工程數學線性代數第六版第一章PPT課件

1、第一章第一章 行列式行列式一一. . 二（三）階行列式二（三）階行列式二二. 排列與逆序排列與逆序三三. n 階行列式的定義階行列式的定義四四. 行列式的性質行列式的性質五五. 行列式按一行（列）展開行列式按一行（列）展開六六. Cramer 法則法則 行列式概念的形成行列式概念的形成 行列式的基本性質及計算方法行列式的基本性質及計算方法（定義）（定義） 利用行列式求解線性方程組利用行列式求解線性方程組線性代數是數學的一個分支，它的研究對象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現代數學的一個重要課題；因而，線性代數被廣泛地應用于抽象代數和泛函分析中；通過解析

2、幾何，線性代數得以被具體表示。線性代數的理論已被泛化為算子理論。由于科學研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數被廣泛地應用于自然科學和社會科學中。線性代數是理工類、經管類數學課程的重要內容 由于費馬和笛卡兒的工作，線性代數基本上出現于十七世紀。直到十八世紀末，線性代數的領域還只限于平面與空間。十九世紀上半葉才完成了到n維向量空間的過渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀下半葉，因若當的工作而達到了它的頂點1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無限維向量空間。托普利茨將線性代數的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中線性映射的概念在大多數情況下能夠擺脫矩陣計算而引導到固有的推

3、理，即是說不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀所研究過的情況。 “代數”這一個詞在我國出現較晚，在清代時才傳入中國，當時被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數學家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數學”，一直沿用至今。 線性代數是討論矩陣理論、與矩陣結合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科。 主要理論成熟于十九世紀，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現（見于我國古代數學名著九章算術）。 線性代數在數學、力學、物理學和技術學科中有各種重要應用，因而它在

4、各種代數分支中占居首要地位； 在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分；。 該學科所體現的幾何觀念與代數方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來的公理化方法以及嚴謹的邏輯推證、巧妙的歸納綜合等，對于強化人們的數學訓練，增益科學智能是非常有用的； 隨著科學的發(fā)展，我們不僅要研究單個變量之間的關系，還要進一步研究多個變量之間的關系，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由于計算機的發(fā)展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。 課程的性質與任務 線性代數課程是高等學校理工科各專業(yè)學生的一門必修的重要基

5、礎理論課，它廣泛應用于科學技術的各個領域。尤其是計算機日益發(fā)展和普及的今天，使線性代數成為工科學生所必備的基礎理論知識和重要的數學工具。線性代數是為培養(yǎng)我國社會主義現代化建設所需要的高質量專門人才服務的。通過本課程的學習，要使學生獲得： 、行列式 、矩陣 、向量組的相關性、矩陣的秩 、線性方程組 、相似矩陣與二次型 等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程和進一步獲得數學知識奠定必要的數學基礎。 在傳授知識的同時，要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析和解決問題的能

6、力。 本章主要討論以上三個問題。本章主要討論以上三個問題。首先來看行列式概念的形成首先來看行列式概念的形成問題的提出：問題的提出：求解二、三元線性方程組求解二、三元線性方程組 二階、三階行列式二階、三階行列式引出引出一一. 二階與三階行列式二階與三階行列式1. 二階行列式二階行列式二元線性方程組：二元線性方程組： 22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得由消元法，得 21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得得211211221122211)(abbaxaaaa 同理，得同理，得212221121122211)(baabxaaaa

7、 于是，當于是，當021122211 aaaa時，方程組有唯一解時，方程組有唯一解211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 為便于記憶，引進為便于記憶，引進記號記號22211211aaaaD 21122211aaaa 稱記號稱記號22211211aaaaD 為為二階行列式二階行列式其中其中 ，數，數)2 , 1; 2 , 1( jiaij稱為元素稱為元素 為行標，表明元素位于第為行標，表明元素位于第 行行ii 為列標，表明元素位于第為列標，表明元素位于第 列列jj注：注：(1) 二階行列式二階行列式 算出來是一個數。算出來是一個數。22

8、211211aaaa(2) 記憶方法：對角線法則記憶方法：對角線法則主對角線上兩元素之積主對角線上兩元素之積 副對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積因此，上述二元線性方程組的解可表示為因此，上述二元線性方程組的解可表示為211222112122211aaaabaabx 2221211ababD 211222112112112aaaaabbax 2211111babaD 綜上，令綜上，令22211211aaaaD 2221211ababD 2211112babaD 則，則，DDx11 DDx22 稱稱 D 為方程組的系數行列式。為方程組的系數行列式。例例1： 解方程組解方程組 12122321

9、21xxxx解：解： 因為因為1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以, 271411 DDx372122 DDx2. 三階行列式三階行列式類似地，為討論三元線性方程組類似地，為討論三元線性方程組 333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa引進引進記號記號333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 稱之為稱之為三階行列式三階行列式其中其中 ，數，數)3 , 2 ,

10、 1; 3 , 2 , 1( jiaij稱為元素稱為元素 為行標，為行標，i 為列標。為列標。j注：注：(1) 三階行列式三階行列式 算出來也是一個數。算出來也是一個數。(2) 記憶方法：對角線法則記憶方法：對角線法則例：例：381141102 41648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(2 對于三元線性方程組，若其系數行列式對于三元線性方程組，若其系數行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 0 可以可以驗證驗證，方程組有唯一解，方程組有唯一解，DDx11 DDx22 DDx33 其中，其中，3332323222131211aabaabaab

11、D 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 二二. 排列與逆序排列與逆序定義定義1：由自然數由自然數1，2，n 組成的一個有序數組組成的一個有序數組稱為一個稱為一個n 元元排列排列。例如：例如： 1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是數都是數1，2，3，4，5的一個排列。的一個排列。 考慮：考慮：n個數的不同排列有個數的不同排列有 個。個。n !自然排列：自然排列： 按數的大小次序，由小到大排列。按數的大小次序，由小到大排列?？紤]：考慮：n元排列中，自然排列只有一種元排列中，自然排列只有一種除此之外，任一除

12、此之外，任一n元排列都一定出現較大數碼元排列都一定出現較大數碼排在較小數碼之前的情況。排在較小數碼之前的情況。定義定義2： 在一個排列中，若某個較大的數排在某個較小的在一個排列中，若某個較大的數排在某個較小的數前面，就稱這兩個數構成一個數前面，就稱這兩個數構成一個逆序逆序。一個排列中出現的逆序的總數稱為這個排列的一個排列中出現的逆序的總數稱為這個排列的奇排列：奇排列： 逆序數為奇數的排列。逆序數為奇數的排列。偶排列：偶排列： 逆序數為偶數的排列。逆序數為偶數的排列。),(21niii 通常記為通常記為逆序數逆序數計算排列的逆序數的方法：計算排列的逆序數的方法：法法1：n個數的任一個數的任一n元

13、排列，先看數元排列，先看數1，看有多少個比，看有多少個比1大的數大的數排在排在1前面，記為前面，記為; 1m再看有多少個比再看有多少個比2大的數排在大的數排在2前面，記為前面，記為; 2m繼續(xù)下去，最后至數繼續(xù)下去，最后至數n，前面比前面比n大的數顯然沒有，大的數顯然沒有，; 0 nm記為記為則此排列的逆序數為則此排列的逆序數為nmmm 21 法法2： n 元排列元排列niii,21的逆序數的逆序數 ),(21niii 小小的的數數的的個個數數后后面面比比數數 11ii小小的的數數的的個個數數后后面面比比數數 22ii 小小的的數數的的個個數數后后面面比比數數 11 nnii法法3： ),(2

14、1niii 大大的的數數的的個個數數前前面面比比數數 nnii大大的的數數的的個個數數前前面面比比數數 11 nnii 大大的的數數的的個個數數前前面面比比數數 22ii 例例1：求排列求排列 3，2，5，1，4 的逆序數。的逆序數。解：解：（法（法1）, 31 m, 12 m, 03 m, 14 m05 m5113)32514( （法（法2）500212)32514( 后后前前 （法（法3）前前后后 501031)32514( 例例2：求排列求排列 4，5，3，1，6，2 的逆序數。的逆序數。9 考慮，在考慮，在 1，2，3 的全排列中的全排列中有有 個偶排列：個偶排列：有有 個奇排列：個奇

15、排列：123，231，312132，213，32133一般說來，在一般說來，在n個數碼的全排列中，奇偶排列各占一半個數碼的全排列中，奇偶排列各占一半定義定義3： 把一個排列中的任意兩個數交換位置，其余數碼把一個排列中的任意兩個數交換位置，其余數碼不動，叫做對該排列作一次對換，簡稱不動，叫做對該排列作一次對換，簡稱對換對換。將相鄰的兩個數對換，稱為將相鄰的兩個數對換，稱為相鄰對換相鄰對換。定理定理1：對換改變排列的奇偶性。對換改變排列的奇偶性。證明思路：證明思路： 先證相鄰變換，再證一般對換。先證相鄰變換，再證一般對換。定理定理2：2 n時，時，n個數的所有排列中，奇偶排列各占個數的所有排列中，

16、奇偶排列各占一半，各為一半，各為2!n個。個。證明：證明： 設設n個數的排列中，個數的排列中，奇排列有奇排列有 p 個，偶排列有個，偶排列有 q 個，個，則則 pqn！對對 p 個奇排列，施行同一對換，個奇排列，施行同一對換，則由定理則由定理1得到得到 p 個偶排列。個偶排列。（而且是（而且是p個不同的偶排列）個不同的偶排列）因為總共有因為總共有 q 個偶排列，所以個偶排列，所以qp 同理同理pq 所以所以2!nqp 三三. n階行列式的定義階行列式的定義觀察三階行列式觀察三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322311332112312213322113312

17、312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 尋找尋找規(guī)律規(guī)律：1. 三階行列式是三階行列式是 3！ 項的代數和。項的代數和。2. 每一項都是每一項都是 元素的乘積。元素的乘積。3.（每項的符號規(guī)律）（每項的符號規(guī)律）取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的 3 個個其任一項可寫成：其任一項可寫成：321321jjjaaa其中其中321jjj是是123的一個排列的一個排列當當321jjj是偶排列時，項是偶排列時，項321321jjjaaa取正號取正號當當321jjj是奇排列時，項是奇排列時，項321321jjjaaa取負號取負號二階行列式有類似規(guī)律。二階行列式有類似規(guī)律。根據二、三階

18、行列式的構造規(guī)律，我們來定義根據二、三階行列式的構造規(guī)律，我們來定義n階行列式階行列式定義定義1：n 階行列式階行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211指的是指的是n！項的代數和，項的代數和，其中每一項都是取自不同行、不同列的其中每一項都是取自不同行、不同列的 n 個元素的乘積，個元素的乘積，其一般項為其一般項為,2121nnjjjaaa這里這里njjj21是是12n的一個排列的一個排列當當是偶排列時，項前面帶正號是偶排列時，項前面帶正號njjj21當當是奇排列時，項前面帶負號是奇排列時，項前面帶負號njjj21即即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 n

19、nnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( 其中其中 njjj21表示對所有表示對所有n元排列取和元排列取和注：注：(1) 當當n=1時，一階行列式時，一階行列式aa 此處此處a不是不是a的絕對值，的絕對值， 例如行列式例如行列式11 (2) 定義表明，計算定義表明，計算n階行列式，首先必須作出所有的階行列式，首先必須作出所有的可能的位于不同行、不同列的可能的位于不同行、不同列的n個元素的乘積，把這些個元素的乘積，把這些乘積的元素的第一個下標（行標）按自然順序排列，乘積的元素的第一個下標（行標）按自然順序排列，然后看第二個下標（列標）所成的奇偶性來決定這一然后看第二個下標（列標）

20、所成的奇偶性來決定這一項的符號。項的符號。例例1：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子2311aa的項。的項。例例2：若若443312432211432213 , ,kikikiaaaaaaaaaaaa為四階行列式的項，試確定為四階行列式的項，試確定i與與k，使前兩項帶正號，使前兩項帶正號，后一項帶負號。后一項帶負號。例例4： 計算四階行列式計算四階行列式hgfedcbaD00000000 例例3： 計算行列式計算行列式0004003002001000 D四個結論：四個結論：(1)上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側元素都為（主對角線下側元素都為0）nnnnaaaaaaD0

21、0022211211 nnaaa2211 (2)下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側元素都為（主對角線上側元素都為0）nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 (3)nnaaaD2211 nnaaa2211 （顯然）（顯然）(4)11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 符號定理：符號定理：令令nnjijijiaaa2211是是n階行列式中的任一項，階行列式中的任一項，則項則項nnjijijiaaa2211的符號等于的符號等于)()(2121)1(nnjjjiii 證明：證明： 由行列式定義可知，確定項由行列式定義可知，確定項)1(2

22、211nnjijijiaaa的符號，的符號，需要把各元素的次序進行調動，使其行標成自然排列。需要把各元素的次序進行調動，使其行標成自然排列。為此，我們先來研究若交換項（為此，我們先來研究若交換項（1）中某兩個元素的）中某兩個元素的位置時，其行標和列標排列的奇偶性如何變化。位置時，其行標和列標排列的奇偶性如何變化。對換任意兩元素，相當于項（對換任意兩元素，相當于項（1）的元素行標排列及）的元素行標排列及列標排列同時經過一次對換。列標排列同時經過一次對換。設對換前行標排列的逆序數為設對換前行標排列的逆序數為s，列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為t。設經過一次對換后行標排列的逆序數為設經過一次對換

23、后行標排列的逆序數為s 列標排列的逆序數為列標排列的逆序數為t 由定理，對換改變排列的奇偶性由定理，對換改變排列的奇偶性所以，所以，ss 是奇數是奇數tt 也是奇數也是奇數所以所以)()(ttss 是偶數，是偶數，即即)()(tsts 是偶數，是偶數，所以所以ts 與與ts 同時為奇數或同時為偶數。同時為奇數或同時為偶數。即，交換項（即，交換項（1）中任意兩個元素的位置后，其行標和列標）中任意兩個元素的位置后，其行標和列標所構成的排列的逆序數之和的奇偶性不變。所構成的排列的逆序數之和的奇偶性不變。另一方面，經過若干次對換項（另一方面，經過若干次對換項（1）中元素的次序，總可以）中元素的次序，總

24、可以把項（把項（1）變?yōu)椋┳優(yōu)?2121nnkkkaaa所以所以tsts )1()1()()12(21)1(nkkkn )(21)1(nkkk 得證。得證。由此，得行列式的等價定義由此，得行列式的等價定義nnnnnnaaaaaaaaa212222111211 nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1( nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1( nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1( 四四. 行列式的性質行列式的性質性質性質1：行列式與它的轉置行列式相等。行列式與它的轉置行列式相等。nnnnnnaaaaaaa

25、aaD212222111211 nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111 稱為稱為D的的轉置行列式轉置行列式證明：證明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 設設則則jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定義由行列式定義 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( Daaannnjjjnjjjjjj 21212121)()1( 說明說明：行列式中行與列地位相同，對行成立的性質：行列式中行與列地位相同，對行成立的性質 對列也成立，反之亦然。對列也成立，反之亦然。性質性

26、質2： 互換行列式的兩行（列），行列式的值變號?；Q行列式的兩行（列），行列式的值變號。證明：證明：設設nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交換交換s、t 兩行，得兩行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s行行t行行由行列式定義可知，由行列式定義可知，D中任一項中任一項可以寫成可以寫成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因為因為nstntsnjsjtjjnjtjsjjaaaaaaaa1111 （2）（1）顯然這是顯然這是1D中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n個元素的乘積，而

27、且個元素的乘積，而且（2）式右端的）式右端的n個元素是按它們在個元素是按它們在1D中所處的行標為自然順序中所處的行標為自然順序排好的。因此排好的。因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一項。中的一項。（3）因為，排列因為，排列ntsjjjj1與排列與排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以項（奇偶性相反，所以項（1）與項（）與項（3）相差一符號，這就證明）相差一符號，這就證明了了D的任一項的反號是的任一項的反號是1D中的項，同樣可以證明中的項，同樣可以證明1D中的中的任一項的反號也是任一項的反號也是D中的項。中的項。因此，因此，DD記法記法行列式的第行列式

28、的第s行：行：sr行列式的第行列式的第s列：列：sc交換交換s、t兩行：兩行：tsrr 交換交換s、t兩列：兩列：tscc 推論：推論：如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為如果行列式有兩行（列）相同，則行列式為 0 。證明：證明： 把相同的兩行互換，有把相同的兩行互換，有DD，所以所以 D0性質性質3：用數用數 k 乘行列式的某一行（列）中所有元素，乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數等于用數 k 乘此行列式。乘此行列式。推論：推論：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符號外面記法記法第第s行乘以行乘以k：skr第第s列乘以列乘以k:skcnnn