)解析式變形整理即可訪求二：用定義可以驗證 f（x）=f（x），故函數(shù) f（x）是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解解答： 解：方法一=lg=f（a）=b方法二：f（x）=lg=lg=f（x），故函數(shù) f（x）是奇函數(shù)，f（a）=b，f（a）=b故應選B點評： 考查奇函數(shù)的

7、定義法證明（方法二）及利用定義法證明中的變形技巧（方法一）做題3（5 分）已知、均為單位向量，它們的夾角為 60°，那么|=（）A B C D4考點： 數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模分析： 求向量模的運算，一般要對模的表達式平方整理，平方后變?yōu)橄蛄康哪：蛢蓚€向量的數(shù)量積，根據(jù)所給的單位向量和它們的夾角代入數(shù)據(jù)求出結果解答： 解均為單位向量，它們的夾角為 60°|=1，|=1， =cos60°|=故選 C點評： 啟發(fā)學生在理解數(shù)量積的運算特點的基礎上，逐步把握數(shù)量積的運算律，引導學生注意數(shù)量積性質(zhì)的相關問題的特點，以熟練地應用數(shù)量積的性質(zhì) Dy=x22x（x1）

8、4（5 分）函數(shù) y=+1（x1）的反函數(shù)是（）Ay=x22x+2（x1）By=x22x+2（x1）Cy=x22x（x1）考點： 反函數(shù) 專題： 計算題分析： 求反函數(shù)，第一步從原函數(shù)式中反解出 x，第二步互換 x，y，最后確定反函數(shù)的定義域 解答： 解：y=+1（x1）y1，反解 xx=（y1）2+1x=y22y+2（y1），x、y 互換，得y=x22x+2（x1）故選 B點評： 本題主要考查了反函數(shù)的求法，求解時，一定要注意反函數(shù)的定義的確定，屬于基礎題5（5 分） 的展開式中常數(shù)項是（）A14B14C42D42考點： 二項式定理分析： 利用二項展開式的通項公式求出第 r+1 項，令 x

9、的指數(shù)為 0 得到常數(shù)項 解答：解：展開式的通項為=令得 r=6故常數(shù)項為 2C76=14故選 A點評： 本題考查二項展開式的通項公式是解決二項展開式的特定項問題的工具6（5 分）設 A、B、I 均為非空集合，且滿足 ABI，則下列各式中錯誤的是（）A（IA）B=IB（IA）（IB）=ICA（IB）=D（IA）（IB）=IB考點： 交、并、補集的混合運算；集合的包含關系判斷及應用 專題： 數(shù)形結合分析： 先畫出文氏圖，據(jù)圖判斷各答案的正確性，或者利用特殊元素法 解答： 解一：A、B、I 滿足 ABI，先畫出文氏圖，根據(jù)文氏圖可判斷出 A、C、D 都是正確的， 故選 B解二：設非空集合 A、B、

10、I 分別為 A=1， B=1，2，I=1，2，3且滿足 ABI根據(jù)設出的三個特殊的集合 A、B、I 可判斷出 A、C、D 都是正確的， 故選 B點評： 本題體現(xiàn)數(shù)形結合的數(shù)學思想和特殊值的方法7（5 分）+y2=1 的兩個焦點為 F1、F2，過 F1 作垂直于 x 軸的直線與橢圓相交，一個交點為 P，則|PF2|等于（）A CD4考點： 橢圓的簡單性質(zhì) 專題： 計算題分析： 先根據(jù)橢圓的方程求得橢圓的左準線方程，進而根據(jù)橢圓的第二定義求得答案解答：解：橢圓的左準線方程為 x=，|PF2|= 故選 C點評： 本題主要考查了橢圓的定義屬基礎題8（5 分）設拋物線 y2=8x 的準線與 x 軸交于點

11、 Q，若過點 Q 的直線 l 與拋物線有公共點，則直線 l 的斜率的取值范圍是（）A，B2，2C1，1D4，4考點： 拋物線的應用；直線的斜率；直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關系；拋物線的簡單性質(zhì) 專題： 計算題分析： 根據(jù)拋物線方程求得 Q 點坐標，設過 Q 點的直線 l 方程與拋物線方程聯(lián)立消去 y，根據(jù)判別式大于等于 0求得 k 的范圍 解答： 解：y2=8x，Q（2，0）（Q 為準線與 x 軸的交點），設過 Q 點的直線 l 方程為 y=k（x+2）l 與拋物線有公共點， 有解，方程組即 k2x2+（4k28）+4k2=0 有解=（4k28）216k40，即 k2 11k1， 故選 C

12、點評： 本題主要考查了拋物線的應用涉及直線與拋物線的關系，常需要把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理或判別式解決問題9（5 分）為了得到函數(shù) y=sin（2x）的圖象，可以將函數(shù) y=cos2x 的圖象（）A向右平 個單位長度B向右平 個單位長度向左平移C 向左平個單位長度D個單位長度考點： 函數(shù) y=Asin（x+）的圖象變換 專題： 計算題分析： 先根據(jù)誘導公式進行化簡，再由左加右減上加下減的原則可確定函數(shù) ）到 y=cos2x 的路線， 確定選項解答： 解）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）= cos2（x ），將函數(shù) y=cos2x 的圖象向右平個單位長度 故選 B點

13、評： 本題主要考查三角函數(shù)的平移三角函數(shù)的平移原則為左加右減上加下減注意變換順序10（5 分）已知正四面體 ABCD 的表面積為 S，其四個面的中心分別為 E、F、G、H設四面體 EFGH 的表面積為T，等于（）ABCD考點： 棱柱、棱錐、棱臺的體積 專題： 計算題分析： 因為正四面體四個面都是正 ，其中心到頂點的距離等于到對邊距離的一半，通過作出輔助線，可得兩四面體的邊長比，由面積比是邊長比的平方，可得出答案解答： 解：如圖所示，正四面體 ABCD 四個面的中心分別為 E、F、G、H，四面體 EFGH 也是正四面體 連接 AE 并延長與 CD 交于點 M， 連接 AG 并延長與 BC 交于點

14、 NE、G 分別為面的中心，= 又 BD，=面積比是相似比的平方，兩四面體的面積比為 =故答案為：A點評： 本題考查了多面體的面積比是邊長比的平方，本題關鍵是求邊長比是多少；類似的有體積比是邊長比的立方，三角形的高，中線，角平分線的比等于邊長的比11（5 分）從數(shù)字 1，2，3，4，5 中，隨機抽取 3 個數(shù)字（允許重復）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于 9 的概率為（）ABCD考點： 排列、組合的實際應用；等可能事件的概率 專題： 計算題；壓軸題；分類討論分析： 首先計算從 5 個數(shù)字中隨機抽取 3 個數(shù)字的總情況數(shù)目，再分情況討論其中各位數(shù)字之和等于 9 的三位數(shù)， 計算其可能的情況數(shù)目

15、，由古典概型的計算公式，計算可得答案解答： 解：從 1，2，3，4，5 中，隨機抽取 3 個數(shù)字（允許重復），可以組成 5×5×5=125 個不同的三位數(shù)，其中各位數(shù)字之和等于 9 的三位數(shù)可分為以下情形：由 1，4，4 三個數(shù)字組成的三位數(shù)：144，414，441，共 3 個；同理由 2，3，4 三個數(shù)字可以組成 6 個不同的三位數(shù)；由 2，2，5 三個數(shù)字可以組成 3 個不同的三位數(shù)；由 3，3，3 三個數(shù)字可以組成 1 個三位數(shù)，即 333故滿足條件的三位數(shù)共有 6+3+6+3+1=19，所求的概率點評： 本題考查排列、組合的綜合應用，涉及古典概型的計算，解題時需分類

16、討論，注意要按一定的順序，做到不重不漏12（5 分）a2+b2=1，b2+c2=2，c2+a2=2，則 ab+bc+ca 的最小值為（）A BD +考點： 基本不等式專題： 計算題；壓軸題分析： 先把題設中的三個等式聯(lián)立可求得 a，b 和 c，再把它們的值代入所求代數(shù)式，即可得解 解答： 解：b2+c2=2，c2+a2=2，b2+c2=c2+a2b2=a2 又 a2+b2=1，所以當 ，c= 時 ab+bc+ca 有最小值為×+×（）+×（）=，ab+bc+ca 的最小值， 故選 B點評： 本題解題的關鍵是通過已知條件求得 a，b 和 c 值，然后代入即可二、填空

17、題（共 4 小題，每小題 4 分，滿分 16 分）13（4 分）不等式|x+2|x|的解集是 x|x1考點： 絕對值不等式的解法 專題： 計算題分析： 將不等式|x+2|x|兩邊平方，去掉絕對值然后根據(jù)絕對值不等式的解法進行求解 解答： 解：解法一：|x+2|x|（x+2）2x24x+40x1解法二：在同一直角坐標系下作出 f（x）=|x+2|與 g（x）=|x|的圖象，根據(jù)圖象可得 x1解法三：根據(jù)絕對值的幾何意義，不等式|x+2|x|表示數(shù)軸上 x 到2 的距離不小于到 0 的距離，x1點評： 此題考查絕對值不等式的性質(zhì)及其解法，解題的關鍵是去掉絕對值，還考查了不等式的一般解法，解題的關鍵

18、是去掉絕對值，此類題目是高考常見的題型14（4 分）由動點 P 向圓 x2+y2=1 引兩條切線 PA、PB，切點分別為 A、B，APB=60°，則動點 P 的軌跡方程為 x2+y2=4考點： 軌跡方程；圓的切線的性質(zhì)定理的證明 專題： 計算題；壓軸題分析： 先設點 P 的坐標為（x，y），則可得|PO|，根據(jù)APB=60°可得AP0=30°，判斷出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案解答： 解：設點 P 的坐標為（x，y），則|PO|=APB=60°AP0=30°|PO|=2|OB|=2=2即 x2+y2=4故答案為：x2+

19、y2=4點評： 本題主要考查了求軌跡方程的問題屬基礎題15（4 分）已知數(shù)列an，滿足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+（n1）an1（n2），則an的通項 考點： 數(shù)列遞推式專題： 計算題；壓軸題 分析：由題意知 anan1=（n1）an1（n3），an=nan1，an=n×（n1）×（n2）××3×2×1×a2=由此可知答案解答： 解：an=a1+2a2+3a3+（n1）an1（n2）， an1=a1+2a2+3a3+（n2）an2（n3）， anan1=（n1）an1（n3）an=nan1an=n×（n

20、1）×（n2）××3×2×1×a2= ，答案：點評： 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答16（4 分）已知 a、b 為不垂直的異面直線， 是一個平面，則 a、b 在 上的射影有可能是：兩條平行直線；兩條互相垂直的直線；同一條直線；一條直線及其外一點考點： 平行投影及平行投影作圖法 專題： 作圖題；壓軸題分析： 以正方體為例，找出滿足題意的兩條異面直線，和平面 ，然后判斷選項的正誤 解答： 解：不妨以正方體為例，A1D 與 BC1 在平面 ABCD 上的射影互相平行，正確；AB1 與 BC1 在平面 ABCD 上的射影

21、互相垂直，正確；如果 a、b 在 上的射影是同一條直線，那么 a、b 共面，不正確DD1 與 BC1 在平面 ABCD 上的射影是一條直線及其外一點，正確 故答案為：點評： 本題考查異面直線的投影及作圖方法，用特殊圖形解決一般性問題，是一種解題能力，是基礎題 三、解答題（共 6 小題，滿分 74 分）17（12 分）求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值考點： 三角函數(shù)的周期性及其求法；二倍角的正弦；二倍角的余弦 專題： 計算題分析： 利用平方關系和二倍角公式把函數(shù)，化簡為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后直接求出周期和利用正弦函數(shù)的有界性求出最值解答：解： =所以函數(shù) f（x）的最小正周期是 ，最

22、大值，最小值 點評： 本小題主要考查三角函數(shù)基本公式和簡單的變形，以及三角函數(shù)的有關性質(zhì)考點： 離散型隨機變量的期望與方差 專題： 計算題4，根據(jù)公式可以得到變量的概率，寫出分布列和期望2 ×P（=1）=C 10.520.62+C 10.52×0.4×0.6=0.3P（=2）=C 2 0.520.62+C 1C 1 0.520.4×0.6+C 2 0.520.42=0.372 ××22 ××2 ×××2222P（=3）=C 2C 1×0.52×0.4×0.

23、6+C 1C 2×0.52×0.42=0.2 P（=4）=0.52 0.42=0.04得到隨機變量 的概率分布列為：E=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8點評： 本小題主要考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念考查運用概率知識解決實際問題的能力這種類型是近幾年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)的，考查離散型隨機變量的分布列和期望是大型考試中理科考試必出的一 道問題19（12 分）已知 aR，求函數(shù) f（x）=x2eax 的單調(diào)區(qū)間考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性專題： 計算題；分類討論分析： 本題考查利

24、用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這一點不是很難，但要注意對 a 進行分類討論解答： 解：函數(shù) f（x）的導數(shù)：f'（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax（I）當 a=0 時，若 x0，則 f'（x）0，若 x0，則 f'（x）0所以當 a=0 時，函數(shù) f（x）在區(qū)間（，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù)（II） ，由所以，當 a0 時，函數(shù) f（x）在區(qū)間）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間 ，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（0，+）內(nèi)為增函數(shù)；（III）當 a0 時，由 2x+ax20，解得 ， 由 2x+ax20，解得 x0 或 所以當 a0 時，函數(shù) f（x）在區(qū)間（

25、，0）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間）內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間 ，+）內(nèi)為減函數(shù)點評： 本小題主要考查導數(shù)的運算，應用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論的數(shù)學思想20（12 分）如圖，已知四棱錐 PABCD，PBAD 側(cè)面 PAD 為邊長等于 2 的正三角形，底面 ABCD 為菱形，側(cè)面 PAD 與底面 ABCD 所成的二面角為 120°（I）求點 P 到平面 ABCD 的距離，（II）求面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小考點： 點、線、面間的距離計算；與二面角有關的立體幾何綜合題 專題： 壓軸題分析： （1）側(cè)面 PAD 為邊長等于 2 的正三角形，底面 ABCD 為菱形， PAD 與菱形

26、 ABCD 有公共邊 AD，所以 PADADBCDB，故作 PO平面 ABCD，垂足為點 O連接 OB、OA、OD、OB 與 AD 交于點 E， 連接 PE于是 OB 平分 AD，點 E 為 AD 的中點，所以 PEAD由此知PEB 為面 PAD 與面 ABCD 所成二面角的平面角，為 120°，所以 （2）解法一：建立直角坐標系，其中 O 為坐標原點，x 軸平行于 DA，OB 為 y 軸，OP 為 z 軸，連接 AG則：P（0，0，），B（0，0），PB 的中點 G 的坐標為（0，），A（1，0），C（2，0）根據(jù)坐標運算即可求得面 APB 與面 CPB 所成二面角的大小這種解法的

27、好處就是：（1）解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關定理，因為這些可以用向量方法來解決（2）即使立體感稍差一些的學生也可以順利解出，因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關點的位置即可解法二：求解二面角的大小，關鍵在于作出它的平面角取 PB 的中點 G，PC 的中點 F，連接 EG、AG、GF，則 AGPB，F(xiàn)GBC，F(xiàn)G=BC因為 ADPB，所以 BCPB，F(xiàn)GPB，所以AGF 是所求二面角的平面角解答： （I）解：如圖，作 PO平面 ABCD，垂足為點 O連接 OB、OA、OD、OB 與 AD 交于點 E，連接 PEADPB，ADOB，PA=PD，OA=OD，于是

28、OB 平分 AD，點 E 為 AD 的中點，所以 PEAD由此知PEB 為面 PAD 與面 ABCD 所成二面角的平面角，PEB=120°，PEO=60°由已知可求得 PO=PEsin60°=， 即點 P 到平面 ABCD 的距離（II）解法一：如圖建立直角坐標系，其中 O 為坐標原點，x 軸平行于又知DA.連接 AG由此得到： ， 所以等于所求二面角的平面角，于是，所以所求二面角的大小 解法二：如圖，取 PB 的中點 G，PC 的中點 F，連接 EG、AG、GF，則 BCADPB，BCPB，F(xiàn)GPB，AGF 是所求二面角的平面角AD面 POB，ADEG又PE=BE，EGPB，且PEG=60° 在 Rt PEG 中在 Rt PEG 中AD=1于 是 =， 又AGF=GAE所以所求二面角的大小為 點評： 本小題主要考查棱錐，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力21（12 分）設雙曲線 C：=1（a0）與直線 l：x+y=1 相交于兩個不同的點 A、B（）求雙曲線 C 的離心率 e 的取值范圍：（）設直線 l 與 y 軸的交點為 P，求 a 的值考點： 直線與圓錐曲線的關系；雙曲線的應用 專題： 計算題；壓軸題分析： （I）把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去 y，利用判別式大于 0 和方程二次項