非線性回歸模型的線性化

1、（第（第4講）講） 第第4章章 非線性回歸模型的線性化非線性回歸模型的線性化 （1）多項(xiàng)式函數(shù)模型多項(xiàng)式函數(shù)模型（2）雙曲線函數(shù)模型雙曲線函數(shù)模型（3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型對(duì)數(shù)函數(shù)模型（4）生長曲線生長曲線 (logistic) 模型模型 （比教材中的模型復(fù)雜些）（比教材中的模型復(fù)雜些）（5）指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型（6）冪函數(shù)模型冪函數(shù)模型file:li-4-1file:5nonli7file:5nonli3file:5nonli01file:li-4-2file:5nonli14 有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。雖然其形式是非有時(shí)候變量之間的關(guān)系是非線性的。雖然其形式是非線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖?/p>

2、換，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利線性的，但可以通過適當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化為線性模型，然后利用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱此類模型為用線性回歸模型的估計(jì)與檢驗(yàn)方法進(jìn)行處理。稱此類模型為可線性化的非線性模型?？删€性化的非線性模型。 以下非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的。以下非線性回歸模型是無法用最小二乘法估計(jì)參數(shù)的?？刹捎梅蔷€性方法進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過程非常復(fù)雜和困難，計(jì)可采用非線性方法進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)過程非常復(fù)雜和困難，計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計(jì)。專用軟件使算機(jī)的出現(xiàn)大大方便了非線性回歸模型的估計(jì)。專用軟件使這種計(jì)算變得非常容易。但本章不是介紹這類模型的估計(jì)。這種計(jì)算變得非常

3、容易。但本章不是介紹這類模型的估計(jì)。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型。下面介紹幾種典型的可以做線性化處理的非線性模型。 第第4 4章章 非線性回歸模型的線性化非線性回歸模型的線性化 (1)多項(xiàng)式函數(shù)模型多項(xiàng)式函數(shù)模型(1)（第（第3版教材第版教材第90頁）頁）多項(xiàng)式方程多項(xiàng)式方程 yt = b0 +b1 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令令xt 1 = xt，xt 2 = xt2，xt 3 = xt3，上式變?yōu)?，上式變?yōu)?yt = b0 +b1 xt 1 + b2 xt 2 + b3 xt 3 + ut 這是三元線性回歸模型。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左

4、圖相似。這是三元線性回歸模型。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的總成本與產(chǎn)品產(chǎn)量曲線與左圖相似。( b10, b20, b30) (b10, b30, b20) (b10, b2 0) yt = a + b Lnxt + ut , (b 0) (b 1) (0b 1) (b = -1) (b b -1) tubtteaxy b取不同值的圖形分別見上圖。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得取不同值的圖形分別見上圖。對(duì)上式等號(hào)兩側(cè)同取對(duì)數(shù)，得 Lnyt = Lna + b Lnxt + ut 令令yt* = Lnyt, a* = Lna, xt* = Lnxt, 則上式表示為則上式表示為 yt* = a* + b xt* + ut

5、 變量變量yt* 和和xt* 之間已成線性關(guān)系。冪函數(shù)模型也稱作之間已成線性關(guān)系。冪函數(shù)模型也稱作全對(duì)數(shù)模型全對(duì)數(shù)模型。（第（第3版教材第版教材第95頁）頁）8012016020024028080100120140160180200220LABOROUTPUT8012016020024028080 120 160 200 240 280 320 360 400 440CAPITALOUTPUT（第（第3版教材第版教材第95頁）頁）Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)（二元冪函數(shù)）生產(chǎn)函數(shù)（二元冪函數(shù)） 柯布（）柯布（） 道格拉斯道格拉斯(PaulH.Douglas)例例4.2：天津市天津市GDP函

6、數(shù)函數(shù)(教材第教材第95頁頁,file:li-4-2 )（第（第3版第版第95頁）頁）天津市對(duì)數(shù)的天津市對(duì)數(shù)的GDPt（億元）對(duì)對(duì)數(shù)的從業(yè)人員數(shù)（億元）對(duì)對(duì)數(shù)的從業(yè)人員數(shù)（Lt，億元）和對(duì)數(shù)的資金（億元）和對(duì)數(shù)的資金（Kt，億元）散點(diǎn)圖，億元）散點(diǎn)圖-.08-.04.00.04.084.55.05.56.06.57.07.51980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996ResidualActualFitted因?yàn)橐驗(yàn)?.02 + 1.47= 2.47，所以此生產(chǎn)函數(shù)屬于規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù)。，所以此生產(chǎn)函數(shù)屬于規(guī)模報(bào)酬遞增函數(shù)。例例4.2：天津市天津市GD

7、P函數(shù)函數(shù)（第（第3版第版第95頁）頁）非線性模型直接估計(jì)結(jié)果是非線性模型直接估計(jì)結(jié)果是 )1( 1 .1003 . 8xey R2 = 0.96EViews命令：命令：Y=C(1)*EXP(C(2)*(1/X) 樣本內(nèi)預(yù)測評(píng)價(jià)：樣本內(nèi)預(yù)測評(píng)價(jià)：案例案例5 5：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系：硫酸透明度與鐵雜質(zhì)含量的關(guān)系（指數(shù)函數(shù)案例）（指數(shù)函數(shù)案例） (file:nonli01)樣本點(diǎn)與指數(shù)擬合曲線樣本點(diǎn)與指數(shù)擬合曲線 0408012016020024020406080100 120 140 160 180 200 220XYYF（7）不可線性化的非線性回歸模型估計(jì)方法（不要求掌握）不可線性化

8、的非線性回歸模型估計(jì)方法（不要求掌握）綜合案例綜合案例：中國家用汽車擁有量決定因素分析中國家用汽車擁有量決定因素分析 （多元非線性回歸）（多元非線性回歸）（file: nonli14）1985-2002年中國家用汽車擁有量以年增長率年中國家用汽車擁有量以年增長率23%，年均增長，年均增長55萬輛萬輛的速度飛速增長。的速度飛速增長。建立中國家用汽車擁有量模型時(shí)，主要考慮如下因素：（建立中國家用汽車擁有量模型時(shí)，主要考慮如下因素：（1）城鎮(zhèn)居）城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入；（民家庭人均可支配收入；（2）城鎮(zhèn)總?cè)丝冢唬ǎ┏擎?zhèn)總?cè)丝?；?）家用汽車產(chǎn)量；）家用汽車產(chǎn)量；（4）公路交通完善程度；（）公路交

9、通完善程度；（5）家用汽車價(jià)格。）家用汽車價(jià)格。由于國產(chǎn)家用汽車價(jià)格與進(jìn)口家用汽車價(jià)格差距較大，而且家用汽車由于國產(chǎn)家用汽車價(jià)格與進(jìn)口家用汽車價(jià)格差距較大，而且家用汽車種類很多，統(tǒng)計(jì)分種類的家用汽車銷售價(jià)格與銷售量非常困難，所以種類很多，統(tǒng)計(jì)分種類的家用汽車銷售價(jià)格與銷售量非常困難，所以因素因素“家用汽車價(jià)格家用汽車價(jià)格”暫且略去不用。定義變量名如下：暫且略去不用。定義變量名如下：Y：中國家用汽車擁有量（萬輛）：中國家用汽車擁有量（萬輛）X1：城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入（元）：城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入（元）X2：全國城鎮(zhèn)人口（億人）：全國城鎮(zhèn)人口（億人）X3：全國家用汽車產(chǎn)量（萬輛）：全國家

10、用汽車產(chǎn)量（萬輛）X4；全國公路長度（萬公里）；全國公路長度（萬公里） 轎車擁有量與人均可支配收入轎車擁有量與人均可支配收入 轎車擁有量與全國城鎮(zhèn)人口轎車擁有量與全國城鎮(zhèn)人口轎車擁有量與全國汽車產(chǎn)量轎車擁有量與全國汽車產(chǎn)量 轎車擁有量與全國公路長度轎車擁有量與全國公路長度綜合案例綜合案例：中國家用汽車擁有量決定因素分析中國家用汽車擁有量決定因素分析 （多元非線性回歸）（多元非線性回歸）（file: nonli14）Y = -925.66+ 0.0057X1+ 62.94 X2+ 0.41 X3 + 7.73X4 (-5.7) (0.2) (0.8) (0.8) (5.0) R2 = 0.99,

11、 DW=1.4，T= 18，（，（1985 2002）看相關(guān)系數(shù)陣，看相關(guān)系數(shù)陣，Y與與X1，X2，X3，X4的相關(guān)系數(shù)都在的相關(guān)系數(shù)都在0.9以上，以上，但輸出結(jié)果中，解釋變量但輸出結(jié)果中，解釋變量X1，X2，X3的回歸系數(shù)卻通不過顯的回歸系數(shù)卻通不過顯著性檢驗(yàn)。著性檢驗(yàn)。這預(yù)示解釋變量之間一定存在多重共線性。這預(yù)示解釋變量之間一定存在多重共線性。綜合案例綜合案例：中國家用汽車擁有量決定因素分析中國家用汽車擁有量決定因素分析 （多元非線性回歸）（多元非線性回歸）（file: nonli14）看散點(diǎn)圖，把看散點(diǎn)圖，把Y與與X3,X4處理成線性關(guān)系，把處理成線性關(guān)系，把Y與與X1,X2處理成冪函

12、數(shù)（拋物處理成冪函數(shù)（拋物線）關(guān)系，得結(jié)果如下，線）關(guān)系，得結(jié)果如下，Y = 317.19+ 0.00000326X12- 363 X2+ 74.41 X22+ 0.31X3+1.48X4 (2.9) (4.4) (-7.3) (9.5) (2.1) (3.0) R2 = 0.9991, DW=2.0，T= 17，（，（1985 2001）每個(gè)變量都具有很高的顯著性。每個(gè)變量都具有很高的顯著性。擬合優(yōu)度也提高了，沒有異方差擬合優(yōu)度也提高了，沒有異方差也沒有自相關(guān)。樣本內(nèi)擬合如圖。也沒有自相關(guān)。樣本內(nèi)擬合如圖。綜合案例綜合案例：中國家用汽車擁有量決定因素分析中國家用汽車擁有量決定因素分析 （多元

13、非線性回歸）（多元非線性回歸）（file: nonli14） 作樣本外作樣本外1期預(yù)測。預(yù)測期預(yù)測。預(yù)測2002年年Y = 929.5648。預(yù)測誤差。預(yù)測誤差0.04。EViews的計(jì)算結(jié)果。的計(jì)算結(jié)果。8808909009109209309409509609702002929.6963.1896.1YFForecast: YFActual: YForecast sample: 2002 2002Included observations: 1Root Mean Squared Error 39.41524Mean Absolute Error 39.41524Mean Abs. Percent Error 4.0677048909009109209309409509609702002YF?2 S.E.Forecast: YFActual: YForecast sample: 2002 2002Included observa