導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算

1、2導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算一、導(dǎo)入新課：導(dǎo)數(shù)與微分是微分學(xué)的兩個(gè)最基本、最重要的概念。導(dǎo)數(shù)刻畫的是函數(shù)相對于白變量的變化快慢程度，即變化率。本節(jié)主要研究導(dǎo)數(shù)的概念、性質(zhì)和基本求導(dǎo)公式。下面，我們先通過兩個(gè)經(jīng)典實(shí)例引出導(dǎo)數(shù)的概念，進(jìn)而研究導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。二、講授新課：2.1.1兩個(gè)引例引例2.1.1(變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度)設(shè)物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，路程關(guān)于時(shí)間的運(yùn)動(dòng)方程為s=s(t),試求物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度v(t0)。解：對于勻速運(yùn)動(dòng)來說，我們有速度公式：速度=s(表示經(jīng)過的路程，表不所用的時(shí)間)。當(dāng)時(shí)間由獲得增量時(shí)，路程有相應(yīng)的增量s=s(t°：t)-s(t

2、6;)比值：s=s(t°.社)-s(t°)t:t就是物體在到to+&這段時(shí)間內(nèi)的平均速度，記作，即一:ss(to：t)s(to)v=.:t:t顯然，|&越小，平均速度就越接近于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。當(dāng)|盅無限小時(shí)，平均速度就無限接近于物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即Ss(to.：t)-s(to)v(tohmDl.t=l,m0引例2.1.2(平面曲線的切線斜率)設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖像為曲線L,考察曲線L上某點(diǎn)的切線的斜率。解：記點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,f(xo),設(shè)M1(x,f(x)為曲線L上另一點(diǎn)，與到軸的垂足分別為和，作MN垂直BM1并交BM于，則MN=x=xx0NM1

3、=y=f(x)-f(x0)而比值旦=f(x)-f(xo)_f(xo：x)-f(xo)xx-xox便是割線MMi的斜率tan中，當(dāng)AxtO時(shí)，沿曲線L無限接近于，割線MMi無限接近于切線MT,從而得到切線的斜率tan：=limtan圣lim四=limf(x°x)一f(x°)MiMx.JOx2.1.2導(dǎo)數(shù)的定義1)導(dǎo)數(shù)的定義定義2.1.1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)白變量在處有增量(Ax#0,xo+Ax仍在該領(lǐng)域內(nèi))時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)有增量Ay=f(x°+Ax)-f(x°),如果當(dāng)Axto時(shí)，極限7f(x。x)f(x。)lim一=l,m雄of.

4、x號一o/.x存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱該極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(xo),也記為Vdf(x)5,dx或dyx*dxx=xof(x°)=lim'V=limf(x"f(x。)x，D.*X。上x若極限不存在，貝U稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處不可導(dǎo)。若令x+Ax=x，則當(dāng)Axt。時(shí)，有xtx。，故函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)f(x)也可表示為x_x。f(x°)=limf(x)_f(x。)xx.有了導(dǎo)數(shù)的概念，前面兩個(gè)引例中的所求量可以表述為:(1)作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，是距離函數(shù)在處對時(shí)間的ds導(dǎo)數(shù)，即v(t。)=dt

5、(2)平面曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x。,f(x。)的切線斜率是函數(shù)在該點(diǎn)對白變量的導(dǎo)數(shù)，即1酥建X*。2) 左、右導(dǎo)數(shù)類比于左、右極限的概念，若四-；y存在，則稱之為f(x)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)，記為fix)，即f坎)=史_金/給-MX。*：*)若勝+巖存在，則稱之為f(x)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)，記為f】(x。)，即yf(x上x)-f(x。)f(x。)=如TT觀定理2.1.1函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，相應(yīng)地，稱y=f(x)是區(qū)間(a,b)上的可導(dǎo)函數(shù)。若f(x)在(a

6、,b)內(nèi)可導(dǎo)，則對任意xw(a,b)，都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值"(x)與之對應(yīng)，這樣就確定了一個(gè)新的函數(shù)，此函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作f(x),y,dydf(x)dxdx由導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)定義可知，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)ft%)，就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x°處的函數(shù)值，即f(Xo)=f(X)x=xo3) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義由引例2.1.2和定義2.1.1可知，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)所表示的曲線在相應(yīng)點(diǎn)(x°,y°)處的切線斜率，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得曲線y=f(x)在(xo,f(xo)處的切線方程和法線方程。

7、若f(xo)存在，則曲線L上點(diǎn)M(x°,y°)的切線方程為y-y°=f(、)(x-xo)Xfx-x0若f(x°)=limf(x)f(xo)=*,則切線垂直于軸，切線方程為軸的垂線4) 若fM,0,則過點(diǎn)叩"的法線方程是一擊心海而當(dāng)f(xo)=o時(shí)，法線為軸的垂線x=xo;切線為平行于軸的直線y=y°可導(dǎo)與連續(xù)如果函數(shù)y=f(x)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，那么它一定在該點(diǎn)連續(xù)。反之,不成立。事實(shí)上，若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，貝有l(wèi)im岌=f(x)x:°x由函數(shù)的極限與無窮小的關(guān)系，有=f(x)：(.：x)x其中四8)為當(dāng)40時(shí)的無窮

8、小。兩端同時(shí)乘以，得y=f(x)x"上(x)x令&T0對上式取極限，得limy=0.'.JO】這就是說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)處連續(xù)。但是，若函數(shù)y=f(x)在處連續(xù)，則在該點(diǎn)函數(shù)不一定可導(dǎo)。例如，函數(shù)y=x=(x，x'0,在x=0處連續(xù)，但是在該點(diǎn)不可導(dǎo)。-x,x：0一方面，因?yàn)椋簓=f(0.奴)-f(0)=.板所以如0寸如0X=0即該函數(shù)在x=0處連續(xù)。另一方面，在點(diǎn)x=0處的右導(dǎo)數(shù)為己yRx*抑)=姬+葛=史0+及=加+戒=1在點(diǎn)X=0處的左導(dǎo)數(shù)為|：x|x-I：H=-1.：yxf_(0)=lim=lim=lim一.2lx.XUlx.'xulx左右導(dǎo)

9、數(shù)不相等，故函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)。因此，函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件而非充分條件。5) 變化率模型例2.1.2(細(xì)桿的線密度模型)以一根質(zhì)量非均勻分布的直細(xì)桿的一端為坐標(biāo)原點(diǎn)，從該端指向直桿另一端的方向?yàn)樽鴺?biāo)軸正方向，建立數(shù)軸。已知直桿0,x段的質(zhì)量是的函數(shù)m=m(x),求桿上處的線密度。解：若細(xì)桿質(zhì)量分布是均勻的，長度為的一段的質(zhì)量為Am,則它的線密度為長度x由于細(xì)桿在0,x0段的質(zhì)量m=m(x0)，在0,x0+Ax段的質(zhì)量m=m(x0+Ax),于是在這段細(xì)桿的質(zhì)量為m=m(x0+x)-m(x0)這段細(xì)桿的平均線密度為m_m(x°+：x)-m(x0)x冰m(x)+x)-m(x。)dml

10、P(x°)=螞zx=L=m(x0)2.1.3求導(dǎo)舉例利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，可以分為以下三個(gè)步驟:(1) 求增量：Ay=f(x+Ax)一f(x)算比值：竺=f(x"x)f(x)xx取極限：y=iim予例2.1.5求常函數(shù)y=C(為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。解：因?yàn)閥=C,即不論取什么值，的值總等于，所以留=0;yc=0;xy=limy=lim0=0.x0.:x.x0這就是說，常函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零。例2.1.6求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)。解：Ay=(x+Ax)2x2=2xAx+(Ax)2；2y2xx(x)八=2xx;xxy'=lim¥=|m(2x+Ax)=2x，即

11、(x2)2x更一般地有(xn)=nx"例2.1.7求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)。解：y=f(xwx)-f(x)=sin(xx)-sinxc(x+x)x.(x+x)-x=2cossin22c,Xx=2cos(x)sin22X_.x一.x2cos(x)sinsiny22/x2=2=cos(x)Xx2x2,qy=llmy=limcos(x)dxx0xx)D2x2xj,以、sin2=limcos(x)lim.xq'2xQx2由cosx的連續(xù)性及重要極限lim業(yè)=1,上式得理=cosxxaxdx即(sinx)=cosx用類似的方法，可求得余弦函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)為（cosx），=sinx

12、2.1.4函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理2.1.2設(shè)函數(shù)u=u(x)與v=v(x)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則函數(shù)u(x)土v(x),u(x)v(x),u(x)(v(xp?t0)也在點(diǎn)處可導(dǎo),且有以下法則:v(x)(1) u(x)±v(x)'=u(x)±v(x)(2) u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)，特別地,Cu(x)=Cu(x)(為常數(shù))；u叫項(xiàng)x)v(x)2頊"(x)(v(x),0)特別地，當(dāng)u(x)=C(為常數(shù))時(shí)，v(x)v(x)有*=-湍例2.1.9求y=sinx+x3-5的導(dǎo)數(shù)。命軍：y'=(sinx)(x3)”(5)

13、9;=cosx3x20=cosx3x2例2.1.12驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)公式（secx）=secxtanx成立。1、.(cosx)sinx,世：(secx)=()=-2=secxtanxcosxcosxcosx用類似的方法可驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)公式(cscx)，=cscxcotx2.1.5基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式c1=OCC為常教>$=嚀聲為實(shí)數(shù)u£*In.u4&.rIna八%,I(ln-i')=iJC(sinj；)=t(cos)=-siriH*(Iamjr)=-一=sec2jcm*z.1(arcsin_rJ=-二二：71-X1.、，1(arccosX)=_，;,，1<arctan=;I+x，&