透視平行四邊形新題型

1、透視平行四邊形新題型隨著新課程的不斷深入， 中考試題在形式上發(fā)生了較大變化，各式各樣的新題型閃亮登場，有關平行四邊形的新題型更是令人耳目一新，現(xiàn)選取數(shù)例進行分析，供同學們參考.條件開放型例1、如圖1, E、F分別是CABCD的AD、BC邊上的點，若再增加一個條件 就可推得BE=DF .評析：本題將傳統(tǒng)的封閉問題進行改造，從一個簡單的圖形 中提出問題，讓學生探索結論成立的條件，適當開放問題的條件， 對學生學習能力的考查極有好處.答案可以從AE=CF ,/ AEB= / CFD，/ ABE= / CDF 等中任選一個.、猜想證明型例2、(大連市)如圖，E、F分別是平行四邊形 ABCD的對角線BD所

2、在直線上的兩點,DE=BF，請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成 一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等(只 需研究一組線段相等即可).(1) 連結； (2)猜想：;(3)證明：(說明：寫出證明過程的重要依據(jù))評析：此題為猜想并證明的試題， 雖難度不大，但結構較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式. 解 答時應先仔細觀察圖形，然后提出一種可能性的猜想，再嘗試去證明它連結FC,猜想：AE=CF .證明過程的重要依據(jù)是： 連結AE、CF,由平行四邊形對邊平行且相等得AB / CD ,AD / BC , AB=DC , AD=BC ,由此可推出/ ABE= / CDF , / ADE=

3、 / CBF ,再加上 DE=BF , 根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得 ABE CDF或厶ADE CBF，從而可以得到AE=CF .三、拼圖操作型例3 （天津市）如圖3,已知四邊形紙片 ABCD，現(xiàn)需將該 紙片剪拼成一個與它面積相等的平行四邊形紙片，如果限定裁 剪線最多有兩條，能否做到？ （用 能”或 不能”填空）.若填 能請確定裁剪線的位置，并說明拼接方法；若填不能”請簡要D說明理由.評析：此題以學生喜愛的剪紙活動為背景,讓學生在剪與拼的操作過程中去發(fā)現(xiàn)幾何結論，較好地體現(xiàn)了新課標下做數(shù)學”的理念.根據(jù)此題限制只能有兩條輔助線，所以我們在尋找剪裁線的過程中要注意兩個原則：一是要利用

4、題中給定的 四邊形的特殊點，二是要注意到平行四邊形的特征，因此我們 可以考慮取四邊形各邊的中點，利用相等線段使兩個不同圖形 的邊重合在一起，再利用四邊形內部兩對相等的對頂角構成平 行四邊形的兩組對角.具體操作是：如圖 4,取四邊形ABCD各邊的中點E、F、G、H，連接EF、GH，以EF、GH為裁剪線，將四邊形 ABCD分成四部分，拼接時，圖中的1不動，將2、4分別繞點H、F各旋轉180°將3進行平移，就拼成滿足條件的平行四 邊形OMNP .四、判斷說理型例4、（廣東省）如圖 5,在 6BCD中，/ DAB=60 ，點E、F分別在 CD、AB的延長線上，且 AE=AD , CF=CB

5、.（1） 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形.（2）若去掉已知條件中的/ DAB=60，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說 明理由.評析：本題（2）把以往的幾何論證轉為自主探究，把已知條件中的部分條件去掉，讓學生通過自主探索探究原有結論是否仍然成立，這種新的考查形式成為近年來中考試題的熱 占八、證明、判斷及說理過程為:（1）t四邊形ABCD是口， AD=BC ,/ DAB=60 ,/ EDA= / CBF=60 .又 AE=AD , CF=CB , AED和厶CBF為全等的等邊三角形， ED+DC=AB+BF，即 EC=AF,又 DC/ AB ,四邊形AFCE是平行四邊

6、形，(3) 仍然成立在 COE和厶AOF中，T ABCD為平行四邊形, OA=OC，DC / AB ,/ ECO= / FAO ,又/ AOF= / COE, COE AOF , EC=AF ,又 EC / AF ,四邊形AFCE是平行四邊形.點擊平行四邊形中的新型問題近年來，中考數(shù)學試題在立意創(chuàng)新設計上思路更成熟、更開闊，正在從立意、情景、設問三方面努力，不僅使設計有了更多的創(chuàng)新，也通過試題更好地鼓勵學生探索與創(chuàng)新.現(xiàn)以平 行四邊形問題為例，來體會這類問題解題思路特點.例1 （大連）、如圖9, E、F分別是平行四邊形 ABCD對角線BD所在直線上兩點，DE = BF.請你以F為一個端點，和圖

7、中已標 有字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須研究一組線段相等即可）.連結:猜想：;證明：（說明：寫出證明過程中的重要依據(jù)）【解】：（1）CF（2）CF=AE證明：四邊形 ABCD是平行四邊形 AD / BC, AD = BC （平行四邊形對邊平行且相等）/ ADB = Z CBD （兩直線平行內錯角相等）/ ADE = Z CBF （等角的補角相等）/ DE = BF ADE CBF （ SAS） CF =AE （全等三角形的對應邊相等）【評注】（1）本例首先考查解決與平行四邊形有關題目的常用方法：利用三角形全等；充分利用平行四邊形的性質；（2）其次考察

8、猜想、判斷、推理能力，熟練運用知識解決問題 的能力（3）本題屬開放型題目，只要通過分析，得出相應結論，進一步驗證或說明理由即可，答 案往往不惟一.例2.（貴陽）如圖9,在平行四邊形 ABCD中，對角線ACBD相交于點O ,AF丄BD ,CE丄BD , 垂足分別為E、F;（1） 連結AE、CF，得四邊形 AFCE，試判斷四邊形 AFCE是下列圖形中的哪一種？平行四邊形；菱形；矩形；（2）請證明你的結論；【解1 . （1）畫圖連結AE、CF四邊形AFCE為平行四邊形(2)證明：T AF 丄 BD , CE丄 BD，/ AFO = / CEO又/ AOF = / COE , OA = OC又/ OA

9、 = OC ,四邊形AFCE是平行四邊形【評注】探索性的問題在近幾年中考中已越來越多受到命題者的青睞，要求答題者開動腦筋，積極探索解決此類問題的關鍵借助于圖形或是合理的分析、猜測先得出結論，再進一步依 據(jù)已知推理，說明結論的正確性 .例3 (廣東)如圖，在ABCD中，NDAB =60,，點F , E分別在AB , CD的延長線上，且 CF =BC , AE =AD (1) 求證：四邊形 AFCE是平行四邊形；(2) 若去掉已知條件的 工DAB =60”，上述的結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.【解】(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形,A B/ D C AB D ?

10、Z DAB =60：, AE =AD , . AD E是等邊三角形.同理， BFC是等邊三角形.ED二AD BF BC 又；AB 二 DC, AB / DC ,AB BF 二 CD D E卩 AF 二CE, AF / CE 四邊形EAFC是平行四邊形.(2)成立.證明：；四邊形ABCD是平行四邊形，二/ ADE=/ DAB DCgC B；AE二 AD CB CFAE 二 AD二 CB CF二/ ADEN CBF/ AE=DCF ADEA CB.FDE= BFAB BF 二 CD D E卩 AF 二 CE.I ,(AF/ CE.四邊形EAFC是平行四邊形.本題利用一組對邊平行【評注】證明一個四邊

11、形是平行四邊形選擇適當?shù)呐卸ǚ椒ㄊ顷P鍵，且相等的四邊形是平行四邊形判定進行證明.例4.(宿遷) 如圖，在口ABCD中，AE、BF分別平分/ DAB和/ ABC，交CD于點E、F ,AE、BF相交于點M .(1) 試說明：AE丄BF;(2) 判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明.【解】：(1)方法一：如圖在口ABCD 中，AD /DAB + Z ABC= 180°/ AE、BF 分別平分/ DAB 和/ ABC,：/ DAB = 2 / BAE,/ ABC = 2 / ABF 2/ BAE + 2/ABF = 180°,即/ BAE + /ABF = 90°/

12、AMB = 90°, AE丄 BF .圖(2):線段DF與CE是相等關系，即 DF = CE在口ABCD中，CD / AB, / DEA =/ EAB又 AE 平分/ DAB，/ DAE = / EAB / DEA =/ DAE , DE = AD同理可得，CF = BC又在口ABCD 中，AD = BC , DE = CF DE EF = CF EF，即 DF = CE.【評注】由平行四邊形可得出許多線段相等和平行，角相等，這些都可作為已知條件.作為探索結論依據(jù).解決此類問題，一般先通過關系，加以猜想，然后給 與驗證，要注意對平行四邊形性質的應用例5.(廣州)圖8是某區(qū)部分街道示意

13、圖，其中CE垂直平分AF ,AB / DC, BC / DF .從B站乘車到E站只有兩條路線有直接到達的公交車，路線 1是B-D-A-E，路線2是B-C-F-E，請比較兩條路線路程的長短，并給出證明.【解析】（方法不止一種?。┻@里提供一種：這兩條路線路程的長度一樣.證明：延長FD交AB于點G/ BC/DF , BC/FG BCD 二/FDC , . CBD "GDB , DGB 二/DFC CBD "DFC: BCD "FDCCBD "DFCCD是公共邊 BCD FDC , BC =FD四邊形BCFD是平行四邊形 CF =BD/ CE垂直平分AF AE

14、二 FE , FD 二 DA BC = DA路線1的長度為：BD DA AE，路線2的長度為：BC CF FE綜合，可知路線 1路程長度與路線2路程長度相等.【評注】將現(xiàn)實生活中的平行四邊形問題轉化數(shù)學問題中，借助于平行四邊形的判定來解決是解此題的關鍵例6.（茂名）七巧板是我們祖先的一項創(chuàng)造，被譽為東方魔板”，如圖是一副七巧板，若 已知Sa bic =1，請你根據(jù)對七巧板制作過程的認識，解決下列問題:（1）求一只螞蟻從點 A沿A > B > C > H > E所走的路線的總長（結果精確到0.01）;（2）求平行四邊形EFGH的面積.解：(1)由七巧板性質可知 BI =IC =CH =HE .又:Sa bic =1, / BI