實(shí)變和泛函期末試題答案參考

1、0607 第二學(xué)期實(shí)變函數(shù)與泛函分析期末考試參考答案1. 設(shè)f ( x) 是 (,) 上的實(shí)值連續(xù)函數(shù) , 則對(duì)于任意常數(shù) a ,E x |f (x)a 是一開集, 而 E x |f ( x)a 總是一閉集 .(15 分)證明 (1) 先證 E x |f (x)a 為開集 .(8 分)證 明 一 設(shè) x0E , 則f (x0 )a , 由f ( x) 在 (,) 上 連 續(xù) , 知0 , 使 得x( x0, x0) 時(shí),f ( x)a , 即U ( x0 ,)E ,故 x0 為 E 的內(nèi)點(diǎn) . 由 x0 的任意性可知 , E x |f (x)a 是一開集 .證明二E x |f (x)a 可表為

2、至多可數(shù)的開區(qū)間的并(由證明一前半部分 ), 由定理可知 E 為開集 .(2) 再證 E x |f ( x)a 是一閉集 . (7 分)證明一設(shè) x0E , 則x0 是 E 的一個(gè)聚點(diǎn) , 則E 中互異點(diǎn)列 xn, 使得由 xnE 知 f(xn )xna , 因?yàn)?f 連續(xù) , 所以x0 (n) . .2 分f ( x0 )f (limnxn )limnf ( xn )a ,即 x0E .6 分由 x0的任意性可知 , E x |f (x)a 是一閉集 . 7 分證明二對(duì) E x |f (x)a ,E x |f (x)aE ,5 分知 EEEE , E 為閉集 . 7 分證明三由(1) 知,

3、E x |f ( x)a 為開集 , 同理 E x |f (x)a 也為開集 ,所以 CE x |f (x)a 閉集 , 得證 .2. 證明 Egorov 定理 ：設(shè) mE, fn ( x)是 E 上一列a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的函數(shù)f ( x)的 可 測(cè) 函 數(shù) ,則 對(duì)0 ,存 在 子 集 EE ,使 f n ( x)在 E上 一 致 收 斂 ,且m( EE ). (15 分)證明任選一列自然數(shù) ni ,與此相應(yīng)作 E 的子集則 fn (x) 必在E ni 上一致收斂于f ( x) .i事實(shí)上 ,對(duì)0 ,選 i0 , 使1, 則當(dāng)i0nni時(shí),對(duì)一切xE n E n , 1 E ff

4、1 ,kn, 都有0iioi0ki00fn ( x)f ( x)1i.6 分所以 ,0 , 若能適當(dāng)?shù)倪x取可. ni 0, 使 m( EEni ), 則令EE ni 即利用引理 ,0,m(EE n,)0(n) . 故對(duì)任給的0 , 對(duì)1 ,ii1,2,3, L,ni ,使得1m(EEni ,)i ,i2取 EE ni ,所以 f n ( x)在 E 上一致收斂 .且12 分21結(jié)論得證 .m(EE ni , )i i 1ii 1, . 15 分3. 證明勒貝格控制收斂定理：設(shè)(1)(2)f n ( x)f n( x)是可測(cè)集 E 上的可測(cè)函數(shù)列；F ( x)a.e.于 E , n =1,2,

5、,F ( x) 在 E 上可積分；(3)f n ( x)f ( x) ,則 f (x) 在 E 上可積分 , 且limnf ( x)dxnEEf ( x)dx . (15分)證明證明一由于fn ( x)f ( x),根據(jù) Rieze 定理 ,存在子列f n ( x)a.e.收斂于f ( x) .i由于 f n (x)F (x) a.e.于 E , 從而fn ( x)F ( x) a.e. 于 E , 得f ( x)F (x) a.e. 于 E .因?yàn)閕F ( x) 可積 ,可得到f ( x) 在 E 上是可積的 ,且每個(gè)fn ( x)在 E 上是可積的 . .2 分下證 limnfn (x)d

6、xf ( x)dx .我們分兩步證明：EE(1) 先設(shè) mE.對(duì)任何0 ,因?yàn)樵? ,使當(dāng) eE 且 me時(shí)有F( x)在 E 上可積 ,由勒貝格積分的絕對(duì)連續(xù)性,知存F ( x) dxe. .4 分4又因?yàn)閒 n ( x)f ( x),所以存在 N0 ,使當(dāng) nN 時(shí)有其中2mE0 .所以當(dāng) nN 時(shí),mE fnf,E fn f因此F ( x) dx, . .6 分4nf ( x) dxEf ( x) dx E( f ( x)nEf (x)dx=E fn ff ( x)nf ( x) dxE f n ff ( x)nf ( x) dx=. . .9 分22這就證明了當(dāng) mE時(shí),成立limnf

7、 ( x)dxfnEE( x)dx .(2) 設(shè) mE. 因F( x)在 E 上 可 積 , 由 非 負(fù) 可 測(cè) 函 數(shù) L積 分 的 定 義( limkF( x)EkdxF( x) dx,kEF (x)EkdxF (x)dx ),kE知對(duì)任何0 ,存在 EkE,mEk所以,使得F ( x)dxEF ( x)Ekkdx,4E EkF (x)dx =F ( x)dxEF ( x)dxEk另一方面 ,在Ek 上的可測(cè)函數(shù)列 fnF (x)dxEf 滿足： F (x)k dx. .11 分Ek4fn ( x)f (x)2F (x) a.e.于 Ek , n1,2, L ,fn ( x)f ( x)0

8、 （從fn ( x)f ( x) ） ,n故 在 Ek 上 利 用 (1) 的結(jié) 論 （ 從 (1) 有 limf ( x) dxf ( x)dx , 所 以 由nEEf n (x)f ( x)0 , 得Elimnfn ( x)f ( x) dx0 ） ,知存在正整數(shù) N ,使當(dāng) nN 時(shí),Ek(注意 : 上一步若直接由 (1) 得到亦正確 )因此fn ( x)f ( x) dx, . .13 分2證畢 .2 .15 分42i證明二由因?yàn)閒 n (x)f ( x) 及黎斯定理 , 存在子列f n ( x)a.e.收斂于f ( x) .f n ( x)所以F ( x) a.e.于 E ,if n

9、 ( x)因此F (x)a.e.于 E ,f ( x)F ( x)a.e.于 E .由 F (x) 可積 , 得到每個(gè)f n ( x) 和f ( x) 都是 L 可積的 . .2 分因?yàn)?F ( x) 在 E 上可積 , 即使得F( x)dxElimkF (x)E kk dx , 所以0 , 存在 k0,F ( x)dxE因此F ( x)Ekk dx,5E EkF (x)dx =F ( x)dxEF ( x)dxEk由絕對(duì)連續(xù)性 ,0 , 使得 eF ( x) dxEE , me時(shí), 有Fk ( x) dxEk. 6 分5F ( x)dx,e5對(duì)此, 由fn ( x)f ( x) （在 E 上

10、, 從而在Ek 上） , 所以存在 N0, 使得當(dāng) nN 時(shí),mEkfnf5( mEk1), 10 分當(dāng) nN時(shí), 記 H n= Ekf nf5(mEk, 所以從1)mH n, 有F ( x)dx.H n5因?yàn)樗援?dāng) nN 時(shí)EH n( EH n )H n( EEk )( EkH n ) ,nf ( x)dxEf ( x)dx =EEf n ( x)f ( x) dxf n ( x)Ef ( x) dxE kH nf n ( x)f ( x) dx E Ekfn ( x)f ( x) dx f n ( x)Hnf ( x) dx( EkH nEk fnf )5(mEk1)5( mEkmEk 2

11、1)E EkF ( x)dx 2F( x)dxHn22555 . .15 分這證明了limnf(x)dxnEEf (x)dx .4. 證明康托爾 (Cantor) 集合的測(cè)度為零 .(10 分)證明證明一Cantor 集 P0,112(,)1 2(,)7 8(,), .4 分339 99 9所以mPm 0,1112439272228. 分1332332311 122233323311131230.10 分證明二去掉過程進(jìn)行到第 n 步時(shí)，剩下 2n 個(gè)長(zhǎng)度為 3 n 的閉區(qū)間 I , 這些區(qū)間的總長(zhǎng)nn為22 nn()33故0( 當(dāng) n時(shí) ), 4. 分m * P( 2 )n30, .8.分因

12、此 m* P0,即 mP0. . 10 分5. 證明limn(0,)1dt1ntt nn1. (15分)證明當(dāng) t(0,1) 時(shí),11n11tt nn1, n t2 ； 2 分當(dāng) t1,) 時(shí),12nn1t 24t 2 ,n2 . .4 分令F (t )1 ,tt2n(0,1),t 2n則當(dāng) n12 時(shí), 有4 ,tt 21,),1n11tt nn且F (t) ,.6 分F (t) dt1 dt4 dt62,( 0,)0t1t即 F (t ) 在 0,上 Lebesgue可積 . .8 分又因?yàn)?n1n1tt nne t , 所以由 Lebesgue 控制收斂定理得 .12 分原式 =( 0,

13、limn)dt1n1tt nne dtt( 0,)1. 15 分6. 證明 Banach 不動(dòng)點(diǎn)定理： 設(shè) X 是完備的度量空間, T 是 X 上的壓縮映射 , 那么 T 有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) .(15 分)證明設(shè) x0 為 X 中的任一點(diǎn) ,令x1Tx0, x2Tx1T 2x , xnTxn 1T nx ,. .3 分00下面證明點(diǎn)列xn n1 是 X 中的柯西點(diǎn)列 .因?yàn)樗援?dāng) n又因?yàn)?0m 時(shí),1, 所以 1n m1,從而md ( xm , xn )1d( x0 , x1 )，( nm) .所以當(dāng) m, n時(shí), d ( xm , xn )0, 即xn n1 是 X 中的柯西點(diǎn)列 , .8

14、 分由 X 的完備性知 ,存在 xX ,使 xmx .因?yàn)?.10 分故 d( x,Tx)0 ,即 xTx ,所以 x 為 T 的不動(dòng)點(diǎn) . .12 分下證其唯一性 .如果又有 xX ,使 Txx ,則d (x, x )d (Tx, Tx)d ( x, x) ,因1,故 d (x, x)0 ,即xx ,得證 . .15 分7. 設(shè) mE0 , 又設(shè) E 上可積函數(shù)f ( x),g( x) 滿足f ( x)g( x) , 試證 :f ( x)dxEg( x)dx .(5 分)E證明因?yàn)槿鬵 ( x)f (x)0 , 所以 g(x)E g( x)Ef ( x)dxf ( x)dx0 3 分0 ,則

15、 g( x)f ( x)0 , a.e. .5 分與題設(shè)矛盾 , 故得f ( x)dxEg( x)dx .E8. 設(shè)f (x) 在 a, b 上可導(dǎo) , 證明 :f (x) 的導(dǎo)函數(shù)f ( x) 在 a, b 上可測(cè) . (10 分)證明補(bǔ)充定義f ( x)f (b)( xb 時(shí)), 則f ( x) 在 a, b) 上可導(dǎo) , 對(duì)任意 nN , 令gn (x)f (x1 ) n1nf (x),xa, b) . 3 分由 f 連續(xù) , 知每個(gè)由 f 的可導(dǎo)性知gn 連續(xù)，故可測(cè) . .5 分f ( x)limngn( x),x a, b) . 7 分因此 f ( x) 作為一列可測(cè)函數(shù)的極限在

16、a, b) 上必可測(cè) , 故在 a, b 上亦可測(cè) . 10 分衛(wèi)生管理制度1總則1.1為了加強(qiáng)公司的環(huán)境衛(wèi)生管理，創(chuàng)造一個(gè)整潔、文明、溫馨的購(gòu)物、辦公環(huán)境，根據(jù)公共場(chǎng)所衛(wèi)生管理?xiàng)l例的要求，特制定本制度。1.2集團(tuán)公司的衛(wèi)生管理部門設(shè)在企管部，并負(fù)責(zé)將集團(tuán)公司的衛(wèi)生區(qū)域詳細(xì)劃分到各部室，各分公司所轄區(qū)域衛(wèi)生由分公司客服部負(fù)責(zé)劃分，確保無遺漏。2衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1室內(nèi)衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.1.1地面、墻面：無灰塵、無紙屑、無痰跡、無泡泡糖等粘合物、無積水，墻角無灰吊、無蜘蛛網(wǎng)。2.1.2門、窗、玻璃、鏡子、柱子、電梯、樓梯、燈具等，做到明亮、無灰塵、無污跡、無粘合物，特別是玻璃，要求兩面明亮。2.1.3柜臺(tái)、

17、貨架：清潔干凈，貨架、柜臺(tái)底層及周圍無亂堆亂放現(xiàn)象、無灰塵、無粘合物，貨架頂部、背部和底部干凈，不存放雜物和私人物品。2.1.4購(gòu)物車（筐）、直接接觸食品的售貨工具（包括刀、叉等） ：做到內(nèi)外潔凈，無污垢和粘合物等。購(gòu)物車（筐）要求每天營(yíng)業(yè)前簡(jiǎn)單清理，周五全面清理消毒；售貨工具要求每天消毒，并做好記錄。2.1.5商品及包裝：商品及外包裝清潔無灰塵（外包裝破損的或破舊的不得陳列）。2.1.6收款臺(tái)、服務(wù)臺(tái)、辦公櫥、存包柜：保持清潔、無灰塵，臺(tái)面和側(cè)面無灰塵、無灰吊和蜘蛛網(wǎng)。桌面上不得亂貼、亂畫、亂堆放物品，用具擺放有序且干凈，除當(dāng)班的購(gòu)物小票收款聯(lián)外，其它單據(jù)不得存放在桌面上。2.1.7垃圾桶：

18、桶內(nèi)外干凈，要求營(yíng)業(yè)時(shí)間隨時(shí)清理，不得溢出，每天下班前徹底清理，不得留有垃圾過夜。2.1.8窗簾：定期進(jìn)行清理，要求干凈、無污漬。2.1.9吊飾：屋頂?shù)牡躏椧鬅o灰塵、無蜘蛛網(wǎng)，短期內(nèi)不適用的吊飾及時(shí)清理徹底。2.1.10內(nèi)、外倉(cāng)庫(kù)：半年徹底清理一次，無垃圾、無積塵、無蜘蛛網(wǎng)等。2.1.11室內(nèi)其他附屬物及工作用具均以整潔為準(zhǔn)，要求無灰塵、無粘合物等污垢。2.2室外衛(wèi)生標(biāo)準(zhǔn)2.2.1門前衛(wèi)生：地面每天班前清理，平時(shí)每一小時(shí)清理一次，每周四營(yíng)業(yè)結(jié)束后有條件的用水沖洗地面（冬季可根據(jù)情況適當(dāng)清理） ，墻面干凈且無亂貼亂畫。2.2.2院落衛(wèi)生：院內(nèi)地面衛(wèi)生全天保潔，果皮箱、消防器械、護(hù)欄及配電箱等設(shè)施每周清理干凈。垃圾池周邊衛(wèi)生清理徹底，不得有垃圾溢出。2.2.3綠化區(qū)衛(wèi)生：做