郭碩鴻電動力學(xué)課后答案

1、電動力學(xué)答案第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.根據(jù)算符的微分性與向量性,推導(dǎo)下列公式:(AB)B(A（解：（1）A)2(AB)A)(BA2(A(ABc)A)A(BAc)(2)B)(A)BBc(A)(Bc)AAc(B)(Ac)BB(在(1)中令(AA)所以A(即A(A)A»(BB得：2A(A)A)4)AA)2(A(AA)(AA2(A2.設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明:f(u)fduA(u)dAdu證明:(1)f(u)f(u)°_exxdf/uLexduxA(u)Ax(u)xdAxf(u)°eyyueyyAyN)ydAy"Z-eyduu、-ez)zAz(u)

2、zdAzduez)(3)dAu-dudAzduyAz(u)B)(A)A,)A)AA(u)dfueduxdf一ududAxuduxu(一exx)Bdf3.設(shè)rdAduduydAydudfueduzdAzuduuez)zdAu一duexu/xeyu/ezyu/dAx/duyA(u)dAy/dudAz/dudAyu、_)exduzAy(u)exz(dAxuduzAx(u)zdAzudux)eydAyduxAz(u),eyxAy(u)dAxu、-Z)ezduyAx(u)1ezy<(xx')2(yy')2(zz')2為源點(diǎn)x'到場點(diǎn)x的距離,r的方向規(guī)定為從源點(diǎn)指向

3、場點(diǎn)。(1)證明下列結(jié)果，并體會對源變量求微商與對場變量求微商的關(guān)系：33r'rr/r；(1/r)'(1/r)r/r；(r/r)0;33(r/r)'(r/r)0,(r0)。(2)求r,r,(a)r,(ar),EoSin(kr)及Eosin(kr)，其中a、k及E0均為常向量。(1)證明：r.(xx')2(yy')2(zz')2r(1/r)(xx)ex(yy')ey(zN)ezr/r'r可見1(1/r)(xx)ex(yy')ey(zz')ezr/r1r可見rddr'rddr1/r12r12r(r/r3)

4、9;1/r(1/r3)r(1/r3)(1/r3)ddr3r4rr(r/r3)_3_(1/r)r3(1/r)(r0)(2)解:(一exxeyyez)z(xx)ex(yy')ey(zz')ez3ex/xey/yez/G)(a)r(axayxyaz一)(xx')ex(yzy')ey(zz')ezaxexayeyazeza4(ar)r(a)(r)aa(r)因?yàn)?，a為常向量，所以，a0,(r又r0,(ar)(a)ra5E0Sin(kr)(E0)sin(kr)E0(a)r)a0,sin(kr)E0為常向量,Eo0,而sin(kr)cos(kr)(kr)cos(kr)

5、k,所以E0sin(kr)kE0cos(kr)E°sin(kr)sin(kr)E0kE0cos(kr)4,應(yīng)用高斯定理證明vdVf%dSdSdlSL證明：(I)設(shè)c為任意非零常矢量，則cdVfdVc(f)VV根據(jù)矢量分析公式(AB)令其中Af,Bc,便得(fc)(f)cf(所以cdVfdVc(VVf,應(yīng)用斯托克斯(Stokes)定理證明(A)BA(B),c)(f)cf)dV(fc)(fc)dSV:c(dSf)c-dSf因?yàn)閏是任意非零常向量，所以dVfdSfV(1)(II)設(shè)a為任意非零常向量，令Fa,代入斯托克斯公式，得SFdSFdl(1)式左邊為：(a)dSaSSadSadSSa

6、dSSSadSadSSaSdS(1)式右邊為：cadladl(2)(3)所以adSadlS(4)因?yàn)閍為任意非零常向量，所以dS:dlS5,已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極矩定義為p(t)V(x',t)x'dV',利用電荷守恒定律J0證明p的變化率為:證明：方法(I)dpdtVJ(x',t)dVdp-(x',t)x'dV'(x',t)x'dV'(X'"x'dV'(,J)x'cV,dtdtVVtVtVdPedte1v('J)x；sdV'vxi'('J)d

7、V'v'(xJ)('xi()JdV'JJdS,vJxidV'口x1'JdS'0,dpe,SdtVJx1dV,同理dpdt所以生dt方法(II)e2VJx2dV,JdV(VdpdtVJxadV(史-(x',t)x'dV'-(x',t)x'dV'(x't)x'dV'dtctVVtVt根據(jù)并矢的散度公式(fg)(f)g(f)g得：v('J)x'dV'(Jx')(J)x'(J)x'J)x'Jdpdt'(Jx

8、9;)dV'vJdV,dS(Jx,)vJdV,vJdV,6.若m是常向量，證明除R3mR/R的梯度的負(fù)值，即方向由原點(diǎn)指向場點(diǎn)。證明：(1/r)r/r30點(diǎn)以外，向量AA其中(mR3R)/R3的旋度等于標(biāo)量為坐標(biāo)原點(diǎn)到場點(diǎn)的距離，mr(3-r1m(-)r1()mr,、1,、1r(m)-(m)-rr、1r211(m)-mrr其中2(1/r)0,(r0)11(-)m(-)mrr,，、1cA(m)一，(r0)rmr1又T)m(與rrm(3(3(rr11m)(m)(-)()mrr1(m)()r所以，當(dāng)r0時(shí)，A7.有一內(nèi)外半徑分別為1和2的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的電容率為，使介質(zhì)球內(nèi)均勻帶靜因?yàn)榉忾]

9、曲面S為電荷系統(tǒng)的邊界，所以電流不能流出這邊界，故止自由電荷f,求：（i）空間各點(diǎn)的電場；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解：（i）設(shè)場點(diǎn)到球心距離為r。以球心為中心，以r為半徑作一球面作為高斯面。由對稱性可知，電場沿徑向分布，且相同r處場強(qiáng)大小相同。ri時(shí)，Di0,Ei2D20。433(rri3)fD2/33(rri)3r2E2/3(rri3)f37，向量式為E2(r3D3r2時(shí)，4/33(r2ri)3r2向量式為E3r2D3(r23ri3)-3-r43ri3)30r3-r(r23ri3)(r；3ri3)f°r2r2時(shí),(1D2(D2(10E2)(D2-D2)ri時(shí),n(P2Pi

10、)n(D2D2)(i-)D2，rri8.內(nèi)外半徑分別為體的磁導(dǎo)率為2時(shí),nP2(i-)D23!i_>-fri和、的無窮長中空導(dǎo)體圓柱，沿軸向流有恒定均勻自由電流,求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流。解：（1）以圓柱軸線上任一點(diǎn)為圓心，在垂直于軸線平面內(nèi)作一圓形閉合回路，設(shè)其半徑為r。由對稱性可知，磁場在垂直于軸線的平面內(nèi)，且與圓周相切。ri時(shí)，由安培環(huán)路定理得:r2時(shí)，由環(huán)路定理得:所以H222Jf(rri)2rHi0,2rH2(r2B22r,Bi0Jf(r2ri2)向量式為B2時(shí),z22、(rU)2r2rH3Jf22(r222r1所以h3Jf(r2r1)向量式為B32r。(r；2r(2)當(dāng)r12時(shí)

11、，磁化強(qiáng)度為所以M(一01)H2(一0r1處，磁化面電流密度為1Mdl02r1上處，磁化面電流密度為101Mdl2r2向量式為OCm(一01)9.證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度倍。證明：在均勻介質(zhì)中所以pp(r2r12)jr7Jfr0G22r0(r22r；).17J1)H2(一0(一0/22Gr1)j2r221)(r22r12)2r/1)H2p總是等于體自由電荷密度(1)Jf0f的(10/)P(/0P(0)1)0E(E()E)(1/0)/f(10/10.證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等方向相反的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律)證明：線圈1在線圈2的磁場中受的力：(但兩個(gè)電

12、流元之間dF1211dliB2,而B20_12d12r123_3'4l2r12F12一.-0l1l24I1dl1(I2dl2r12)3r12011I24dl1(dl20o:3l2r12r12)0I1I21212一皿dli爭明dl2)411l2r1212同理可得線圈2在線圈1的磁場中受的力：F21:dl1dl2與與(dl2dl1)(2)4l2l1r21r21(1)式中：r12r12dr121。口dl2dl1dl20dl1"馬一2-0dl2(一)=0l1l2r12l2l1r12l2l112l2r12一周同理（2）式中：F12F2121-dl1dl2卷0"121叱)411

13、12r1211.平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，它們的厚度分別為l1和l2,電容率為1和2,今在兩板接上電動勢為E的電池，求：（1）電容器兩極板上的自由電荷面密度門和f2;（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度f3。（若介質(zhì)是漏電的，電導(dǎo)率分別為1和2當(dāng)電流達(dá)到恒定時(shí)，上述兩物體的結(jié)果如何？）解：忽略邊緣效應(yīng)，平行板電容器內(nèi)部場強(qiáng)方向垂直于極板，且介質(zhì)中的場強(qiáng)分段均勻,分別設(shè)為E1和E2,電位移分別設(shè)為D1和D2,其方向均由正極板指向負(fù)極板。當(dāng)介質(zhì)不漏電時(shí)，介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷，因此，介質(zhì)分界面處自由電荷面密度為f30取高斯柱面，使其一端在極板A內(nèi)，另一端在介質(zhì)1內(nèi)，由高斯定理得：D1f1同理，在極板B內(nèi)

14、和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得:D2在介質(zhì)1和介質(zhì)2內(nèi)作高斯柱面，由高斯定理得:D1D2所以有E1由于EEdl所以f1f1f1一，E212f22當(dāng)介質(zhì)漏電時(shí),D1重復(fù)上述步驟,f1,D2可得：f2,D2D1f3介質(zhì)1中電流密度fl介質(zhì)2中電流密度1D"12D2/2f1/12(f1f3)/2由于電流恒定,J1f1/flf3)/2f3(-2)1)f1再由Ed1E111E2I2f2f3f1-111f111f1221121f1112)21112/UE11221211E1I212E21111212 .證明：(1)當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場線的曲折滿足tan2tan1其中

15、1和2分別為兩種介質(zhì)的介電常數(shù),1和2分別為界面兩側(cè)電場線與法線的夾角。(2)當(dāng)兩種導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)，分界面上電場線的曲折滿足tan2tan1其中1和2分別為兩種介質(zhì)的電導(dǎo)率。證明：(1)由E的切向分量連續(xù)，得(1)(2)E1sin1E2sin2交界面處無自由電荷，所以D的法向分量連續(xù)，即D1cos1D2cos21E1cos12E2cos2(1)、(2)式相除，得tan2tan1(2)當(dāng)兩種電介質(zhì)內(nèi)流有恒定電流時(shí)J11E1由J的法向分量連續(xù)，得1E1cos12E2cos2(3)(1)、(3)式相除，即得tan2tan113 .試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，

16、導(dǎo)體外的電場線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流情況下，導(dǎo)體內(nèi)電場線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：(1)設(shè)導(dǎo)體外表面處電場強(qiáng)度為E,其方向與法線之間夾角為，則其切向分量為Esin。在靜電情況下，導(dǎo)體內(nèi)部場強(qiáng)處處為零，由于在分界面上E的切向分量連續(xù)，所以Esin0因此0即E只有法向分量，電場線與導(dǎo)體表面垂直。(2)在恒定電流情況下，設(shè)導(dǎo)體內(nèi)表面處電場方向與導(dǎo)體表面夾角為，則電流密度JE與導(dǎo)體表面夾角也是。導(dǎo)體外的電流密度J0,由于在分界面上電流密度的法向分量連續(xù)，所以Esin0因此0即J只有切向分量，從而E只有切向分量，電場線與導(dǎo)體表面平行。14 .內(nèi)外半徑分別為a和b的無限長圓柱形電容器，單位長度荷電

17、為f,板間填充電導(dǎo)率為的非磁性物質(zhì)。(1)證明在介質(zhì)中任何一點(diǎn)傳導(dǎo)電流與位移電流嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。(2)求f隨時(shí)間的衰減規(guī)律。(3)求與軸相距為r的地方的能量耗散功率密度。(4)求長度l的一段介質(zhì)總的能量耗散功率，并證明它等于這段的靜電能減少率。解：(1)以電容器軸線為軸作一圓柱形高斯面，其半徑為r,長度為L,其中arb則由高斯定理得：2rLDfL(1)所以D,JDL(2)2r2rt再由電流連續(xù)性方程得：2rLJfq/tL(f/t)(3)所以Jf-LJD(4)2rt即Jf與JD嚴(yán)格抵消，因此內(nèi)部無磁場。(5)(6)(2)由JfE得：JfD2rmdf一聯(lián)立(2)(4)(5)得一f0dt(

18、3)(4)設(shè)初始條件為所以，fpE2-dt0-tCe-tf0e將上式在長度為f0,則由(7)式得Cf0(8)f2rl的一段介質(zhì)內(nèi)積分，得2(9)2E2dVrldr21bln-a(10)得:1W-wdV2vrldrflblnadW所以dtfl21nbafdt(11)由(6)(10)(11)得：dWdt即總的能量耗散功率等于這段介質(zhì)的靜電能減少率。第二章1.一個(gè)半徑為R的電介質(zhì)球，極化強(qiáng)度為靜電場PKr/r2,電容率為(1)(2)(3)(4)計(jì)算束縛電荷的體密度和面密度：計(jì)算自由電荷體密度；計(jì)算球外和球內(nèi)的電勢；求該帶電介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電場總能量解：(1)2K(r/r2)2K(1/r2)rr2(1/

19、r)K/r2p(2)D內(nèi)n(P20EPP1)erK/R/(0)f(3)E內(nèi)P/(P/(0)0)K/(0)r2fdV-2er40rKR,72er0(0)rdrKR0)rdrrE外dr(ln-)(4)WEdVR(1-)(0K2F-)202.在均勻外電場中置入半徑為R0的導(dǎo)體球,導(dǎo)體球上接有電池，使球與地保持電勢差（2）導(dǎo)體球上帶總電荷Q解：（1）極軸,0r_.2.R4rdr012K2R24r2dr2(07Rr4試用分離變量法求下列兩種情況的電勢：（1）該問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系。Eo方向的軸線,取該軸線為當(dāng)RR0時(shí)，電勢滿足拉普拉斯方程，通解為(anRnn因

20、為無窮遠(yuǎn)處ERnE0,)Pn(COS)所以當(dāng)Ra0R0時(shí),E0Rcos0E0RP1(cos)0,(n2)所以E°R0P(cos)bn菽7Pn(cosR0即:所以0b0b0/R0R0(00，0),b/R；E0R0b1E0R03,bnE°RcosR0(0(RR0)0)/R3E0R0cos0,(n/R22)(RR。）（2）設(shè)球體待定電勢為0,同理可得R0時(shí),E°RcosR0（0（RR0）由題意，金屬球帶電量0)/RdS0(E0cosRR0所以（0R0(00)Q/40)0R0L3E0R0cos/R2(RR0)002E0cosR0_2)R°sindd_._3_2,

21、_、0E0RCOSQ/40R(E0R0/R)cos(RR0)0Q/40R(RR0)3.均勻介質(zhì)球的中心置一點(diǎn)電荷Qf,球的電容率為，球外為真空，試用分離變量法求空間電勢，把結(jié)果與使用高斯定理所得結(jié)果比較。提示：空間各點(diǎn)的電勢是點(diǎn)電荷Qf的電勢Qf/4R與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢的迭加，后者滿足拉普拉斯方程。R與球面上的極化電荷所產(chǎn)生的電勢解：(一)分離變量法空間各點(diǎn)的電勢是點(diǎn)電荷Qf的電勢Qf/4的迭加。設(shè)極化電荷產(chǎn)生的電勢為式為：,它滿足拉普拉斯方程。在球坐標(biāo)系中解的形n(anRnbnRn1外(CnRn-dnnT)P/COS)nR時(shí)，外0,cn0。0時(shí)，內(nèi)為有限，bn0。所以內(nèi)anRnP

22、/cos),外n由于球?qū)ΨQ性，電勢只與R有關(guān)，所以an0,(n1)dn0,(ndn審Pi(cos)R1)內(nèi)a。，外d0/R所以空間各點(diǎn)電勢可寫成內(nèi)a°QJ4R外d°.RQf4R當(dāng)RR0時(shí)，由內(nèi)外得：a0d0/R0由則所以外陽Qf0Qf0d°,Q信：22一廠，d0n4Ro4R2R24Qf/11、a04K匚一)QfQf/11、內(nèi)(一)4R4R00QfQf/11、Qf外(一)4R4R040R(二)應(yīng)用高斯定理在球外，R>R0,由高斯定理得:0OE外dsQ總QfQpQf,(整個(gè)導(dǎo)體球的束縛電荷Qp0）,所以Qf八口2er,積分后得:oR2外E外dRRQfr4oR2d

23、R在球內(nèi)，R<Ro,由介質(zhì)中的高斯定理得:Qf"7r。E內(nèi)dsQf,所以QfE內(nèi)4Ro內(nèi)ERer,積分后得:R內(nèi)dRE外dRRoQf4RoQf結(jié)果相同。4oR4.均勻介質(zhì)球（電容率為1）的中心置一自由電偶極子Pf,球外充滿了另一種介質(zhì)（電容率為2）,求空間各點(diǎn)的電勢和極化電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)，Pf的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。空間各點(diǎn)的電勢可分為三種電荷的貢獻(xiàn)，即球心處自由電偶極子、極化電偶極子及球面上的極化面電荷三部分的貢獻(xiàn)，其中電偶極子產(chǎn)生的總電勢為3PfR/41R。所以球內(nèi)電勢可與成:i'iPfR/41R3;球外電勢可寫成：o'oPfR/41R3其中

24、'i和'i和'o均與斯方程的解為：'o為球面的極化面電荷激發(fā)的電勢，滿足拉普拉斯方程。由于對稱性,無關(guān)。考慮到R'i為有限值；R時(shí)'oanRnPn(cos)(RRo)bn-TPn(CoS)Rn1(RRo)由此PfR/41R3anR¥n(CoS)(RRo)(1)Pf_3R/41RnbnRn(n1)Pn(cos)(RRo)(2)邊界條件為:R）(3)RoRo將（1）（2）代入（3）和（4）,然后比較Pn（8S）的系數(shù)，可得:0,bn(10(n1)2)Pf/2122)RoWaR；（于是得到所求的解為：2)Pf/21(122)pfR41R3(1

25、2)pfRcos21(122)R。pfRpf41R3RR3pf21(122)R312)pfcos221(122)NR4(122)R3pfRpfR41R3(RR0)(12)pf21(122)(RR0)在均勻介質(zhì)內(nèi)部,只在自由電荷不為零的地方，極化電荷才不為零，所以在球體內(nèi)部,只有球心處存在極化電荷。(1°)ED(1)D1(0所以pp(1)f1)pf在兩介質(zhì)交界面上，極化電荷面密度為perEi(20)erEoR0p°(Z5.空心導(dǎo)體球殼的內(nèi)外半徑為(R020)0(11(12)pf3cos22)律Ri和R2,球中心置一偶極子p球殼上帶電Q,求空間各點(diǎn)的電勢和電荷分布。解：以球心為

26、原點(diǎn)，以p的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。在區(qū)域，電勢滿足拉普拉斯方程。通解形式均為R2兩均勻(anRn時(shí),電勢趨于零，所以2/cosnRRR2時(shí)，電勢可寫為所以R0時(shí)，電勢應(yīng)趨于偶極子pfR/40R3R1時(shí)，電勢可寫為p激發(fā)的電勢:2pcos/40R設(shè)球殼的電勢為R2Ri由(3)得:由(4)得:所以boao再由Spcos40Rs，則bnRn1anRnp(cos)nPn(COS)pcos/4sR2；bn;aiR2/Rpcos/4dS0s將代入(5)(6)得:Q/4Q/4(2)0R12p/40R2晉4R20R2oRanR1npn(cos)sn(n0R30);an0(n0,1)pRcos得:(4)/

27、40Rl3(6)pcos40R2(RQ40R2R2)pRcos40R3,pRQ.R3R2R13在RR處，電荷分布為:DnR2Q4R；在RR處，電荷分布為:Dn0-RRi3pcos6.在均勻外電場E°中置入一帶均勻自由電荷4R3f的絕緣介質(zhì)球(電容率為),求空間各點(diǎn)的電勢。解：以球心為原點(diǎn)，以E0的方向?yàn)闃O軸方向建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)的電勢看作由兩部分迭加而成，一部分1為絕緣介質(zhì)球內(nèi)的均勻自由電荷產(chǎn)生，另一部分2為外電場E0及E0感應(yīng)的極化電荷產(chǎn)生。前者可用高斯定理求得，后者滿足拉普拉斯方程。由于對稱性，2的形式為(anRnbnR(n”歸出)n對于1,當(dāng)RR0時(shí)，由高斯定理得：Dif

28、R3/3R2,E1fR3/30R2當(dāng)RRo時(shí)，由高斯定理得:D2fR/3,1的球外部分:01E2fR/3Ro3-2f口(fR；/3oR2)dRRR0fR/3)dR1的球內(nèi)部分:i1對于2，當(dāng)R時(shí),o20時(shí),i2邊界條件為:E0R0cosE0R0cos比較Pn(cosaian所以o2fR；/30R0_2_fRo/3R2/6(1)RE2E0Rcos2為有限，所以anRnPn(CoSRo時(shí)，o20dR£fR/3)dREoRcos,所以含Pn(cos(RR0)i2，o20RbnRo(n1)Pn(cosn)的系數(shù),(bn0E0/(2fR2/6(R飛)i2RoR0即:anR；Pn(cos)(n1

29、)bnRo(n2)Pn(cos)nanROn1Pn(cos解得：20)o)EoR3/(0(n1)E0Rcos(30E0Rcos2o)/(0)E0R0cos20)/(2o)R2(RRo)(RR0)(4)由(1)(2)(3)(4)得:fRo23fR26fR330RE0Rcos0E0Rcos(RR0)7.在一很大的電解槽中充滿電導(dǎo)率為0)EoROcos22o)R2(RR0)2的液體，使其中流著均勻的電流置入一個(gè)電導(dǎo)率為1的小球，求穩(wěn)恒時(shí)電流分布和面電荷分布，討論21兩種情況的電流分布的特點(diǎn)。解：本題雖然不是靜電問題，但當(dāng)電流達(dá)到穩(wěn)定后，由于電流密度Jf0o今在液體中12及Jf0與電場強(qiáng)度E0成正比(

30、比例系數(shù)為電導(dǎo)率)，所以Eo也是穩(wěn)定的。這種電場也是無旋場，其電勢也滿足拉普拉斯方程，因而可以用靜電場的方法求解。(1)未放入小球時(shí)，電流密度Jf0是均勻的，由Jfo2E0可知，穩(wěn)恒電場E0也是一個(gè)均勻場。因此在未放入小球時(shí)電解液中的電勢。便是均勻電場E0的電勢。放入小球后,以球心為原點(diǎn)，E0的方向?yàn)闃O軸方向，建立球坐標(biāo)系。為方便起見，以坐標(biāo)原點(diǎn)為電勢零點(diǎn)。在穩(wěn)恒電流條件下,J0/t0,所以:由(1)式可推出穩(wěn)恒電流條件下的邊界條件為n設(shè)小球內(nèi)的電勢為(J2J1)01,電解液中的電勢為2,則在交界面上有:(2)(4)R0RR°代入(1),得:E)可見滿足拉普拉斯方程考慮到對稱性及R時(shí)

31、EJf0Rcos2E0,球外電勢的解可寫成：果P/cos)(RR0)R其中利用了考慮到RJf02E0。0時(shí)電勢為有限值，球內(nèi)電勢的解可寫成:因?yàn)檫xRanRnp/cos)n0處為電勢零點(diǎn)，所以(RRo)(6)a。0,將(5)(6)代入(3)(4)得:Jf0Rcos2rJf02cos2由(7)(8)兩式可得：含Pn(cos)anR；Pn(cos)n3Jf0/(1(nn22)an所以:0,bn0(n13Jf0RcosJf0Rcos/2Jf0R/2(由此可得球內(nèi)電流密度：J11E1113電解液中的電流密度為：1)-bnRn1)/(5P/cos)b1(22)3Jf0、3，/2)Jf0&cos/(

32、2)R；Jf°R/(11naR1Pn(cos)n32)Jf0R0/(1R/(122(Jf0R)/(122)(8)2)02RR3),21Jf0/(1(RRo)(RRo)22)J22E2(12叫3(Jf0R)R(122)R(2)兩導(dǎo)體交界面上自由電荷面密度fer(D2Di)0e(E2Ei)0er(J2/J1/1)3(i2)0Jf0cos/(122)2(3)當(dāng)12,即球的電導(dǎo)率比周圍電解液的電導(dǎo)率大的多時(shí),(i所以，2)/(122)131/(122)3J13Jf0J2Jf0(R03/R3)3(Jf0R)R/R230Jf0cos/2時(shí)，同理可得:J1J20Jf0(R03/2R3)3(Jf0R

33、)R/R2Jf。f30Jf0cos/228.半徑為&的導(dǎo)體球外充滿均勻絕緣介質(zhì)，導(dǎo)體球接地，離球心為a處(a>R)置一點(diǎn)電荷Qf,試用分離變量法求空間各點(diǎn)電勢，證明所得結(jié)果與電象法結(jié)果相同。解：以球心為原點(diǎn)，以球心到點(diǎn)電荷的連線為極軸建立球坐標(biāo)系。將空間各點(diǎn)電勢看作由兩部分迭加而成。一是介質(zhì)中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢1 Qf/4Jr2a22Racos,二是球面上的感應(yīng)電荷及極化面電荷產(chǎn)生的方程?？紤]到對稱性，2與無關(guān)。2。后者在球內(nèi)和球外分別滿足拉普拉斯由于R0時(shí)，2為有限值，所以球內(nèi)的2解的形式可以寫成由于Rni2anRFn(cos)n時(shí)，2應(yīng)趨于零，所以球外的2解的形式可以寫成o2由

34、于.R2a22Racos(1/a)(R/a)np(cos)n1(Qf/4a)(R/a)nF>(cos)n當(dāng)RR0時(shí)，內(nèi)1i2(Qf/4a)(R/a)nF>(cos)anRnF>(cosnn當(dāng)RR0時(shí)，外1o2(1)(2)(3)(4)(Qf/4a)(R/a)nPn(cos)njHPn(COS)(5)nR(6)外與內(nèi)R。將(6)代入(4)得：anQf/4將(7)代入(5)并利用(8)式得：將(8)(9)分別代入(4)(5)得：內(nèi)0(RRo)1rQf外<2一2一_4Ra2Racos0n1a(8)b/"r"*2n1/n1z_xnQfR0/4a(9)(10)R

35、Qfa、R2(Ro/a)22RR2cos/a,因?yàn)閷?dǎo)體球接地，所以內(nèi)0(RRo)(11)用鏡像法求解：設(shè)在球內(nèi)r。處的像電荷為Q'。由對稱性，Q'在球心與Qf的連線上，根據(jù)邊界條件：球面上電勢為0,可得：(解略)r0R：/a,Q'%Qf/a所以空間的電勢為1QfQ'、1rQf外二L)二22-4r124Ra2RacosRQa.R2(R2/a)22RRcos/a(RR0)9.接地的空心導(dǎo)體球的內(nèi)外半徑為R和R2,在球內(nèi)離球心為a處(a<R)置一點(diǎn)電荷Q。用鏡像法求電勢。導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷有多少？分布在內(nèi)表面還是外表面？解：假設(shè)可以用球外一個(gè)假想電荷Q'

36、代替球內(nèi)表面上感應(yīng)電荷對空間電場的作用，空心導(dǎo)體球接地，球外表面電量為零，由對稱性，Q'應(yīng)在球心與Q的連線上。Q/RQ'/R'式R為Q到P的距離,考慮球內(nèi)表面上任一點(diǎn)P,邊界條件要求：0(1)R'為Q'到P的距離，因此，對球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有(2)(4)R'/RQ'/Q常數(shù)只要選擇Q'的位置，使OQ'POPQ,則R'/RR1/a常數(shù)設(shè)Q'距球心為b,則b/R1R1/a,即bR2/a由(2)(3)兩式得：Q'R1Q/a1QRQ/a40Jr2a22Racos加""R4/a22R2Rco

37、s/a導(dǎo)體內(nèi)電場為零，由高斯定理可知球面上的感應(yīng)電荷為Q,分布于內(nèi)表面。由于外表面沒有電荷，且電勢為零，所以從球表面到無窮遠(yuǎn)沒有電場，外0。10 .上題的導(dǎo)體球殼不接地，而是帶總電荷Q,或使具有確定電勢°,試求這兩種情況的電勢。又問°與Q0是何種關(guān)系時(shí)，兩情況的解是相等的？解：由上題可知，導(dǎo)體球殼不接地時(shí)，球內(nèi)電荷Q和球的內(nèi)表面感應(yīng)電荷Q的總效果是使球殼電勢為零。為使球殼總電量為Q0,只需滿足球外表面電量為Q0+Q即可。因此,是Q與內(nèi)表導(dǎo)體球不接地而使球帶總電荷Q0時(shí)，可將空間電勢看作兩部分的迭加,面的Q產(chǎn)生的電勢i,二是外表面Q2RacosQ0+Q產(chǎn)生的電勢2。RQ/aR

38、2R4/a22R2Rcos0,(Q(Q(Q140Q0)/4Q0)/41r2(RQo)/40R0R2QR);2內(nèi)oR,(R(QQ0)/40R2R2),所以(RR2)(RRR2)(R=,(RR)/aR2);a22Racos由以上過程可見，球面電勢為(QR1Q/aR2R14/a22R12Rcos/aQo)/40R2。QQ0F,(RR1)R2若已知球面電勢0,可設(shè)導(dǎo)體球總電量為Q'0,則有:(QQ'0)/40R2電勢的解為：0,即:(QQ'0)/400R20R2/R040R2(R(RRQR)R2)2a2RacosR2R1Q/a4,22_R1/a2R1Rcos0/a(RRi)當(dāng)0

39、和Q0滿足0(QQo)/40R2時(shí)，兩種情況的解相同。11 .在接地的導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球凸部(如圖)，半球的球心在導(dǎo)體平面上，點(diǎn)電荷Q位于系統(tǒng)的對稱軸上，并與平面相距為b(b>a),試用電象法求空間電勢。解：如圖，根據(jù)一點(diǎn)電荷附近置一無限大接地導(dǎo)體平板和一點(diǎn)電荷附近置一接地導(dǎo)體球兩個(gè)模型，可確定三個(gè)鏡像電荷的電量和位置。2aaaQ1-Q，r1ez；Q2Q,r2bbbQ3Q，%bez,所以Q11a40.R2b22RbcosR2b22Rbcos2a4,a2.b,R2Rcosb2b4ab22_a_2Rcosb(02,Ra)12.有一點(diǎn)電荷Q位于兩個(gè)互相垂直的接地導(dǎo)體平面所圍成的直角空

40、間內(nèi)，它到兩個(gè)平面的距離為a和b,求空間電勢。解：用電像法，可以構(gòu)造如圖所示的三個(gè)象電荷來代替兩導(dǎo)體板的作用。Q(XL?"a?t-aQ(xo,a,b)Ib旦140.(xxo)2(ya)2(zb)?：Q(X0,a,b)Q(x0,ab)1(x%)2(ya)2(zb)2(y,z0)11(xxo)2(ya)2(zb)2(xx)2(ya)2(zb)2yB(Xo,y0,Zo)13.設(shè)有兩平面圍成的直角形無窮容器，其內(nèi)充滿電導(dǎo)率為加液體。取該兩平面為xz面和yz面在(x0,y0,z0)和(x0,y0,z0)兩點(diǎn)分別置正負(fù)電極并通以電流I,求導(dǎo)電液體中的電勢。解：本題的物理模型是，由外加電源在A、B

41、兩點(diǎn)間建立電場，使溶液中的載流子運(yùn)動形成電流I,當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，屬恒定場，即/t0,J0。對于恒定的電流，可按靜電場的方式處理。于是在A點(diǎn)取包圍A的高斯面，則由于I口jdS,jE,所以Q(x0,y0,z0)“Q(Xo,y0,Z0)Q(x0,Vo,Z0)Q(x0,y°,zo)zo)二EdSQ/I/Q/可得：QI/。同理，對B點(diǎn)有：QbI/Q又，在容器壁上，jn0,即無電流穿過容器壁。由jE可知，當(dāng)jn0時(shí)，En00所以可取如右圖所示電像，其中上半空間三個(gè)像電荷Q,下半空間三個(gè)像電荷-Q,容器內(nèi)的電勢分布為：18QiI14i1ri4(xX0)2(yy0)2(zZ0)211(xX0)2(yy

42、。)2(zZ0)2(xX0)2(yy。)2(zZ0)21.(xX0)2(yy0)2(zZ0)21,(x%)2(yy0)2(zz0)21(xx°)2(yy0)2(zz0)21222,(x%)(yy°)(z4)1(xx°)2(yy0)221(z4)14.畫出函數(shù)d(x)/dx的圖，說明于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。(P解：(1)(x)d(x)dx1) x0時(shí),lim(xx)(x)x0xd(x)/dx02) x0時(shí)，a)對于0,b)對于0,d(x)dxd(x)dx0lim一x0lim°x0)(x)是一個(gè)位圖象如右圖所示。(P)(x)(Px1/x1Px2/x2Px3

43、/x3)(x)xdV(p)(x)xdV其中第一項(xiàng)為：(Px1/x1Px2/乂2Px3/x3)(x)xdV(Px1一)(x)xdVx1Px1一x1(x1)d)(x3)(x/1x?e2x3e3)dx1dx2dx3Px1(x1)x1(x2)(x3)(x©x?e2x3e3)dx1dx2dx3e1P"1ddx1dx1dt(t)心,d(t)d(t)dt(t)小應(yīng)用s(t)t一即t一一口(t),可得:e1P"1ddx1dtdtdtdtePx1dx1(x)e1Px1(xjdx巾用%(x1)e1PxiePx1(x=0)同理可得另外兩項(xiàng)分別為e2Px2及e3Px3,所以，xdVp，即

44、p是一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的電荷密度。15.證明：(1)(ax)(x)/a(a0),(若a0,結(jié)果如何？)證明：1)顯然，當(dāng)x0時(shí),(ax)(x)/a成立;(ax)dx/、d(ax)(ax)-a1(ax)d(ax)一a(2)x(x)0(x)dx1所以(ax)(x)/a在全空間成立。0,(ax)dx(ax)dx(ax)da即，所以(ax)(ax)(x)/a(x)/a在全空間成立。2)由(x)的選擇性證明。x(x)(x)0,而x(x)dxx(x)0,進(jìn)而x(x)016.一塊極化介質(zhì)的極化矢量為P(x'),根據(jù)偶極子靜電勢的公式，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的靜'P(x')及pnP,電勢為P

45、(x，)3rdV',另外根據(jù)極化電荷公式pv40r極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢又可表為vA,二深詈，試證明以上兩表達(dá)式是等同的。證明：由第一種表達(dá)式得140V,P1rP(x')rdV'P(x')1'-dV'r,Wdv，r'P(x')dV'所以，兩表達(dá)式是等同的。實(shí)際上，繼續(xù)推演有：SadS,vFYdS,dV,40Vr剛好是極化體電荷的總電勢和極化面電荷產(chǎn)生的總電勢之和。17.證明下述結(jié)果，并熟悉面電荷和面偶極層兩側(cè)電勢和電場的變化。(1)在面電荷兩側(cè)，電勢法向微商有躍變，而電勢是連續(xù)的。(2)在面偶極層兩側(cè)，電勢有躍變21nP/0

46、,而電勢的法向微商是連續(xù)的。(各帶等量正負(fù)面電荷密度±(T而靠的很近的兩個(gè)面，形成面偶極層，而偶極矩密度Pliml)證明：1)如圖,由高斯定理可得：2ES/20，(/20)z/20)z即，1/2/n2電勢是連續(xù)的，但是n1EEm2nez/n1ez/2/22/n2即,電勢法向微商有躍變2)如圖，由高斯定理可得:!imJEeznl/+(T一(Tn又1/P/1/n2/n0,即電勢的法向微商是連續(xù)的。18.一個(gè)半徑為R0的球面，在球坐標(biāo)0/2的半球面上電勢為0在/2半球面上電勢為0,求空間各點(diǎn)電勢。一，、一，、11提示：°Pn(x)dxPn1(X)Pn1(X)0Pn(0)(2n1,(n奇數(shù))1)n/2135(n,246解：由題意，球內(nèi)外電勢均滿足拉普拉斯方程:球內(nèi)電勢在rPn1,1)n(n偶數(shù))0時(shí)為有限，球外電勢在)。;時(shí)為0,所以通解形式為:n內(nèi)anrPn(cos)外nbnn1rPn(cos在球面上,外lrR0，即將f()按球函數(shù)展開為廣義傅立葉級數(shù),rR0f()f(),(0fnPn(COS/2)/2)則anR(nbnR0(n"fn，下面求fn。1.解:2.fn由于fn2n1122n122n12Pn(x)2n1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),anbn至此,試用fn