流動型態(tài)與水頭損失

1、.第四章 流動型態(tài)與水頭損失任何實際液體都具有粘性，粘性的存在會使液流具有不同于理想流體的流速分布，并使相鄰兩層運動液體之間、液體與邊界之間除壓強外還相互作用著切向力(或摩擦力)，此時低速層對高速層的切向力顯示為阻力。而克服阻力作功過程中就會將一部分機械能不可逆地轉化為熱能而散失，形成能量損失。單位重量液體的機械能損失稱為水頭損失(Head Loss)。本章主要研究恒定流的阻力和水頭損失規(guī)律，它是水動力學基本理論的重要組成部分。首先，從雷諾實驗出發(fā)介紹流動的兩種型態(tài)層流和紊流。然后著重對兩種流態(tài)的內部機理進行分析，并在此基礎上引出液體在管道和明渠內流動時水頭損失的計算。對于與損失密切相關的邊界

2、層理論和繞流阻力僅作了概念性的簡介。§4-1 水流阻力與水頭損失的兩種型式液流邊界不同，對斷面流速分布有一定影響，進而影響流動阻力(Flow Resistance)和水頭損失。為了便于計算，水力學一元分析法根據(jù)流動邊界情況，把水頭損失hw分為沿程水頭損失(Friction Head Loss)hf和局部水頭損失(Local Head Loss)hj兩種型式。1沿程阻力和沿程水頭損失當流動的固體邊界使液體作均勻流動時，水流阻力中只有沿程不變的切應力，稱為沿程阻力(或摩擦力)；克服沿程阻力作功而引起的水頭損失則稱為沿程水頭損失，以hf表示。沿程阻力的特征是沿流程連續(xù)分布，因而沿程損失的大

3、小與流程的長短成正比。由伯諾里方程得出均勻流的沿程水頭損失為此時用于克服阻力所消耗的能量由勢能提供，從而總水頭線坡度J沿程不變，總水頭線是一條直線。當液體作較接近于均勻流的漸變流動時(如明渠漸變流)，水流阻力雖已不是全部但卻主要為沿程阻力，此時沿程阻力的大小如同流速分布一樣，沿程發(fā)生變化。可將十分接近的兩過水斷面之間的漸變流動看作是均勻流動，并引用均勻流的沿程水頭損失計算公式，實踐表明是完全可以的。在第七章中計算明渠漸變流水頭損失時就是這樣處理的。2局部阻力及局部水頭損失液流因固體邊界急劇改變而引起速度分布的急劇改組，由此產(chǎn)生的阻力稱為局部阻力。其相應的水頭損失稱為局部水頭損失，以hj表示。它

4、一般發(fā)生在水流邊界突變處附近，例如圖(4-1-1)中水流經(jīng)過“彎頭”、“縮小”、“放大”及“閘門”等處。圖4-1-1沿程水頭損失和局部水頭損失，都是由于液體在運動過程中克服阻力作功而引起的，但又具有不同的特點。沿程阻力主要顯示為“摩擦阻力”的性質。而局部阻力主要是因為固體邊界形狀突然改變，從而引起水流內部結構遭受破壞，產(chǎn)生漩渦，以及在局部阻力之后，水流還要重新調整整體結構適應新的均勻流條件的過渡過程所造成的。管路或明渠中的水流阻力都是由幾段等直徑圓管或幾段幾何形狀相同的等截面渠道的沿程阻力和以斷面形式急劇改變引起的局部阻力所組成。因此，流段兩截面間的水頭損失可以表示為兩截面間的所有沿程損失和所

5、有局部損失的總和，即其中 n等截面的段數(shù)；m局部阻力個數(shù)。該式稱為水頭損失的疊加原理。§4-2 實際流動的兩種型態(tài)十九世紀初人們就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)圓管中液流的水頭損失和流速有一定關系。在流速很小的情況下，水頭損失和流速的一次方成正比，在流速較大的情況下，水頭損失則和流速的二次方或接近二次方成正比。直到1883年，由英國物理學家雷諾(Osborne Reynolds)的試驗研究，才使人們認識到水頭損失與流速間的關系之所以不同，是因為液體運動存在著兩種型態(tài)：層流和紊流。1雷諾實驗雷諾實驗的裝置如圖4-2-1所示。由水箱A中引出水平固定的玻璃管B，上游端連接一光滑鐘形進口，另一端有閥門C用以調節(jié)流

6、量。容器D內裝有重度與水相近的色液，經(jīng)細管E流入玻璃管中，閥門F可以調節(jié)色液的流量。圖4-2-1試驗時容器中裝滿水，并始終保持液面穩(wěn)定，使水流為恒定流。先徐徐開啟閥門C，使玻璃管內水的流速十分緩慢。再打開閥門F放出少量顏色水。此時可以見到玻璃管內色液呈一細股界線分明的直流束，如圖4-2-1(a)，它與周圍清水互不混合。這一現(xiàn)象說明玻璃管中水流呈層狀流動，各層的質點互不摻混。這種流動狀態(tài)稱為層流(Laminar Flow)。如閥門C逐漸開大到玻璃管中流速足夠大時，顏色水出現(xiàn)波動，如圖4-2-1(b)所示。繼續(xù)開大閥門，當管中流速增至某一數(shù)值時，顏色水突然破裂、擴散遍至全管，并迅速與周圍清水混摻，

7、玻璃管中整個水流都被均勻染色(如圖4-2-1(c)，層狀流動已不存在。這種流動稱為紊流(Turbulence)。由層流轉化成紊流時的管中平均流速稱為上臨界流速。如果用燈光把液體照亮，可以看出：紊流狀態(tài)下的顏色水體是由許多明晰的、時而產(chǎn)生、時而消滅的小漩渦組成。這時液體質點的運動軌跡是極不規(guī)則的，不僅有沿管軸方向(質點主流方向)的位移，而且有垂直于管軸的各方位位移。各點的瞬時速度隨時間無規(guī)律地變化其方向和大小，具有明顯的隨機性。圖4-2-2試驗如以相反程序進行，即管中流動先處于紊流狀態(tài)，再逐漸關小閥門C。當管內流速減低到不同于的另一個數(shù)值時，可發(fā)現(xiàn)細管E注出的色液又重現(xiàn)直線元流。這說明圓管中水流

8、又由紊流恢復為層流。不同的只是由紊流轉變?yōu)閷恿鲿r的平均流速要比層流轉變?yōu)槲闪鞯牧魉傩。Q為下臨界流速vc。為了分析沿程水頭損失隨速度的變化規(guī)律，通常在玻璃管的某段(如圖4-2-1中的12段)上，針對不同的流速v，測定相應的水頭損失hf。將所測得的試驗數(shù)據(jù)畫在對數(shù)坐標紙上，繪出hf與v的關系曲線，如圖4-2-2所示。試驗曲線明顯地分為三部分：(1)ab段 當vvc時，流動為穩(wěn)定的層流，所有試驗點都分布在與橫軸(lgv軸)成45°的直線上，ab的斜率m1=1.0。(2)ef段 當v時，流動只能是紊流，試驗曲線ef的開始部分是直線，與橫軸成60°15，往上略呈彎曲，然后又逐漸成為

9、與橫軸成63°25的直線。ef的斜率m2=1.752.0。(3)be段 當vcv，水流狀態(tài)不穩(wěn)定，既可能是層流(如bc段)，也可能是紊流(be段)，取決于水流的原來狀態(tài)。應注意的是在此條件下層流狀態(tài)會被任何偶然的干擾所破壞，很不穩(wěn)定。例如，層流狀態(tài)如果被管壁上的個別凸起所破壞，那末在vcv時，它就不會回到原來的層流狀態(tài)而呈紊流的型態(tài)。上述試驗結果可用下列方程表示即層流時，m1=1.0，hf=k1v，說明沿程損失與流速的一次方成正比；紊流時，m2=1.752.0，hf=k2v1.752.0，說明沿程損失與流速1.752.0次方成正比。雷諾實驗雖然是在圓管中進行，所用液體是水，但在其它邊

10、界形狀，其它實際液體或氣體流動的實驗中，都能發(fā)現(xiàn)這兩種流動型態(tài)。因而雷諾等人的實驗的意義在于它揭示了液體流動存在兩種性質不同的型態(tài)層流和紊流。層流與紊流不僅是液體質點的運動軌跡不同，其內部結構也完全不同，反映在水頭損失規(guī)律不一樣上。所以分析實際液體流動，例如計算水頭損失時，首先必須判別流動的型態(tài)。2層流、紊流的判別標準臨界雷諾數(shù)雷諾曾用不同管徑圓管對多種液體進行實驗，發(fā)現(xiàn)下臨界流速vc的大小與管徑d、液體密度和動力粘性系數(shù)有關，即vc=f(d,)。這四個物理量之間的關系可以借助于量綱分析方法得到或式中 液體的運動粘性系數(shù)；Rec不隨管徑大小和液體的物理性質而變的無量綱常數(shù)，稱為下臨界雷諾數(shù)。同

11、理，對上臨界流速，則有式中 上臨界雷諾數(shù)。前已說明：水流處于層流狀態(tài)時，必須vvc；如將v及vc各乘以，則有令 (4-2-1)得到層流狀態(tài)下ReRec式中Re為無量綱數(shù)，稱為雷諾數(shù)。它綜合反映了影響流態(tài)的有關因素。反映了水流的慣性力與粘滯力之比。同理，當水流處于紊流狀態(tài)下，v因而由此可見臨界雷諾數(shù)是判別流動狀態(tài)的普遍標準。當ReRec時為層流；Re時為紊流。大量實驗資料表明：對于圓管有壓流動，下臨界雷諾數(shù)為Rec2300，是一個相當穩(wěn)定的數(shù)值，外界擾動幾乎與它無關。而上臨界雷諾數(shù)，卻是一個不穩(wěn)定的數(shù)值，主要與進入管道以前液體的平靜程度及外界擾動條件有關。由實驗得圓管有壓流的上臨界雷諾數(shù)12,0

12、00或更大(40,00050,000)。實際工程中總存在擾動，因此沒有實際意義。因此采用下臨界雷諾數(shù)Rec與水流的雷諾數(shù)Re比較來判別流動型態(tài)。在圓管中 若 ReRec=2300 為層流 ReRec=2300 為紊流這里需要指出的是在上面各雷諾數(shù)中引用的“d”，表示取管徑作為流動的特征長度。對于非圓管，其特征長度也可以取其它的流動長度來表示：如水力半徑R。此時的雷諾數(shù)記作為式中 稱水力半徑(Hydraulic Redius)，是過水斷面面積A與濕周(Wetted Perimeter)(斷面中固體邊界與液體相接觸部分的周線長)之比，這時臨界雷諾數(shù)中的特征長度也應取相應的特征長度來表示，而臨界雷諾

13、數(shù)應為575。對于明渠水流(無壓流動)，通常以水力半徑R為雷諾數(shù)中的特征長度，即臨界雷諾數(shù)=575。一般明渠流的雷諾數(shù)都相當大，多屬于紊流，因而很少進行流態(tài)的判別。例4-1 某段自來水管，其管徑d=100mm，管中流速v=1.0m/s，水的溫度為10，試判明管中水流型態(tài)。解 在溫度為10時，水的粘性運動系數(shù)，由式(1-3-6)得=0.0131cm2/s管中水流的雷諾數(shù)=7660=ReRec=2300因此管中水流處在紊流型態(tài)。例4-2 用直徑d=25mm的管道輸送30的空氣。問管內保持層流的最大流速是多少?解 30時空氣運動粘性系數(shù)=16.6×10-6m2/s，最大流速就是臨界流速，由

14、于得=1.527m/s從以上兩例看出，水和空氣的流動絕大多數(shù)都是紊流。§4-3 均勻流的沿程水頭損失和基本方程式1均勻流的沿程水頭損失在均勻流的情況下只存在沿程水頭損失。為了確定均勻流自斷面1-1流至斷面2-2的沿程水頭損失，可寫出斷面1-1和斷面2-2的伯諾里方程式(圖4-3-1)。圖4-3-1對均勻流，有因此 (4-3-1)式(4-3-1)說明，在均勻情況下，兩過水斷面間的沿程水頭損失等于兩過水斷面測壓管水頭的差值，即克服沿程阻力所消耗的能量全部由勢能提供。由于沿程水頭損失是克服沿程阻力(切應力)所做的功，因此有必要討論并建立沿程阻力和水頭損失的關系均勻流基本方程。2均勻流基本方

15、程取出自過水斷面1-1至2-2的一段圓管均勻流，其長度為l，過水斷面面積A1=A2=A，濕周為?，F(xiàn)分析其作用力的平衡條件。斷面1-1至2-2間的流段是在斷面1-1上的動水壓力P1，斷面2-2上的動水壓力P2，流段本身的重量G及流段表面切力(沿程阻力)T共同作用下保持均勻流動的。寫出在水流運動方向上諸力投影的平衡方程式P1-P2+Gcos-T=0因P1=p1A，P2=p2A，而且cos=，并設液流與固體邊壁接觸面上的平均切應力為0。代入上式，得以A除全式，得由式(4-3-1)知 于是 (4-3-2)或 (4-3-3)式(4-3-2)及(4-3-3)給出了沿程水頭損失與切應力的關系，是研究沿程水頭

16、損失的基本公式，稱為均勻流基本方程。式中J為單位長流程的水頭損失，稱為水力坡度(Hydraulic Slope)。對于無壓均勻流，按上述步驟，列出沿流動方向的力平衡方程式。同樣可得與式(4-3-2)、(4-3-3)相同結果，所以該方程對層流、紊流、有壓流和無壓流均適用。3均勻流過水斷面切應力分布在推導式(4-3-2)時，是考慮了12流段內整個液流的力的平衡。如果對于圓管均勻流，只取流段內一圓柱體液流來分析作用力的平衡(如圖4-3-2)，圓柱的軸與管軸重合，圓柱半徑為r，作用在圓柱表面上的切應力為，則仿照前述步驟，亦可得出 (4-3-4)圖4-3-2由式(4-3-3)得圓管壁上的切應力0為 (4

17、-3-5)比較式(4-3-4)與式(5-3-5)，可得 (4-3-6)式(4-3-6)說明在圓管均勻流的過水斷面上，切應力呈直線分布，管壁處切應力為最大值0，管軸處切應力為零。§4-4 圓管中的層流運動1圓管層流的流速分布為進一步研究切應力與平均速度v的關系。而的大小與水流的流動型態(tài)有關，本節(jié)先就圓管中的層流運動進行分析，圓管中的層流運動也稱為哈根-泊肅葉(Hagen_Poseuille)流動。這個問題可以用積分實際液體運動方程式(3-5-3)得到解答。這里，僅用較為簡單且物理意義明顯的方法求得。液體在層流運動時，液層間的切應力可由牛頓內摩擦定律求出，由式(1-3-5)圖4-4-1圓

18、管中有壓均勻流是軸對稱流。為了計算方便，現(xiàn)采用圓柱坐標r，x (圖4-4-1)。此時為二元流。由于r=r0-y因此圓管均勻流在半徑r處的切應力可用均勻流方程式(4-3-4)表示由上面兩式得于是注意到J對均勻流中各元流來說都是相等的，積分上式得在管壁上，即r=r0處，u=0(固體邊界無滑動條件)所以(4-4-1)式(4-4-1)說明圓管層流過水斷面上流速分布是一個旋轉拋物面，這是層流的重要特征之一。流動中的最大速度在管軸上，由(4-4-1)式，有 (4-4-2)2圓管層流的斷面平均流速因為流量Q=AudA=vA，選取寬dr的環(huán)形斷面為微元面積dA，可得圓管層流的斷面平均流速 (4-4-3)比較(

19、4-4-2)、(4-4-3)得 (4-4-4)即圓管層流的斷面平均流速為最大流速的一半。這是層流的又一重要特征與下節(jié)論及的圓管紊流相比，層流流速在斷面上的分布是很不均勻的。由式(4-4-1)及式(4-4-3)得無量綱關系式 (4-4-5)3圓管層流的沿程水頭損失為了實用上計算方便，沿程水頭損失通常用平均流速v的函數(shù)表示。對于圓管層流，由式(4-4-3)得或 (4-4-6)式(4-4-6)說明，在圓管層流中，沿程水頭損失和斷面平均流速的一次方成正比。與前述雷諾實驗證實的論斷一致。一般情況下沿程水頭損失，可以用速度水頭表示，上式可改寫成令 (4-4-7)則 (4-4-8)這是常用的沿程水頭損失計算

20、公式，稱為魏斯巴赫-達西(J.Weisbach-H.P.G.Darcy)公式，適用于層流、紊流、有壓流和無壓流。式中稱沿程阻力系數(shù)，在圓管層流中只與雷諾數(shù)成反比，與管壁粗糙程度無關。§4-8中將介紹的實驗研究也得到同樣的結論。4管道進口的流動上面所推導出的一些計算公式，只適用于均勻流動情況，在管路進口附近是無效的。當液體由水箱經(jīng)光滑圓形進口流入管內，其速度最初在整個過水斷面上幾乎是均勻分布的(如圖4-4-2)。接著，管壁切應力就使得接近管壁部分的質點速度逐漸減低；為了滿足連續(xù)性要求，管中心區(qū)域的質點必需加快速度。一直到過水斷面(AB)上流速呈拋物面分布，斷面流速分布才不再沿程而變，從

21、進口速度接近均勻到管中心流速到達最大值的距離稱管道進口起始段，長度為l。l可根據(jù)H.L.Langhaas推導的公式圖4-4-2l/D=0.058Re進行計算。式中D為管徑，Re為液體的雷諾數(shù)。在起始段中各斷面的動能改正系數(shù)2，阻力系數(shù)，式中A為無量綱系數(shù)。及A隨入口后的距離而改變，其值可查根據(jù)實驗資料整理出的表4-1。在計算hf時，如管長l>>l，則不必考慮起始段；否則要加以考慮，分別計算。表4-1 層流起始段的及A值表·1032.557.51012.51517.5202528.751.4051.5521.6421.7161.7791.8201.8661.9061.964

22、2A12210596.668882.479.1676.4174.37571.569.56§4-5 液體的紊流運動1紊流運動要素的脈動及時均化紊流運動的基本特征是質點不斷地互相混摻，使液流各點的流速、壓強等運動要素在空間上和時間上都具脈動性。如圖4-5-1所示。圖4-5-1在恒定水位下的水平圓管紊流中，采用激光測速儀測得液體質點通過某固定空間點A的各方向瞬時流速ux、uy對時間的關系曲線ux(t)、uy(t)?？梢钥闯觯耗晨臻g點的瞬時速度雖然隨時間不斷變化，但卻始終圍繞著某一平均值而不斷跳動。這種跳動叫脈動(Pulsation)。這一平均值稱作時間平均流速，用、表示。圖中AB線的縱坐標

23、就是瞬時速度ux在T時段內的平均值(可用畢托管測得)。其數(shù)學關系式表示為 (4-5-1)式(4-5-1)就是時均流速的定義。由圖(4-5-1)可以看出時均值和所取時段長短有關，如時段較短(取T1)，則時均值為。但是因為水流中脈動周期較短，所以只要時段T取得足夠長就可以消除時段對時均值的影響。顯然瞬時流速由時均流速和脈動流速兩部分組成，即 (4-5-2a) (4-5-2b) (4-5-2c)式中ux、uy、uz為x、y、z方向的瞬時流速，、為x、y、z方向時均流速，、為x、y、z方向的脈動流速。將式(4-5-2a)代入式(4-5-1)展開，可得即脈動流速的時均值=0。同理=0，=0。以上這種把速

24、度時均化的方法，也可以用到其它運動要素上。如瞬時壓強其中時均壓強；p為脈動壓強。這樣，就可以把紊流運動看作時間平均流動和脈動的疊加，而分別加以研究。嚴格地說，紊流總是非恒定流；但可根據(jù)運動要素時均值是否隨時間變化，將紊流分為恒定流與非恒定流。根據(jù)恒定流導出的水動力學基本方程，對于時均恒定流同樣適用。以后本書中所提到的關于在紊流狀態(tài)下，水流中各點的運動要素都是指的“時間平均值”而言，例如時間平均流速、時間平均強度等。為了方便起見，以后就省去字母上的橫劃，而僅以u、p表示。應當指出，以時均值代替瞬時值固然為研究紊流運動帶來了很大方便。但是時均值只能描述總體運動，不能反映脈動的影響。如圖4-5-2所

25、示的兩組脈動值，它們的脈動幅度、頻率各不同，但其時均值卻可以相等。紊流的固有特征并不因時均而消失。因此對于與紊流的特征直接有關系的問題，如紊流中的阻力和過水斷面上流速分布問題，必須考慮到紊流具有脈動與混摻的特點，才能得出符合客觀實際的結論。圖4-5-22紊流切應力、普朗特混和長度理論層流運動中，質點成層狀相對運動，其切應力僅由粘性引起，可用牛頓內摩擦定律進行計算。然而，紊流的切應力由兩部分組成：其一，從時均紊流的概念出發(fā)，可將運動液體分層。因為液層的時均流速不同，存在相對運動，所以各液層之間也存在粘性切應力(Viscous Shear Stress)，這種粘性切應力也可用牛頓內摩擦定律表示，即

26、式中為時均流速梯度。其二，由于紊流中質點存在脈動，相鄰液層之間就有質量的交換。低速液層的質點由于橫向脈動進入高速液層后，對高速液層起阻滯作用；相反，高速液層的質點在進入低速液層后，對低速液層卻起推動作用。也就是質量交換帶來了動量交換，從而在液層分界面上產(chǎn)生了紊流附加切應力(Additional Turbulent Shear Stress)。 (4-5-3)現(xiàn)用動量方程來說明上式。如圖4-5-3所示，在空間點A處，具有x和y方向的脈動流速和。在t時段內，通過Ay的脈動質量為m=Ayt圖4-5-3這部分液體質量，在脈動分速的作用下，在水流方向的動量增量為此動量增量等于紊流附加切力T的沖量，即因此

27、，附加切應力現(xiàn)取時均值 (4-5-4)就是單位時間內通過單位面積的脈動微團進行動量交換的平均值。取微分體(圖4-5-3b)，以分析縱向脈動速度與橫向脈動速度的關系。根據(jù)連續(xù)性原理，若t時段內，A點處微小空間有質量自Ay面流出，則必有的質量自Ax面流入，即+=0于是(4-5-5)由式(4-5-4)可見，縱向脈動流速與橫向脈動流速成比例。Ay與Ax總為正值。因此與符號相反。為使附加切應力以正值出現(xiàn)，在式(4-5-4)中加以負號，得 (4-5-6)上式就是用脈動流速表示的紊流附加切應力基本表達式。它表明紊流附加切應力與粘性切應力不同，它與液體粘性無直接關系，只與液體密度和脈動強弱有關，是由微團慣性引

28、起，因此又稱為慣性切應力或雷諾應力(Reynolds Stress)。在紊流流態(tài)下，紊流切應力為粘性切應力與附加切應力之和，即 (4-5-7)上式兩部分切應力的大小隨流動情況而有所不同。在雷諾數(shù)較小時即脈動較弱時，前者占主要地位。隨著雷諾數(shù)增加。脈動程度加劇，后者逐漸加大。到雷諾數(shù)很大，在充分發(fā)展的紊流中，粘性切應力與附加切應力相比甚小，前者可以忽略不計。圖4-5-4是由一矩形斷面風洞中測量到的切應力數(shù)據(jù)。風洞斷面寬B=1m，高H=24.4cm。量測是在中心斷面處進行的，最大流速為100cm/s。y為某點至風洞壁的距離(高度方向)。圖4-5-4以上說明了紊流切應力的組成，并扼要地介紹了紊流附加

29、切應力產(chǎn)生的力學原因。然而，脈動速度瞬息萬變，由于對紊流機理還未徹底了解，式(4-5-6)不便于直接應用。目前主要采用半經(jīng)驗的辦法，即一方面對紊流進行一定的機理分析，另一方面還得依靠一些具體的實驗結果來建立附加切應力和時均流速的關系。這種半經(jīng)驗理論至今已提出了不少。下面介紹德國學者普朗特(L.Prandtl)提出的混合長度(Mixing Length)理論。普朗特設想液體質點的紊流運動與氣體分子運動類似。氣體分子運行一個平均自由路程才與其他分子碰撞，同時發(fā)生動量交換。普朗特認為液體質點從某流速的液層因脈動進入另一流速的液層時，也要運行一段與時均流速垂直的距離后才和周圍質點發(fā)生動量交換。在運行距

30、離之內，微團保持其本來的流動特征不變。普朗特稱此為實際混合長度。如空間點A處(圖4-5-3a)質點A沿x方向的時均流速為，距A點處質點x方向的時均流速為，這兩個空間點上質點沿x方向的時均流速差為普朗特假設脈動速度與時均流速差成比例，(為了簡便，時均值以后不再標以橫劃)，即從式(4-5-5)可知與具有相同數(shù)量級，但符號相反，即于是略去下標x，并令l2=c1c2(l)2，得到紊流附加切應力的表達式為 (4-5-8)此處，l稱為普朗特混合長度(Prandtl's Mixing Length)，但沒有直接物理意義。在固體邊壁或近壁處，因質點交換受到制約而被減少至零，故普朗特假定混合長度l正比于

31、質點到管壁的徑向距離y，即l=ky式中 k卡門(T.von Kárman)常數(shù)，其值等于0.4。而在紊流流核，混合長度可按薩特克奇(.)公式計算：混合長度理論給出了紊流切應力和流速分布規(guī)律(將在§4-6中介紹)，但是推導過程不夠嚴謹，盡管如此，由于這一半經(jīng)驗理論比較簡單，計算所得結果又與實驗數(shù)據(jù)能較好符合，所以至今仍然是工程上應用最廣的紊流理論。§4-6 圓管中的紊流1圓管紊流流核與粘性底層由于液體與管壁間的附著力，圓管中有極薄一層液體貼附在管壁上不動，即速度為零。在緊靠管壁附近的液層流速從零增加到有限值，速度梯度很大，因管壁抑制了附近液體質點的紊動、混合長度幾乎

32、為零。因此，在該液層內紊流附加切應力可以忽略。在紊流中緊靠管壁附近這一薄層稱為粘性底層(Viscous Sublayer)或層流底層，如圖4-6-1所示(為清晰起見，圖中粘性底層的厚度被夸大了)。在粘性底層之外的液流，統(tǒng)稱為紊流流核(Turbulent Core)。圖4-6-1粘性底層厚度l可由層流流速分析和牛頓內摩擦定律，以及實驗資料求得。由式(4-4-1)得知，當rr0時有 (4-6-1)其中：y=r0-r。由此可見，厚度很小的粘性底層中的流速分布近似為直線分布。再由牛頓內摩擦力定律得管壁附近的切應力0為即由于的量綱與速度的量綱相同，稱它為剪切流速(Shear Velocity)v*，。則

33、上式可寫成注意到是某一雷諾數(shù)，當yl時為層流，而當yl，為某一臨界雷諾數(shù)。實驗資料表明=11.6。因此粘性底部的厚度等量式(4-3-2)及式(4-4-8)可得 (4-6-2)代入上式可得 (4-6-3)式中 Re管內流動雷諾數(shù)；沿程阻力系數(shù)。顯而易見，當管徑d相同時，液體隨著流速增大、雷諾數(shù)變大，粘性底層變薄。4水力光滑與水力粗糙粘性底層的厚度雖然很薄，一般只有十分之幾毫米，但它對水流阻力或水頭損失有重大影響。因為任何材料加工的管壁，由于受加工條件限制和運用條件的影響，總是或多或少地粗糙不平。粗糙突出管壁的“平均”高度稱為絕對粗糙度(Absolute Roughness)。當粗糙突出高度“淹沒

34、”在粘性底層中(如圖4-6-2a)，此時管內的紊流流核被粘性底層與管壁隔開，管壁粗糙度對紊流結構基本上沒有影響，水流就像在光滑的管壁上流動一樣，這種情況在水力學上稱為“水力光滑管”，反之，當粗糙突出高度伸入到紊流流核中(見圖4-6-2(b)，成為渦旋的策源地，從而加劇了紊流的脈動作用，水頭損失也增大，這種情況稱為“水力粗糙管”。至于管道是屬于“水力光滑管”還是屬于“水力粗糙管”不僅決定于管壁本身的絕對粗糙高度，而且還取決于和雷諾數(shù)等因素有關的粘性底層厚度l。所以“光滑”或“粗糙”都沒有絕對不變的意義，視與l的比值而定。根據(jù)尼古拉茲(J.Nikuradse)試驗資料，可將光滑管、粗糙管和介乎二者

35、之間的紊流過渡區(qū)的分區(qū)規(guī)定為：圖4-6-2(1)水力光滑區(qū) 0.4l，或5(Re*5(2)紊流過渡區(qū) 0.4l6l，或570(5Re*70(3)完全粗糙區(qū) 6l，或70(Re*70)其中=Re*，稱為粗糙雷諾數(shù)。3紊流流速分布根據(jù)紊流混合長度理論推導紊流流核的流速分布。在紊流流核中，粘性切應力與附加切應力比較，粘性切應力可以忽略不計。于是液層間切應力由式(4-5-6)決定=l2(du/dy)2又根據(jù)式(4-3-6)知均勻流過水斷面上切應力成直線分布，即至于混合長度l，可按薩特克維奇(.)提出的公式(該式除管軸附近外，與實驗資料基本相符)：式中為一常數(shù)，稱卡門常數(shù)，=0.4。于是整理得積分 (4

36、-6-4a)寫成無量綱形式，由變換為積分得 (4-6-4b)也可寫成常用對數(shù)形式 (4-6-4c)式(4-6-4)就是由混合長度理論得到的紊流流核對數(shù)流速分布規(guī)律。式中積分常數(shù)C2由實驗確定。下面結合實驗資料分別討論光滑管和粗糙管的流速分布。(1)光滑管的流速分布紊流分為粘性底層和紊流流核兩區(qū)，在粘性底層中的流速分布近乎線性分布，在管壁上流速為零。至于光滑管的紊流流速分布，根據(jù)尼古拉茲在人工粗糙管的實驗(見§4-7)資料，確定式(4-6-4c)的的積分常數(shù)C2=5.5，=0.4，于是 (4-6-5)(2)粗糙管的流速分布粗糙管中粘性底層的厚度遠小于管壁的粗糙高度。因此粘性底層已無實際

37、意義。在這種情況下，整個過水斷面的流速分布均符合式(4-6-4a)，而式中的積分常數(shù)C1僅與管壁粗糙度有關。卡門和普朗特根據(jù)尼古拉茲的實驗資料，提出粗糙管過水斷面上各點的對數(shù)流速分布公式 (4-6-6)在此應當指出的是方程(4-6-4)只計入了紊流附加應力，因此它所表示的速度分布規(guī)律適用于大雷諾數(shù)情況。對于較小的雷諾數(shù)，粘性摩擦在粘性底層之外流區(qū)也會產(chǎn)生影響。普朗特卡門根據(jù)實驗資料還提出了紊流指數(shù)流速分布公式 (4-6-7)對于光滑管，式中指數(shù)n隨雷諾數(shù)而變化。當Re105時，n約等于；此時 (4-6-8)稱為紊流流速分布中的七分之一方定律。當Re105時，n則視雷諾數(shù)不同而取相應之值(見表4

38、-2)計算才更準確。表4-2Re4.0×1032.3×1041.1×1051.1×1062.0×1063.2×106n圓管中的流速分布應當是連續(xù)的曲線，所以在管軸處應該有，但上述幾個公式都不能滿足這一條件。而且按上述這些公式，在管壁處得這也是不合理的。因而上述式(4-6-5)和(4-6-6)對圓管內兩小區(qū)靠近管軸處及管壁處均不適用，而在管中其余各點與實驗符合良好。4紊流的沿程水頭損失從圓管層流的討論中我們已經(jīng)知道，對水頭損失起決定作用的有：流速v、管徑d、液體密度和粘性系數(shù)。而在紊流中，在雷諾數(shù)Re較大的情況下管壁粗糙高度將對水流阻力

39、及水頭損失起重要影響。紊流的沿程水頭損失也采用魏斯巴赫-達西公式計算： (4-6-8)對于圓管水流，水力半徑。代入上式得 (4-6-9)式(4-6-8)、(4-6-9)與層流水頭損失計算公式(4-4-8)對照，可見公式結構是一致的。式中稱為沿程阻力系數(shù)，圓管層流的。至于圓管紊流的沿程阻力系數(shù)，則為雷諾數(shù)Re及管壁相對粗糙度的函數(shù)。隨Re及的變化規(guī)律將在下一節(jié)討論。魏斯巴赫-達西公式(4-6-8)、(4-6-9)是均勻流的普遍公式，對于層流、紊流、有壓流及無壓流均可適用，是計算水頭損失的基本公式。對實際工程問題，有時是已知水頭損失或已知水力坡度，而求流速的大小，為此可變換式(4-6-9)的形式如

40、下： (4-6-10)式(4-6-10)為著名的謝才(Chezy)公式，1775年由謝才提出，它與魏斯巴赫-達西公式實質上是相同的。至今仍然是被廣泛使用的水力計算公式之一。式中C稱作謝才系數(shù)。應當注意，謝才系數(shù)C與沿程阻力系數(shù)不同，是具有量綱的量，量綱為，單位一般采用。確定C值的方法將在下節(jié)中說明。§4-7 圓管中沿程阻力系數(shù)1尼古拉茲實驗曲線層流中沿程阻力系數(shù)與雷諾數(shù)Re的關系為=f(Re)；在紊流中，與雷諾數(shù)及粗糙度之間的關系，在理論上至今沒有完全解決。為了確定沿程阻力系數(shù)的變化規(guī)律，19321933年尼古拉茲(J.Nikuradse)在圓管內壁粘貼上經(jīng)過篩分具有同粒徑的砂粒，制

41、成人工均勻顆粒粗糙的管道。然后在不同粗糙度的管道上進行系統(tǒng)試驗，1933年，尼古拉茲發(fā)表了反映圓管流動情況的試驗結果。尼古拉茲實驗裝置如圖4-7-1，測量圓管中平均流速v和管段l的水頭損失hf，并測出水溫以推算出雷諾數(shù)及沿程阻力系數(shù)。得出的規(guī)律，以lgRe為橫坐標、lg(100)為縱坐標，將各種相對粗糙度情況下的試驗結果描繪成圖4-7-2，即尼拉茲實驗曲線圖。圖4-7-1由圖4-7-2看到，和Re及/d的關系可分成下列幾個區(qū)來說明。這些區(qū)在圖上以、表示。圖4-7-2第區(qū)層流區(qū)。當Re2300，所有的試驗點聚集在一條直線ab上，說明與粗糙度無關，并且與Re的關系合乎=規(guī)律，即試驗結果證實了圓管層

42、流理論公式的正確性。同時，此試驗也證明不影響臨界雷諾數(shù)Rec=2300的結論。第區(qū)層流轉變?yōu)槲闪鞯倪^渡區(qū)。此時基本上也與無關，只與Re有關。第區(qū)“光滑管”區(qū)。此時水流雖已處于紊流狀態(tài)，Re3000，但不同粗糙度的試驗點都聚集在cd線上，即粗糙度對值仍沒有影響。只是隨著Re加大，相對粗糙度大的管道，其實驗點在Re較低時離開了cd線；而相對粗糙度小的管道，在Re較高時才離開此線。第區(qū)為“光滑管”轉變向“粗糙管”的紊流過渡區(qū)，該區(qū)的阻力系數(shù)。第區(qū)粗糙管區(qū)或阻力平方區(qū)。試驗曲線成為與橫軸平行的直線，即該區(qū)與雷諾數(shù)無關，。這說明水流處于發(fā)展完全的紊流狀態(tài)，水流阻力與流速的平方成正比，故又稱此區(qū)為阻力平方

43、區(qū)。尼古拉茲雖然是在人工粗糙管中完成的試驗，不能完全用于工業(yè)管道。但是，尼古拉茲實驗的意義在于：它全面揭示了不同流態(tài)情況下和雷諾數(shù)Re及相對粗糙度/d的關系，從而說明確定的各種經(jīng)驗公式和半經(jīng)驗公式有一定的適用范圍。為補充普朗特理論和驗證沿程阻力系數(shù)的半理論半經(jīng)驗公式提供了必要的試驗依據(jù)。1938年蔡克士大（）在人工粗糙的矩形明渠中進行了沿程阻力系數(shù)的試驗，得出和尼古拉茲試驗相似的曲線形式，見圖4-7-3。圖中雷諾數(shù)，R為水力半徑。圖4-7-32人工粗糙管的沿程阻力系數(shù)半經(jīng)驗公式紊流沿程阻力系數(shù)的半經(jīng)驗公式是從研究斷面流速分布著手，綜合普朗特理論和尼古拉茲試驗結果推出的?，F(xiàn)分別敘述光滑管區(qū)和粗糙

44、管區(qū)的公式。(1)紊流光滑管區(qū)(Re*5根據(jù)普朗特紊流混合長度理論及尼古拉茲人工粗糙管的試驗數(shù)據(jù)得出紊流流核流速分布為式(4-6-5)： (4-6-5)對斷面進行積分得平均流速由于層流底層很薄，積分時可認為紊流流核內流速對數(shù)分布曲線一直延伸到管壁，上式中的u以式(4-6-5)代入，積分得 (4-7-1)又由式(4-3-3)因此 (4-7-2)將式(4-7-2)代入式(4-7-1)，經(jīng)過整理得或經(jīng)與尼古拉茲試驗資料比較，進行修正后得 (4-7-3)式(4-7-3)稱為尼古拉茲光滑管公式，適用于Re=5×1043×106。(2)紊流粗糙管區(qū)(Re*70)此區(qū)粘性底層已失去意義，

45、粗糙突出高度對水頭損失起決定作用。根據(jù)普朗特理論和尼古拉茲對紊流粗糙管區(qū)的流速分布實測資料得流速分布為 (4-6-6)對斷面積分，求得平均流速公式 (4-7-4)將式(4-7-2)代入式(4-7-4)，整理并根據(jù)實驗資料修正后，得 (4-7-5)式(4-7-5)稱為尼古拉茲粗糙管公式，適用于Re。3工業(yè)管道的實驗曲線和值的計算公式上述兩個半經(jīng)驗公式都是在人工粗糙的基礎上得到的。將工業(yè)管道與人工粗糙管道沿程阻力系數(shù)對比，得出它們在光滑管區(qū)的實驗結果完全相符。雖然這兩種管道的粗糙情況不盡相同，但因都被粘性底層淹沒而失去其作用。因此式(4-7-3)也適用于工業(yè)管道。在粗糙管區(qū)，工業(yè)管道和人工粗糙管道

46、值也有相同的變化規(guī)律。它說明尼古拉粗糙管公式有可能應用于工業(yè)管道，問題是工業(yè)管道的粗糙情況和尼古拉茲人工粗糙不同，它的粗糙高度、粗糙形狀及其分布都是無規(guī)則的。計算時，必須引入“當量粗糙高度”的概念，把工業(yè)管道的粗糙折算成人工粗糙。所謂“當量粗糙高度”是指和工業(yè)管道粗糙管區(qū)值相等的同直徑人工粗糙管的粗糙高度。因此，工業(yè)管道的“當量粗糙高度”反映了各種粗糙因素對沿程損失的綜合影響。幾種常用工業(yè)管道的當量粗糙高度如表4-3所示。這樣，式(4-7-5)也就可用于工業(yè)管道。表4-3 當量粗糙高度管 材 種 類(mm)新氯乙烯管，玻璃管，黃銅管00.002光滑混凝土管、新焊接鋼管0.0150.06新鑄鐵管

47、、離心混凝土管0.150.5舊鑄鐵管11.5輕度銹蝕鋼管0.25清潔的鍍鋅鐵管0.25對于光滑管和粗糙管之間的過渡區(qū)，工業(yè)管道和人工粗糙管道值的變化規(guī)律有很大差異，尼古拉茲過渡區(qū)的實驗成果對工業(yè)管道不能適用?？铝胁蹇?C.F.Colebrook)根據(jù)大量工業(yè)管道試驗資料，提出工業(yè)管道過渡區(qū)(5Re*70)值計算公式，即柯列勃洛克公式 (4-7-6)式中 工業(yè)管道的當量粗糙高度，可由表4-3查得。柯列勃洛克公式實際上是尼古拉茲光滑區(qū)公式和粗糙區(qū)公式的結合。對于光滑管，Re偏低，公式右邊括號內第二項很大，第一項相對很小可以忽略，該式與式(4-7-3)類似。當Re很大時，公式右邊括號內第二項很小，

48、可以忽略不計，于是柯列勃洛克公式與式(4-7-5)類似。這樣，柯列勃洛克公式不僅適用于工業(yè)管道的紊流過渡區(qū)，而且可用于紊流的全部三個阻力區(qū)，故又稱為紊流沿程阻力系數(shù)的綜合計算公式。盡管此式只是個經(jīng)驗公式，但它是在合并兩個半經(jīng)驗公式的基礎上得出的，公式應用范圍廣，與試驗結果符合良好，隨著“當量粗糙高度”數(shù)據(jù)的逐漸充足完備，該式應用日廣。但式(4-7-6)的應用比較麻煩，須經(jīng)過幾次迭代才能得出結果。為了簡化計算，1944年莫迪(Moody)在柯列勃洛克公式的基礎上，繪制了工業(yè)管道的計算曲線，即莫迪圖(工業(yè)管道試驗曲線)圖4-7-4。由圖可按Re及相對粗糙度/d直接查得值。圖4-7-4工業(yè)管道試驗曲線與人工砂粗糙管道曲線的變化規(guī)律類似。只是在光滑管區(qū)以后到阻力平方區(qū)之前的范圍內曲線形狀存在較大差別。對于莫迪圖，在離開光滑區(qū)以后-Re曲線沒有象人工粗糙管那樣有回升部分，而是值隨著Re增加而逐漸減小，一直到完全粗糙區(qū)為止。應當指出，以上幾個公式都是在