向量背景下的軌跡問題

1、小議向雖背景下的軌跡問題向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的工具，有著豐富的實(shí)際背景。本文就軌跡問題談之。、中點(diǎn)問題例1已知A(2,0)、B(2,0)，點(diǎn)C、點(diǎn)D滿足|AC|TT(AB+AC)。(I) 求點(diǎn)D的軌跡方程；過點(diǎn)A作直線l交以A、B為焦點(diǎn)的橢圓于M、N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)，4軸的距離為一，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的萬程。5解：(I)設(shè)點(diǎn)C(x。，y。)，D(x,y)，則AC=(x十2,y。)，TAB=(4,0),一-1xnAB+AC=(x+6,y),AD=(AB+AC)=(或+3,T又AD=(x+2,y)區(qū)+3=x+2故！2y3=yXo=2x-2解得0=2y1將其代入|A

2、C|=J(+2)2+y2=2得2工2x+y=1(II)易知直線l與x軸不垂直，設(shè)直線l的方程為,即為所求點(diǎn)D的軌跡方程。y=k(x2)橢圓方程為22xya2a2-4,2、=1(a4)。將代入，整.，一2.2.因?yàn)橹本€l與圓x+y=1相切，故理得(a2k2+a24)x2十4a2k2x十4a2k2a4+4a2=0，而k2=：,即2_22342(a-3)xaxa4a=0設(shè)M(x，y)，n(x2,V2)2ma則xi+x2=一-廠二a-3由題意有一2=2乂一(a3),解得a=8。a-35經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)0。22故所求的橢圓方程為xy=1。84、角問題例2如圖1,已知兩定點(diǎn)A(-c,0),B(2c,0)(c0

3、)，在AMB中，設(shè)向量ffAM,BM與AB的單位向量分別為一1。(I)求頂點(diǎn)M的軌跡方程，并畫出方程的曲線;(II)自古代開始，數(shù)學(xué)家就想只用圓規(guī)和直尺三等分任意角，但一直沒有成功。直到十九世紀(jì)，其不可能性才被Galois的方程論證明。但是若利用所求方程的曲線、圓規(guī)和直尺，則我們可以三等分任意角。請三等分圖中的ZADB,并證明。圖1解：(I)設(shè)/MBA=叵,/MAB=凹，由題設(shè)co%=2cOS2臼一1=cos2耳,當(dāng)|x2c時(shí)，有tan:2tan:1tan2：設(shè)點(diǎn)M(x,y),當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，將ytan:=yx-2c22xy整理礙二-土=1;當(dāng)點(diǎn)M在x軸下萬時(shí),c3c,ytan:x2cta

4、nP=代入，x+ctan6=L,仍有x+c22xy-12一c21c3c注意到當(dāng)x=2c時(shí)，亦滿足方程。22xy故所求的軌跡萬程是雙曲線-y-=1(XAC)的右支，但不包括X軸上的點(diǎn),c3c圖形如圖1。22(II)如圖1,作ADB的外接圓與雙曲線與匕=1(Xc)交于點(diǎn)C(C是不c3c在圓弧ADB上的點(diǎn))。連AC,CB,CD,則有/ADC=四，/BDC=E，由叵三理得ZBDC=ZADB。三、垂直問題ff例3如圖2,P(3,0)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸的正半軸上，且AP，AQ=0在困的延長線上取-點(diǎn)M,使|QM|=2|Aq|。(I)當(dāng)A點(diǎn)在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程;(II)已知i=(0

5、,1),j=(1,0)經(jīng)過(1,0)以ki+j為方向向量的直線0與軌跡C交于E、F兩點(diǎn)，又點(diǎn)D(1,0)，若ZEDF為鈍角時(shí)，求k的取值范圍。解：(I)設(shè)A(0,7|)、Q(x0,0)、M(x,y)，則AP=(-3,y|),AQ=(x,y)oTT又|apaq=o所以-3x*(-y)(-y)=0所以|y2=3x|又|6M|=2|AQ|所以xx=3Cy+2y0.3xx=3y=T2將代入，得y2=4x(x,0)(II)ki+j=k(0,1)+(1,0)=(1,k)則l:y=k(x+1)，此與y2=4x聯(lián)立得k2x2(2k2-4)xk2=04-2k2xx2=2k,xg=10時(shí)，kw(1,0)U(0,1

6、)fff?又DE=(x一1,y),DF=g-1,y?),若ZEDF為鈍角，則DEDF0fT而DEDF=(x11)(x2-1)+y1y2=x1x2(x1+x2)+k(x1+1)k(x2+1)+1(I) 222=(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21：0將代入，整理得|4k-20所以由題知k乒0,故k=(-返，0)U(0,笠)22四、平行四邊形問題例4一橢圓中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為F(2,0),離心率為3TT過F作弦AB，使|OA=BP|,求點(diǎn)P的軌跡方程；OAPB是不是矩形，如果是，寫出相應(yīng)的直線AB的方程，如果不是，說明理由。解：c=2,，=如a3所以a?=6,b2=622=222所以橢圓

7、方程為七+匕=1設(shè)P（x,y）為軌跡上一點(diǎn)，由題設(shè)得平行四邊形OAPB，其對稱中心為（&,M|）設(shè)|A（x，y）,B（x2，y2），則|x2+3y；=6和x；+3y；=6,兩式相減，得(Xi+X2)(X1X2)+3(y+y2)(y一y2)=。|,即|x+3ykAB=6kAB；-2yx4將其代入上式，整理得(x-2)2+3y2=4(x=0),即為所求點(diǎn)p的軌跡方程。(II)若AB偵軸，得|AB|=2值#4,相應(yīng)的設(shè)AB:y=k(x-2),與x2+3y2=6聯(lián)立，得_22_2_2_(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0OAPB不是矩形x12k213k2xx212k2-613k2因?yàn)镺AOB,所以x1x2+y1y2=x1x2