巧用導數(shù)知識

1、巧用導數(shù)知識，妙解參數(shù)問題廈門市禾山中學林日平導數(shù)，作為解決與高次函數(shù)有關問題的一種工具，有著無可比擬的優(yōu)越性。也越來越受到高考命題專家的“青睞”。其中，利用導數(shù)求參數(shù)的取值范圍，更是成為近年來高考的熱點。，甚至很多省份都安排在倒數(shù)第一、二題的位置上!現(xiàn)以近幾年的高考題為例，探討一下用導數(shù)求參數(shù)范圍的幾種常見題型及求解策略。策略一：分離變量法所謂分離變量法，是通過將兩個變量構成的不等式(方程)變形到不等號(等號)兩端，使兩端變量各自相同，解決有關不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知解決問題的關鍵：分離變量之后將問題轉化為

2、求函數(shù)的最值或值域的問題a的范后，對于不同問題我們有不同的理論依據(jù)可以遵循.以下結論均為已知x的范圍，求圍:結論一、不等式f(x)g(a)恒成立f(x)ming(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)g(a)恒成立f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值).結論不等式f(x)g(a)存在解f(x)maxg(a)(求解f(x)的最大值)式f(x)g(a)存在解f(X)ming(a)(即求解f(x)的最小值).結論方程f(x)g(a)有解g(a)的范圍f(x)的值域(求解f(x)的值域).案例1、(2009福建卷)若曲線f(x)3axInx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a取值范圍是一一1，

3、分析：f(x)2ax(xx0)，、1依題意萬程2ax0在0,內(nèi)有解,去(X0)a(,0)案例2、(2008湖北卷)若f(x)bln(x2)在(-1,+)上是減函數(shù)，則b的取值范圍是(A.1,B.1,C.(,1D.(分析：由題意可知f(x)0,x(1,)上恒成立,即bx(x2)(x1)21在x(1,)上恒成立，由于x1,所以b1,案例3、(2008廣東卷)設aR,若函數(shù)yeax3x,xR有大于零的極值點，則()1A.a3B.a3C.aD.a33分析：f(x)3aeax，若函數(shù)在xR上有大于零的極值點，即f(x)3aeax0有正根。當有f(x)3aeax0成立時，顯然有a0,此時x-ln(),aa

4、由x0得a33案例4、(2008江蘇卷)設函數(shù)f(x)ax3x1(xR),若對于任意的x1,1都有f(x)0成立，則實數(shù)a的值為解：當x0,則不論a取何值，fx0顯然成立；31當0x1時，f(x)ax3x10可化為，a二一33xx令gx=3,則gx31產(chǎn)，xxx所以gx在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減，21因此gxg-4,從而a4;max2當1x。時，f(x)ax33x10可化為a24,g0xxxgx在區(qū)間1,0上單調(diào)遞增，因此gxmang14,從而a4,綜上a4分離變量法是近幾年高考考查和應用最多的一種。解決問題時需要注意：(1)確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類；(2

5、)確定是求最大值、最小值還是值域.高三復習過程中，很多題目都需要用到分離變量的思想，除了基礎題目可以使用分離變量，很多壓軸題也開可以用這種方法去求解。#*2案例5、(2005湖北卷)已知向重a=(x,x1),a=(1x,t),若f(x)a?b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，求t的取值范圍.232解析：由向重的數(shù)重積th義，f(x)=x(1x)+(x1)t=x+x+tx+t、一2一-f(x)=3x+2x+t.若f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù)，則有f(x)0-2t3x-2x在(-1,1)上恒成立.若令g(x)=3x2-2x=-3(x1)2-13在區(qū)間-1,1上，g(x)=g(1)=5,故在區(qū)間

6、(-1,1)上使tg(x)恒成立，max只需tg(1)即可，即t5.即t的取值范圍是5,8).利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系求解參數(shù)問題的題型，是高考命題的一種趨勢，它充分體現(xiàn)了高考“能力立意”的思想。對此，復習中不能忽視。策略二：主次元變換法案例6、.(2009北京卷)設函數(shù)f(x)xekx(k0)(I)求曲線yf(x)在點(0,f(0)處的切線方程；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(川)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求k的取值范圍.分析：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)(口)題略，對于題(m),若借助()的結論入手

7、，1,1一，一、，、八，一一須分11或11兩種情況求解，學生不一定能考慮得很全面；通過思考，不kk妨變換一下主次元，轉化為一次函數(shù)的問題求解。(ID)解:由題意f(x)(1kx)ekx0在x(1,1)上恒成立即1kxgx(1,1)上恒成立1k(1)0k11k10k1又k0k的取值范圍是1,0U0,1.本題通過變換主元的思想，巧妙地應用函數(shù)的單調(diào)性，避免了對k的討論，簡化了問題的求解。策略三、極值法有些函數(shù)問題，若能適時地借助函數(shù)的圖象，巧妙地利用函數(shù)的極值來求解，可使問題豁然開朗。案例7、(07全國卷二)已知函數(shù)f(x)X3X.求曲線yf(x)在點M(t,f(t)處的切線方程；(2)設a0,如

8、果過點(a,b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：abf(a)解：(1)略y(3t21)x2t3.(1) 如果有一條切線過點(a,b),則存在t,使b(3t21)a2t3.若過點(a,b)可作曲線yf(x)的三條切線，則方程2t33at2ab0有三個相異的322頭數(shù)根.記g(t)2t3atab,則g(t)6t6at6t(ta).當t變化時，g(t),g(t)變化情況如下表：t(,0)0(0,a)a(a,)g(t)00g(t)增函數(shù)極大值ab減函數(shù)極小值bf(a)增函數(shù)如果過(a,b)可作曲線yf(x)三條切線，即g(t)2t33at2ab=0有三個相異的實數(shù)根,rab0則有即abf(a).b

9、f(a)0.本題的求解，充分利用函數(shù)的極值，把原本復雜的問題轉化為極值的正負問題，使問題變得更加直觀、充分體現(xiàn)了導數(shù)的優(yōu)越性案例8、(2009陜西卷)已知函數(shù)f(x)x33ax1,a0求f(x)的單調(diào)區(qū)間；若f(x)在x1處取得極值，直線y=m與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解析：(1)略(2)因為f(x)在x1處取得極大值，2所以f(1)3(1)3a0,a1.所以f(x)x33x1,f(x)3x23,由f(x)0解得x11,x21。由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x1處取得極大值f(1)1,在x1處取得極小值f(1)3。因為直線ym與函數(shù)yf(x)的圖象有三個不

10、同的交點，由f(x)的單調(diào)性可知，m(3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一個極值點。(I)求a;(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(山)若直線y=b與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍。分析：(I)(H)略(山)由(H)知，fx在1,1內(nèi)單調(diào)增加，在1,3內(nèi)單調(diào)減少，在3,上單調(diào)增加，且當x1或x3時,fx0所以fx的極大值為f116ln29，極小值為f332ln221因此f16162101616ln29f1fe21321121f3所以在fx的三個單調(diào)區(qū)間1,1,1,3,3,直線yb有yfx的圖象各有一個交點，當且僅當f3b

11、f1因此，b的取值范圍為32ln221,16ln29。充分利用函數(shù)的極值和數(shù)形結合的思想，把問題轉化為極值問題，進一步分體現(xiàn)了導數(shù)在解題中的作用。策略四、零點法案例10、(2009浙江文)已知函數(shù)f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a,bR).(I) 若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率是3,求a,b的值；(II) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)上不年調(diào)，求a的取值范圍.解析：(I)略(n)f(x)3x22(1a)xa(a2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)不單調(diào)，等價于導函數(shù)f(x)在(1,1)既能取到大于0的實數(shù)，又能取到小于0的實數(shù)即函數(shù)f(x)在(1,1)上存在零點，根據(jù)零

12、點存在定理，有f(1)f(1)0,即：32(1a)a(a2)32(1a)a(a2)0，,一2整理得：(a5)(a1)(a1)0,解得5a1案例11、(2004新課程卷)若函數(shù)y=lx3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間32(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+00)內(nèi)為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍.解：f(x)x2ax(a1)(x1)x(a1)令f(x)0,解得x=1或x=a-1，并且a乒2,否則f(x)在整個定義域內(nèi)單調(diào)。由題意，函數(shù)f(x)的圖象應有三個單調(diào)區(qū)間且先增后減再增，而已知f(x)在(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+00)內(nèi)為增函數(shù)，可知函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值，在x=a-

13、1處取得極小值。4a-1M得52;(n)若對所有x0都有f(x)ax,求a的取值范圍.解：(i)f(x)的導數(shù)f(x)exex.而exex2texex2,故f(x)2.(當且僅當x0時，等號成立).(n)法一：令g(x)f(x)ax,于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立.則g(x)f(x)aexexa,由(i)可知g(x)exexa2a,由2a0a2.當a2時，g(x)在(0,8)上為增函數(shù)，從而有x0時，g(x)g(0),即f(x)ax.案例13、(2006全國卷II)設函數(shù)f(x)=(x+1)ln(x+1),若對所有的x0,都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：令g(

14、x)=(x+1)ln(x+1)-ax(x-1)于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立.對函數(shù)g(x)求導數(shù)：gx)=ln(x+1)+1a令gx)=0,解得xea11當xea11時，gx)0,g(x)為增函數(shù)，當1xea11,gx)v0,g(x)為減函數(shù)，所以要對所有x0都有g(x)g(0)等價條件為ea-1-K0.由此得av1,即a的取值范圍是(一叫1.通過適時構造新的函數(shù)，簡化了問題，把求參數(shù)的范圍轉化為函數(shù)的最值問題，對解題起到了畫龍點睛的作用。策略六、二次函數(shù)法某些函數(shù)可轉化為二次函數(shù)的模型，則可利用二次函數(shù)的性質來求解。案例14.(2008天津卷)已知函數(shù)f(x)x4ax3

15、2x2b(xR)，其中a,bR.10(i)當a一時，討論函數(shù)f(x)的單倜性；3(n)若函數(shù)f(x)僅在x0處有極值，求a的取值范圍；(川)若對于任意的a2,2，不等式fx1在1,1上恒成立，求b的取值范圍.分析：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最大值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力.(I)略(n)解：f(x)x(4x23ax4),顯然x0不是方程4x23ax40的根.為使f(x)僅在x0處有極值，必須4x23ax40成立，即有9a2640.88解些不等式，得-a.這時，f(0)b是唯一極值.33因此滿足條件的a的取值范圍是8,8.(山)解：由條件a2,2，可知9a2640,從而4x23ax40恒成立.當x0時，f(x)0；當x0時，f(x)0.因此函數(shù)f(x)在1,1上的最大值是f(1)與f(1)兩者中的較大者.，_f(1)1為使對任意的a2,2，不等式f(x)1在1,1上恒成立，當且僅當，即f(1)1b2a，在a2,2上恒成立.b2a所以b4,因此滿足條件的b的取