知識(shí)點(diǎn)一解一元一次方程的一般步驟

1、知識(shí)點(diǎn)一：解一元一次方程的一般步驟：1、解一元一次方程的基本思路是通過(guò)對(duì)方程變形，把含有未知數(shù)的項(xiàng)歸到方程的一邊，把 常數(shù)項(xiàng)歸到方程的另一邊，最終把方程“轉(zhuǎn)化”成 x= a的形式。2、解一元一次方程的一般步驟是：變形名稱具體做法變形依據(jù)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式基本性質(zhì)2去括號(hào)先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)去括號(hào)法則、分配律移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他 項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號(hào))等式基本性質(zhì)1合并同類項(xiàng)把方程化成ax= b(a豐0)的形式合并同類項(xiàng)法則系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a,得到方程的解x= b a等式基本性質(zhì)2要點(diǎn)詮釋：1、

2、解方程時(shí)應(yīng)注意：(1)解方程時(shí)，表中有些變形步驟時(shí)可能用不到，并且也不一定按照自上而下的順序，要根據(jù)方程形式靈活安排求解步驟。熟練后，步驟及檢驗(yàn)還可以合并簡(jiǎn)化。(2)去分母時(shí)，不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)。去分母是為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，若不使用，可進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn) 動(dòng)。(3)去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，若括號(hào)前為“-”號(hào)，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)要改變符號(hào)。2、在方程的變形中易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有以下幾種情況：(1)移項(xiàng)時(shí)忘記改變符號(hào)；(2)去分母時(shí)，易忘記將某些整式也乘最簡(jiǎn)公分母；(3)分?jǐn)?shù)線兼有括號(hào)的作用，在去分母后，易忘記添加括號(hào)；(4)系數(shù)化為1時(shí)，除數(shù)和被除數(shù)顛倒位置。3、理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡(jiǎn)

3、單應(yīng)用：b(1)a w0時(shí)，方程有唯一斛 x =一；a(2)a=0 , b=0時(shí),方程有無(wú)數(shù)個(gè)解;(3)a=0 , bwo時(shí)，方程無(wú)解。知識(shí)點(diǎn)二：列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：1、列一元一次方程解應(yīng)用題的方法和步驟：(1)仔細(xì)審題，透徹理解題意即弄清已知量、未知量及其相互關(guān)系，并用字母(如x)表示題中的一個(gè)合理未知數(shù)；(2)根據(jù)題意找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系這是關(guān)鍵一步)；(3)根據(jù)相等關(guān)系，正確列出方程即所列的方程應(yīng)滿足兩邊的量要相等；方程兩邊的代數(shù)式的單位要相同；題中條件應(yīng)充分利用，不能漏也不能將一個(gè)條件重復(fù)利用等；(4)求出所列方程的解；(5)檢驗(yàn)后明確地、完整地寫出答

4、案這里要求的檢驗(yàn)應(yīng)是，檢驗(yàn)所求出的解既能使方程成立，又能使應(yīng)用題有意義2、解應(yīng)用題的書寫格式：設(shè) 二 根據(jù)題意= 解這個(gè)方程二 答。要點(diǎn)詮釋：(1)在一道應(yīng)用題中，往往含有幾個(gè)未知數(shù)量，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇其中的一個(gè)，用字母x表示出來(lái)，即所設(shè)的未知數(shù)，然后根據(jù)數(shù)量之間的關(guān)系， 將其他幾個(gè)未知數(shù)量用含 x的代數(shù)式表示。(2)解應(yīng)用題時(shí)，不能漏掉“答”，“設(shè)”和“答”中都必須寫清單位名稱。(3)列方程時(shí)，要注意方程兩邊是同一類量，并且單位要統(tǒng)一。(4) 一般情況下，題目中所給的條件在列方程時(shí)不能重復(fù)使用，也不能漏掉不用。重復(fù)利用同一個(gè)條件，會(huì)得到一個(gè)恒等式，無(wú)法求得應(yīng)用題的解。知識(shí)點(diǎn)三：常見(jiàn)的一些等量關(guān)系

5、常見(jiàn)列方程解應(yīng)用題的幾種類型:基本數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系(1)和、差、倍、分問(wèn)題較大量=較小量+多余量總量=倍數(shù)X倍量抓住關(guān)鍵性詞語(yǔ)(2)等積變形問(wèn)題 3一 3一 3V長(zhǎng)方體一abh, V正方體一a1V柱體_ Sh, V錐體一一Sh 3變形前后體積相等行程問(wèn)題相遇問(wèn)題路程=速度x時(shí)間甲走的路程+乙走的 路程=兩地距離追及問(wèn)題同地小同時(shí)出發(fā)：前 者/E的路程=追者/E 的路程同時(shí)/、同地出發(fā)：前 者走的路程+兩地距 離=追者所走的路程順逆流問(wèn) 題順流速度=靜水速度+水流速度 逆流速度=靜水速度-水流速度順流的距離=逆流的 距離(4)勞力調(diào)配問(wèn)題從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系 中找相等關(guān)系，要抓 住“相等”“幾倍”

6、“幾 分之幾” “多” “少” 等關(guān)鍵詞語(yǔ)基本數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系工程問(wèn)題工作總量=工作效率X工作時(shí)間各部分工作量之和=1(6)利潤(rùn)率問(wèn)題商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)聲口到衿入 商品利潤(rùn)商品利潤(rùn)率=-77、工,X 商品進(jìn)價(jià)100%售價(jià)=進(jìn)價(jià)x (1 +利潤(rùn)率)抓住價(jià)格升降對(duì)利潤(rùn)率的影 響來(lái)考慮(7)數(shù)字問(wèn)題設(shè)一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字、個(gè)位上的數(shù)字分別為a, b,則這個(gè)兩位數(shù)口表小為 10a+ b抓住數(shù)字家或新數(shù)、原數(shù)之 間的關(guān)系(8)儲(chǔ)蓄問(wèn)題利息=本金X利率X期數(shù)本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期數(shù)X (1 利息稅率)(9)按比例分配問(wèn)題甲：乙：丙=a ： b： c全部數(shù)量=各種成分的數(shù)量

7、之和(設(shè)一份為x)(10)日歷中的問(wèn)題日歷中每一行上相鄰兩數(shù)，右邊 的數(shù)比左邊的數(shù)大 1;日歷中每 一列上相鄰的兩數(shù)，下邊的數(shù)比 上邊的數(shù)大7日歷中的數(shù)a的取值范圍是1<a<31,且都是正整數(shù)規(guī)律方法指導(dǎo)解一元一次方程的注意事項(xiàng)：1、分母是小數(shù)時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)；2、去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時(shí)不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù) 線相當(dāng)于括號(hào)，去分母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號(hào)；3、去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；4、移項(xiàng)時(shí)，切記要變號(hào)，不要丟項(xiàng)，有時(shí)先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng)；5、系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；

8、6、不要生搬硬套解方程的步驟，具體問(wèn)題具體分析，找到最佳解法。 列方程解應(yīng)用題的注意事項(xiàng)：列一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟也可以概括為：設(shè)未知數(shù)。根據(jù)等量關(guān)系列方程。解方程。檢驗(yàn)解的合理性， 如果合理就用以解決實(shí)際問(wèn)題，不合理則需要重新回到 開(kāi)始。作答。列方程解應(yīng)用題是將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵是建立等量關(guān)系，通過(guò)列方程解決實(shí)際問(wèn)題要把握三個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是整體的、系統(tǒng)的審清題意；二是找問(wèn)題中的等量關(guān)系； 三是正確求解方程并判斷解的合理性，其中，審題是基礎(chǔ)，找等量關(guān)系是關(guān)鍵，為了找準(zhǔn)等量關(guān)系，可以借助線段、表格、圖形等方法進(jìn)行分析。 一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：

9、去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為。如果我們 在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程原形式和特點(diǎn)，靈活安排解題步驟，并且巧妙地運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)，就可以收到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果。1、巧湊整數(shù)解方程11 92 5例2、解方程：U+9x=2 5x9 79 7一、,一 一一,95 _ ，一 一, 2 11 一. 思路點(diǎn)撥：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)有 9+5=2,常數(shù)項(xiàng)有11= 1的關(guān)7799系，故直接移項(xiàng)湊成整數(shù)比先去分母簡(jiǎn)單。 ，一 1 952 11解：移項(xiàng)，得 9x+-x=-11o 7799合項(xiàng)同類項(xiàng)，得2x=1。 1 系數(shù)化為1,得x= 。2舉一反三：.十 初七'

10、 0.4x + 0.90.04+0.3x n 變式解方程：=2x 50.050.02解：原方程可變形為=2x-50.02 500.05 20(0.4x+ 0.9) 20(0.04+ 0.3x) 50整理，得 8x+18-(2 + 15x) =2x-5, 去括號(hào)，得 8x+18215x=2x 5 移項(xiàng)，得 8x-15x-2x=- 5- 18+2合并同類項(xiàng)，得9x=21系數(shù)化為1,得x= 7。32、巧用觀察法解方程一 一 111 ,例 3、解萬(wàn)程：_(y+1)+ _(y+ 2)=3(y+3)234 111一一， 一 一 、思路點(diǎn)按：該方程可化為 一(y+1)+ (y+2)+ (y+3) =3,不難

11、看出，當(dāng)y= 1時(shí)，該方234次方程，只能有一個(gè)解，于是可程左邊三項(xiàng)的值都是 1,即左邊=右邊，兩原方程 求得方程的解是y=1。解：由觀察可得y=13、巧去括號(hào)解方程含多層括號(hào)的一元一次方程，要根據(jù)方程中各系數(shù)的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)娜ダㄌ?hào)的方法，以避免繁雜的計(jì)算過(guò)程。1 一3r3x5例4、解方程：1 3 空上+ 4 16匚13" 2)思路點(diǎn)撥：因?yàn)轭}目中分?jǐn)?shù)的分子和分母具有倍數(shù)關(guān)系，所以從外向內(nèi)去括號(hào)可以使計(jì)算簡(jiǎn)單。13x 5解：去括號(hào)，得-3x3+4 |-2=1412)一 3x5去小括號(hào)，得竺上+12= 1 8去分母，得(3x -5)-8= 8去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 3x=21兩

12、邊同除以3,得x= 7原方程的解為x= 7舉一反三：1(1 丁1) 1 變式解方程：,1 1x2 1-2 2 -2= 22 2 2) J j解：依次移項(xiàng)、去分母、去大括號(hào)，得1 ；1/1/-x 2 12 2=82 ：2 <2) J依次移項(xiàng)、去分母、去中括號(hào)，得1'1x-2 f-2=202 2依次移項(xiàng)、去分母、去小括號(hào)，得1x2=44, x = 9224、運(yùn)用拆項(xiàng)法解方程在解有分母的一元一次方程時(shí)，可以不直接去分母， 而是逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，拆項(xiàng)后再合并，有時(shí)可以使運(yùn)算簡(jiǎn)便。例5、解方程:x+3 23x 5二482x + 3 x 3 2-3x 2 3x思路點(diǎn)撥：注意到 /3+ 3,

13、2x = -3x ,這樣逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，可使計(jì)算44 4888簡(jiǎn)便。 一x 3 2 3x 5解：原方程逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，得- + 3-2 + 3x = 54 4 8 8 2 一 .一 ,一 一 5移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得 5x=2。8, i 16系數(shù)化為1,得x=/。55、巧去分母解方程當(dāng)方程的分母含有小數(shù)， 而小數(shù)之間又沒(méi)有特殊的倍數(shù)關(guān)系時(shí)， 若直接去分母則會(huì)出現(xiàn)比較 繁瑣的運(yùn)算。為了避免這樣的運(yùn)算。 應(yīng)把分母化成整數(shù)。 化整數(shù)時(shí)，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將 各個(gè)分子、分母同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)即可。例 6、解方程：1.3-2x = 10.070.7解：原方程化為100x 13- 20x77去分母，

14、得 100x-(13- 20x) =7去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得120x=20，i人，m1兩邊同除以120,得x=-6，1，原方程的解為 x= 16總結(jié)升華：應(yīng)用分?jǐn)?shù)性質(zhì)時(shí)要和等式性質(zhì)相區(qū)別。 分母較簡(jiǎn)便?？梢曰癁橥帜傅?，先化為同分母，再去6、巧組合解方程例7、解方程： ±5 +小=±3 + 0±3思路點(diǎn)撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化去分母，但運(yùn)算較復(fù)雜，注意到左邊的第一項(xiàng)和右邊的第二項(xiàng)中的分母有公約數(shù)3,左邊的第二項(xiàng)和右邊的第一項(xiàng)的分母有公約數(shù)4,移項(xiàng)局部通分化簡(jiǎn)，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。解：移項(xiàng)通分，得2 3 ="一6一X 598化簡(jiǎn)，得x18 x11去分母，得 8x 144= 9x 99。移項(xiàng)、合并，得x= 45。7、巧解含有絕對(duì)值的方程解含有絕對(duì)值符號(hào)的方程的基本思想是先去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對(duì)于只含一重絕對(duì)值符號(hào)的方程，依據(jù)絕對(duì)值的意義， 直接去絕對(duì)值符號(hào)， 化為兩個(gè)一元一次方程分別解之，即若|x| = m則x=m或x= m例8、解方程：|x 2| -3=0 解法1：移項(xiàng)，得|x 2| =3 當(dāng)x2>0時(shí)，原方程可化為 x2=3,解得x= 5 當(dāng)x2V0時(shí)，原方程可化為一(x -2) =3