第八章：期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第八章：期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法教學(xué)目標(biāo)：1、了解二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型并且熟悉二叉樹(shù)模型的基本方法；2、理解蒙特卡羅模擬的基本過(guò)程；3、熟悉蒙特卡羅模擬的技術(shù)的實(shí)現(xiàn)。教學(xué)重點(diǎn)：1、二叉樹(shù)模型的基本方法；2、蒙特卡羅模擬。教學(xué)難點(diǎn)：1、蒙特卡羅模擬。課時(shí)建議：3課時(shí)教學(xué)主要內(nèi)容：8.1二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)模型把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能：1.從開(kāi)始的S上升到原先的u倍，即到達(dá)Su；2.降到原先的d倍，即Sd其中u>1,d<1.假設(shè)價(jià)格上升的概率為p，則價(jià)格下降的概率為1-p,相應(yīng)的期權(quán)的價(jià)值也會(huì)有所不同，分別為f

2、u和fd二叉樹(shù)模型實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來(lái)模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng) 8.1.1二叉樹(shù)模型的基本方法二叉樹(shù)模型可分為以下幾種方法一）單步二叉樹(shù)模型 1.無(wú)套利定價(jià)法2.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法3.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法（二）證券價(jià)格的樹(shù)型結(jié)構(gòu) 4.證券價(jià)格的樹(shù)型結(jié)構(gòu)（三）倒推定價(jià)法 5. 倒推定價(jià)法二叉樹(shù)方法的一般定價(jià)過(guò)程以無(wú)收益證券的美式看跌期權(quán)為例6.一般定價(jià)過(guò)程無(wú)套利定價(jià)法：構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng)則組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合。此時(shí)：因?yàn)槭菬o(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，可用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，得將代入上式就可得到：其中，1.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；（2

3、）未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下, 參數(shù)值滿足條件：假設(shè)證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則：再設(shè)定：（第三個(gè)條件的設(shè)定則可以有所不同， 這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件）由以上三式可得，當(dāng)很小時(shí)：，從而，以上可知，無(wú)套利定價(jià)法和風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法具有內(nèi)在一致性。2.證劵價(jià)格的樹(shù)形結(jié)構(gòu)在時(shí)刻，證券價(jià)格有i+1種可能，它們可用符號(hào)表示為：,j=0.1 i注意：由于，使得許多結(jié)點(diǎn)是重合的，從而大大簡(jiǎn)化了樹(shù)圖。 3.推到定價(jià)法得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格之后，就可以在二叉樹(shù)模型中采用倒推定價(jià)法，從樹(shù)型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開(kāi)始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)。 如果是歐式期權(quán)，可通過(guò)

4、將時(shí)T刻的期權(quán)價(jià)值的預(yù)期值在 時(shí)間長(zhǎng)度內(nèi)以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r 貼現(xiàn)求出每一結(jié)點(diǎn)上的期權(quán)價(jià)值； 如果是美式期權(quán)，就要在樹(shù)型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時(shí)間，到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。 4.二叉樹(shù)方法的一般定價(jià)過(guò)程假設(shè)把該期權(quán)有效期劃分成N個(gè)長(zhǎng)度為的小區(qū)間，同時(shí)用表示結(jié)點(diǎn)（i,j）處的證券價(jià)格可得：，其中j=0.1 N假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，后，則：（表示在時(shí)間i時(shí)第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：8.1.2構(gòu)造樹(shù)圖的其他方法和思路1.三叉樹(shù)圖每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格只有三種運(yùn)動(dòng)的可能：1.從開(kāi)始的S上升到原先的u倍，

5、即到達(dá)Su；2.保持不變，仍為S3.降到原先的d倍，即Sd一些相關(guān)參數(shù)：2.控制方差技術(shù) 基本原理：期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似，我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解假設(shè)：FB-MB=FA-MA,（FB代表期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值，F(xiàn)A表示關(guān)于期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值，MB和MA表示用同一個(gè)二叉樹(shù)、相同的蒙特卡羅模擬或是同樣的有限差分過(guò)程得到的估計(jì)值）則期權(quán)A 的更優(yōu)估計(jì)值為：FA=FB+ MA-MB 3.適應(yīng)性網(wǎng)狀模型采用相同的三叉樹(shù)定價(jià)過(guò)程在使用三叉樹(shù)圖為美式期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格接近執(zhí)行價(jià)格時(shí)和接近到期時(shí)，用高密度的樹(shù)圖來(lái)取代原先低密度的樹(shù)圖。即在樹(shù)圖中那些提前執(zhí)行可能性較大的部

6、分，將一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)一步細(xì)分，如分為/4，每個(gè)小步長(zhǎng)仍然4.隱含樹(shù)圖通過(guò)構(gòu)建一個(gè)與目前市場(chǎng)上的期權(quán)價(jià)格信息相一致的資產(chǎn)價(jià)格樹(shù)圖，從而得到市場(chǎng)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格未來(lái)概率分布的看法。 其具體方法是在二叉樹(shù)圖中，通過(guò)前一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)格向前推出（注意不是倒推）下一時(shí)刻每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格和相應(yīng)概率 隱含樹(shù)圖的主要作用在于從交易活躍的常規(guī)期權(quán)中得到的關(guān)于波動(dòng)率微笑和期限結(jié)構(gòu)的信息，來(lái)為奇異期權(quán)定價(jià) 二叉樹(shù)圖模型的基本出發(fā)點(diǎn)：假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。模型中隱含導(dǎo)出的概率是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率p，從而為期權(quán)定價(jià)取當(dāng)前時(shí)刻為，

7、在給定參數(shù)p、u和d的條件下，當(dāng)時(shí)，二叉樹(shù)公式：可以在(s,t)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，最終可以化簡(jiǎn)為：在時(shí)，二叉樹(shù)模型收斂于布萊克舒爾斯偏微分方程。8.2.1蒙特卡羅模擬的基本過(guò)程基本思路：由于大部分期權(quán)價(jià)值實(shí)際上都可以歸結(jié)為期權(quán)到期回報(bào)(payoff)的期望值的貼現(xiàn)；因此，盡可能地模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的多種運(yùn)動(dòng)路徑，計(jì)算每種路徑結(jié)果下的期權(quán)回報(bào)均值，之后貼現(xiàn)就可以得到期權(quán)價(jià)值。8.2.2蒙特卡羅模擬的技術(shù)的實(shí)現(xiàn)隨機(jī)路徑：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，為了模擬的路徑，我們把期權(quán)的有效期分為N個(gè)長(zhǎng)度為時(shí)間段，則上式的近似方程為或，（是從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的一個(gè)隨機(jī)樣本）重復(fù)以上的模擬至足夠大的次數(shù)，計(jì)算回

8、報(bào)值的平均值，折現(xiàn)后就得到了期權(quán)的期望值。單個(gè)變量和多個(gè)變量的蒙特卡羅模擬：1、當(dāng)回報(bào)僅僅取決于到期時(shí)S的最終價(jià)值時(shí) 可直接用一個(gè)大步（T-0）（假設(shè)初始時(shí)刻為零時(shí)刻）來(lái)多次模擬最終的資產(chǎn)價(jià)格，得到期權(quán)價(jià)值：2、當(dāng)回報(bào)依賴于多個(gè)市場(chǎng)變量時(shí)每次模擬運(yùn)算中對(duì)每個(gè)變量的路徑都必須進(jìn)行抽樣，從樣本路徑進(jìn)行的每次模擬運(yùn)算可以得出期權(quán)的終值。的離散過(guò)程可以寫(xiě)為：常數(shù)利率和隨機(jī)利率的蒙特卡羅模擬利率為常數(shù)時(shí)：期權(quán)價(jià)值為（初始時(shí)刻設(shè)為0）：其中，表示風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的期望。 利率為變量時(shí)：期權(quán)價(jià)值為（初始時(shí)刻設(shè)為0）:, 為有效期內(nèi)瞬間無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的平均值隨機(jī)樣本的產(chǎn)生和模擬運(yùn)算次數(shù)的確定：1.e的產(chǎn)生e是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。如果只有一個(gè)單變量，則可以通過(guò)下式獲得：其中Ri(1i12)是0到1的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)。2. 模擬運(yùn)算次數(shù)的確定如果對(duì)估計(jì)值要求95的置信度，則期權(quán)價(jià)值應(yīng)滿足（M是進(jìn)行運(yùn)算的個(gè)數(shù),u為均值， w是標(biāo)準(zhǔn)差）8.2.3減少方差的技巧（一）對(duì)偶變量技術(shù)（二）控制方差技術(shù)（三）重點(diǎn)抽樣法（四）間隔抽樣法（五）樣本矩匹配法（六）準(zhǔn)隨機(jī)序列抽樣法（七）樹(shù)圖取樣法8.2.4蒙特卡羅模擬的理解和應(yīng)用主要優(yōu)點(diǎn)： 1.在大多數(shù)情況下，人們可以很直接地應(yīng)用蒙特卡羅模擬方法，而無(wú)需對(duì)期權(quán)定價(jià)模型