定積分及其應(yīng)用61577

1、咸陽(yáng)師范學(xué)院畢業(yè)論文(設(shè)計(jì))文獻(xiàn)綜述題目：定積分及其應(yīng)用 學(xué)生姓名：馬永升 系 別：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué) 年 級(jí)：2008級(jí) 學(xué) 號(hào)：0806014322 本(專) 科：本科 指導(dǎo)教師：李艷艷定積分及其應(yīng)用摘要：定積分在幾何、物理、初等數(shù)學(xué)以及在其他方面的應(yīng)用。討論了應(yīng)用定積分在圖形面積、立體圖形體積、求數(shù)列極限、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、求變力所做的功的方法。關(guān)鍵詞：定積分；幾何；物理；初等數(shù)學(xué) 極限是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要概念，若有數(shù)列是某個(gè)可積函數(shù)特殊的一列積分和，那么計(jì)算此數(shù)列的極限科以轉(zhuǎn)化為計(jì)算定積分，這是計(jì)算這類數(shù)列極限的一個(gè)簡(jiǎn)便、有效的方法。例如：求的值。解 =（1） 式

2、是函數(shù)f（x）=sinx在區(qū)間a,b上的一個(gè)積分和，它是把0,1分成n等份。i取的左端點(diǎn)（即i=）構(gòu)成的積分和，由定積分定義可得= 許多教師在講此內(nèi)容時(shí)將例題一帶而過(guò)，導(dǎo)致大部分學(xué)生做習(xí)題不知從何下手，基礎(chǔ)較好的學(xué)生也只是模仿例題，但對(duì)該方法理解不深。一 定積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用1利用定積分求平面圖形的面積。一般地，有上、下兩條連續(xù)曲線y=f2(x)與y=f1(x)以及兩條直線x=a與x=b（a<b）所圍的平面圖形如圖（1）所示，它的面積計(jì)算公式為xyY=f2(x)Y=f1(x)abo A=。 （1） (1)設(shè)曲線C有參數(shù)方程x=x(t),y=y(t),t (2)給出，在上y(t)連續(xù)可微且

3、(t)0（對(duì)于y(t)連續(xù)可微且0的情形可類似討論）。記a=x(a<b或b<a),則由曲線C及直線x=a,x=b和x軸所圍的圖形，其面積計(jì)算公式為A=.如果由參數(shù)方程（2）所表示的曲線自身所圍圖形是封閉的，既有且在（）內(nèi)自身不再相交，那么由曲線自身所圍圖形的面積為A=（或）。例1 求由拋物線y2=x與直線x-2y-3=0所圍平面圖形的面積A.解 該平面圖形如圖（2）所示。先求出拋物線與直線的交點(diǎn)P（1，-1）與Q(9,3).用直線x=1把圖形分為左、右兩部分，分別求得它們的面積為A1=，所以.也可把拋物線方程和直線方程改寫成.并改寫積分變量為y，于是得 (2)例2求橢圓所圍的面積。

4、解 化橢圓為參數(shù)方程橢圓面積為。顯然當(dāng)a=b=r時(shí)這就等于圓面積2求立體圖形的體積用類似求平面圖形面積的思想我們也可以求一個(gè)立體圖形的體積,常見(jiàn)的已知幾何體的截面積求幾何體的體積,另一種是求旋轉(zhuǎn)體的體積,例如求一個(gè)鐵塊的體積,可以將此鐵塊劃分成許多基本的小鐵塊,每一塊的厚度為(x),假設(shè)每一個(gè)基本的小鐵塊的橫切面積為A(x),則此小鐵塊的體積大約是A(x)(x),將所有的小鐵塊加起來(lái),令n=(x)0,我們就可以得到其體積vv=其中b和c分別為計(jì)算體積是的起始值和終了值，例3橢圓面所為立體的體積解:以平面)截橢球面,得橢圓在YOZ平面上的正投影所以截面面積函數(shù)為于是求得橢球體積顯然當(dāng)=r 時(shí),就

5、等于球的體積例4:由直線y=a和直線x=3a及弧y2=ax,(a>0，ax3a)所圍成的區(qū)域，以x軸為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積是多少？如圖2，斜線區(qū)域即為題意所指的區(qū)域, 根據(jù)旋轉(zhuǎn)體體積的求法，可將區(qū)域OPQB的旋轉(zhuǎn)體積減去區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積，即為所求 解：我們首先來(lái)求區(qū)域APQB的旋轉(zhuǎn)體積：=|=4a而區(qū)域APCB的旋轉(zhuǎn)體積為一個(gè)圓柱的體積，其半徑為a，高為2a，故應(yīng)為：所以區(qū)域PCQ的旋轉(zhuǎn)體積為（3）二 定積分在物理中的應(yīng)用定積分在物理學(xué)中應(yīng)用,可以說(shuō)是定積分最重要的應(yīng)用之一,正是由于微積分的發(fā)展,使得物理學(xué)中精確測(cè)量,計(jì)算成為可能,從而使物理學(xué)得到長(zhǎng)足的發(fā)展,定積分的應(yīng)用主要是在

6、力學(xué)中例如:有一個(gè)方向恒定的變力F對(duì)一個(gè)物體做功,若這個(gè)變力對(duì)物體的作用距離為S ， F為S的函數(shù)F=f(s),則有變力F所做的功為 (其中a,b為變力F的起始與末尾值)例5質(zhì)量為m的擺錘系于繩的下端,繩長(zhǎng)為,上端固定如圖(4)所示,一水平變力F從零逐漸增大緩慢的作用在（4）擺錘上,使擺錘雖力F在移動(dòng),但在所有時(shí)間內(nèi)均無(wú)限地接近力平衡,一直到繩子與豎直直線成角的位置，試計(jì)算變力F所做的功。解；由題意得，在任意位置上（由角位置表示），擺錘無(wú)限的接近于力平衡，所以可由擺錘所受合力極近于零作計(jì)算。在水平方向與豎直方向分別有：式中T是擺錘所受繩的拉力，于是有當(dāng)擺錘在位置上沿圓弧作微小位移時(shí)，力所做的微功為 將代入，得：所以在擺錘從初始位置（=0）到位置（=0）的過(guò)程中，F(xiàn)力對(duì)擺錘所作的總功是：作變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在時(shí)間區(qū)間上所經(jīng)過(guò)的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的積分，即。例1已知一輛汽車的速度時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為：（單位：）求（1）汽車行駛的路程；（2）汽車行駛的路程；（3）汽車行駛的路程.解 （1）S1=；（