高一數(shù)學(xué)用樣本的頻率分布估計總體的分布3

1、2.2.1 用樣本的頻率分布估計用樣本的頻率分布估計總體的分布總體的分布(一) 從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息。看出樣本所包含的信息。 如果把這些數(shù)據(jù)形成如果把這些數(shù)據(jù)形成頻數(shù)分布頻數(shù)分布或或頻率頻率分布分布，就可以比較清楚地看出樣本，就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的特征的特征，從而估計總體的，從而估計總體的分布情況分布情況。一、頻率分布表與頻率分布直方圖：一、頻率分布表與頻率分布直方圖： 1頻數(shù)、頻率頻數(shù)、頻率 將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個

2、組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。 每組的每組的頻數(shù)除以樣本容量的商頻數(shù)除以樣本容量的商叫做該叫做該組的組的頻率頻率； 頻率反映每組數(shù)據(jù)在樣本中所占頻率反映每組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例比例的大小的大小。2樣本的頻率分布樣本的頻率分布 根據(jù)隨機所抽樣本容量的大小，分別根據(jù)隨機所抽樣本容量的大小，分別計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的計算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫做樣本的分布規(guī)律（取值狀況），就叫做樣本的頻率分布。頻率分布。 為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況，通常我們會將樣本的容量、樣本中況，通常我們會

3、將樣本的容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相應(yīng)出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，叫做樣本的頻率列在一張表中，叫做樣本的頻率分頻率分布表布表。3用樣本的頻率分布估計總體的分布用樣本的頻率分布估計總體的分布 從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接看樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息，如果把這些數(shù)據(jù)形出樣本所包含的信息，如果把這些數(shù)據(jù)形成頻數(shù)分布或頻率分布，就可以比較清楚成頻數(shù)分布或頻率分布，就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計總體的地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計總體的分布情況。分布情況

4、。用樣本估計總體用樣本估計總體，是研究統(tǒng)計，是研究統(tǒng)計問題的一個基本思想方法，而對于總體的問題的一個基本思想方法，而對于總體的分布，我們總是用樣本的頻率分布對它進分布，我們總是用樣本的頻率分布對它進行估計。行估計。4列頻率分布表的步驟列頻率分布表的步驟 下面我們通過一個具體的實例來闡述這下面我們通過一個具體的實例來闡述這一方法。一方法。 某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的鋼的鋼管，為了掌握產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，需定期對管，為了掌握產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，需定期對產(chǎn)品進行檢測，下面的數(shù)據(jù)是一次抽樣中產(chǎn)品進行檢測，下面的數(shù)據(jù)是一次抽樣中的的100件鋼管的內(nèi)徑尺寸：件鋼管的內(nèi)徑尺寸：最大

5、值最大值最小值最小值列頻率分布表的方法步驟：列頻率分布表的方法步驟：求極差求極差（也稱全距，即一組數(shù)據(jù)中最（也稱全距，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）：大值與最小值的差）： 計算極差時，需要找出這組數(shù)據(jù)的計算極差時，需要找出這組數(shù)據(jù)的最最大值和最小值大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可借助，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可借助如下算法（最大值）：如下算法（最大值）：S1 把這把這100個數(shù)據(jù)命名為個數(shù)據(jù)命名為A(1)、A(2)、A(3)、A(100)；S2 設(shè)變量設(shè)變量x=A(1)；S3 把把A(i) (i=2，3，100)逐個與逐個與x比比較，如果較，如果A(i)x，則，則x=A(i)； 運用上面的算法得出這組樣

6、本數(shù)據(jù)的最運用上面的算法得出這組樣本數(shù)據(jù)的最大值是大值是25.56，用類似的算法可以得出最，用類似的算法可以得出最小值是小值是25.24它們的差為它們的差為 25.5625.24= 0.32，所以，所以極差等于極差等于0.32mm.決定組距與組數(shù)決定組距與組數(shù) 那么組數(shù)那么組數(shù)= =10.67,于是于是分成分成11組組。極差極差組距組距 樣本數(shù)據(jù)有樣本數(shù)據(jù)有100個，由上面算得極差為個，由上面算得極差為0.32，取，取組距為組距為0.03，注意：為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求注意：為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整取整”，如果極差不利于分組（，如果極差不利于分組（ 如不如不能被組數(shù)整除）要適當(dāng)增

7、大極差，如在左、能被組數(shù)整除）要適當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）的量相同）. 決定分點，將數(shù)據(jù)分組決定分點，將數(shù)據(jù)分組 將第將第1組的起點定為組的起點定為25.235，以組距為，以組距為0.03將數(shù)據(jù)分組時，可以分成以下將數(shù)據(jù)分組時，可以分成以下11組：組：25.235，25.265)，25.265，26.295), , 25.535，25.565. 分組時，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取分組時，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左左閉右開區(qū)間閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，當(dāng)然也，最后一組取閉區(qū)間，當(dāng)然也可以采用其他分組方法。可以采用其他

8、分組方法。登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表 頻率頻率= ，如第，如第1小組的頻率小組的頻率為為 =0.01.頻數(shù)頻數(shù)樣本容量樣本容量1100頻率分布表：頻率分布表： 繪制頻率分布直方圖繪制頻率分布直方圖 利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡稱這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡稱頻率直方圖。頻率直方圖。 下面仍以上例中的數(shù)據(jù)加下面仍以上例中的數(shù)據(jù)加以說明。以說明。（1）頻率分布直方圖的繪制方法與步驟）頻率分布直方圖的繪制方法與步驟S1 先制作先制作頻率分布表頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)，然后作直角

9、坐標(biāo)系，以系，以橫軸表示產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸橫軸表示產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸，縱軸表示縱軸表示頻率頻率/組距組距.S2 把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距，即在橫軸上標(biāo)上的組距，即在橫軸上標(biāo)上25.235，25.265, , 25.565表示的點；表示的點；S3 在上面標(biāo)出的各點中，分別以相鄰兩點在上面標(biāo)出的各點中，分別以相鄰兩點為端點的線段為底作矩形，它的高等于該為端點的線段為底作矩形，它的高等于該組的組的頻率頻率/組距組距，每個矩形的面積恰好是該，每個矩形的面積恰好是該組的頻率。組的頻率。 這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。（2）有關(guān)問題的

10、理解）有關(guān)問題的理解 因為小矩形的因為小矩形的面積面積=組距組距頻率頻率/組距組距=頻率頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率。這樣，頻率分布直方圖就以面積的頻率。這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小。大小。在頻率分布直方圖中，在頻率分布直方圖中，各小矩形的面各小矩形的面積之和等于積之和等于1.同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸單位不同，得到的圖的形狀也會不同?？v軸單位不同，得到的圖的形狀也會不同。不同的形狀給人的印象也不同，這種印象不同的形狀給人的印象

11、也不同，這種印象有時會影響我們對總體的判斷。有時會影響我們對總體的判斷。同一個總體，由于抽樣的隨機性，如果同一個總體，由于抽樣的隨機性，如果隨機抽取另外一個容量為隨機抽取另外一個容量為100的樣本，所的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同。但是，它們都可以近頻率分布有所不同。但是，它們都可以近似地看作總體的分布。似地看作總體的分布。上例中，如果規(guī)定，鋼管內(nèi)徑的尺寸在上例中，如果規(guī)定，鋼管內(nèi)徑的尺寸在區(qū)間區(qū)間25.32525.475內(nèi)為優(yōu)等品內(nèi)為優(yōu)等品，我們可依，我們可依據(jù)抽樣分析統(tǒng)計出產(chǎn)品中優(yōu)等品的比例，據(jù)抽樣分析統(tǒng)計出產(chǎn)品中優(yōu)等品的

12、比例，也就是它的頻率。從上表或上圖容易看出，也就是它的頻率。從上表或上圖容易看出，這個頻率值等于這個頻率值等于0.12+0.18+0.25+0.16 +0.13=0.84，于是可以估計出所有生產(chǎn)的，于是可以估計出所有生產(chǎn)的鋼管中有鋼管中有84%的優(yōu)等品。工廠可以根據(jù)質(zhì)的優(yōu)等品。工廠可以根據(jù)質(zhì)量規(guī)范，看看是否達到優(yōu)等品率的要求，量規(guī)范，看看是否達到優(yōu)等品率的要求，如果沒有達到，就需要進一步分析原因，如果沒有達到，就需要進一步分析原因，解決問題。解決問題。頻率分布直方圖的特點頻率分布直方圖的特點 從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但是從直方圖本身據(jù)分

13、布的總體態(tài)勢，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容。所以，把數(shù)據(jù)得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容。所以，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。就被抹掉了。 例例1. 從某校高一年級的從某校高一年級的1002名新生中用名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為100的的身高的樣本，數(shù)據(jù)如下（單位：身高的樣本，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）。）。試作出該樣本的頻率分布表。試作出該樣本的頻率分布表。168165171167170165 170 152 175 174165 170168 169 171 166 164 155 164 158 170

14、 155 166 158 155 160 160 164 156 162 160 170 168 164 174 171 165 179 163 172180 174 173 159 163 172 167 160 164 169 151 168 158 168 176 155 165 165 169 162 177158 175 165 169 151 163 166 163 167178 165 158 170 169 159 155 163 153 155 167 163 164 158 168 167 161 162 167 168 161 165 174 156 167 166 16

15、2 161 164 166解：最大值解：最大值=180，最小值，最小值=151， 極差極差=29，決定分為，決定分為10組；組； 則需將全距調(diào)整為則需將全距調(diào)整為30，組距為，組距為3，既每，既每個小區(qū)間的長度為個小區(qū)間的長度為3，組距，組距=全距全距/組數(shù)。組數(shù)。 可取區(qū)間可取區(qū)間150.5, 180.5 分組分組 頻數(shù)頻數(shù) 頻率頻率 150.5,153.5） 4 0.04 153.5,156.5） 8 0.08 156.5,159.5） 8 0.08 159.5,162.5） 11 0.11 162.5165.5） 22 0.22 165.5,168.5） 19 0.19 168.5,17

16、1.5） 14 0.14 171.5,174.5） 7 0.07 174.5,177.5） 4 0.04 177.5,180.5） 3 0.03 合計合計 100 1頻率分布直方圖為：頻率分布直方圖為：例例2下表給出了某校下表給出了某校500名名12歲男孩中用歲男孩中用隨機抽樣得出的隨機抽樣得出的120人的身高人的身高(單位單位cm) (1)列出樣本頻率分布表列出樣本頻率分布表 (2)估計身高小于估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比百分比.。 區(qū)間界限區(qū)間界限122,126) 126,130) 130,134) 134,138) 138,142) 142,146)人數(shù)人

17、數(shù)5810223320區(qū)間界限區(qū)間界限146,150) 150,154) 154,158) 人數(shù)人數(shù)1165解：（解：（1）樣本頻率分布表如下：）樣本頻率分布表如下：（2）由樣本頻率分布表可知身高小于）由樣本頻率分布表可知身高小于134cm 的男孩出現(xiàn)的頻率為的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+ 0.08=0.19， 所以我們估計身高小于所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的占總?cè)藬?shù)的19%例例3為了了解一大片經(jīng)濟林生長情況，為了了解一大片經(jīng)濟林生長情況，隨機測量其中的隨機測量其中的100株的底部株的底部 周長，得到周長，得到如下數(shù)據(jù)表（單位：如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）13598

18、1021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100（1）編制頻率分布表；）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；）繪制頻率分布直方圖；（3）估計該片經(jīng)濟林中底部周長小于）估計該片經(jīng)濟林中底部周長小于100 cm的樹木約占多少，周長不小于的樹木約占多少，周長不小于12

19、0cm的樹木約占多少的樹木約占多少分組分組頻數(shù)頻數(shù)頻率頻率頻率頻率/組組距距80,85)10.010.00285,90)20.020.00490,95)40.040.00895,100)140.140.028100,105)240.240.048105,110)150.150.030110,115)120.120.024115,120)90.090.018120,125)110.110.022125,130)60.060.012130,13520.020.004合計合計10010.2解：（解：（1）這組數(shù)據(jù)）這組數(shù)據(jù)的最大值為的最大值為135，最，最小值為小值為80，全距為，全距為55，可將其

20、分為可將其分為11組，組組，組距為距為5頻率分布表頻率分布表如下：如下： （2）直方圖如圖）直方圖如圖 （3）從頻率分布表得，樣本中小于）從頻率分布表得，樣本中小于100的的頻率為頻率為0.01+0.02+0.04+0.14=0.21，樣本中，樣本中不小于不小于120的頻率為的頻率為0.11+0.06+0.02=0.19， 估計該片經(jīng)濟林中底部周長小于估計該片經(jīng)濟林中底部周長小于100cm的樹木約占的樹木約占21%，周長不小于，周長不小于120cm的樹的樹木約占木約占19%1. 有一個容量為的樣本數(shù)據(jù)有一個容量為的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的分組后各組的頻數(shù)如下頻數(shù)如下: (12.5,15.5,3;

21、 (15.5,18.5,8;(18.5,21.5,9; (21.5,24.5, 11; (24.5,27.5,10;(27.5,30.5,4. 由此估計，不大于由此估計，不大于27.5的數(shù)的數(shù)據(jù)約為總體的據(jù)約為總體的 ( ) A91% B92% C95% D30%A練習(xí)題：練習(xí)題：2. 一個容量為一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的分的樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：組及各組的頻數(shù)如下：（10，20），），2；（；（20，30），），3；（；（30，40），），4；（；（40，50），），5；（；（50，60），），4；（；（60，70），），2.則樣本在區(qū)間（則樣本在區(qū)間（，50）上的頻）

22、上的頻率為率為 （ ）A0.5B0.7C0.25 D0.05B3. 從高三學(xué)生中抽取從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下：（單賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下：（單位：分）位：分）40，50)，2；50，0)，3；60，70)，10；70，80)，15；80，90)，12；90，100)，8； （1）列出樣本的頻率分布表）列出樣本的頻率分布表(含累計頻率含累計頻率);（2）畫出頻率分布直方圖；）畫出頻率分布直方圖；（3）估計成績在）估計成績在60，90)分的學(xué)生比例；分的學(xué)生比例；（4）估計成績在）估計成績在85分以下的學(xué)生比例。分以下的學(xué)生比例。解：（解：（1）頻率分布表如下：）頻率分布表如下：（2）頻率分布直方圖如下：）頻率分布直方圖如下：（3）估計成績在）估計成績在60，90)分的學(xué)生比例；分的學(xué)生比例；解：（解：（3）成績在）成績在60，90)的學(xué)生比例即為的學(xué)生比