連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)地復(fù)頻域

1、第三章線索第三章線索因而拉普拉斯變換分析法常稱(chēng)為復(fù)頻 域分析法拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法都是建立在線性 非時(shí)變系統(tǒng)的齊次性可迭加性基礎(chǔ)上的只是信號(hào)分解的基本單元函 數(shù)不同1拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)定義和物理意義2拉普拉斯變換的性質(zhì)及計(jì)算方法3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法4系統(tǒng)函數(shù)的定義§53拉普拉斯變換的收斂域由上面的討論可知連續(xù)時(shí)間信號(hào)ft的拉普拉斯變換以下簡(jiǎn)稱(chēng)拉氏變換式Fs是否存在取決于ft乘以衰減因子 以后是否絕對(duì)可積即 2有了 s域電路元件模型就可以得到 一般電路的s域模型應(yīng)用電路分析中的基本分析方法節(jié)點(diǎn)法網(wǎng)孔法 等和定理如疊加定理戴維南定理等列出復(fù)頻域的代數(shù)方程并進(jìn)行求

2、解得到響應(yīng)的象函數(shù)對(duì)所求的響應(yīng)象函數(shù)進(jìn)行拉氏反變換即得出響 應(yīng)的時(shí)域解§57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法基爾霍夫定律KVL定律 KCL定律歐姆定律零狀態(tài) 其中 運(yùn)算阻抗 運(yùn)算導(dǎo)納§7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法基本步驟1畫(huà)tO-等 效電路求初始狀態(tài)2畫(huà)s域等效模型3列s域電路方程代數(shù)方程 4 解s域方程求出s域響應(yīng)5 反變換求t域響應(yīng)§57線性系統(tǒng)的 拉普拉斯變換分析方法 例5-11 圖5-11中已知e t 10 £t C 1FR12 15 QR2 1 Q L 12H初始條件uC 0 5ViL 0 4A方向如圖試 求響應(yīng)電流i1 t 圖5-11 a時(shí)

3、域電路模型 圖5-11bs域電路模型補(bǔ)充例題 例1圖示電路t 0 K打開(kāi)電路穩(wěn)定有t 0 K閉合有s域等效模型求u2 t解§57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析 方法3系統(tǒng)函數(shù)H s由時(shí)域零狀態(tài)響應(yīng)r t e t h t可得R sE s H s引入系統(tǒng)函數(shù)又稱(chēng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)自然分量 受迫分量自然分量 例5-15 圖5-18中已知C1 1F C2 2F R 3 Q初始條件 uC1 0 EV方向如圖設(shè)開(kāi)關(guān)在tO時(shí)閉合試求通過(guò)電容C1的響應(yīng)電 流iC1 t 圖5-18 a時(shí)域電路模型 E圖5-18 bs域電路模型3 s s 2 1 s 11 s I C uC1 0 C1 1F C2 2F R 3

4、Q 初始條件 uC1 0EV s 11 s I C 3 s s 2 1 E§56拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 1線性性質(zhì)若 其中C1C2為任意常數(shù) 則 例2尺度變換性 若ft F s 則 3時(shí)移性 例2求圖示信號(hào)的拉氏變換 例3求周期矩形脈沖 信號(hào)的拉氏變換 解設(shè) 抽樣信號(hào)的拉氏變換練習(xí) 4頻移性 若ft F s則解證明5時(shí)域微分性 若f tF s則若f t F s則6時(shí)域積分性 解7頻域微分性 若f t F s則8頻域積分性 若f t F s則 sin ot 解 9時(shí)域卷積定理 若則10頻域卷積定理 則若其中初值f t t 0 f 0若f t 有初值且f t F s則12終值定理 終值

5、f t t f 若f t 有終值且f t F s則11初值定 理 注意終值存在的條件F s在s右半平面無(wú)極點(diǎn)在j軸上單實(shí)根極點(diǎn)F S 1S當(dāng)f t含有沖激及其導(dǎo)數(shù)時(shí)有解§6拉普拉 斯變換的基本性質(zhì) §56拉普拉斯變換的基本性質(zhì)§7線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法 一由方程求響應(yīng)利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)需要首先對(duì)描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的微分方程進(jìn)行 拉氏變換得到一個(gè)s域的代數(shù)方程 由于在變換中自動(dòng)地引入了系統(tǒng) 起始狀態(tài)的作用因而求出響應(yīng)的象函數(shù)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài) 響應(yīng)再經(jīng)過(guò)拉氏反變換可以很方便地得到零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的時(shí)域解 §57線性系

6、統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法§57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法例3線性時(shí)不變系統(tǒng)的模型如下且已知ft £ ty o- 2 y o- 1求系統(tǒng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)以及全響應(yīng) y t零輸 入分量零狀態(tài)分量全響應(yīng)§57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法 二由電路求響應(yīng)1s域等效電路1元件t s域運(yùn)算阻抗RLC t RsL 1sC 2 信號(hào)象函數(shù)i t u t I s U s §57線性系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析方法a時(shí)域電路模型 電阻元件時(shí)域與s域電路模型bs域電路模型 取LS變換 電容元件時(shí)域與s 域電路模型bs域串聯(lián)電路模型a時(shí)域電路模型 取LS變換 電容元 件時(shí)域

7、與s域電路模型cs域并聯(lián)電路模型a時(shí)域電路模型 取LS變 換 電容元件的時(shí)域伏安關(guān)系還可以表示為電感元件的s域電路模型 對(duì)兩邊分別求LT得 a時(shí)域電路模型bs域串聯(lián)電路模型a時(shí)域 電路模型 電感元件的s域電路模型 對(duì)兩邊分別求LT得 電感元件 的時(shí)域伏安關(guān)系還可以表示為cs域并聯(lián)電路模型54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 54 常用函數(shù)的拉普 拉斯變換54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 54 常用函數(shù)的拉普拉斯 變換54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換下一節(jié)54 常用函數(shù)的拉普拉斯變換§55拉普拉斯反變換 在使用Laplace變換分析系統(tǒng) 時(shí)最后為求得系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)必須求拉普

8、拉斯反變換即求原函數(shù)原函數(shù)的基本求法1查表并利用拉普拉斯變換的性質(zhì) 2部分分式展 開(kāi)法3留數(shù)法部分分式展開(kāi)式法海維塞展開(kāi)法 §55拉普拉斯反變換F s通常為s的有理分式一般形式為 總的思路 有理假分式 有理真分式最簡(jiǎn)分式之和f t部分分式展開(kāi)的方法同傳輸算子展開(kāi) 法將p f s按D s 0的根 稱(chēng)為F s的極點(diǎn) 有無(wú)重根等分別討論 如下1 .當(dāng)mn D s 0的根無(wú)重根情況 可為實(shí)根虛根或復(fù)根 有理 分式真分式F s可展開(kāi)如下的部分分式§55拉普拉斯反變換 §55拉普拉斯反變換§55拉普拉斯反變換傅里葉變換與拉普拉斯變換復(fù)平面S上的每一對(duì)共軛對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)嵼S

9、上的每一點(diǎn)都唯一地對(duì)應(yīng)于 一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)整個(gè)S平面 單個(gè)脈沖信號(hào) 單位階躍信號(hào)£ t拉普拉斯變換的收斂域常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯反變換 1查表并利用拉普拉斯變換的性質(zhì)2部分分式展開(kāi)法3留數(shù)法當(dāng)mn D s 0的根無(wú)重根情況 §55拉普拉斯反變換 補(bǔ)充例題 1 解利用因式分解有部分分式展開(kāi)待定系數(shù)§55拉普拉斯反變換 §55拉普拉斯反變換§55拉普拉斯反變換圍線積分法留數(shù)法拉氏反變換是一個(gè)復(fù)變函數(shù)的線積分當(dāng)F s為真分式時(shí)由復(fù)變函數(shù)中的約當(dāng)輔助定理知此積分可轉(zhuǎn)化為求F s全部極點(diǎn)Sk留數(shù)ResSk的代數(shù)和1若Sk為D s 0的單根即F

10、s的單極點(diǎn)一階極 點(diǎn)則2若Sk為D s 0的p階重根即F s的r階極點(diǎn)則 當(dāng) F s為假分式時(shí)長(zhǎng)除法分解為多項(xiàng)式與有理真分式之和多項(xiàng)式?jīng)Q定 沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(xiàng)再對(duì)真分式求留數(shù)決定其它項(xiàng)留數(shù)法在含重根 時(shí)計(jì)算比部分分式法略為簡(jiǎn)單些第五章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析找分量表示為各分量的疊加找原則分解誤差最小簡(jiǎn)便可以證明完備的正交函數(shù)集可表示任何的復(fù)雜信號(hào)找到-信號(hào)如何分解如何將信號(hào)分解或表示為該函數(shù)集 中單元函數(shù)的組合 付里葉級(jí)數(shù)三角付里葉級(jí)數(shù)指數(shù)付里葉級(jí)數(shù)從信號(hào)分量組成情況討論信號(hào)特性信號(hào)時(shí)域特性與頻域特性的關(guān)系周期信號(hào)頻譜非周期信號(hào)頻譜傅里葉變換對(duì)系統(tǒng)分析是有用的對(duì) 信號(hào)的

11、分析和處理更為有用在系統(tǒng)分析中的最大優(yōu)點(diǎn)是將時(shí)域中的微分方程轉(zhuǎn)化成頻域的代數(shù)方程從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算在信號(hào)分析和處理中其最大的優(yōu)點(diǎn)在于能解出信號(hào)能量在多個(gè)頻率上的分量51引言傅里葉變換法的不足它一般只能處理符合狄利希萊條件的信號(hào)傅里葉反變換時(shí)復(fù)變函數(shù)的廣義積分難以計(jì)算本章引入的拉普拉斯變換分析法一方面可從數(shù)學(xué)中積分變換的觀點(diǎn)直接定義另一方面從信號(hào)分析觀點(diǎn)可看成是傅里葉變換在復(fù)頻域中的推廣具有更為 明確的物理意義 傅里葉變換分解的基本單元信號(hào)為拉普拉斯變換分解的基本單元信號(hào)為由此可見(jiàn)拉普拉斯變換分析法和傅里葉變換分析法有許多類(lèi)似之處事實(shí)上傅里葉變換可視為拉普拉斯變換在。0時(shí)的一種特殊情況2基于拉普拉斯

12、變換的復(fù)頻域轉(zhuǎn)移函數(shù)的零極 點(diǎn)分析是系統(tǒng)綜合所依賴(lài)的基礎(chǔ)之一拉普拉斯變換分析法是一個(gè)重要而有效的方法1運(yùn)算簡(jiǎn)捷且對(duì)系統(tǒng)微分方程進(jìn)行變換時(shí)能夠自動(dòng)記入初始條件本章內(nèi)容概要 引言 拉普拉斯變換 拉普拉斯變換的收斂區(qū) 常用函 數(shù)的拉普拉斯變換 拉普拉斯反變換 拉普拉斯的基本性質(zhì) 線性系統(tǒng) 的拉普拉斯變換分析法 學(xué)習(xí)本章要求掌握 52 拉普拉斯變換定義 52 拉普拉斯變換定義稱(chēng)為雙邊拉普拉斯變換或象函數(shù)稱(chēng)為雙邊拉普拉斯變換的收斂域ROC稱(chēng)為雙邊拉普拉斯反變換或原函數(shù)注意s要在收斂域ROC中 單邊拉普拉斯變換 F s稱(chēng)為f t的拉普拉 斯變換f t稱(chēng)為F s的原函數(shù)§52拉普拉斯變換 物理意義

13、 雙maxbook118com域中的推廣 從數(shù)學(xué)形式上看 maxbook118com3換成s的結(jié)果 從物理概念上講FT將函數(shù)分解為許多形如ej st或 cos 3t的單元函數(shù)之和每一對(duì)正負(fù)3分量構(gòu)成一等幅正弦振蕩振 幅為無(wú)窮小量LT將函數(shù)分解為形如est或e ot cosst指數(shù)分量之和每一對(duì)正負(fù)3的指數(shù)分量構(gòu)成一個(gè)變幅的正弦振蕩 振幅也為無(wú)窮小量s稱(chēng)為復(fù)頻率F s稱(chēng)為復(fù)頻譜§52拉普拉斯變換FT中3構(gòu)成角頻率軸LT中s構(gòu)成復(fù)頻平面s上的一點(diǎn) 對(duì)應(yīng)的f t分量如圖示 對(duì)應(yīng)一隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化的指數(shù)函數(shù)o 0為單調(diào)增長(zhǎng)指數(shù)o 0為單調(diào)衰減指數(shù)0越大增長(zhǎng)衰減速率越大1實(shí)軸上頻率點(diǎn)3 O

14、est e 0 2虛軸上頻率點(diǎn)o 0est ej st兩個(gè)正負(fù)s值 對(duì)應(yīng)一等幅正弦振蕩cos 3ts離0軸越遠(yuǎn)即3越大則振蕩頻率越咼3復(fù)平面上點(diǎn)s 0 3est e 0j 3t o Os落在左半平面上 兩正負(fù)3的 est對(duì)應(yīng)一減幅正弦振蕩s點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)振蕩頻率越大離虛軸越遠(yuǎn)幅 值減少越快即在左半平面est收斂在右半平面est發(fā)散§2拉普拉 斯變換o 0s落在右半平面上對(duì)應(yīng)一增幅正弦振蕩 s離o越遠(yuǎn)振蕩頻 率越高離j 3軸越遠(yuǎn)幅值增長(zhǎng)速率越大由上可以看出復(fù)平面S上的每一對(duì)共軛對(duì)稱(chēng)點(diǎn)或?qū)嵼S上的每一點(diǎn)都唯一地對(duì)應(yīng)于一個(gè)確定的時(shí) 間函數(shù) 前面說(shuō)過(guò) maxbook118com 域推廣反maxb

15、ook118com j 3即o 0時(shí)的特殊情況求FT反變換時(shí)廣義積分只能沿著虛軸求取而LT的則可在收斂區(qū)內(nèi)沿任何路徑求取通過(guò)。取定值則積分沿與j 3平行且相距。的直線進(jìn)行用復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理得知ILT的求取比IFT的求取要簡(jiǎn)單容易的多§52拉普拉斯變換 因此在s平面上使絕對(duì)可積的區(qū)域稱(chēng)為L(zhǎng)T的絕對(duì)收斂域簡(jiǎn)稱(chēng)收斂域或稱(chēng)為L(zhǎng)T存在的充分條件一單邊拉普拉斯變換的收斂域從可以看出要使單邊拉普拉斯變換存在通常要求f t是指數(shù)階函數(shù)且具有分段連續(xù)的性質(zhì)也就是存在一個(gè)常數(shù)（T 0使得 在。00范圍內(nèi)對(duì)于所有大于定值T的時(shí)間t有界且當(dāng)t趨于乂時(shí)其 極限值為0即§53拉普拉斯變換的收斂域根據(jù)的值可以將s平面分為兩個(gè)區(qū)域 §53拉普拉斯變換的收斂域 通過(guò)°0的垂直 線是收斂區(qū)的邊界稱(chēng)為收斂邊