復(fù)雜電路等效電路

1、DCB圖1復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法在物理競賽過程中經(jīng)常遇到，無法直接用串聯(lián)和并聯(lián)電路的規(guī)律求出整個電路電阻的情況，這樣的電路也就是我們說的復(fù)雜電路，復(fù)雜電路一般分為有限網(wǎng)絡(luò)和無限網(wǎng)絡(luò)。那么，處理這種復(fù)雜電路用什么方法呢？下面，我就結(jié)合自己輔導(dǎo)競賽的經(jīng)驗談?wù)剰?fù)雜電路的處理方法。一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個自然的結(jié)論：（1）對電路中任何一個節(jié)點，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個閉合回路，都符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1:對稱性簡化所謂的對稱性簡化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對稱性簡化等效電

2、阻的計算。它的效果是使計算得以簡化，計算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來完成。在一個復(fù)雜的電路中，如果能找到一些完全對稱的點，那么當(dāng)在這個電路兩端加上電壓時，這些點的電勢一定是相，充分的等的，即使用導(dǎo)線把這些點連接起來也不會有電流（或把連接這些點的導(dǎo)線去掉也不會對電路構(gòu)成影響）利用這一點我們就可以使電路大為簡化。例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為R的6根電阻絲連接而成，求兩頂點A、B間的等效電阻。分析:假設(shè)在A、B兩點之間加上電壓，并且電流從A電流入、B點流處。因為對稱性，圖中CD兩點等電勢，或者說C、D間的電壓為零。因此，CD間的電阻實際上不起作用，可以拆去。

3、原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問題迎刃而解。解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖2所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得Rab=R/2例（2）三個相同的金屬圈兩兩正交地連成如圖所示的形狀，若每一個金屬圈的原長電阻為R,試求圖中A、B兩點之間的等效電阻。A圖3圖4分析：從圖3中可以看出，整個電阻網(wǎng)絡(luò)相對于AB的電流流入、流出方式上具有上下對稱性，因此可上下壓縮成如圖所時的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從A點流到0電流與從0點到B電流必相同；從A1點流到0電流與從0點到B1電流必相同。據(jù)此可以將0點斷開，等效成如圖5所示的簡單網(wǎng)絡(luò)，使問題得以求解。解：根據(jù)以上分析求得Rab=5R

4、/48例（3）如圖6所示的立方體型電路，每條邊的電阻都是R。求A、G之間的電阻是多少？分析：假設(shè)在A、G兩點之間加上電壓時，顯然由于對稱性D、B、E的電勢是相等的，C、F、H的電勢也是相等的，把這些點各自連起來，原電路就變成了如圖7所示的簡單電路。|-1L二GEF解:由簡化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得Rag=5R/6（同學(xué)們想一想，若求A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡化？）例（4）在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為R，試求A、B之間的等效電阻Rab。BA圖8C圖9DR/4R/4R/2R/2O-.AR/23R/2圖105圖11分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對于過A、B對角線的對稱性,可以折疊成

5、如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢點之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法（a）:簡化為如圖9所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將3、O兩個等勢點短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻，使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得Rao=Rob=5R/14Rab=Rao+Rob=5R/7O點上下斷開，如圖11所示，最后不難算得解法（b）:簡化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的Rab=5R/72:電流分布法設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入，B電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流I的比例關(guān)系，然后選取A到B的某一路經(jīng)計算A、B間

6、的電壓，再由Rab=Uab/Iab即可算出Rab例：有如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求A、B之間的電阻Rab分析：要求A、B之間的電阻Rab按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得A、B間的電壓即可。I1I22RI3I42RI51圖12解：設(shè)電流由A流入，B流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得|2=|-|113=12-11=1-211A、O間的電壓，不論是從AO看，還是從ACO看，都應(yīng)該是一樣的，因此|1(2R)=(I-I1)R+(I-2I1)R解得I1=2I/5取AOB路徑，可得AB間的電壓Uab=|1*2R+I4*R根據(jù)對稱性I4=I2=I-I1=3I/5所以Uab=2I/5*2R

7、+3I/5*R=7IR/5Rab=Uab/|=7R/5這種電流分布法事實上已經(jīng)引進了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3:Y變換復(fù)雜電路經(jīng)過Y變換，可以變成簡單電路。如圖A阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個網(wǎng)絡(luò)完全等效呢所謂完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=Ubc,Uca=UcaIa=IA,Ib=IB,Ic=IcRabBCIc13和14BIbc所示分別為網(wǎng)絡(luò)和bY網(wǎng)絡(luò)，兩個網(wǎng)絡(luò)中得Ib6個電在Y網(wǎng)絡(luò)中有IaRa-IbRb=UabIcRc-laRa=Uca圖14|a+lb+|c=O圖13解得|a=RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在

8、網(wǎng)絡(luò)中有|ab=Uab/Rab|ca=Uca/Rca|a=|ab-|ca解得Ia=(Uab/Rab)-(Uca/Rca)因為要求la=lA，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)=(UAB/RAB)-(UCA/RCA)又因為要求Uab=UAB,Uca=UCA所以要求上示中對應(yīng)項系數(shù)相等，即Rab=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rc(1)Rca=(RaRb+RbRc+RcRa)/Rb(2)用類似的方法可以解得RBC=(RaRb+RbRc+RcRa)/Ra(3)、(2)、(3)三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在(1)、(2)、(3)

9、三式中將Rab、Rbc、Rca作為已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*RcA/(RAB+RBC+RcA)(4)Rb=RAB*Rbc/(Rab+Rbc+Rca)(5)Rc=Rbc*Rca/(Rab+Rbc+Rca)(6)求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻、(5)、(6)三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。例(1)5Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個小的網(wǎng)絡(luò)元，再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得Rab=118/93Q4:電橋平衡法如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋，圖中R1、R2、RsR4分別叫電橋的臂,G是靈敏電流計。當(dāng)電橋平衡(即靈敏電流計的示數(shù)為零)的

10、時候，我們稱之為電橋平衡。這時有BDl1=12,丨3=14,l1Rl=I3R3,l2R2=l4R4有這些關(guān)系可以得到R1/R2=R3/R4上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡化圖19對稱性不明顯的電路，十分方便。例:有n個接線柱，任意兩個接線柱之間都接有一個電阻R求任意兩個接線柱之間的電阻。分析：粗看本題根本無法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識，則能十分方便得求解。解：如右圖所示，設(shè)想本題求兩接線柱A、B之間的等效電阻，根據(jù)對稱性易知，其余的接線柱CDE-中，任意兩個接線柱之間的電阻無電流通過，故這些電阻都可以刪除，這樣電路簡化為:A、B之間連有電阻R,其余(n-2)個接線柱之間僅有電阻分別與

11、A、B兩點相連，它們之間沒有電阻相連。即1/Rab=1/R+1/2R/(n-2)所以RAB=2R/n二：無限電阻網(wǎng)絡(luò)無限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無限網(wǎng)絡(luò)和面型無限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個方面展開討論1:線型無限網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對象是無限的，就可以利用“無限”這個條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。R,求A、B之間的等效電阻Rab.例（1）如圖所示的電路是一個單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個電阻的阻值都是圖21Rab應(yīng)該等于從CD往右看的電阻Rcd解：因為是“無限”的，所以去掉一個單元或增加一個單元不影響等效電阻即Rab=2R+R*Rcd/（R+Rcd）=Rcd

12、整理得Rcd2-2RRcd-2R2=0解得：Rcd=（1+31/2）R=Rab例（2）一兩端無窮的電路如圖22所示，其中每個電阻均為r求a、b兩點之間的電阻。ab2LrRxba一ba一b圖22圖23解：此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò)，整個電路可以看作是由三個部分組成的，如圖所示，則Rab=（2Rx+r）r/（2Rx+2r）即是無窮網(wǎng)絡(luò)，bb1之間的電阻仍為Rx貝URx=（31/2-1）r代入上式中解得Rab=（6-31/2）*r/62:面型無限網(wǎng)絡(luò)解線性無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性，而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個方向的對稱性。例（1）如圖27所示是一個無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是R求相鄰的兩個結(jié)點A、B之間的等效電阻。分析：假設(shè)電流I從A點流入，向四面八方流到無窮遠處，根據(jù)對稱性，有1/4電流由A點流到根據(jù)對稱性，同樣有1/4B點。假設(shè)電流I經(jīng)過無限長時間穩(wěn)定后再由四面八方匯集到B點后流出，電流經(jīng)A點流到B點。段的電流便由兩個1/4疊加而成，為1/2因此Uab=（|/2）*Rab=Uab/I=/2解:從以上分析看出，ABA、B之間的等效電阻例（2）有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如下圖所示。所有正六邊型每邊的