《幾何畫板》教程——從入門到精通

1、幾何畫板教程從入門到精通用幾何畫板做數(shù)理實驗首先請下載安裝好幾何畫板軟件，打開幾何畫板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如圖所示：圖1-0.1我們主要認(rèn)識一下工具箱和狀態(tài)欄，其它的功能在今后的學(xué)習(xí)過程中將學(xué)會使用。案例一 四人分餅有一塊厚度均勻的三角形薄餅，現(xiàn)在要把它平均分給四個人，應(yīng)該如何分？圖1-1.1思路：這個問題在數(shù)學(xué)上就是如何把一個三角形分成面積相等的四部分。方案一：畫三角形的三條中位線，分三角形所成的四部分面積相等，（其實四個三角形全等）。如圖1-1.2。圖1-1.2方案二：四等分三角形的任意一邊，由等底等高的三角形面積相等，可以得出四部分面積相等，如圖1-1.3。圖1-1.3用幾

2、何畫板驗證：第一步：打開幾何畫板程序，這時出現(xiàn)一個新繪圖文件。說明：如果幾何畫板程序已經(jīng)打開，只要由菜單“文件”à“新繪圖”，也可以新建一個繪圖文件。第二步：(1)在工具箱中選取“畫線段”工具；(2)在工作區(qū)中按住鼠標(biāo)左鍵拖動，畫出一條線段。如圖1-1.4。注意：在幾何畫板中，點用一個空心的圈表示。圖1-1.4第三步：(1)選取“文本”工具；(2)在畫好的點上單擊左鍵，可以標(biāo)出兩點的標(biāo)簽，如圖1-1.5：注意：如果再點一次，又可以隱藏標(biāo)簽，如果想改標(biāo)簽為其它字母，可以這樣做：用“文本”工具雙擊顯示的標(biāo)簽，在彈出的對話框中進(jìn)行修改，(本例中我們不做修改)。如圖1-1.6圖1-1.6在后

3、面的操作中，請觀察圖形，根據(jù)需要標(biāo)出點或線的標(biāo)簽，不再一一說明圖1-1.5第四步：(1)再次選取“畫線段”工具，移動鼠標(biāo)與點A重合，按左鍵拖動畫出線段AC；(2)畫線段BC，標(biāo)出標(biāo)簽C，如圖1-1.7。注意：在熟悉后，可以先畫好首尾相接的三條線段后再標(biāo)上標(biāo)簽更方便。圖1-1.7第五步：(1) 用“選擇”工具單擊線段AB，這時線段上出現(xiàn)兩個正方形的黑塊，表示線段處于被選取狀態(tài)；(2) 由菜單“作圖”à“中點”，畫出線段AB的中點，標(biāo)上標(biāo)簽。得如圖1-1.8。注意：如果被選取的是點，點的外面會有一個粗黑圓圈。在幾何畫板中，選取線段是不包括它的兩個端點的，以后的問題都是這樣，如果不小心多選

4、了某個對象，可以按Shift鍵后用左鍵再次單擊該對象取消選取。圖1-1.8第六步：用同樣的方法畫出其它兩邊的中點。得如圖1-1.9。技巧：最快的方法是：按住Shift不放，用“選擇”工具分別點擊三條線段，可以同時選取這三條線段，再由“作圖”à“畫中點”(或按快捷鍵Ctrl+M)，就可以同時畫好三條邊的中點。圖1-1.9第七步：用“畫線段”工具連結(jié)DE、EF、FD，得如圖1-1.10：技巧：畫線段的另一方法，在保證畫線工具出現(xiàn)的是“畫線段”按鈕(不必選取)的前提下。選取兩點后，由菜單“作圖”à“畫線段”，(或按快捷鍵Ctrl+L),可以畫出連結(jié)兩點的線段。本例最快的做法：1、

5、選取“畫點”工具，按住Shift鍵不放在工作區(qū)中畫三個點，這時三個頂點都保持選取狀態(tài)2、按Ctrl+L,可以同時畫出三條邊并且三邊同時被選??；3、按Ctrl+M，可以同時畫出三邊中點且三中點同時被選?。?、按Ctrl+L,可以同時畫出小三角形三條邊，標(biāo)上標(biāo)簽即可。圖1-1.10第八步：(1) 按住Shift鍵不放，用“選擇“工具選取點A、D、F；(2) 由菜單“作圖”à“多邊形內(nèi)部”填充多邊形內(nèi)部；(3) 保持內(nèi)部的選取狀態(tài)，由菜單“度量”à“面積”，可以量出ADF的面積，如圖1-1.11。圖1-1.11第九步：(1) 用同樣的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF；

6、(2) 選取DEF的內(nèi)部，由菜單“顯示”à“顏色”，選擇其它顏色，如藍(lán)色，得到如圖1-1.12。圖1-1.2注意：在制作過程中，要經(jīng)常保存文件，以免因意外原因造成文件丟失，以下每一個例子都是這樣，不再加以說明。歸納結(jié)論：拖動頂點A、B、C中的任一個，可以改變?nèi)切蔚拇笮『托螤睿堄^察不同情況下，四部分的面積是否總是相等？這樣做可以完成分餅的任務(wù)嗎？說明：這是通過實驗來驗證數(shù)學(xué)規(guī)律，不能保證結(jié)論一定是正確，一般來說，有一些結(jié)果經(jīng)過了人類的長期實踐，大家都公認(rèn)了它的正確性，這時會把這個結(jié)論作為公理直接使用；而大多數(shù)情況下，實驗得到的結(jié)果仍然需要進(jìn)行推理證明。那么，實驗有什么用呢？實驗可以

7、幫助我們認(rèn)識規(guī)律，更容易接受知識，并且常?？梢宰屛覀冋业浇鉀Q問題的方向。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例一供參考。練習(xí)：1、對于方案二，四等分面積的問題就轉(zhuǎn)化為四等分線段的問題，四等分線段可以用哪些方法？2、為了方便在改變等分的份數(shù)（例如要分成五份）時方法仍然能用，這里介紹利用平行線等分線段的方法把一條線段四等分。第一步：(1) 選取“畫射線”工具；(2)移動鼠標(biāo)到與點A重合，按住左鍵拖動，畫出一條以點A為端點的射線AD，得如圖1-1.13。圖1-1.13第二步：(1) 選取“畫點”工具，移動鼠標(biāo)到射線AD上，在靠近點A處單擊畫出一個點E，得如圖1-1.14；(2) 按住Shift鍵不放，

8、用“選擇”工具，依次選取點A、E，由菜單“變換”à“標(biāo)記向量A-E”。說明：標(biāo)記了一個向量后，可以在后面的平移變換中按這個向量來平移，保證出現(xiàn)若干段相等的線段，標(biāo)記向量時，一定要注意選選擇點的先后順序。圖1-1.14第三步：(1) 用“選擇”工具選取點E，由菜單“變換”à“平移”，在彈出的對話框中點“確定”即可得一點；(2) 選取，做同樣的操作可以得，這樣做下去，直到得到你想要的若干段相等的線段，這里是四段，如圖1-1.15。圖1-1.15第四步：(1) 連結(jié)B；（2）同時選取線段B、點E、，由菜單“作圖”à“平行線”，畫出了一組平行線，如圖1-1.16。圖1-1

9、.16第五步：(1) 用“選擇”工具單擊平行線和AB相交處，得到三個四等分點；(2) 選取所有平行線、射線AD及AD上的點(除A外)，由菜單“顯示”à“隱藏 對象”，可以隱藏制作過程中的輔助線。得如圖1-1.17。以下只要連結(jié)點C和三個四等分點就行了，注意：在最后結(jié)果中不需要看到的對象，一般是把它隱藏，如果你選取后刪去了它，你會發(fā)現(xiàn)你要的四等分點也會消失，這是因為這些點是受輔助線控制的，隱藏的對象只是看不到，但它仍然起作用。隱藏和刪除是不同的。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例一的練習(xí)供參考。圖1-1.17、自己比較一下這兩種方法，在只需要四等分的情況下，哪種方法方便？，在需要其它

10、等分的情況下，哪種方法更具有一般性？案例二 三角形的內(nèi)角和現(xiàn)有一塊三角形的木板，用來制作一個半圓形的木蓋，請設(shè)計一個浪費(fèi)比較小并且便于施工的方案。圖1-2.1思路：以三角形較短一邊的一半為半徑，以三個頂點為圓心畫弧，得到三個扇形后拼成半圓，如圖1-2.2：圖1-2.2那么，如何知道拼成的一定是一個半圓呢？下面用幾何畫板做一個實驗來說明。方案：畫一個三角形；量三個內(nèi)角的度數(shù)；用幾何畫板的計算功能計算三個內(nèi)角的和。如果對于任意的三角形，總有內(nèi)角和是1800，那么說明拼成的一定是一個半圓形。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。畫出三角形ABC第二步：(1) 選取“選擇”工具，按住Shi

11、ft不放，依次選取點B、A、C；(2) 由菜單中的“度量”à“角度”，量出BAC的度數(shù)，用同樣的方法度量其它兩個角。如圖1-2.3說明：由于每個人畫的圖不同，度數(shù)不一定和圖1-2.3一樣）。注意：選一個角的關(guān)鍵是角的頂點要第二個選。圖1-2.3第三步：由菜單“度量”à“計算”彈出一個計算器，依次點擊“BAC=”、“+”、“ABC=”“+”、“ACB=”、“確定”，如圖1-2.4。說明：“BAC=”在本例中是“BAC=45.00”，這里用省略號表示，是因為每個人畫的圖不同，量出的度數(shù)有可能不同，以后類似的問題都這樣來表示。技巧：彈出計算器的方法有：(1) 由菜單“度量”

12、24;“計算”；(2) 雙擊工作區(qū)中的任一度量值，如“BAC=”；(3) 在工作區(qū)中擊鼠標(biāo)右鍵，由“度量”à“計算”。圖1-2.4歸納結(jié)論：請按要求操作后填寫下表：序號操 作現(xiàn)象三個角的和等于1觀察BAC=_ABC=_ACB=_2用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點改變?nèi)切巫兂赦g角三角形BAC=_ABC=_ACB=_3用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點改變?nèi)切巫兂芍苯侨切蜝AC=_ABC=_ACB=_4用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點任意改變?nèi)切蔚男螤钊齻€內(nèi)角的和總是結(jié)論三角形的內(nèi)角和總是_如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例二供參考。練習(xí)：1、自己畫一個凸四邊形，度量它的內(nèi)角，計算內(nèi)角和，驗證凸四邊形的內(nèi)角和

13、是3600。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)1供參考。2、用“選擇”工具同時選取點A、B，由菜單“度量”à“距離”，可以度量出線段AB的長度，請你用上面所學(xué)的知識驗證“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊”。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)2供參考。案例三 最佳行走路線如圖1-3.1：你身在草原上，現(xiàn)在要走到公路邊去等車，請設(shè)計一個最佳行走路線。圖1-3.1思路：把人所處位置看作一個點，公路看作一條直線，行走的路線看作線段，由垂線段最短可以找到最佳行走路線。方案：畫一條直線，過直線外一點引直線的垂線段和斜線段，度量線段的長，動態(tài)驗證垂線段最短。用

14、幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。第二步：(1) 按住工具箱中的畫線工具不放，在彈出的工具條中選取“畫直線”工具，按住鼠標(biāo)左鍵拖動畫出一條直線；(2) 用“畫點”工具在直線外畫一點，如圖1-3.2。圖1-3.2第三步：(1) 按Shift鍵，用鼠標(biāo)選取點C和直線AB，(不要選取點A和B)；(2) 由菜單“作圖”à“垂線”，畫出了過點C垂直于AB的直線，如圖1-3.3說明：雖然點A、B在直線AB上，但選取直線時并沒有選取直線上的點，在后面的學(xué)習(xí)中，如果要求選取直線、線段、圓等對象，這時不要把對象上的點也選取，除非特別指明要選取這些點。圖1-3.3第四步：(1) 用“選擇”

15、工具單擊垂足處，定義出垂足，標(biāo)上標(biāo)簽D；(2) 選取垂線CD(不要選取點C、D)、點A、B，由“顯示”à“隱藏”，把選取的對象隱藏，用“文本”工具在直線上點一下，標(biāo)出直線的標(biāo)簽j；(3) 選“畫線段”工具，連結(jié)線段CD，如圖1-3.4。說明：點A、B是控制直線AB的點，通過拖動這兩點，可以改變直線的方向和位置，一般情況下，如果不想再改變直線的位置，或不再畫其它線經(jīng)過這兩個點，可以在制作完成后把它隱藏。1-3.4第五步：(1) 選取“畫線段”工具；(2) 移動鼠標(biāo)到點C處，按下左鍵拖動，當(dāng)鼠標(biāo)位于直線j上時松開，如圖1-3.5。技巧：CE是直線j的斜線段，所以要保證一個端點是C，另一個

16、端點E只能在直線j上移動，怎樣才能保證呢？，在畫圖的過程中，移動鼠標(biāo)到點C時，注意觀察狀態(tài)欄中有“從點C”，這時按下左鍵可以保證一個端點為C，移動鼠標(biāo)到直線j時，狀態(tài)欄中有“到點位于直線j”時松開，這樣點E一定在直線上，不能拖到直線外。在幾何畫板中，狀態(tài)欄的作用非常重要。圖1-3.5第六步：同時選取點C、D，由“度量”à“距離”，量出CD，同理量出CE，如圖1-3.6。圖1-3.6歸納結(jié)論：拖動點E在直線j上移動，觀察CD與CE的大小，什么時候CE=CD？，除了這個位置外的其它位置CD與CE哪一個比較大？以上操作說明：從直線處一點引直線的所有線段中，_最短，因而最佳行走路線是走點到直

17、線的垂線段。如有問題，請到幾何畫板分版，下載實例三供參考。練習(xí)：1、在圖1-3.6的基礎(chǔ)上，增加一個點F，通過度量CDF、CEF，如圖1-3.7，拖動點E，觀察什么情況下兩個角相等，除了CD外，CE在其它位置能和直線j垂直嗎？圖1-3.7如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例三練習(xí)供參考。案例四 橫梁有多長如圖1-4.1，一個三角形屋架，屋面的寬度是13米，立柱長5米，那么橫梁有多長？圖1-4.1思路：這是直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題，那么，是不是任意的直角三角形三邊都有這種關(guān)系？方案：大家都已經(jīng)證明過勾股定理，但現(xiàn)在我們用不同的方法來重新認(rèn)識一下這個老朋友。用幾何畫板畫一個直角三角形，度量三

18、條邊，計算兩直角邊的平方和，計算斜邊的平方，不斷改變圖形的大小形狀(但保持直角不變)，驗證定理是否總是成立。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。第二步：在工作區(qū)中畫一條線段AB，如圖1-4.2。圖1-4.2第三步：(1) 按住Shift，用“選擇”工具選取點A和線段AB；(2) 由菜單“作圖”à“垂線”，作出點A垂直于線段AB的直線。如圖1-4.3注意：不要選另外一個端點B，那樣過B點也會有一條直線與AB垂直，本例中我們不需要同時畫兩條垂線。技巧：只有這樣畫的圖才能在你拖動點改變圖形的大小和形狀時總是保持垂直的關(guān)系，如果只是畫出一條自己看上去“垂直”的直線，就不能在改變

19、形狀時保持垂直關(guān)系。圖1-4.3第三步：(1) 選“畫點”工具；(2) 移動鼠標(biāo)到垂線上單擊，如圖圖1-4.4注意：觀察狀態(tài)欄中出現(xiàn)“點位于直線上”時單擊，這樣畫的點永遠(yuǎn)位于直線上，不會拖到外面。圖1-4.4第三步：(1) 選取垂線CD，由“顯示”à“隱藏直線”，把垂線隱藏； (2) 用畫線段工具畫出線段AC、線段BC，如圖1-4.5。技巧：最后的圖中應(yīng)該是線段，但為了保證變化過程中保持垂直關(guān)系，必須先畫輔助垂線，最后在不需要時把它隱藏。圖1-4.5第四步：用“文本”工具單擊三角形的三邊，得到如圖1-4.6所示，圖1-4.6第五步：用“文本”工具雙擊標(biāo)簽n，在彈出的對話框中作如下改動

20、：如圖1-4.7。圖1-4.7用同樣的方法改j為c，改m為b，如圖1-4.8。說明：這樣做是為了照顧我們的數(shù)學(xué)習(xí)慣，或者是題目本身的要求，這種改點或線的標(biāo)簽的方法，在操作過程中會經(jīng)常用到。圖1-4.8第七步：同時選取線段a、b、c，由菜單“度量”à“長度”，可以同時量出三條邊的長度，如圖1-4.9圖1-4.9第八步：彈出計算器，依次點擊“b=”、“”、“2”、“+”、“c=”、“”、“2”，然后按“確定”，可以計算出b2+c2的值；同樣可以算出a2的值，得到如圖1-4.10，說明：這里“”表示乘方運(yùn)算。圖1-4.10歸納結(jié)論：序號操 作現(xiàn)象b2+c2與a2相等嗎？1觀察b2+c2=_

21、a2=_2用鼠標(biāo)拖動點B到另一位置。b2+c2=_a2=_3用鼠標(biāo)拖動點B到另一位置。b2+c2=_a2=_4任意拖動三角形頂點改變直角三角形的形狀，結(jié)論b2+c2_a2可以看到，總是有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，本例中的橫梁用勾股定理算得一半為12米，全長為24米。如有問題，請到幾何畫板分版，下載實例四供參考。練習(xí)：1、量出直角三角形的兩銳角的度數(shù)，驗證直角三角形的兩銳角互余。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例四練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個矩形，先完成本例到第三步得圖1-4.11，這里只是把原來的點C改成了D。圖1-4.11（1）選取點D和線段AB，由“作圖”à“平行線”，畫出

22、過D平行AB的直線；（2）選取點B和直線AD，同樣畫出過點B平行于AD的直線；（3）用“選擇”工具定義出第四個頂點，標(biāo)記標(biāo)簽為C；如圖1-4.12圖1-4.12（4）隱藏三條直線，畫出線段AD、DC、CB，即得矩形ABCD，如圖1-4.13。說明：拖動點A、B可以改變矩形的大小和位置并可以旋轉(zhuǎn)一定的角度；拖動點D只能改變矩形在縱向上的大小，拖動點C不會改變矩形的大小，但可以改變矩形的位置，但無論如何改變，這個圖形一定是矩形，你可以通過度量角和邊來證實這一點。圖1-4-133、先畫出如圖1-4-14的圖形，然后用類似于第2題的方法畫一個平行四邊形，圖1-4-14案例五 三角形的高三角形的高可能出

23、現(xiàn)在哪些位置？思路：應(yīng)該對于直角、銳角、鈍角三種不同類形的三角作不同的回答。方案：如果用筆在紙上畫圖，只能三種類型中各畫一個圖來說明，現(xiàn)在借助幾何畫板，我們可以動態(tài)地改變?nèi)切蔚男螤?，使不同類形的三角形的高可以動態(tài)改變。用幾何畫板驗證：第一步：(1) 選取“畫點”工具畫三個點；(2) 選取“畫直線”工具后，什么都不用做；(3) 選取“選擇”工具，在屏幕上拉一個虛線框框住畫好的三點；(4) 由菜單“作圖”à“畫直線” (快捷鍵是Ctrl+L) ，可以畫出過這三點的三條直線，標(biāo)上標(biāo)簽，如圖1-5.1。技巧：(1) 如果要選取的對象比較多，可以用“選擇”工具在工作區(qū)中拉一個虛線框框住這些對

24、象，這時可能會多選了一些你并不想選的，可以按Shift鍵后，單擊該對象取消選擇狀態(tài)；(2) 上面第二步選“畫直線”工具的操作會影響菜單中會不會出出“畫直線”的選項，如果你沒有做這一步，菜單中通常出現(xiàn)“畫線段”，也就是說，幾何畫板中的有些菜單命令和按鈕的顯示狀態(tài)是相關(guān)的。1-5.1第二步：過點A作直線BC的垂線，并單擊垂足，定義出垂足D，用同樣的方法作出垂線BE和CF，如圖1-5.2，圖1-5.2第三步：按住Shift鍵，用“選擇”工具選取所有的直線，注意不要選到點；由菜單“顯示”à“隱藏直線”，可以隱藏所有直線，得到如圖1-5.3圖1-5.3第四步：(1) 同時選取點A、B，(2)

25、選取“畫線段”工具，然后按Ctrl+L，畫出線段AB;(3) 用同樣的方法畫出線段BC、AC、AD、BE、CF，得到如圖1-5.4。技巧：上面說Ctrl+L是畫直線，但當(dāng)你先畫了“畫線段”的工具后，它的功能會自動變邊畫線段。注意：為什么不一開始就畫三條線段組成三角形呢？這是本例的要點，因為如果一開始畫的是線段，點D、E、F被定義為垂線和線段的交點，如果你拖動三角形變?yōu)殁g角三角形，垂線和線段沒有交點，這樣會導(dǎo)致有兩條高消失?，F(xiàn)在的點D、E、F分別是垂線和直線的交點，再拉動三角形成鈍角三角形時，高不會消失。圖1-5.4第五步：(1) 拖動點A，使ACB變成鈍角，（如圖1-5.5）；(2) 選取點C

26、和D，按Ctrl+L，畫出線段CD；(3) 保持線段CD的選取狀態(tài)，由菜單“顯示”à“線型”à“虛線”，改CD為虛線，符合通常的習(xí)慣，用同樣的方法畫線虛線段CE，圖1-5.5第六步：拖動點A使使ABC變成鈍角后用同樣的方法作出虛線段BF。最后完成圖1-5.6圖1-5.6歸納結(jié)論；序號操 作三角形三條高的位置三條高（或高的延長線）交于一點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。使ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。使ABC變?yōu)橹苯侨切危儆^察，4用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。使ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條高或高的延長線_.如有問題，請到幾何畫板分版，

27、下載案例五供參考。練習(xí)：觀察三角形的三條中線，三條角平分線的位置關(guān)系。其中畫中點的方法：選取線段，由菜單“作圖”à“中點”（或按Ctrl+M）可以作出線段的中點，接著就可以畫中線了；畫角平分線的方法：如按Shift，依次點選點B、A、C，可以作出BAC的平分線，確定角平分線和對邊的交點后，隱藏角平分線，再連出線段就行了。1、請自己畫一個三角形作出它的三條中線，然后按要求填寫實驗報告。序號操 作三角形三條中線的位置三條中線交于一點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。使ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。使ABC變?yōu)橹苯侨切?，再觀察，4用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。

28、使ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條中線_.如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例五練習(xí)1供參考。2、請自己畫一個三角形，作出它的三條角平分線，然后按要求填寫實驗報告。序號操 作三角形三條角平分線的位置三條角平分線交于一點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。使ABC仍為銳角三角形，再觀察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。使ABC變?yōu)橹苯侨切危儆^察，4用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。使ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條角平分線_.如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例五練習(xí)2供參考。案例六 掛畫的學(xué)問要把一幅畫掛在墻上，畫的上下邊框要和橫梁平行，左右與立柱的距離相等，應(yīng)該如何釘上掛釘？圖1-6.1思

29、路： 這個問題可以轉(zhuǎn)化為和線段的垂直平分線有關(guān)的問題。方案：掛繩拉緊后，掛點到像框邊框兩端的距離應(yīng)該相等，考慮到平行和等距的條件，只要橫梁的中垂線與邊框中垂線二線合一就行了，所以只要畫橫梁的中垂線，把掛繩的中點定位在橫梁中垂線上即可。下面驗證“線段垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等”。用幾何畫板驗證：第一步：畫一條線段AB。如圖1-6.2圖1-6.2第二步：(1) 用選擇工具選取線段AB，(2) 由菜單“作圖”à“中點”（快捷鍵是Ctrl+M），畫出線段AB的中點C，如圖1-6.3注意：不要多選其他對象，如果你多選了其他對象，“中點”這個選項是灰色的不可用，一般來說，只要選擇的對

30、象不符合要求的條件，就不可能使用相應(yīng)的菜單項。如圖1-6.3第三步：(1) 用“選擇”工具按住左鍵拉一個框經(jīng)過點C和線段AB（但不要框住A、B兩點），這樣可以同時選取點C和線段AB，(2) 由菜單“作圖”à“垂線”，畫出過點C垂直于線段AB的垂線，即是線段AB的垂直平分線。如圖1-6.4注意：如果你畫的圖不是這樣，過點A或B也有了垂線，那是因為你多選了點A或點B。圖1-6.4第四步：選取“畫點”工具，在中垂線上畫一點，標(biāo)記為P，如圖1-6.5圖1-6.5第五步：(1) 畫出線段PA、PB；(2) 選取點P、A，由菜單“度量”à“距離”，量得PA，同樣量出PB。第六步：(1)

31、 同時選取點P和中垂線；(2) 由菜單“編輯”à“操作類按鈕”à“動畫”，在彈出的對話框中，設(shè)置如圖1-6.6圖1-6.6這樣在屏幕上會出出一個“動畫”按鈕，當(dāng)雙擊這個按鈕時，點P會在直線上雙向地移動。便于我們動態(tài)地觀察。最后結(jié)果如圖1-6.7。注意：不要多選其它對象，這里只需要點P在中垂線上運(yùn)動。圖1-6.7歸納結(jié)論：序號操 作現(xiàn)象結(jié)論(是否相等)1拖動點P到另一位置，這時PA=_PB=_PA_PB2拖動點P到第二個位置這時PA=_PB=_PA_PB3拖動點P到第三個位置這時PA=_PB=_PA_PB4雙擊“動畫”按鈕，點P在AB的中垂線上不停的運(yùn)動，PA_PB結(jié)論只要點

32、P在線段AB的中垂線上，實驗過程中PA_PB.如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例六供參考。練習(xí):1、我們將在前面作圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗證等腰三角形、等邊三角形的一些性質(zhì)。第七步：(1) 選取垂直平分線，將它隱藏；(2) 畫出線段PC。得到如圖1-6.8。圖1-6.8第八步：用量距離的方法量AC、BC，量PAB、PBA、APB、PCB、APC、BPC的度數(shù)，得到如圖1-6.9。圖1-6.9歸納結(jié)論：序號操 作現(xiàn)象結(jié)論1用鼠標(biāo)拖動（或雙擊動畫按鈕）不斷地改變點P位置。PA和PB總是相等嗎？_PAB是_三角形。2PAB和PBA總是相等嗎？等腰三角形的兩底角_3PCB總是等于90度嗎？_PC是等腰三

33、角底邊上的_4AC和CB的長總是相等嗎？_PC是等腰三角形底邊上的_.5APC和BPC總是相等嗎？_PC是等腰三角形頂角的_.結(jié)論等腰三角形的兩底角_，底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線三線_.也可以拖動使APB=600，再觀察邊角的變化。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個菱形，接第1題，先畫出如圖1-6.10的圖形，由于點P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。圖1-6.10（1）選擇線段AB，由“變換”à“標(biāo)記鏡面”，標(biāo)記AB為鏡面，線段上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個方框。說明：標(biāo)記鏡面后，一個對象如果關(guān)于這個鏡面反射，這時就好象人照鏡子一樣，人離鏡面

34、近，人像離鏡面也近，用數(shù)學(xué)的說法，鏡面就是對稱軸，反射可以得到對稱點或?qū)ΨQ圖形。技巧：標(biāo)記鏡面的另兩種方法：（1）直接雙擊直線（線段、射線）；（2）選取直線（線段、射線）后用快捷鍵Ctrl+G.（2）同時選取點P、線段PA、PC、PB；（3）由“變換”à“反射”，得到如圖1-6.11。（4）用“文本”工具改各點標(biāo)簽為你想要的，例如得圖1-6.12。說明：在幾何畫板中，畫特殊四邊形的方法不只一種，但不管用哪種方法，都要符合圖形的幾何關(guān)系，也就是當(dāng)改變大小了位置時，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。圖1-6.11 圖1-6.12如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)2供參考。案例七 抽水房

35、的位置在一條河的同一旁有兩個村莊A和B，現(xiàn)在要在河邊建一個抽水房，應(yīng)該建在什么位置，才能使所用的水管的錢最少?圖1-7.1思路：用錢最少，一般要求所用的水管最短，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即是在表示河流的直線上找一個點C，使AC+BC最小。方案：作點A關(guān)于河流的對稱點A，連AB交河流于C，計算AC+CB；在河流上另取一點D，計算AD+DB，通過拖動點D在直線上移動，驗證AC+CB最小，從而說明C為最佳點。用幾何畫板驗證：第一步：（1）畫出表示村莊的點A、B；（2）畫一條直線表示河流，隱藏直線上的兩個點，設(shè)置直線的標(biāo)簽為“河流”，如圖1-7.2。說明：標(biāo)簽可以用中文表示，這種技巧常用來標(biāo)注點或線等對象的功

36、能，例如：給某一點標(biāo)上“拖動我改變圖形”。圖1-7.2第二步：（1）選取表示河流的直線；（2）由菜單“變換”à“標(biāo)記鏡面”，直線上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個方框。第三步：（1）選取點A，由菜單“變換”à“反射”，得點A關(guān)于直線（河流）的對稱點；（2）用文本工具標(biāo)出標(biāo)簽，默認(rèn)的是字母A，得到如圖1-7.3圖1-7.3第四步：（1）用“畫線段”工具連結(jié)AB；（2）用“選擇”工具在線段和河流相交處單擊，作出線段和河流的交點，標(biāo)出交點的標(biāo)簽C，如圖1-7.4。圖1-7.4第五步：（1）用“畫點”工具在河流上畫一個點，標(biāo)記為D；（2）用“畫線段”工具連結(jié)AC、AD、BD、AD，如圖1-7.

37、5。圖1-7.5第六步：（1）同時選取點A、點C；（2）由菜單“度量à“距離”，量出AC；（3）用同樣的方法量出AC、CB、AD、AD、DB，如圖1-7.6。說明：量出點A、C的距離，由數(shù)學(xué)定義可知，這就是線段的長；量線段的長還可以直接選取線段AC，（不要選取點A、C），“度量”à“長度”，但這樣的方法無法直接量出圖1-7.6中CB的長，還要進(jìn)一步作圖。圖1-7.6第七步：（1）調(diào)出計算器；（2）依次點擊“AC=”、“+”、“CB=”、“確定”，可以計算出AC+CB的值；（3）同樣去計算AC+CB、AD+DB、AD+DB，拖動到適當(dāng)位置得到如圖1-7.8。圖1-7.8歸納結(jié)

38、論：(一)序號操 作現(xiàn)象D點是否是最佳點1觀察AC+CB=_AD+DB=_2拖動點D遠(yuǎn)離點C，上面的兩個和差距變_（大或?。?拖動點D靠近點C，上面的兩個和差距變_（大或?。?拖動點D與點C重合，上面的兩個和_結(jié)論以上現(xiàn)象說明，只有取點_處，才能使所用的水管最短，（二）序號操 作現(xiàn)象有無相等的關(guān)系1觀察AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_2拖動點D遠(yuǎn)離點C，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_3拖動點D靠近點C，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_4拖動點D與點C重合，AC+CB=_AC+CB=_AD+DB=_AD+DB=_結(jié)論以上現(xiàn)

39、象說明，研究AC+CB、AD+DB的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)為研究AC+CB和AD+DB的關(guān)系，而這個關(guān)系可以簡單地用三角形的兩邊之和_第三邊來說明。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例七供參考。練習(xí)：畫一條直線，在直線的一旁畫一個三角形，標(biāo)記直線為“鏡面”（即對稱軸），選取三角形的全部（包括頂點和邊），“反射”出它關(guān)于直線對稱的圖形，1、 用鼠標(biāo)拖動改變?nèi)切蔚男螤?，體會“對稱的圖形是全等形”，2、 連結(jié)對稱點，通過過量角和量線段，體會“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例七練習(xí)供參考。案例八 選擇廠址如圖，河南區(qū)新建一個工廠，在公路西側(cè)，到公路的距離與到河岸的距離相等，

40、并且與河上公路橋的距離為300米，在圖上標(biāo)出工廠的位置，并說明理由。比例尺是1：20000圖1-8.1思路：這里可以把橋看作是一個角的頂點，河岸和公路分別是角的兩邊，問題轉(zhuǎn)化為：在角平分線上找一點，使它到頂點的距離是300米。方案：（1）畫出角的平分線，以頂點為圓心；（2）1.5cm為半徑畫圓，定義圓與角平分線的交點即為所求。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板文件。第二步：選“畫射線”工具，畫一個角，如圖1-8.2。圖1-8.2第三步：（1）用“選擇”工具依次選取點B、A、C；（2）由菜單“作圖”à“角平分線”，畫出了BAC的平分線，如圖1-8.3。圖1-8.3第四步：用“畫點

41、工具”在角平分線上畫一個點，標(biāo)出標(biāo)簽。得到如圖1-8.4。圖1-8.4第五步：（1）用“選擇”工具同時選取點D和射線AB；（2）由“作圖”à“垂線”，畫出過點D垂直于射線AB的直線；（3）用“選擇”工具單擊垂足處，定義表示垂足的點，并用“文本”工具標(biāo)上標(biāo)簽；（4）選取畫好的垂線，把它隱藏，并用“畫線段”工具畫出垂線段DE，用同樣的方法畫出垂線段DF，得到如圖1-8.5圖1-8.5第六步：（1）選取點D和射線AD，（2）由“編輯”à“操作類按鈕”à“動畫”，在彈出的對話框中設(shè)置點D在射線AD上雙向慢速運(yùn)動。得到如圖1-8.6。圖1-8.6第七步：度量出AED、AFD

42、，線段DE、DF，最后的結(jié)果如圖1-8.7。操作驗證：雙擊“動畫”按鈕或用鼠標(biāo)拖動點D移動，可以發(fā)現(xiàn)DE、DF總是分別垂直于角的兩邊，并且DE=DF，這說明了我們要找的點可以定位于角平分線上。圖1-8.7第八步：在工作區(qū)中畫一條線段GH，量出距離，通過調(diào)整G、H的位置，使GH=1.5cm。如圖1-8.8說明：取GH=1.5cm是因為比例尺是1：20000。圖1-8.8第九步：（1）同時選取點A和線段GH（不要選點G和H）；（2）由“作圖”à“以圓心和半徑畫圓”，得到一個以點A為圓心，半徑是1.5cm的圓；（3）用“選擇”工具單擊圓與角平分線的相交處，定義出的交點I即為所求。如圖1-8

43、.9如圖1-8.9第十步：（1）選取圓把它隱藏；（2）度量AI；（3）選取點I和射線AB，由“度量”à“距離”，可以量出點I到射線的距離，同理量出點到角的另一邊的距離，如圖1-8.10由圖可知，點I為所求的點。說明：本例是為了幫助學(xué)習(xí)角平分線的有關(guān)作圖，復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)，所以設(shè)計了較多的步驟，如果只是為了解決問題本身，可以在畫好角平分線后轉(zhuǎn)入第八步，可以快速確定出點I。圖1-8.10如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八供參考。練習(xí)：1、如圖1-8.11是兩個互為鄰補(bǔ)角的角，分別畫出它們的角平分線，驗證所畫角平分線的關(guān)系。圖1-8.11如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)1供

44、參考。2、驗證平行線的性質(zhì)第一步：（1）畫一條直線；（2）在直線外畫一點。如圖1-8.12。圖1-8.12第二步：（1）選取點C和直線AB；（2）由“作圖”à“平行線”，得如圖1-8.13圖1-8.13第三步：畫第三條直線和這兩條平行線相交，最后完成如圖1-8.14圖1-8.14請自己度量同位角、內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，計算同旁內(nèi)角的和，拖動點改變圖形，驗證平行線的性質(zhì)。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2供參考。案例九 古建筑的窗格在古建筑中，?？梢钥吹竭@樣的窗格，如圖1-9.1，這其中有什么數(shù)學(xué)知識呢？圖1-9.1思路：外圈是一個矩形，相當(dāng)于連結(jié)矩形四邊的中點，得到一個四邊形，

45、再連結(jié)它的四邊的中點。方案：（1）先畫一個平行四邊形，順次連結(jié)四邊中點，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點，度量三個四邊形的四邊和一個內(nèi)角，此步可以用來說明“順次連結(jié)平行四邊形四邊中點得到什么樣的圖形”；（2）通過拖動點的位置，使最大的四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為900，這時可以觀察里面的兩個四邊形，此步可以說明：“順次連結(jié)矩形四邊中點得到什么樣的圖形”、“順次連結(jié)菱形四邊中點得到什么樣的圖形”；（3）繼續(xù)拖動點的位置，保持最大四邊形的內(nèi)角是900的前提下，使它的鄰邊相等，這時最大的四邊形是正方形，此步可以說明：“順次連結(jié)正方形四邊中點得到什么樣的圖形”。用幾何畫板驗證：第一步：畫一個平行四邊形，（1）

46、 先畫好線段AB、BC；（2） 分別過點C作線段AB的平行線，過點A作線段BC的平行線；（3） 用“選擇”工具定義得交點D，如圖1-9.2。圖1-9.2第二步：（1）隱藏直線AD、DC；（2）連結(jié)線段AD、DC，得如圖1-9.3。注意：隱藏直線時不要誤選點A、D、C，這三點不能隱藏。圖1-9.3第三步：（1）選取平行四邊形的四邊，由“作圖”à“中點”，畫出四邊中點，用線段順次連結(jié)；（2）再選取所連四條線段，同樣定義中點，順次連結(jié)，如圖1-9.4。圖1-9.4第四步：（1）同時選點A、B，由“度量”à“距離”，量出AB的長，用同樣的方法量出每個四邊形的四條邊；（2）按住Shi

47、ft，依次選點D、A、B，量出DAB，同樣量HEF、KLI；得如圖1-9.5。圖1-9.5歸納結(jié)論：（1） 拖動點C改變平行四邊形ABCD的大小和位置，可以看到ABCD總是平行四邊形，四邊形EFGH是_,四邊形I JKL是_，說明順次連結(jié)平行四邊形的四邊中點，所得的圖形是_.（2） 拖動點C，使DAB=900，這時ABCD是_形，四邊形EFGH是_，四邊形IJKL是_。說明順次連結(jié)矩形四邊中點得_，順次連結(jié)菱形四邊中點得_.（3） 拖動點C，保持DAB=900，同時使AB=AD，這時ABCD是_形，四邊形EFGH是_，四邊形I JKL是_。說明順次連結(jié)正方形四邊中點得_。如有問題，請到幾何畫板

48、分版，下載案例九供參考。練習(xí)：1、（1）畫一個四邊形，順次連結(jié)四邊中點，如圖1-9.6，看得到的GFEH什么樣的圖形，請度量GFEH的邊長來說明；（2）拖動點A成圖1-9.7位置，GFEH還是平行四邊形嗎？（3）拖動點A成圖1-9.8位置，GFEH還是平行四邊形嗎？以上操作說明：四條線段首尾相接(不一定是凸四邊形)，順次連結(jié)各線段中點所得的圖形是_圖1-9.6圖1-9.7圖1-9.8如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)1供參考。2、更深入的探究：順次連結(jié)什么樣的四邊形的四邊中點可以得到矩形、菱形、正方形？（1）連結(jié)得正方形。第一步：畫一條線段，AB，在AB上畫一點C，如圖1-9.9圖1-

49、9.9第二步：用“選擇”工具雙擊點C，標(biāo)記點C為中心，下面將要進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)是繞點C進(jìn)行的，技巧：標(biāo)記一點為中心的另兩種方法是（1） 選取一個點，由“變換”à“標(biāo)記中心”；（2） 選取一個點，按快捷鍵Ctrl+F。第三步：選取點A、B，由“變換”à“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的對話框中設(shè)置如圖1-9.10：得到如圖1-9.11。圖1-9.10說明：這樣做的目的是保證兩條線段垂直且相等。圖1-9.11第四步：選取點A'、B'，由“變換”à“平移”，在彈出的對話框中做如圖1-9.12設(shè)置，得圖1-9.13。圖1-9.12說明：如果我們直接由剛才的四個點連結(jié)得四邊形，會

50、得到一個梯形，平移的目的在于，平移后A''B''仍垂直且等于AB，但四邊形不再是梯形，這時可以得到一個比較一般的四邊形。圖1-9.13第五步：隱藏A'、B'，連結(jié)AA''、A''B、AB''、BB''，如圖1-9.14。圖1-9.14第六步：作四邊形各邊中點，連結(jié)如圖1-9.15。以下請自己度量DEFG的四邊和一個內(nèi)角，通過拖動點C改變圖形，只要四邊形的對角線垂且相等，順次連結(jié)四邊中點所得圖形是_。圖1-9.15（2）自己畫兩條垂直但不相等的相交線段，以它們?yōu)閷蔷€畫出四邊形，看看順

51、次連結(jié)四邊中點得什么樣的圖形。（3）畫兩條相等但不垂直的相交直線，以它們?yōu)閷蔷€畫出四邊形，看看順次連結(jié)四邊中點得什么樣的圖形。提示：在第（1）小題中旋轉(zhuǎn)時不要轉(zhuǎn)900，改為其它度數(shù)即可。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2供參考。案例十 成功之路不只一條以幾何畫板為工具，你會用多少種方法來畫一個正方形？思路：無論你用什么方法，你必須保證這樣的結(jié)果，畫好的正方形在改變大小和位置時，仍然是一個正方形，也就是說，“四邊相等”、“四個角是直角”、“對角線互相垂直平分且相等”這些性質(zhì)仍然保持。下面給出一些方案，如果你能看懂，自己完成，否則請參考后面的詳細(xì)步驟：方案一：（1）畫一條線段；（2）作

52、出線段的中點；（3）標(biāo)記中點為“中心”；（4）選取線段和它的兩個端點，由“變換”à“旋轉(zhuǎn)”，在彈出的對話框中設(shè)置“按90度旋轉(zhuǎn)”；（5）連結(jié)旋轉(zhuǎn)后兩條線段的端點。方案二：（1）畫一條線段；（2）標(biāo)記線段的一個左端點為“中心”；（3）選取線段和右端點，按上面介紹的方法把它們旋轉(zhuǎn)90度；（4）標(biāo)記右端點為“中心”；（5）選取線段和左端點，按上面的方法旋轉(zhuǎn)-90度；（6）連出第四條邊。方案三：（1）畫一條直線，在這條直線上畫一點；（2）過這一點畫已知直線的垂線；（3）以垂足為圓心畫一個圓；（4）定義出圓和兩條直線的交點；（5）順次連結(jié)四個交點，隱藏不需要的對象。方案四：（1）畫一個圓，標(biāo)記圓心為中心；（2）；在圓上畫一點，選取這個點，由“變換”à“旋轉(zhuǎn)”，設(shè)置旋轉(zhuǎn)90度，這時得到另一個點；（3）保持新得到的點的選取狀態(tài)，把它又旋轉(zhuǎn)90度，得到第三個頂點；（4）連結(jié)四個頂點，隱