淺析一階微分方程的解法

1、樂山師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計）淺析一階微分方程的解法龍利樂山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 09330214摘 要：本論文對一階常微分方程的解法作了淺析，并舉出例子分析了變量分離方程、可化為變量分離方程、一階齊次和非齊次線性微分方程、伯努利微分方程、恰當(dāng)微分方程、一階隱式方程及一階微分方程的變換解法。關(guān)鍵詞：一階微分方程；初等解法1變量分離方程 上式中的，是關(guān)于，的連續(xù)函數(shù)，叫做變量分離方程如果，則變形為，對于兩邊積分可以得到， 則為的解假如，如果存在使的，那么還是的解注：當(dāng)不包含于的時侯一定要補上解 例1求解方程 解當(dāng)?shù)臅r候，用除以方程的兩端，則原方程化為 ，可以看出上式是一個變量分離方程，對兩邊同

2、時積分可以得到該方程的通解為 即 為任意的常數(shù)此外，當(dāng)?shù)臅r候，不能用來除，但是是方程的兩個特解，不過在通解公式中允許常數(shù)，兩個特解就包含在通解之中了。另外，若不規(guī)定是自變量，是未知函數(shù)，則也是方程的兩個特解，它們也包含在通解之中。2.可化為變量分離方程2.1型的齊次微分方程 這里的是的連續(xù)函數(shù)對于任意的連續(xù)函數(shù)，方程都可通過變換， 即，將其化為可分離變量方程，把對微分，有， 把，代入可以得到，也就是說 ， 方程是可分離變量方程，當(dāng)時，進行分離變量，積分后得 或 再將替換上式的，即得方程的通解。 例2求解方程。 解 將方程變形為 令可得，對兩邊微分得 將上式代入原方程化簡得 即 2.2型的微分方

3、程 對作變量變換，求微分方程得，代入方程將替換即得原方程得通解 例3 求解方程 解 對上式作變量變換求微分得 代入方程將替換得 變形積分得原方程得通解為 2.3型的微分方程 對上式做變量變換 則兩邊微分得 代入原方程化簡即得原方程得通解。 例4求解方程 解：對上式做變量變換 則兩邊微分得 代入原方程化簡得 再令 而，兩邊微分得 將上式代入化簡得其通解為 總結(jié)：當(dāng)方程中出現(xiàn)等形式的項的時候，通常要做相應(yīng)的變量替換. 3線性微分方程3.1一階非齊次線性微分方程 我們稱為一階非齊次線性微分方程，而，均要求為考慮區(qū)間上關(guān)于的連續(xù)函數(shù)我們已經(jīng)知道當(dāng)?shù)臅r候其通解為 現(xiàn)在將中的常數(shù)變易為的待定函數(shù)令 對上式

4、兩邊微分得 將，代入化簡得到 積分后得到 因此，的通解為 這種解法，我們稱之為常數(shù)變易法。 例5 求解方程 解首先將該方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為該對應(yīng)的齊次微分方程的通解為現(xiàn)令 代入方程化簡得 兩邊積分得 故原方程得通解為 3.2 伯努利方程 像這樣的方程我們稱之為伯努利微分方程當(dāng)時，我們用乘兩邊，得到 現(xiàn)令 從而有 將，代入中得到 式就是我們上面講解的一階線性非齊次方程，因此，可按上面的方法求得它的通解。此外，當(dāng)?shù)臅r候，方程還有解 例6 求解方程 解 將該方程變形為 現(xiàn)令 于是方程變形為 這是線性微分方程，利用常數(shù)變易法，求得其對應(yīng)的齊次微分方程的解為 令,代入方程并整理得 對

5、上式兩邊積分得 故原方程的通解為 3.3黎卡提方程形如 的方程我們稱之為黎卡提方程，其中，均要求為考慮區(qū)間上關(guān)于的連續(xù)函數(shù)顯然，方程也是一個非線性方程，盡管當(dāng)時，便是貝努力方程，但是它地求解問題卻困難的多，我們知道方程的解不能用初等函數(shù)求積表出，但是如果已知它的一個特解，那么它的通解可以由兩次求積得到。設(shè)是方程的一個特解，于是做變換 代入，再利用恒等形 我們就得到方程 這是貝努力方程，只要再做變換，上式即可化為線性方程 我們知道，線性方程的通解就是利用常數(shù)變易法得到的公式，這個公式是用兩次求積分得到的，所以對黎卡提方程，只要能求出它的一個特解，那么它的通解就可以由兩次求積分得到。 例7 求解方

6、程 解 由直接驗證可知是這個黎卡提方程的特解，于是做變換，方程就化為貝努力方程， 再令，便化為線性方程： 利用常數(shù)變易法得到的公式得 即 從而該方程的通解為 3.4恰當(dāng)微分方程 如果方程 的左端恰好是函數(shù)的全微分，即 則我們稱為恰當(dāng)微分方程。我們知道對于簡單的微分方程我們用觀察法就可以求解，但是對于比較復(fù)雜的方程，有如何判斷該方程是不是一個恰當(dāng)微分方程呢？事實上，若方程是全微分方程，則存在函數(shù)，使得 于是 將第一式對求楄導(dǎo)，第二式對求楄導(dǎo)，得到 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中得知當(dāng)函數(shù)是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)時，我們有 所以有 即當(dāng)方程滿足上式后該方程即為恰當(dāng)微分方程。我們知道當(dāng)方程滿足時，則可設(shè)立一個函數(shù)，使它滿

7、足，由的第一式可得 現(xiàn)在來適當(dāng)?shù)倪x取，使得函數(shù)滿足的第二式，因此應(yīng)有 即 利用條件，上式可寫為 從而有 故 其中是任意常數(shù)，代入得 從而，原方程的通解為 例8 求解方程 解 因為 所以原方程是恰當(dāng)微分方程，由 對積分，得 其中是待定函數(shù)，讓 求得 故 于是原方程得通解為 注對于一些不是很復(fù)雜的恰當(dāng)微分方程，一般通過“分項組合”變形觀察就可以了。 例9求解方程 解原方程可以變形為，即，即，所以，原方程的通解為，如果方程不是恰當(dāng)方程，即條件不成立，那么怎樣將方程化成恰當(dāng)方程呢？為此，我們需要找一個函數(shù)，當(dāng)方程兩邊乘以后，便得到一個恰當(dāng)方程： 即只要滿足 這個時候我們稱叫做方程的積分因子。展開條件就

8、是 積分因子一般是不容易求得的，那么現(xiàn)在我們考慮簡單的積分因子，例如，考慮僅與有關(guān)的積分因子，那么此時 ，由式可得 該式與無關(guān)，于是 就是方程的一個積分因子。同理，可以得到原方程只含有與有關(guān)的積分因子的充要條件是 ，這里僅為的函數(shù)求得原方程的一個積分因子 例10 求解 解 改寫原方程成對稱形式 這里的，由于因此，方程有積分因子 考察方程 將它改寫成 積分得該方程的通解為 歸納:一些簡單的二元函數(shù)的全微分： ； ； ； ； ； 4.一階隱式微分方程 形如 的方程我們稱為一階隱式方程。大家知道，對于一階顯式方程，常常求得的都是所謂隱式解，那么對于隱式方程來說，能求得顯式解的情形就更少了。因此，在討

9、論隱式方程時，我們經(jīng)常去求它的隱式解或者利用引入?yún)?shù)的辦法去求所謂參數(shù)形式解?，F(xiàn)在討論一種比較簡單的情形當(dāng)?shù)淖蠖耸顷P(guān)于的次多項式，并且可以分解成個一次實因子的乘積，即方程可以化為 讓上式左端每個因子等于零，然后積分 求得通解為 顯然，方程的通解可寫為 例11 求解 解 因為，于是有 分別進行積分得到 所以原方程得隱式通解為 如果方程能化為 這時，我們?nèi)閰?shù)，有 兩端對求導(dǎo)，得 即 這是關(guān)于的顯式方程，如果求得的隱式解為 那么方程的通解可表示為如下的參數(shù)形式：其中為參數(shù)，為任意的常數(shù) 例12 求解方程 解令，得，即由得 故得參數(shù)形式通解為結(jié)束語一階常微分方程的解法就是把微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化成

10、為積分問題，對于給定的常微分方程，不僅要準(zhǔn)確判定它屬于哪種類型，還要注重對做題技巧的把握，對各種一階常微分方程的解題方法進行總結(jié)歸納，再根據(jù)方程本身的特點，引出變換，將方程轉(zhuǎn)化為我們所能求的類型參考文獻：1 金福臨，李訓(xùn)經(jīng).常微分方程M.上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1986.1-30.2 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松常微分方程M北京：高等教育出版社出版，2008.30-70.3 劉西恒，李永樂，袁萌棠. 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書北京：國家行政學(xué)院出版社，2009.254-267.4 陳文燈，黃先開考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南北京理工大學(xué)出版社2011(08).148-162.5王光發(fā)，吳克乾，鄧宗琦，陳永娥，常微分方程，湖

11、南教育出版社，1983.15-61.Elementary Solution of First-order Differential EquationsAbstract: In this paper,fundamental method of first-order differential equations is summarized briefly, at the same time,it introduces several examples to analyze the fundamental method of equation of separated equations,linear differen