一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)知識點和典型例題講解

1、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、知識要點:1、一次函數(shù)：形如y=kx+b(kw0,k,b為常數(shù))的函數(shù)。注意：(1)kw0,否則自變量x的最高次項的系數(shù)不為1;(2)當b=0時，y=kx,y叫x的正比例函數(shù)。2、圖象：一次函數(shù)的圖象是一條直線，(1)兩個常有的特殊點：與y軸交于(0,b);與x軸交于(-,0)(2)由圖象可以知道，直線y=kx+b與直線y=kx平行，例如直線：y=2x+3與直線y=2x-5都與直線y=2x平行。3、性質(zhì)：(1)圖象的位置：廠/、k>0k>0k<0/ 、7b>/K*,Zo'k0 7/(2)增減性k>0時，y隨x增大而增大k<0時，

2、y隨x增大而減小4.求一次函數(shù)解析式的方法求函數(shù)解析式的方法主要后二種(1)由已知函數(shù)推導或推證(2)由實際問題列出二元方程，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，此類題一 式前無法(或不易)判斷兩個變量之間具有什么樣的函數(shù)關(guān)系。kCO/ )b>0a X *、 |一般在沒后寫出函數(shù)解析(3)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式?！按ㄏ禂?shù)法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某種確定形式的數(shù)學問題,通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程(組)來解決，題目的已知恒等式中含有幾個等待確定的系數(shù)，一般就需列出幾個含有待定系數(shù)的方程，本單元構(gòu)造方程一般有下列幾種情況：利用一次函數(shù)的定義的指數(shù)=1的系數(shù)不口構(gòu)造方程組。利用一次函數(shù)

3、y=kx+b中常數(shù)項b恰為函數(shù)圖象與y軸交點的縱坐標，即由b來定點;直線y=kx+b平行于y=kx,即由k來定方向。利用函數(shù)圖象上的點的橫、縱坐標滿足此函數(shù)解析式構(gòu)造方程。利用題目已知條件直接構(gòu)造方程。二、例題舉例：上例1.已知y=,其中二(kw。的常數(shù))，與成正比例，求證y與x也成正比例。證明：與成正比例，設(shè)=2(20的常數(shù)),ky=,=(kw0的常數(shù)),x上y=a=akx,其中akw0的常數(shù)，V與x也成正比例。例2.已知一次函數(shù)=(n-2)x+-n-3的圖象與y軸交點的縱坐標為-1,判斷=(3-)是什么函數(shù)，寫出兩個函數(shù)的解析式，并指出兩個函數(shù)在直角坐標系中的位置及增減性。n2-n-3=一

4、解：依題意，得小、n-2*0解得n=-1, =-3x-1,二(3-)x,是正比例函數(shù)；=-3x-1的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，隨x的增大而減??；二(3-)x的圖象經(jīng)過第一、三象限，隨x的增大而增大。說明：由于一次函數(shù)的解析式含有待定系數(shù)n,故求解析式的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于n的方程，此題利用“一次函數(shù)解析式的常數(shù)項就是圖象與y軸交點縱坐標”來構(gòu)造方程。例3.直線y=kx+b與直線y=5-4x平行，且與直線y=-3(x-6)相交，交點在y軸上，求此直線解析式。分析：直線y=kx+b的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定與y軸的交點，若兩直線平行，則解析式的一次項系數(shù)k相等。例y=2x,y=2x

5、+3的圖象平行。解：y=kx+b與y=5-4x平行，k=-4,y=kx+b與y=-3(x-6)=-3x+18相交于y軸， .b=18,y=-4x+18。說明：一次函數(shù)y=kx+b圖象的位置由系數(shù)k、b來決定：由k來定方向，由b來定點，即函數(shù)圖象平行于直線y=kx,經(jīng)過(0,b)點，反之亦成立，即由函數(shù)圖象方向定k,由與y軸交點定bo例4.直線與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點B,若點B到x軸的距離為2,求直線的解析式。解：點B到x軸的距離為2, 點B的坐標為(0,±2),設(shè)直線的解析式為y=kx±2, 直線過點A(-4,0),.0=-4k±2,解得：k=&#

6、177;,21 1，直線AB的解析式為y=-x+2或y=-x-2.說明：此例看起來很簡單，但實際上隱含了很多推理過程，而這些推理是求一次函數(shù)解析式必備的。(1)圖象是直線的函數(shù)是一次函數(shù)；(2)直線與y軸交于B點，則點B(0,);(3)點B到x軸距離為2,則|二2；(4)點B的縱坐標等于直線解析式的常數(shù)項，即b=;(5)已知直線與y軸交點的縱坐標，可設(shè)y=kx+,卜面只需待定k即可。例5.已知一次函數(shù)的圖象，交x軸于A(-6,0),交正比例函數(shù)的圖象于點B,且點B在第三象限，它的橫坐標為-2,4AOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式。分析：自畫草圖如下：解：設(shè)正比例函數(shù)y=k

7、x,一次函數(shù)y=ax+b,點B在第三象限，橫坐標為-2,設(shè)B(-2,),其中<0,:S描oe=6，-AO-|=6,2=-2,把點B(-2,-2)代入正比例函數(shù)y=kx,得k=1把點A(-6,0)、B(-2,-2)代入y=ax+b,fO-6a十b將-2b=-3y=x,y=-x-3即所求。說明：(1)此例需要利用正比例函數(shù)、一次函數(shù)定義寫出含待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式，注意兩個函數(shù)中的系數(shù)要用不同字母表示；(2)此例需要把條件(面積)轉(zhuǎn)化為點B的坐標。這個轉(zhuǎn)化實質(zhì)含有兩步：一是利用面積公式-AO-BD=6(過點B作BD±AO于D)計算出線段長BD=2,再利用|二BD及點B2在第三象PM計算出

8、=-2。若去掉第三象限的條件，想一想點B的位置有幾種可能，結(jié)果會有什么變化(答：有兩種可能，點B可能在第二象限(-2,2),結(jié)果增加一組y=-x,y4(x+3).2例6.已知正比例函數(shù)y=kx(k<0)圖象上的一點與原點的距離等于13,過這點向x軸作垂線，這點到垂足間的線段和x軸及該圖象圍成的圖形的面積等于30,求這個正比例函數(shù)的解析式。分析：畫草圖如下:則OA=13,S她口。=30,則列方程求出點A的坐標即可。解法1:設(shè)圖象上一點A(x,y)滿足30解得：-5凹=-12-5y? =12 '12-5；-12125代入y=kx(k<0)得k=-,k=-."巴或y=&

9、#39;x。512解法2:設(shè)圖象上一點A(a, ka)滿足+(ka)-|ka|ah30<060由(2)得=-,60代入(1),得(1+)(-丁尸.整理，得60+169k+60=0.512解得k=或k=-.1255針12.y=-x或y=-x.125說明：由于題目已經(jīng)給定含有待定系數(shù)的結(jié)構(gòu)式y(tǒng)=kx,其中k為待定系數(shù)，故解此例的關(guān)鍵是構(gòu)造關(guān)于k的方程。此例給出的兩個解法代表兩種不同的思路：解法1是把已知條件先轉(zhuǎn)化為求函數(shù)圖象上一點的坐標，構(gòu)造方程解出，再求k;解法2是引進輔助未知數(shù)a,利用勾股定理、三角形面積公式直接構(gòu)造關(guān)于a、k的方程組，解題時消去a,求出k值。歷例7.在直角坐標系x0y中

10、，一次函數(shù)y=2x+的圖象與x軸，y軸，分別交于A、B3兩點，點C坐標為（1,0）,點D在x軸上，且/BCD=/ABD,求圖象經(jīng)過B、D兩點的一次函數(shù)的解析式。分析：由已知可得A點坐標（-3,0）,B點坐標（0,）,點C是確定的點（1,0）,解題的關(guān)鍵是確定點D的坐標，由點D在x軸上，以/BCD=ZABD的條件，結(jié)合畫草圖可知/BCD的邊BC確定，頂點C確定，但邊CD可以有兩個方向，即點D可以在C點右側(cè)，也可以在C點左側(cè)，因此解此題要分類討論。解：點A、B分別是直線丫=*乂+與乂軸和y軸交點,3 A（-3,0）,B（0,）, 點C坐標（1,0）由勾股定理得BC=AB=,設(shè)點D的坐標為（x,0）

11、,（1）當點D在C點右側(cè)，即x>1時， /BCD=ZABD,/BDC=ZADB, .BCDABD,BCCD=jI二7I8-22x+5=051,x1=.-.，x2=經(jīng)檢驗：x仁?,X2=!，都是方程的根。24,x=1，不合題意，.舍去。x=,42D點坐標為(3,0)。2設(shè)圖象過B、D兩點的一次函數(shù)解析式為y=kx+b,b=、回憶-_寶4515-k+b=0,r-2b=72，所求一次函數(shù)為y=-1x+5(2)若點D在點C左側(cè)則x<1,可證ABADB,.AD=BD二二一了二.IX4M|口+2一而并8-18x-5=0151x1=-，x2=，經(jīng)檢驗xi=-,x2=，都是方程的根。4 25 1x2=不合題意舍去，xi=-,.D點坐標為(-！,0),4圖象過B、D(-,0)兩點的一次函數(shù)解析式為y=4x+4綜上所述，滿足題意的一次函數(shù)為y=-2：ZZx+或y=4x+.51例8.已知：如圖一次函數(shù)y=x-3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，過點C(4,0)作AB的垂線交AB于點E,交y軸于點D,求點D、E的坐標。1解：直線y=x-3與x軸交于點A(6,0),與y軸交于點B(0,-3),. OAXOB, CDXAB,Z ODC=Z OAB,0A=6,0B=3,cotZODC=cotZOAB,即吵=也O