《運動定律new》

1、 一一 掌握掌握功的概念功的概念, 能計算變力的功，能計算變力的功，掌握掌握質質點的動能定理和動量定理，點的動能定理和動量定理，理解理解質點系的內力和外質點系的內力和外力，力，了解了解質心概念和質心運動定理質心概念和質心運動定理.二掌握二掌握機械能守恒定律及其適用條件，質點機械能守恒定律及其適用條件，質點系的功能原理，系的功能原理，理解理解守力作功的特點及勢能的概念守力作功的特點及勢能的概念.三三理解理解動量、沖量概念，動量、沖量概念，掌握掌握動量守恒定理動量守恒定理及其適用條件，及其適用條件，理解理解碰撞和力的成因碰撞和力的成因.四掌握四掌握質點的角動量守恒定律及其適用條件質點的角動量守恒定

2、律及其適用條件. . N個質點組成的系統(tǒng)個質點組成的系統(tǒng)- - 研究對象稱為質點系研究對象稱為質點系。內力內力：系統(tǒng)內部各質點間的相互作用力系統(tǒng)內部各質點間的相互作用力質點系質點系 特點：成對出現(xiàn)；大小相等方向相反特點：成對出現(xiàn)；大小相等方向相反結論：質點系的內力之和為零結論：質點系的內力之和為零0iif外力外力: : 系統(tǒng)外部對質點系內部質點的作用力系統(tǒng)外部對質點系內部質點的作用力Fff約定：系統(tǒng)內任一質點受力之和寫成約定：系統(tǒng)內任一質點受力之和寫成iifF外力之和外力之和內力之和內力之和（一）（一） 質點的動量定理質點的動量定理、動量的引入、動量的引入在牛頓力學中，物體的質量可視為常數(shù)在牛

3、頓力學中，物體的質量可視為常數(shù)2112ttvmvmdtFdtvdmF故故 )( vmddtF即即力的瞬時效應力的瞬時效應力的積累效應力的積累效應動能定理力的空間積累動量定理力的時間積累加速度：牛頓定律加速度：牛頓定律dtvmd)(）式中）式中叫做動量，是物體運動量的量度。叫做動量，是物體運動量的量度。vm）動量動量 是矢量，方向與是矢量，方向與同；同；vmPv動量是相對量，與參照系的選擇有關。動量是相對量，與參照系的選擇有關。 、沖量的概念、沖量的概念 ） 恒力的沖量恒力的沖量)(12ttFI ） 變力的沖量變力的沖量dtFId 此時沖量的方向不能由某瞬時力的方向來決定。此時沖量的方向不能由某

4、瞬時力的方向來決定。 指兩個物體相互作用持續(xù)一段時間的過程中，在物體間指兩個物體相互作用持續(xù)一段時間的過程中，在物體間傳遞著的物理量。傳遞著的物理量。力在某一段時間間隔內的沖量力在某一段時間間隔內的沖量 ttodtFI沖量的方向與力的方向相同。沖量的方向與力的方向相同。 作用力作用力F恒量，作用時間恒量，作用時間t1t2，力對質點的沖量，力對質點的沖量，(1)(1)沖量的方向：沖量的方向： 沖量沖量 的方向一般不是某一瞬時力的方向一般不是某一瞬時力 的方向，而的方向，而是所有元沖量是所有元沖量 的合矢量的合矢量 的方向的方向。IiFtF d 21dtttF(2)(2)在直角坐標系中將矢量方程改

5、為標量方程在直角坐標系中將矢量方程改為標量方程xxttxxmvmvtFI1221d yyttyymvmvtFI1221d zzttzzmvmvtFI1221d 1221vmvmdtFItt即即其表示：物體所受外力的沖量等于物體動量的增量。其表示：物體所受外力的沖量等于物體動量的增量。3、質點的動量定理、質點的動量定理(3)(3)動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。動量定理在打擊或碰撞問題中用來求平均力。t2t1t FF 打擊或碰撞，力打擊或碰撞，力 的方向保的方向保持不變，曲線與持不變，曲線與t t軸所包圍的面積軸所包圍的面積就是就是t t1 1到到t t2 2這段時間內力這段時間內力 的

6、沖量的沖量的大小，根據改變動量的等效性，的大小，根據改變動量的等效性，得到平均力。得到平均力。FFPtF21ttF tF tdtPF將積分用平將積分用平均力代替均力代替動量定動量定理寫為理寫為平均力寫為平均力寫為2121dttF tFtt平均力大小：平均力大?。豪?動量定理解釋了動量定理解釋了“逆風行舟逆風行舟”船船前前進進方方向向風吹來風吹來取一小塊風取一小塊風dm為研究對象為研究對象00PPPIPImPd00初初mPd末末由牛頓第由牛頓第三定律三定律前前進進方方向向風對帆的沖量大小風對帆的沖量大小PI方向與方向與 相反相反PtPF例題例題 質量質量m=3t的重錘，從高度的重錘，從高度h=

7、1.5m處自由落到受處自由落到受鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間鍛壓的工件上，工件發(fā)生形變。如果作用的時間(1)t=0.1s， (2)t=0.01s 。試求錘對工件的平均沖力。試求錘對工件的平均沖力。 解：解：以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖以重錘為研究對象，分析受力，作受力圖： 解法一：錘對工件的沖力變化解法一：錘對工件的沖力變化范圍很大，采用平均沖力計算，其范圍很大，采用平均沖力計算，其反作用力用平均支持力代替。反作用力用平均支持力代替。 在豎直方向利用動量定理，取豎直在豎直方向利用動量定理，取豎直向上為正。向上為正。0()NFmg tmvmv初狀態(tài)動量為初狀態(tài)動量為2mgh

8、末狀態(tài)動量為末狀態(tài)動量為0 0NFmg()2NFmg tmgh得得到到2/NFmg mgh t解得解得代入代入m、h、t的值，求得的值，求得：(1)(1)51 92 10 NNF.=61 9 10 NNF.=(2)(2) 解法二：考慮從錘自由下落到靜止的整個解法二：考慮從錘自由下落到靜止的整個過程，動量變化為零。過程，動量變化為零。重力作用時間重力作用時間為為2 /th g支持力的作用時間為支持力的作用時間為t根據動量定理，整個過程合外力的沖量為零，根據動量定理，整個過程合外力的沖量為零，(2 /)0NF tmg th g得到解法一相同的結果得到解法一相同的結果2/NFmg mgh t即即 物

9、體物體m與質元與質元dm在在t時刻的速度以及在時刻的速度以及在t+dt時刻時刻合并后的共同速度如圖所示：合并后的共同速度如圖所示：mdmvutttd m+dmvvd F 把物體與質元作為系統(tǒng)考慮，初始時刻與末時把物體與質元作為系統(tǒng)考慮，初始時刻與末時刻的動量分別為：刻的動量分別為：uvmmd 初始時刻初始時刻)d)(d(vv mm末時刻末時刻對系統(tǒng)利用動量定理對系統(tǒng)利用動量定理uvvvmmmmd)d)(d( tdF vvvmmmddddtdF 略去二階小量，兩端除略去二階小量，兩端除dtFuv tmmtdd)(dd 值得注意的是，值得注意的是，dm可正可負，當可正可負，當dm取負時，取負時，表

10、明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，表明物體質量減小，對于火箭之類噴射問題，utmdd為尾氣推力。為尾氣推力。例例 質量為質量為m的勻質鏈條，全長為的勻質鏈條，全長為L，手持其上端，使，手持其上端，使下端離地面為下端離地面為h.然后放手讓它自由下落到地面上，如然后放手讓它自由下落到地面上，如圖所示圖所示.求鏈條落到地上的長度為求鏈條落到地上的長度為l時，地面所受鏈條時，地面所受鏈條作用力的大小作用力的大小. Lh 解：解：此題可用變質量物體運動微分方此題可用變質量物體運動微分方程求解，用鏈條為系統(tǒng)，向下為程求解，用鏈條為系統(tǒng)，向下為x正向，正向，x t時刻，落地面鏈段時刻，落地面鏈段ml速度

11、為零，即速度為零，即u=0，空中鏈段（，空中鏈段（m-ml）速度為）速度為v，受力，受力如圖。如圖。Llx()lmm gFd() ()dllmm vmm gFt 由由變質量物體運動微分方程可得變質量物體運動微分方程可得因在自由下落中因在自由下落中 ，所以上式化簡為，所以上式化簡為ddvgtd()dlvmmFt 22 ()vg lh 或或dd() ()()ddlllvvm mm mm m gFtt因因 , ,又又d,dlmlml vLt 所以所以22()mm lhFvgLL 地面所受鏈條的作用力的大小地面所受鏈條的作用力的大小2()g(32 )lm lhmlmFFmgglh gLLL（二）（二）

12、 質點系的動量守恒定律質點系的動量守恒定律 若系統(tǒng)所受的合外力若系統(tǒng)所受的合外力01iniF常矢量iiivm系統(tǒng)總動量守恒系統(tǒng)總動量守恒 一個孤立的力學系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為一個孤立的力學系統(tǒng)（即無外力作用的系統(tǒng)）或合外力為零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內各質點動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保零的系統(tǒng)，系統(tǒng)內各質點動量可以交換，但系統(tǒng)的總動量保持不變。這就是動量守恒定律。持不變。這就是動量守恒定律。 注意：動量守恒式是矢量式注意：動量守恒式是矢量式01iniF(1)(1)守恒條件是守恒條件是0)(21 dtFtti而不是而不是 若若 ，但若某一方向的合外力零，但若某一方向的合外力零， 則該方向上則

13、該方向上 動量守恒；動量守恒； 01iniF(3)必須把系統(tǒng)內各量統(tǒng)一到同一慣性系中；必須把系統(tǒng)內各量統(tǒng)一到同一慣性系中； (4)若作用時間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力，若作用時間極短，而系統(tǒng)又只受重力作用，則可略去重力， 運用動量守恒。運用動量守恒。01iniF(2)(2)若若 表示系統(tǒng)與外界無動量交換，表示系統(tǒng)與外界無動量交換，01niiF表示系統(tǒng)與外界的動量交換為零。表示系統(tǒng)與外界的動量交換為零。0)(211 ttniidtF則系統(tǒng)無論沿那個方向的動量都守恒；則系統(tǒng)無論沿那個方向的動量都守恒；例一彈性球，質量例一彈性球，質量m0.20 kg，速度，速度v5 m/s，與墻碰撞后

14、彈回，與墻碰撞后彈回.設彈回時速度大設彈回時速度大小不變，碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是小不變，碰撞前后的運動方向和墻的法線所夾的角都是，設球和墻碰撞的時間，設球和墻碰撞的時間t0.05 s，60 ，求在碰撞時間內，球和墻的平均相互作用力，求在碰撞時間內，球和墻的平均相互作用力.xfsinsin0tmvmv 解以球為研究對象.設墻對球的平均作用力為f f，球在碰撞前后的速度為 和 ，由動量定理可得1v2v21f tmvmvm v 將沖量和動量分別沿圖中N和x兩方向分解得：Nfcos(cos)2costmvmvmv 解方程得xf0N2cos2 0.2 5 0.5f200.05mvNt

15、按牛頓第三定律，球對墻的平均作用力和 的方向相反而等值，即垂直于墻面向里.Nf例如圖所示，一輛裝礦砂的車廂以例如圖所示，一輛裝礦砂的車廂以v4 m/s的速率從漏斗下通過，每秒的速率從漏斗下通過，每秒落入車廂的礦砂為落入車廂的礦砂為k200 kg/s，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多，如欲使車廂保持速率不變，須施與車廂多大的牽引力大的牽引力(忽略車廂與地面的摩擦忽略車廂與地面的摩擦).2200 48 10FkvN 解設t時刻已落入車廂的礦砂質量為m，經過dt后又有dmkdt的礦砂落入車廂.取m和dm為研究對象，則系統(tǒng)沿x方向的動量定理為Fdt(mdm)v(mvdm0)vdmkdt v則 如果

16、系統(tǒng)所受的外力之和為零（即如果系統(tǒng)所受的外力之和為零（即 ），則），則系統(tǒng)的總動量保持不變。這個結論叫做系統(tǒng)的總動量保持不變。這個結論叫做動量守恒定律動量守恒定律. .0iF條件條件0iF定律定律0ixFixixvmp0iyFiyiyvmpizizvmp= =常量常量0izF直角坐標系下的分量形式直角坐標系下的分量形式常矢量iiivmP3.自然界中不受外力的物體是沒有的，但如果自然界中不受外力的物體是沒有的，但如果系統(tǒng)的系統(tǒng)的內力內力外力外力，可近似認為動量守恒。，可近似認為動量守恒。2.若合外力不為若合外力不為 0 0，但在某個方向上合外力分量，但在某個方向上合外力分量為為 0 0，這個方向

17、上的動量守恒，這個方向上的動量守恒。1.對于一個質點系，若合外力為對于一個質點系，若合外力為 0 0，系統(tǒng)的總動量，系統(tǒng)的總動量保持不變，但系統(tǒng)內的動量可以相互轉移。保持不變，但系統(tǒng)內的動量可以相互轉移。明確幾點明確幾點例題例題 如圖所示如圖所示, ,設炮車以仰角設炮車以仰角 發(fā)射一炮彈，炮車發(fā)射一炮彈，炮車和炮彈的質量分別為和炮彈的質量分別為M和和m，炮彈的出口速度為，炮彈的出口速度為v，求，求炮車的反沖速度炮車的反沖速度V。炮車與地面間的摩擦力不計。炮車與地面間的摩擦力不計。解解: : 把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎把炮車和炮彈看成一個系統(tǒng)。發(fā)炮前系統(tǒng)在豎直方向上的外力有重力直方

18、向上的外力有重力 和地面支持力和地面支持力 ，而，而且且 ，在發(fā)射過程中，在發(fā)射過程中 并不成立并不成立（想一想為什么？），系統(tǒng)所受的外力矢量和不為（想一想為什么？），系統(tǒng)所受的外力矢量和不為零，所以這一系統(tǒng)的總動量不守恒。零，所以這一系統(tǒng)的總動量不守恒。NGNGNG vmM經分析，對地面參考系而言，炮彈相對地面的速經分析，對地面參考系而言，炮彈相對地面的速度度 ，按速度變換定理為，按速度變換定理為uVvu它的水平分量它的水平分量為為Vvux cos于是，炮彈在水平方向的動量為于是，炮彈在水平方向的動量為m(vcos -V)，而炮而炮車在水平方向的動量為車在水平方向的動量為- -MV。根據動量

19、守恒定理有。根據動量守恒定理有 cosvMmmV 由此得炮車的反沖速度為由此得炮車的反沖速度為 0cos VvmMV 解解: :物體的動量原等于零，炸裂時爆炸力是物體內力，物體的動量原等于零，炸裂時爆炸力是物體內力，它遠大于重力，故在爆炸中，可認為動量守恒。由此它遠大于重力，故在爆炸中，可認為動量守恒。由此可知，物體分裂成三塊后，這三塊碎片的動量之和仍可知，物體分裂成三塊后，這三塊碎片的動量之和仍等于零，即等于零，即例題例題 一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質量相等，一個靜止物體炸成三塊，其中兩塊質量相等，且以相同速度且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊沿相互垂直的方向飛開，第三塊

20、的質量恰好等于這兩塊質量的總和。試求第三塊的速的質量恰好等于這兩塊質量的總和。試求第三塊的速度（大小和方向）。度（大小和方向）。 所以，這三個動量必處于所以，這三個動量必處于同一平面內，且第三塊的動量同一平面內，且第三塊的動量必和第一、第二塊的合動量大必和第一、第二塊的合動量大小相等方向相反，如圖所示。小相等方向相反，如圖所示。因為因為v1 1和和v2 2相互垂直所以相互垂直所以0332211 vmvmvmm3v3m2v2m1v1 222211233)()()(vmvmvm 22312121.2m/s2vvv由于由于 和和 所成角所成角 由下式決定由下式決定：1v3v 0180,45, 101

21、2vvtg因因所以所以135即即 和和 及及 都成都成 且三者都在同一平面內且三者都在同一平面內1353v1v2v由于由于 , ,所以所以 的大小為的大小為3vmmmmm2,321 例題例題 質量為質量為m1 和和m2的兩個小孩，在光滑水平冰面上用的兩個小孩，在光滑水平冰面上用繩彼此拉對方。開始時靜止，相距為繩彼此拉對方。開始時靜止，相距為l。問他們將在何。問他們將在何處相遇？處相遇？解解: :把兩個小孩和繩看作一個系統(tǒng)，水平方向不受把兩個小孩和繩看作一個系統(tǒng)，水平方向不受外力，此方向的動量守恒。外力，此方向的動量守恒。 建立如圖坐標系。以兩個小孩的中點為原點，向右建立如圖坐標系。以兩個小孩的

22、中點為原點，向右為為x軸為正方向。設開始時質量為軸為正方向。設開始時質量為m1 的小孩坐標為的小孩坐標為x10,質量為質量為m2的小孩坐標為的小孩坐標為x20，他們在任意時刻的速度分，他們在任意時刻的速度分別別v1為為v2,相應坐標為相應坐標為x1和和x2由運動學公式得由運動學公式得Cm2m1x10 x20 xO10120200ddttxvtxvt11010dtxxv t22020dtxxv t在相遇時，在相遇時，x1=x2=xc，于是有，于是有即即1020210()dtxxvvt因動量守恒，所以因動量守恒，所以 m1v1+ m2v2=0代入式上式得代入式上式得1121020110022(1)

23、ddttmmmxxvtvtmm2202101012dtm xm xvtmm即令令x1=xc得得211012022110220210mmxmxmmmxmxmxxc 上述結果表明，兩小孩在純內力作用下，將在他們上述結果表明，兩小孩在純內力作用下，將在他們共同的質心相遇。上述結果也可直接由質心運動定共同的質心相遇。上述結果也可直接由質心運動定律求出律求出XOtt+dtvt 時刻時刻 火箭的速度火箭的速度Mt 時刻時刻 火箭的質量火箭的質量dmt +dt 時刻噴出氣體的質量時刻噴出氣體的質量ut +dt 時刻噴出氣體相對于火箭的速度時刻噴出氣體相對于火箭的速度M+dMt +dt 時刻火箭的質量時刻火箭

24、的質量v+dvt +dt 時刻火箭的速度時刻火箭的速度選地面參考系，并建立直角坐標系選地面參考系，并建立直角坐標系由于火箭在噴出氣體前及噴出氣體后系統(tǒng)動量守恒：由于火箭在噴出氣體前及噴出氣體后系統(tǒng)動量守恒：在火箭噴出氣體在火箭噴出氣體 dm 前前 ，系統(tǒng)動量，系統(tǒng)動量：噴出氣體噴出氣體 dm 后后 ，火箭的動量火箭的動量：噴出氣體噴出氣體 dm 的動量：的動量：選選 t t 時刻火箭及內部氣體為系統(tǒng)，對于地面參考系時刻火箭及內部氣體為系統(tǒng)，對于地面參考系d(d )muvv(d)(d )MMvvMvMv(d)(d )MMvvd(d )muvv將（將（2 2）、（）、（3 3）式代入（）式代入（1

25、 1）式中并整理得到：）式中并整理得到：dd(2)mM dd0(3)Mv dd0(4)u MM v dd(5)MvuM d(d) (d )(d )m vv uMM vv(1)Mv設火箭在點火前質量為設火箭在點火前質量為Mi，初速度為，初速度為 vi設火箭在燃料燒完后質量為設火箭在燃料燒完后質量為Mf，速度為，速度為 vf 火箭速度的增量與噴出氣體的相對速度成正比?；鸺俣鹊脑隽颗c噴出氣體的相對速度成正比。與火箭始末質量的自然對數(shù)成正比。與火箭始末質量的自然對數(shù)成正比。dd(6)ffiivMvMMvuM ln(7)ififMvvuM提高火箭速度的途徑有二：提高火箭速度的途徑有二：第一條是提高火箭

26、噴氣速度第一條是提高火箭噴氣速度u第二條是加大火箭質量比第二條是加大火箭質量比M0/M( (選優(yōu)質燃料選優(yōu)質燃料 ) ) ( (采取多級火箭采取多級火箭) )F等于恒力在位移上的投影與位移的乘積。等于恒力在位移上的投影與位移的乘積。rcosrFArFF（1 1）功是標量，有正負之分）功是標量，有正負之分（2 2）作功與參照系有關）作功與參照系有關靜f1.恒力的功恒力的功明確幾點明確幾點ba 物體在變力的作物體在變力的作用下從用下從a運動到運動到b。 怎樣計算這個力怎樣計算這個力的功呢？的功呢？采用微元分割法采用微元分割法2.變力的功變力的功Fbadr（1 1） 位移內力所作的功為：位移內力所作

27、的功為：drddAFrdFr（2 2）整個過程變力作功為：）整個過程變力作功為：)()(baA積分形式：積分形式：rFdbaabA 在數(shù)學形式上，力的功等于力在數(shù)學形式上，力的功等于力 沿路徑沿路徑L從從a到到b的的線積分。線積分。FF rF- -r圖，圖，A= =曲線下的面積曲線下的面積直角坐標系：直角坐標系：ddddxyzAFxFyFzbbbaaa dddxyzabxyzxyzAFxFyFz總功總功(N)xyzFF iF jF kdddd(m)rxiyjzk元功元功受力受力元位移元位移自然坐標系：自然坐標系：ba dsabtsAF sd() dt tn ntFrFeF esedtF s解(

28、1)由點(0,0)沿x軸到(2,0)，此時y0，dy0，所以2221008()3xAF dxxdxJ 例例 質點所受外力質點所受外力 ，求質點由點，求質點由點(0,0)運動到點運動到點(2,4)的過程中力的過程中力F所做的功：所做的功：(1)先沿先沿x軸由點軸由點(0,0)運動到點運動到點(2,0)，再平行，再平行y軸由軸由點點(2,0)運動到點運動到點(2,4)；(2)沿連接沿連接(0,0)，(2,4)兩點的直線；兩點的直線；(3)沿拋物線沿拋物線 由點由點(0,0)到點到點(2,4)(單位為國際單位制單位為國際單位制).2yx由點(2,0)平行y軸到點(2,4)，此時x2，dx0，故442

29、00126481453yAF dyydyJAAAJjxyixyF3)(22(2)因為由原點到點(2,4)的直線方程為y2x，所以242422200003(4)402xyAf dxf dyxxdxy dyJ324422002()34215Axxdxy dyJ(3)因為 ，所以2yx（1）平均功率平均功率tAP（2） 功率功率ddAPt恒力的功率：恒力的功率：tAPt0limddAtddrFtvFvFp12d() dbbabnaaAFrFFFr12nniiAAAA3.合力的功合力的功4.功功 率率 功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經功的大小只與物體的始末位置有關，而與所經歷的路徑無關，這類力

30、叫做歷的路徑無關，這類力叫做保守力。保守力。不具備這種性不具備這種性質的力叫做質的力叫做非保守力。非保守力。 設質量為設質量為m的物的物體在重力的作用下從體在重力的作用下從a點任一曲線點任一曲線abc運動到運動到b點點。1. 1. 重力作功重力作功Ghbahh ahabcbhd 在元位移在元位移 中，重中，重力力 所做的元功是所做的元功是 sGsGAcossmgcoshmgAAhmghmgbamghmgh Ghbahh ahabcbhd 由此可見，重力作由此可見，重力作功僅僅與物體的始末位功僅僅與物體的始末位置有關，而與運動物體置有關，而與運動物體所經歷的路徑無關。所經歷的路徑無關。bamgh

31、mghA 設物體沿任一閉合設物體沿任一閉合路徑路徑 運動一周，運動一周，重力所作的功為：重力所作的功為：abcdabaadbmghmghA)(babcamghmghAGhbahh ahabcbhd0bcaadbAAA0dsGA 表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運表明：在重力場中物體沿任一閉合路徑運動一周時重力所作的功為零。動一周時重力所作的功為零。Ghbahh ahabcbhd2. 2. 彈性力的功彈性力的功 彈簧勁度系數(shù)為彈簧勁度系數(shù)為k ，一端固定于墻壁，另一端系一端固定于墻壁，另一端系一質量為一質量為m的物體，置于光滑水平地面。設的物體，置于光滑水平地面。設 兩點兩點為彈簧伸長后物體的

32、兩個位置，為彈簧伸長后物體的兩個位置， 和和 分別表示物分別表示物體在體在 兩點時距兩點時距 點的距離。點的距離。ba、ba、oaxbxXOXxbOxax0lXxbOxax0lbaxxxFAdbaxxxkxd222121bakxkx 由此可見，彈性力作功也僅僅與質點的始末由此可見，彈性力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。位置有關，與具體路徑無關。221122abAkxkx=-3.3.萬有引力的功萬有引力的功 兩個物體的質量分別為兩個物體的質量分別為M和和m，它們之間有萬有它們之間有萬有引力作用。引力作用。M靜止，以靜止，以M為原點為原點O建立坐標系，研究建立坐標系，研究m相對相對

33、M的運動。的運動。rdrdbbrFraarmOMrFAddrrmMGdcos20)cos(dcosdrrrFAddrrmMGdcos20)cos(dcosdrrrdrdbbrFraarmOMrrmMGAdd20barrAAdbarrrrmMGd20)11(0barrmMG 由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始由此可見，萬有引力作功也僅僅與質點的始末位置有關，與具體路徑無關。末位置有關，與具體路徑無關。011abAG mM()rr= -)(12mgymgyA重)2121(2122kxkxA彈)()(12rMmGrMmGA引 這三種力對質點作功僅決定于質點運動的始末位這三種力對質點作功僅決定于質

34、點運動的始末位置，與運動的路徑無關，稱為置，與運動的路徑無關，稱為保守力保守力。 保守力的判據是：保守力的判據是：d0Fr任意 設有兩個質點設有兩個質點1 1和和2 2，質量分別為，質量分別為 和和 ， 為為質點質點1 1受到質點受到質點2 2的作用力，的作用力， 為質點為質點2 2受到質點受到質點1 1的作的作用力，它們是一對作用力和反作用力用力，它們是一對作用力和反作用力。1m1F2m2F1m2m1r2r2rd1rd1rdrdr1F2FrrdxyzO111ddrFA2211dddrFrFA222ddrFA)d(dd1211rrFrFrFrFFdd)(2122rFd2 表明：任何一對作用力和

35、反作用力所作的總表明：任何一對作用力和反作用力所作的總功具有與參考系選擇無關的不變性質。功具有與參考系選擇無關的不變性質。 保守力的普遍定義：在任意的參考系中，成對保守力的普遍定義：在任意的參考系中，成對保守力的功只取決于相互作用質點的始末相對位置，保守力的功只取決于相互作用質點的始末相對位置，而與各質點的運動路徑無關。而與各質點的運動路徑無關。 由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功由此可見，成對作用力與反作用力所作的總功只與作用力只與作用力 及相對位移及相對位移 有關，而與每個質點各有關，而與每個質點各自的運動無關。自的運動無關。2Frd摩擦力的功摩擦力的功 tfemgFbabaremg

36、rFAddtf 摩擦力作功與路徑有關，摩擦力作功與路徑有關，摩擦力是非保守力摩擦力是非保守力！ abbaSFsmgfd質量為質量為m的物體在桌面上沿曲線的物體在桌面上沿曲線路徑從路徑從a點運動到點運動到b點，設物體點，設物體與桌面的摩擦系數(shù)為與桌面的摩擦系數(shù)為 ， 其中其中Sab為物體經過的路程，與物體的運動路徑有關。為物體經過的路程，與物體的運動路徑有關?？偨Y：總結： 根據各種力作功的特點，可將力分為保守力和根據各種力作功的特點，可將力分為保守力和非保守力。非保守力。 保守力（保守力（conservative force）：如：重力、萬有引力、彈性力以及靜電力等。如：重力、萬有引力、彈性力以

37、及靜電力等。 非保守力非保守力（non-conservative force）：如：摩擦力、回旋力等。如：摩擦力、回旋力等。 作功與路徑無關，只與始末位置有關的力。作功與路徑無關，只與始末位置有關的力。 作功不僅與始末位置有關，還與路徑有關力。作功不僅與始末位置有關，還與路徑有關力。 勢能：勢能：質點在保守力場中與位置相關的能量。質點在保守力場中與位置相關的能量。它是一種潛在的能量，不同于動能。它是一種潛在的能量，不同于動能。幾種常見的勢能：幾種常見的勢能：重力勢能重力勢能mghEp彈性勢能彈性勢能212pEkx=萬有引力勢能萬有引力勢能rMmGEp0 （1 1）勢能既取決于系統(tǒng)內物體之間相互

38、作用）勢能既取決于系統(tǒng)內物體之間相互作用的形式，又取決于物體之間的相對位置，所以勢的形式，又取決于物體之間的相對位置，所以勢能是屬于物體系統(tǒng)的，不為單個物體所具有。能是屬于物體系統(tǒng)的，不為單個物體所具有。保守力的功保守力的功ppbpacEEEA 成對保守內力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或成對保守內力的功等于系統(tǒng)勢能的減少（或勢能增量的負值）。勢能增量的負值）。注意：注意： （2 2）物體系統(tǒng)在兩個不同位置的勢能差具有）物體系統(tǒng)在兩個不同位置的勢能差具有一定的量值，它可用成對保守力作的功來衡量。一定的量值，它可用成對保守力作的功來衡量。 （3 3）勢能差有絕對意義，而勢能只有相對意）勢能差有絕對意義

39、，而勢能只有相對意義。勢能零點可根據問題的需要來選擇。義。勢能零點可根據問題的需要來選擇。勢能零點的選擇勢能零點的選擇（1 1）重力勢能）重力勢能cmgyyEp)(重力重力0 勢點一般選在物體運動最低點勢點一般選在物體運動最低點y=0處，則處，則得到得到mgyyEp)(00)0(cmgEp0 c彈性彈性0 勢點一般選在彈簧的原長勢點一般選在彈簧的原長x=0 處。則處。則（2 2）彈性勢能）彈性勢能ckxxEp221)(（3 3）萬有引力勢能）萬有引力勢能crMmGrEp)(0)(cMmGEp得到得到rMmGrEp)(0 c得到得到221)(kxxEp0021)0(2ckEp0c 能量能量是各種

40、運動形式的一般量度，是物體狀是各種運動形式的一般量度，是物體狀態(tài)的單值函數(shù)，反映物體做功的本領。態(tài)的單值函數(shù)，反映物體做功的本領。根據功的積分形式根據功的積分形式 baabArFd basma d222121abmvmvstvmbaddd basF d bavvvmv d221mvEk 定義質點的動能為：定義質點的動能為：kkakbabEEEA 動能定理動能定理: :合外力對質點所做的功等于質點動合外力對質點所做的功等于質點動能的增量。能的增量。 a.合力做正功時，質點動能增大；反之，質合力做正功時，質點動能增大；反之，質點動能減小。點動能減小。 d.功是一個過程量，而動能是一個狀態(tài)量，功是一

41、個過程量，而動能是一個狀態(tài)量， 它們之間僅僅是一個等量關系它們之間僅僅是一個等量關系。 b.動能的量值與參考系有關。動能的量值與參考系有關。c.動能定理只適用于慣性系。動能定理只適用于慣性系。幾點注意：幾點注意： 例題例題 裝有貨物的木箱，重裝有貨物的木箱，重G980N，要把它運上，要把它運上汽車?，F(xiàn)將長汽車?，F(xiàn)將長l3m的木板擱在汽車后部，構成一斜面的木板擱在汽車后部，構成一斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成，然后把木箱沿斜面拉上汽車。斜面與地面成30o角，角，木箱與斜面間的滑動摩擦系數(shù)木箱與斜面間的滑動摩擦系數(shù) =0.20，繩的拉力，繩的拉力 與 斜 面 成與 斜 面 成 1 0

42、o角 ， 大 小 為角 ， 大 小 為 7 0 0 N ， 如 圖 所 示 。， 如 圖 所 示 。 求：（求：（1）木箱所受各力所作的功；（）木箱所受各力所作的功；（2）合外力對木箱）合外力對木箱所作的功；（所作的功；（3）如改用起重機把木箱直接吊上汽車能）如改用起重機把木箱直接吊上汽車能不能少做些功？不能少做些功？30300 0F解：解：木箱所受的力如圖所示木箱所受的力如圖所示（1 1）拉力）拉力F 所做的功所做的功A131cos102.07 10 JAFl重力重力G所做的功所做的功A232cos 180 601.47 10 JAFl（-） -FN10103030FGf正壓力正壓力 所做的

43、功所做的功A3NF3cos900NAF l 摩擦力摩擦力f所作的功所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上沒有運動，根據牛頓第二定律得沒有運動，根據牛頓第二定律得sin10cos300NFFGcos30sin10727NNFGF由此可求得摩擦力由此可求得摩擦力145NfN4cos180435JAf l （2 2）根據合力所作功等于各分力功的代數(shù)和，算）根據合力所作功等于各分力功的代數(shù)和，算出合力所作的功出合力所作的功1234165JAAAAA（3 3）如改用起重機把木箱吊上汽車，這時所用拉力）如改用起重機把木箱吊上汽車，這時所用拉力 至

44、少要等于重力至少要等于重力 。在這個拉力的作用下，。在這個拉力的作用下，木箱移動的豎直距離是木箱移動的豎直距離是 。因此拉力所作的。因此拉力所作的功為功為FGol30sin3sin301.47 10 JAFl 與（與（1 1）中）中F作的功相比較，用了起重機能夠少作功。作的功相比較，用了起重機能夠少作功。我們還發(fā)現(xiàn)，雖然我們還發(fā)現(xiàn)，雖然F比比F大，但所作的功大，但所作的功A卻比卻比A1為為小，這是因為功的大小不完全取決于力的大小，還和小，這是因為功的大小不完全取決于力的大小，還和位移的大小及位移與力之間的夾角有關。因此機械不位移的大小及位移與力之間的夾角有關。因此機械不能省功，但能省力或省時間

45、，正是這些場合，使我們能省功，但能省力或省時間，正是這些場合，使我們對功的概念的重要性加深了認識?，F(xiàn)在，在（對功的概念的重要性加深了認識?，F(xiàn)在，在（1 1）中推）中推力力F 所多作的功所多作的功 起的是什么作用呢？我們說：第一，為了克服摩起的是什么作用呢？我們說：第一，為了克服摩擦力，用去擦力，用去435J435J的功，它最后轉變成熱量；第二，余的功，它最后轉變成熱量；第二，余下的下的165J165J的功將使木箱的動能增加。的功將使木箱的動能增加。3332.07 10 J1.47 10 J0.60 10 J 多個質點組成的質點系，既要考慮外力，又多個質點組成的質點系，既要考慮外力，又要考慮質點

46、間的相互作用力（內力）。要考慮質點間的相互作用力（內力）。1F2F12f21fm1m2 二質點組成的二質點組成的系統(tǒng)系統(tǒng) 多個質點組多個質點組成的系統(tǒng)成的系統(tǒng) 兩個質點在外力及內兩個質點在外力及內力作用下如圖所示：力作用下如圖所示：推推廣廣 對對m1 1運用質點動能定理：運用質點動能定理：對對m2 2運用質點動能定理：運用質點動能定理：111122111211 11 111dd22bbbaaaFrfrmvmv222222212222222dd1122bbaabaFrfrm vm v1F2F12f21fm1m2作為系統(tǒng)考慮時，得到作為系統(tǒng)考慮時，得到：推廣推廣: :上述結論適用多個質點。上述結論

47、適用多個質點。 質點系動能定理：質點系動能定理：所有外力與所有內力對質點所有外力與所有內力對質點系做功之和等于質點系總動能的增量。系做功之和等于質點系總動能的增量。kkakbEEEAA內內外外1211211122121222221 12 21 12 2dddd1111()()222211bbbb12aaaabbaaFrFrfrfrmvm vmvm v 因為對系統(tǒng)的內力來說，它們有保守內力和非保因為對系統(tǒng)的內力來說，它們有保守內力和非保守內力之分，所以內力的功也分為保守內力的功守內力之分，所以內力的功也分為保守內力的功 和和非保守內力的功非保守內力的功 。 icAidAidiciAAApicEA

48、EEEAApkidekieEAA 系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)的功能原理：當系統(tǒng)從狀態(tài)當系統(tǒng)從狀態(tài)1 1變化到狀態(tài)變化到狀態(tài)2 2時，它的機械能的增量等于外力的功與非保守內力時，它的機械能的增量等于外力的功與非保守內力的功的總和，這個結論叫做系統(tǒng)的功能原理。的功的總和，這個結論叫做系統(tǒng)的功能原理。例題例題 在圖中，一個質量在圖中，一個質量m=2kg的物體從靜止開始，的物體從靜止開始，沿四分之一的圓周從沿四分之一的圓周從A滑到滑到B，已知圓的半徑，已知圓的半徑R=4m，設物體在設物體在B B處的速度處的速度v=6m/s，求在下滑過程中，摩，求在下滑過程中，摩擦力所作的功。擦力所作的功。 NGfrORAB

49、vdcosdvfmgmtdcosdvmgfmamt則則解：解：解法一，根據功的定義，解法一，根據功的定義，以以m為研究對象，受力為研究對象，受力分析分析. .dAf s阻9000cosddvmgRmv v 221mvmgR解法二，解法二，根據根據動能定理，動能定理，對物體受力分析，只有重力對物體受力分析，只有重力和摩擦力作功，和摩擦力作功，21cos d2mgsAmv阻90201cosd2AmvmgR阻mgRmv221解法三，根據功能原理，解法三，根據功能原理，以物體和地球為研究對象以物體和地球為研究對象0eA,inAA阻pkEEA阻mgRmv2212142.4J2AmvmgR 代入已知數(shù)字得

50、代入已知數(shù)字得負號表示摩擦力對物體作負功，即物體反抗摩擦力負號表示摩擦力對物體作負功，即物體反抗摩擦力作功作功42.4J42.4J 機械能守恒定律：機械能守恒定律：如果一個系統(tǒng)內只有保守內如果一個系統(tǒng)內只有保守內力做功，或者非保守內力與外力的總功為零，則系力做功，或者非保守內力與外力的總功為零，則系統(tǒng)內各物體的動能和勢能可以互相轉換，但機械能統(tǒng)內各物體的動能和勢能可以互相轉換，但機械能的總值保持不變。這一結論稱為機械能守恒定律的總值保持不變。這一結論稱為機械能守恒定律。PKEEE常量常量或或PbPaKaKbEEEE或或條件條件0ideAAPbKbPaKaEEEE定律定律 一個孤立系統(tǒng)經歷任何變

51、化時，該系統(tǒng)的所有能一個孤立系統(tǒng)經歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外量的總和是不變的，能量只能從一種形式變化為另外一種形式，或從系統(tǒng)內一個物體傳給另一個物體。這一種形式，或從系統(tǒng)內一個物體傳給另一個物體。這就是就是普遍的能量守恒定律普遍的能量守恒定律. .例題例題 起重機用鋼絲繩吊運一質量為起重機用鋼絲繩吊運一質量為m 的物體，以速的物體，以速度度v0作勻速下降，如圖所示。當起重機突然剎車時，作勻速下降，如圖所示。當起重機突然剎車時，物體因慣性進行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸物體因慣性進行下降，問使鋼絲繩再有多少微小的伸長？長？( (設鋼絲繩的勁度系

52、數(shù)為設鋼絲繩的勁度系數(shù)為k k，鋼絲繩的重力忽略不，鋼絲繩的重力忽略不計計) )。這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多。這樣突然剎車后，鋼絲繩所受的最大拉力將有多大？大？解解: :我們考察由物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。我們考察由物體、地球和鋼絲繩所組成的系統(tǒng)。除重力和鋼絲繩中的彈性力外，其它的外力和內力都除重力和鋼絲繩中的彈性力外，其它的外力和內力都不作功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。不作功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。x0hGTv0 現(xiàn)在研究兩個位置的機械能?，F(xiàn)在研究兩個位置的機械能。 在起重機突然停在起重機突然停止的那個瞬時位置，物體的動能為止的那個瞬時位置，物體的動能為20121mvEk

53、設這時鋼絲繩的伸長量為設這時鋼絲繩的伸長量為x0，系統(tǒng)的彈性勢能為，系統(tǒng)的彈性勢能為20121kxEp 彈彈 如果物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為如果物體因慣性繼續(xù)下降的微小距離為h，并且，并且以這最低位置作為重力勢能的零位置，那么，系統(tǒng)以這最低位置作為重力勢能的零位置，那么，系統(tǒng)這時的重力勢能為這時的重力勢能為mghEp 重重1所以，系統(tǒng)在這位置的總機械能為所以，系統(tǒng)在這位置的總機械能為mghkxmvEEEEppk 202011112121重重彈彈 在物體下降到最低位置時，物體的動能在物體下降到最低位置時，物體的動能E Ek2k2=0=0，系統(tǒng)的彈性勢能應為系統(tǒng)的彈性勢能應為202)(21hx

54、kEp 彈彈此時的重力勢能此時的重力勢能02 重重pE202222)(21hxkEEEEppk 重重彈彈所以在最低位置時，系統(tǒng)的總機械能為所以在最低位置時，系統(tǒng)的總機械能為按機械能守恒定律，應有按機械能守恒定律，應有E1 1E2 2，于是，于是202020)(212121hxkmghkxmv 021)(212002 mvhmgkxkh 由于物體作勻速運動時，鋼絲繩的伸長由于物體作勻速運動時，鋼絲繩的伸長x0量滿足量滿足x0=G/k=mg/k，代入上式后得，代入上式后得0202 mvkh0vkmh 即即 鋼絲繩對物體的拉力鋼絲繩對物體的拉力T和物體對鋼絲繩的拉力和物體對鋼絲繩的拉力T是是一對作用

55、力和反作用力。一對作用力和反作用力。T和和T的大小決定于鋼絲繩的大小決定于鋼絲繩的伸長量的伸長量x，T=kx。現(xiàn)在，當物體在起重機突然剎車。現(xiàn)在，當物體在起重機突然剎車后因慣性而下降，在最低位置時相應的伸長量后因慣性而下降，在最低位置時相應的伸長量x=x0+h是鋼絲繩的最大伸長量，所以鋼絲繩所受的最大拉力是鋼絲繩的最大伸長量，所以鋼絲繩所受的最大拉力000)()(vkmmgvkmkmgkhxkTm 由此式可見，如果由此式可見，如果v0較大，較大，Tm也較大。所以對也較大。所以對于一定的鋼絲繩來說，應規(guī)定吊運速度于一定的鋼絲繩來說，應規(guī)定吊運速度v0不得超過不得超過某一限值。某一限值。例題例題

56、用一彈簧將質量分別為用一彈簧將質量分別為m1和和m2的上下兩水平木的上下兩水平木板連接如圖所示，下板放在地面上。（板連接如圖所示，下板放在地面上。（1 1）如以上板）如以上板在彈簧上的平衡靜止位置為重力勢能和彈性勢能的零在彈簧上的平衡靜止位置為重力勢能和彈性勢能的零點，試寫出上板、彈簧以及地球這個系統(tǒng)的總勢能。點，試寫出上板、彈簧以及地球這個系統(tǒng)的總勢能。（2 2）對上板加多大的向下壓力）對上板加多大的向下壓力 F，才能因突然撤去，才能因突然撤去它，使上板向上跳而把下板拉起來？它，使上板向上跳而把下板拉起來？x0 xOxFx1x2解解: :（1 1）參看圖）參看圖(a)，取上板的平衡位置為，取

57、上板的平衡位置為x 軸的原軸的原點，并設彈簧為原長時上板處在點，并設彈簧為原長時上板處在x0位置。系統(tǒng)的彈位置。系統(tǒng)的彈性勢能性勢能x0 xOxFx1x20220202121)(21kxxkxkxxxkEpe gxmEpg1 系統(tǒng)的重力勢能系統(tǒng)的重力勢能所以總勢能為所以總勢能為gxmxkxkxEEEpgpep10221 考慮到上板在彈簧上的平衡條件，得考慮到上板在彈簧上的平衡條件，得kx0=m1g，代入上式得代入上式得221kxEp 可見，如選上板在彈簧上靜止的平衡位置為原可見，如選上板在彈簧上靜止的平衡位置為原點和勢能零點，則系統(tǒng)的總勢能將以彈性勢能的單點和勢能零點，則系統(tǒng)的總勢能將以彈性勢能的單一形式出現(xiàn)。一形式出現(xiàn)。末態(tài)末態(tài)初態(tài)初態(tài)（2 2）參看圖）參看圖(b)，以加力，以加力F 時為初態(tài)，撤去力時為初態(tài)，撤去力F 而而彈簧伸長最大時為末態(tài)，則彈簧伸長最大時為末態(tài)，則x0 xOxFx1x22111210kxEEpk2222210kxEEpk22212121kxkx 根據能量守恒定律，應有根據能量守恒定律，應有因恰好提起因恰好提起