高數(shù)習(xí)題答案 總習(xí)題三

1、總習(xí)題三 1. 填空: 設(shè)常數(shù)k>0, 函數(shù)在(0, +¥)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_. 解 應(yīng)填寫2. 提示: , . 在(0, +¥)內(nèi), 令f ¢(x)=0, 得唯一駐點(diǎn)x=e . 因?yàn)閒 ¢¢(x)<0, 所以曲線在(0, +¥)內(nèi)是凸的, 且駐點(diǎn)x=e一定是最大值點(diǎn), 最大值為f(e)=k>0. 又因?yàn)? , 所以曲線經(jīng)過x軸兩次, 即零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2. 2. 選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中一個(gè)正確的結(jié)論: 設(shè)在0, 1上f ¢¢(x)>0, 則f ¢(0), f ¢(1),

2、 f(1)-f(0)或f(0)-f(1)幾個(gè)數(shù)的大小順序?yàn)? ). (A)f ¢(1)>f ¢(0)>f(1)-f(0); (B)f ¢(1)>f(1)-f(0)>f ¢(0); (C)f(1)-f(0)>f ¢(1)>f ¢(0); (D)f ¢(1)>f(0)-f(1)>f ¢(0). 解 選擇B . 提示: 因?yàn)閒 ¢¢(x)>0, 所以f ¢(x)在0, 1上單調(diào)增加, 從而f ¢(1)>f ¢(x

3、)>f ¢(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f(1)-f(0)=f ¢(x), xÎ0, 1, 所以 f ¢(1)> f(1)-f(0)>f ¢(0). 3. 列舉一個(gè)函數(shù)f(x)滿足: f(x)在a, b上連續(xù), 在(a,b)內(nèi)除某一點(diǎn)外處處可導(dǎo), 但在(a, b)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a). 解 取f(x)=|x|, xÎ-1, 1. 易知f(x)在-1, 1上連續(xù), 且當(dāng)x>0時(shí)f ¢(x)=1; 當(dāng)x>0時(shí), f ¢(x)=-1;

4、 f ¢(0)不存在, 即f(x)在-1, 1上除x=0外處處可導(dǎo). 注意f(1)-f(-1)=0, 所以要使f(1)-f(-1)=f ¢(x)(1-(-1)成立, 即f ¢(x)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)內(nèi)不存在點(diǎn)x , 使f(1)-f(-1)=f ¢(x)(1-(-1). 4. 設(shè), 求. 解 根據(jù)拉格朗日中值公式, f(x+a)-f (x)=f ¢(x )×a, x 介于x+a 與x之間. 當(dāng)x®¥ 時(shí), x ® ¥, 于是 . 5. 證明多項(xiàng)式f (x)=x3-3x+a在

5、0, 1上不可能有兩個(gè)零點(diǎn). 證明 f ¢(x)=3x2-3=3(x2-1), 因?yàn)楫?dāng)xÎ(0, 1)時(shí), f ¢(x)<0, 所以f (x)在0, 1上單調(diào)減少. 因此, f(x) 在0, 1上至多有一個(gè)零點(diǎn). 6. 設(shè)=0, 證明多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+× × ×+anxn在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 證明 設(shè), 則F(x)在0, 1上連續(xù), 在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo), 且F(0)=F(1)=0. 由羅爾定理, 在(0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F ¢(x)=f(x), 所以f(x)在(

6、0, 1)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn). 7. 設(shè)f(x)在0, a上連續(xù), 在(0, a)內(nèi)可導(dǎo), 且f(a)=0, 證明存在一點(diǎn)xÎ(0, a), 使f(x)+xf ¢(x)=0. 證明 設(shè)F(x)=xf(x), 則F(x)在0, a 上連續(xù), 在(0, a )內(nèi)可導(dǎo), 且F(0)=F(a)=0. 由羅爾定理, 在(0, a )內(nèi)至少有一個(gè)點(diǎn)x , 使F(x )=0. 而F(x)=f(x)+x f ¢(x), 所以f(x)+xf ¢(x)=0. 8. 設(shè)0<a<b, 函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 試?yán)每挛髦兄刀ɡ? 證明存

7、在一點(diǎn)xÎ(a, b)使. 證明 對于f(x)和ln x在a, b上用柯西中值定理, 有 , xÎ(a, b), 即 , xÎ(a, b). 9. 設(shè)f(x)、g(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 且|f ¢(x)|<g¢(x), 證明: 當(dāng)x>a時(shí), |f(x)-f(a)|<g(x)-g(a). 證明 由條件|f ¢(x)|<g¢(x)得知, , 且有g(shù)¢(x)>0, g(x)是單調(diào)增加的, 當(dāng)x>a時(shí), g(x)>g(a). 因?yàn)閒 (x)、g (x)都是可導(dǎo)函數(shù), 所以f (x)、

8、g (x) 在a, x上連續(xù), 在(a, x)內(nèi)可導(dǎo), 根據(jù)柯西中值定理, 至少存在一點(diǎn)xÎ(a, x), 使. 因此, , |f (x)-f (a)|<g (x)-g (a). 10. 求下列極限: (1); (2); (3). (4)(其中a1, a2, × × ×, an>0). 解 (1) (xx)¢=(ex l n x )¢=e x l n x (ln x+1)=xx (ln x+1). . (2) (3), 因?yàn)?, 所以 . (4)令. 則, 因?yàn)?=ln a1+ln a2+× × 

9、15;+ln an=ln(a1×a2× × × an). 即=ln(a1×a2× × × an), 從而. 11. 證明下列不等式: (1)當(dāng)時(shí), ; (2):當(dāng)x>0時(shí), . 證明 (1)令, . 因?yàn)? 所以在內(nèi)f(x)為單調(diào)增加的. 因此當(dāng)時(shí)有 , 即. (2)要證(1+x)ln(1+x)>arctan x , 即證(1+x)ln(1+x)- arctan x >0. 設(shè)f(x)=(1+x)ln(1+x)- arctan x , 則f(x)在0, +¥)上連續(xù),. 因?yàn)楫?dāng)x>

10、0時(shí), ln(1+x)>0, , 所以f ¢(x)>0, f(x)在0, +¥)上單調(diào)增加. 因此, 當(dāng)x>0時(shí), f(x)>f(0), 而f(0)=0, 從而f(x)>0, 即(1+x)ln(1+x)-arctan x>0 . 12. 設(shè), 求f(x)的極值. 解 x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn). 當(dāng)x<0時(shí), f ¢(x)=1; 當(dāng)x>0時(shí), f ¢(x)=2x 2x (ln x +1). 令f ¢(x)=0, 得函數(shù)的駐點(diǎn). 列表: x(-¥, 0)0f ¢(x)+不存在-0+f(

11、x)2極大值極小值函數(shù)的極大值為f (0)=2, 極小值為. 13. 求橢圓x2-xy +y2=3上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn). 解 2x-y-xy¢+2yy¢=0, . 當(dāng)時(shí), y¢=0. 將代入橢圓方程, 得, y =±2 . 于是得駐點(diǎn)x=-1, x=1. 因?yàn)闄E圓上縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)一定存在, 且在駐點(diǎn)處取得, 又當(dāng)x=-1時(shí), y =-2, 當(dāng)x=1時(shí), y=2, 所以縱坐標(biāo)最大和最小的點(diǎn)分別為(1, 2)和(-1, -2). 14. 求數(shù)列的最大項(xiàng). 解 令(x>0), 則 , , . 令f ¢(x)=0, 得唯一駐點(diǎn)x=e .

12、因?yàn)楫?dāng)0<x<e時(shí), f ¢(x)>0; 當(dāng)x>e時(shí), f ¢(x)<0, 所以唯一駐點(diǎn)x=e為最大值點(diǎn). 因此所求最大項(xiàng)為. 15. 曲線弧y=sin x (0<x<p)上哪一點(diǎn)處的曲率半徑最小？求出該點(diǎn)處的曲率半徑. 解 y¢=cos x, y¢¢=-sin x, (0<x<p), . 在(0, p)內(nèi), 令r¢=0, 得駐點(diǎn). 因?yàn)楫?dāng)時(shí), r¢<0; 當(dāng)時(shí), r¢>0, 所以是r的極小值點(diǎn), 同時(shí)也是r的最小值點(diǎn), 最小值為. 16. 證明方程

13、x3-5x-2=0只有一個(gè)正根. 并求此正根的近似值, 使精確到本世紀(jì)末10-3. 解 設(shè)f (x)=x3-5x-2, 則 f ¢(x)=3x2-5, f ¢¢(x)=6x . 當(dāng)x>0時(shí), f ¢¢(x)>0, 所以在(0, +¥)內(nèi)曲線是凹的, 又f(0)=-2, , 所以在(0, +¥)內(nèi)方程x3-5x-2=0只能有一個(gè)根. (求根的近似值略) 17. 設(shè)f ¢¢(x0)存在, 證明. 證明 . 18. 設(shè)f (n)(x0)存在, 且f (x0)=f ¢(x0)= ×

14、 × × =f (n)(x0)=0, 證明f(x)=o(x-x0)n (x®x0). 證明 因?yàn)?=× × × , 所以f(x)=o(x-x0)n (x®x0). 19. 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)二階可導(dǎo), 且f ¢¢(x)³0. 證明對于(a, b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1, x2及0£t£1, 有f(1-t)x1+tx2£(1-t)f(x1)+tf(x2). 證明 設(shè)(1-t)x1+tx2=x0. 在x=x0點(diǎn)的一階泰勒公式為 (其中x介于x與x0之間). 因?yàn)閒 &#

15、162;¢(x)³0, 所以 f(x)³f(x0)+f ¢(x0)(x-x0). 因此 f(x1)³ f(x0)+f ¢(x0)(x1-x0), f(x2)³f(x0)+f ¢(x0)(x2-x0). 于是有 (1-t)f(x1)+tf(x2)³(1-t) f(x0)+f ¢(x0)(x1-x0)+tf(x0)+f ¢(x0)(x2-x0) =(1-t)f(x0)+t f(x0)+f ¢(x0)(1-t)x1+t x2-f ¢(x0)(1-t)x0+t x0 =f(

16、x0)+f ¢(x0)x0-f ¢(x0)x0 =f(x0), 即 f(x0)£(1-t)f(x1)+tf(x2),所以 f(1-t)x1+tx2£(1-t)f(x1)+tf(x2) (0£t£1). 20. 試確定常數(shù)a和b, 使f(x)=x-(a+b cos x)sin x為當(dāng)x®0時(shí)關(guān)于x的5階無窮小. 解 f(x)是有任意階導(dǎo)數(shù)的, 它的5階麥克勞公式為 . 要使f(x)=x-(a+b cos x)sin x為當(dāng)x®0時(shí)關(guān)于x的5階無窮小, 就是要使極限 存在且不為0. 為此令 , 解之得, . 因?yàn)楫?dāng),

17、時(shí), , 所以當(dāng),時(shí), f(x)=x-(a+b cos x)sin x為當(dāng)x®0時(shí)關(guān)于x的5階無窮小. 習(xí)題 2-2 1. 推導(dǎo)余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)¢=-csc2x ; (csc x)¢=-csc xcot x . 解 . . 2. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2) y=5x3-2x+3ex ; (3) y=2tan x+sec x-1; (4) y=sin x×cos x ; (5) y=x2ln x ; (6) y=3excos x ; (7); (8); (9) y=x2ln x cos x ; (10); 解 (1)

18、 . (2) y¢=(5x3-2x+3ex)¢=15x2-2x ln2+3ex. (3) y¢=(2tan x +sec x-1)¢=2sec2x+sec x×tan x=sec x(2sec x+tan x). (4) y¢=(sin x×cos x)¢=(sin x)¢×cos x+sin x×(cos x)¢ =cos x×cos x+sin x×(-sin x)=cos 2x. (5) y¢=(x2ln x)¢=2x×

19、ln x+x2×=x(2ln x+1) . (6) y¢=(3excos x)¢=3ex×cos x+3ex×(-sin x)=3ex(cos x-sin x). (7). (8). (9) y¢=(x2ln x cos x)¢=2x×ln x cos x+x2××cos x+x2 ln x×(-sin x) 2x ln x cos x+x cos x-x2 ln x sin x . (10). 3. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù): (1) y=sin x-cos x , 求和. (2)

20、,求. (3), 求f ¢(0)和f ¢(2) . 解 (1)y¢=cos x+sin x, , . (2), . (3), , . 4. 以初速v0豎直上拋的物體, 其上升高度s與時(shí)間t的關(guān)系是. 求: (1)該物體的速度v(t); (2)該物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 解 (1)v(t)=s¢(t)=v0-gt. (2)令v(t)=0, 即v0-gt=0, 得, 這就是物體達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻. 5. 求曲線y=2sin x+x2上橫坐標(biāo)為x=0的點(diǎn)處的切線方程和法線方程. 解 因?yàn)閥¢=2cos x+2x, y¢|x=0=2, 又當(dāng)x=0

21、時(shí), y=0, 所以所求的切線方程為 y=2x, 所求的法線方程為 , 即x+2y=0. 6. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=(2x+5)4 (2) y=cos(4-3x); (3); (4) y=ln(1+x2); (5) y=sin2x ; (6); (7) y=tan(x2); (8) y=arctan(ex); (9) y=(arcsin x)2; (10) y=lncos x. 解 (1) y¢=4(2x+5)4-1×(2x+5)¢=4(2x+5)3×2=8(2x+5)3. (2) y¢=-sin(4-3x)×(4-3x)

22、¢=-sin(4-3x)×(-3)=3sin(4-3x). (3). (4). (5) y¢=2sin x×(sin x)¢=2sin x×cos x=sin 2x . (6) . (7) y¢=sec2(x2)×(x2)¢=2xsec2(x2). (8). (9) y¢. (10). 7. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1) y=arcsin(1-2x); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9) y=ln(sec x+tan x); (10) y=ln(csc x

23、-cot x). 解 (1). (2) . (3) . (4). (5). (6). (7). (8) . (9) . (10) . 8. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1); (2); (3); (4); (5)y=sinnxcos nx ; (6); (7); (8) y=lnln(ln x) ; (9); (10). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5) y¢=n sinn-1x×(sin x)¢×cos nx+sinnx×(-sin nx)×(nx)¢ =n sinn-1x×cos x 

24、15;cos nx+sinnx×(-sin nx)×n =n sinn-1x×(cos x×cos nx-sin x×sin nx)= n sinn-1xcos(n+1)x . (6). (7) . (8) . (9) . (10) . 9. 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)可導(dǎo), 且f2(x)+g2(x)¹0, 試求函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 解 . 10. 設(shè)f(x)可導(dǎo), 求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù): (1) y=f(x2); (2) y=f(sin2x)+f(cos2x). 解 (1) y¢=f ¢(x2)×(x2)¢= f ¢(x2)×2x=2x×f ¢(x2). (2) y¢=f ¢(sin2x)×(sin2x)¢+f ¢(cos2x)×(cos2x)¢ = f ¢(sin2x)×2sin x×cos x+f