04相交線與平行線全章小結

1、相交線、直線的相交1.兩條直線的位置關系在同一平面內(nèi)，兩條直線要么相交，要么平行.【注】兩條直線：有且只有一個公共點，兩直線相交；無公共點，則兩直線平行；兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合，視為一條直線.2直線的相交一一兩線四角(1)鄰補角：兩條直線相交所構成的四個角中，有一條公共邊且另一邊互為反向延長 線的兩個角，互為鄰補角.【例】如圖1, 和 ， 和 ， 和， 和 互為鄰補角.【注】互為鄰補角的兩個角一定互補，但兩個角互補不一定互為鄰補角.(2)對頂角：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，則這兩個角互為對頂角.【例】如圖1, 和 ， 和 ，互為對頂角.【注】互為對頂角的兩個角一定

2、相等，但兩個角相等不一定互為對頂角.圖1圖3、垂直1 .垂直：一條直線與另一條直線相交成，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.【例】如圖2, AB CD ,垂足為O,可記為“ AB CD于點O”.2 .性質(zhì)：(1)在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.【注】直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.三、三線八角1 .同位角：兩條直線被第三條直線所截，位置相同的一對角(即兩個角分別在兩條直 線的同一側，并且在第三條直線的同側)，叫做同位角.【例】如圖3,和， 和， 和， 和

3、 都是同位角.2 .內(nèi)錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且位置交錯的 一對角(即兩個角分別在第三條直線的兩側)，叫做內(nèi)錯角.【例】如圖3,和 ， 和 都是內(nèi)錯角.3 .同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角都在兩條直線之間，并且在第三條 直線的同側的一對角，叫做同旁內(nèi)角.【例】如圖3, 和 ， 和都是同旁內(nèi)角.4 .角的計數(shù)技巧：(1) “F”字型中的同位角，如下圖所示:(3) “U”字型中的同旁內(nèi)角，如下圖所示:模塊直線的相交例題1(1)在同一平面內(nèi)的兩條直線的位置關系有()D.平行或相交A.平行或垂直B.垂直或相交C.平行，垂直或相交(2)判斷正誤：兩條直線的位

4、置關系只有兩種：平行或相交平面內(nèi)，兩條線段不相交，則平行 .平面內(nèi)不平行的兩條射線必定相交.【解析】(1) D; (2)錯誤，異面；錯誤；錯誤.例題2(1)下列圖中和A. 0對C. 2對(2)成鄰補角的是(3)下列各項中，有公共頂點，沒有公共邊的兩個角是對頂角;如果兩個角是對頂角,則這兩個角相等；相等的兩個角是對頂角； 如果兩個角不是對頂角， 則這兩個角不相等;如果兩個角不相等，則這兩個角不是對頂角，其中正確的有 .(填序號)【解析】(1) A； (2) C; (3).例題3(1)如圖 3-1, AB、CD、EF 交于點 O, AOE 和鄰補角的度數(shù).DOFAOD的對頂角(2)如圖3-2,直線

5、AB、CD交于 O, OE平分 AOD ,BOCBOD圖3-2【解析】(1)由對頂角相等可知,故AOC由 AOC、AOECOE DOFCOEAOD互為鄰補角可知,由對頂角相等可知，AOD的對頂角(2)由 BOC、 BOD互為鄰補角可知，AODBOCBOCBOD又 BOC BOD ,故 BOD , BOC 由對頂角相等可知，AOD BOC .又OE平分 AOD ,故 AOE ., 從而可知， COE .【提示】兩線四角倒角，規(guī)范書寫.如圖，直線 AB、CD相交于點 O, OE平分 BOC ,COF(1)若 BOE ，求 AOF的度數(shù)；(2)若 BOD : BOE :,求 AOF 的度數(shù).【解析】

6、| (1); (2).例題5 求證：成對頂角的兩個角的平分線在同一直線上.【解析】如圖，AB、CD交于點O,則 AOC與 BOD成對頂角.設OE、OF分別為 AOC、 BOD的平分線，則AOE COE AOCBOF DOF BOD , AOC BOD , AOE BOF .又: BOF DOF AOD , AOE DOF AOD ,即 EOF ,，OE、OF在同一直線上.【提示】可補充證明：成鄰補角的兩個角的平分線互相垂直.模塊二 £ 垂直9例題6(1)下列說法中正確的是()點到直線的距離是點到直線所作的垂線；兩個角互為鄰補角，這兩個角的角平分線互相垂直；兩個對頂角互補，則構成這兩個

7、角的兩條直線互相垂直；連接直線外一點到直線上所有點的線段中垂線段最短A.B.C.D.(2) P為直線外一點，點 A、B、C為l上的三點，且 PB l ,下列說法錯誤的是()PABCA. PA、PB、PC三條線段中，PB最短B.線段PB叫做點P到直線的l的距離C. PB是點P至|J l的垂線段D.線段AB的長是點A到PB的距離【解析】(1) D; (2) B.例題7(1)如圖7-1 ,直線AB與CD相交于點O, OE CD , OF AB , DOF ,求 BOE 和 AOC的度數(shù).AOE , COF(2)如圖7-2,已知直線 AB和CD相交于點 O, OE OC , OF平分 求 BOD的度數(shù)

8、.圖7-1【解析】（1）OF AB , / DOFBOD（垂直定義）AOCBOD（對頂角相等） OE CD ,BOE（垂直定義）（2） COE 是直角，COE又 COF , FOECOECOF OF 平分AOE , AOFFOE.AOCAOFCOF BOD AOC , BOD【提示】利用垂直的定義來倒角，倒角一定要反復練習.例題8如圖所示，在一個面積為1843200AE.現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車停放在 鐘內(nèi)能否將這車貨物運到鐵路線旁？平方米的正方形貨場中有一條長為D點，如果卡車的速度是每分鐘1600米的直線鐵路96米，請說明11分【解析】由垂線段最短，可知比較 D到AE的垂線段長度與卡車行駛 1

9、1分鐘路程的大小,即可得出結論.如右圖所示，汽車由 D到AE的最短距離是由 D向AE引的垂線DH ,連結DE.又 Szxaed- AE DEDHDH ,解得DH（米），所以11分鐘內(nèi)不模塊三而卡車行駛11分鐘的路程為 能將這車貨物由D點運到鐵路線旁.三線八角例題9與是兩條直線與.被第三條直線所截構1* jT成的角.X與是兩條直線與.被第三條直線所截構/成的角.是兩條直線4被第三條直后 所截構成的_角. 與是兩條直線與.被第三條直線所截構成的角. 與是兩條直線與被第三條直線所截構成的角.【解析】 與 是兩條直線l與l被第三條直線l所截構成的同位角. 與是兩條直線l與l被第三條直線l所截構成的同位

10、角.如圖，填空:l 與 是兩條直線l與l被第三條直線l所截構成的內(nèi)錯角. 與是兩條直線l與l被第三條直線l所截構成的內(nèi)錯角. 與 是兩條直線l與l被第三條直線l所截構成的同旁內(nèi)角.非常挑戰(zhàn) 過點O任意作7條直線，求證：以 。為頂點的角中，必有一個小于【解析】如圖所示，AlA2 A3OA相鄰兩射線組成14個角，記為A5其和為一個周角：若結論不成立，則相加，得這一矛盾說明，在III,(i , ,|，IIIO A6).A7必有一個角小于點。把7條直線分成14條射線，記為OA , OA，,復習鞏固演練1(1)如圖1-1所示，AB與CD相交所成的四個角中，1的鄰補角是 ,1的對頂角是.若 1 25 ,則

11、 2 ,3 ,4 .(2)如圖1-2,直線AB、CD、EF相交于O,圖中對頂角共有(A. 3對B. 4對C. 5對D. 6對【解析】(1)2和 4, 155 , 25 , 155 . (2) D.演練2(1)如圖2-1,已知直線a、b、c相交于點O,O, OE平分AOD ,若 BOD(2)如圖 2-2,直線 AB、CD相交于點 AOE .【解析】(1)由題意，得圖2-240演練3(1)寫出 AOC和(2)過點O作射線AOE ,求 AOF(3)在(2)的條件下, 度數(shù).【解析】(1) AOC(2) AOF(3) COF演練4 A如圖，已知/ACB 的距離為線段BOD的大小關系；判斷的依據(jù)是 .O

12、E、OF,若 COE, OF 平分C fCOF的度數(shù)，說明你的理由.若 AOD,請計算 COF的/EAO BBOD ;對頂角相等.COF.D.CD AB ,垂足為D,則點A到直線CBC的長：線段 DB的長為點至U直線不、如圖，已知直線 AB和CD相交于點O ( AOC為銳角)的距離.【解析】AC, B, CD.演練5已知：如下圖A、O、B三點共線，OC為任鼻條射線， 證：OD OE .【解析】A、O、B三點共線， AOB,. OE 平分 BOC , OD 平分 AOC ,COE BOC , DOC AOC ,. COE DOC BOC AOC (AOB 又 DOE COE DOC , . DO

13、E/L A DBOE平分 BOC , OD平分 AOC .求DAOBBOC AOC)OD OE .演練#如圖，A點處是一座小屋， BC是一條公路，一人在 。處.(1)此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么?(2)此人要到公路，怎么走最近？理由是什么?【解析】| (1)走線段OA最近，因為兩點之間線段最短；(2)如圖，過點。作OD BC ,垂足為D,則走線段OD最近，因為垂線段最短.如圖，判斷下列各對角的位置關系:； 與 ； 與 BCD ;【解析】 與 是同位角， 與 是內(nèi)錯角， 與 是 對頂角，與 BCD是同旁內(nèi)角，與是內(nèi)錯角.平行線、平行線1 .平行線：在同一平面內(nèi)，永不相交的兩條直線稱為平行

14、線.用“/”表示.2 .平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.【例】如圖1,過直線a外一點A作b/a , c/a,則b與c重合.3 .平行公理推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.簡記為：平行于同一條直線的兩條直線平行.【例】如圖2,若b/a, c/a,則b/c.b (c) cba圖24 .平行線的性質(zhì)(1)兩直線平行，同位角相等.如圖3,若a/b,則(2)兩直線平行，內(nèi)錯角相等.如圖3,若a/b,則(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.如圖 3,若a/b,則5 .平行線的判定,則 a/b.,則 a/b.,則 a/b.(1)同位角相等，兩直線平行.如圖3

15、,若(2)內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如圖3,若(3)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.如圖 3,若二、平行的構造1 .如圖4,若a/b,則2 .如圖5,若a/b,則模塊一 卜,平行線O例題10下列說法中：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線相交；如果同一平面內(nèi)的兩條直線不相交，那么它們互相平行；過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.正確的是.【解析】.【提示】這道題主要考查平行線的概念和平行公理.（1）如圖2-1 , 一個含有30角的直角三角形的兩個頂點放在一個矩形的對邊上，若1 25 ,則2的度數(shù)是（）A. 155B. 135C.

16、125D. 115(2)如圖 2-2,已知 AB/CD , EF 分別交 AB、CD 于 M、N,EMB,MG 平分 BMF ,交CD于G,MGN的度數(shù)為圖2-2（3）證明：三角形三個內(nèi)角的和等于180【解析】（1） D; （2）（3）證法1 :如右圖，過 4ABC的頂點A作直線1/BC .則 B , C （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又因為 BAC.（平角的定義）所以 B BAC C（等量代換）.即三角形三個內(nèi)角的和等于證法2:如右圖，延長 BC,過C作CE/AB ,則 A （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）B （兩直線平行，同位角相等）又 BCA, BCA A B ,即三角形三個內(nèi)角的和等于180【提

17、示】這道題主要考查平行線的性質(zhì)，（3）題證明方法老師可以自行補充，這個結論和平行公理是等價的.另外，這種證明題需要學生先轉(zhuǎn)化成常規(guī)的已知和求證，然后再證明，重點強調(diào)格式.例題12(1)根據(jù)圖在(!) B CEFAB/CD (!) BBEDAB/CD ( BCEBAB/CD (）內(nèi)填注理由:（已知），（已知），（已知），）；）；（2）已知：如圖所示， ABC ADC , BF和AED EDC .求證：ED/BF .證明：: BF和DE分別平分 ABC和 ADC （已知）DE分別平分 ABC和 ADC ,EDC FBA 又 ADC ABC又 AED EDC_ ADC ,ABC （已知），F(xiàn)BA （

18、等量代換）.（已知）， （等量代換），ED/BF (【解析】（1）同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行； 同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.(2);角平分線定義； EDC; AED; FBA;同位角相等，兩直線平行【提示】這道題主要考查平行的判定，也通過這道題規(guī)范孩子們的書寫過程，這種題型也是各學校的必考題型.例題13如圖，已知EF BC ,證明:AD BC .（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）,（已知）.（等量代換）C,（已知）GD/AC ,（同位角相等，兩直線平行）CADI I又ICADAD/EF ,（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）ADC EFC .（兩直線平行，同位角相等） i,EF BC ,（已

19、知）ADCAD BC.【提示】平行的性質(zhì)和判定結合，時間可以留長點.例題14 請你分析下面的題目，從中總結規(guī)律，填寫在空格上，并選擇一道題目具體書寫證明.(1)如圖5-1 ,已知：AB/CD ,直線EF分別交AB, CD于M, N, MG , NH分別平分 CNE ,求證：MG/NH .從本題我能得到的結論是：.(2)如圖5-2,已知：AB/CD ,直線EF分別交AB, CD于M, N, MG , NH分別平分 CNE ,求證：MG/NH .從本題我能得到的結論是：.(3)如圖5-3,已知：AB/CD ,直線EF分別交AB, CD于M, N, MG , NH分別平分 CNE ,相交于點 O.求

20、證：MG NH .從本題我能得到的結論是：.圖5-1圖5-2圖5-3【解析】(1)兩直線平行，同位角的角平分線平行.(2)證明： AB/CD , BMF CNE ,又. MG, NH分別平分 BMF , CNE ,GMF BMF CNE HNM ,MG/NH ,從本題我能得到的結論是：兩直線平行，內(nèi)錯角的角平分線平行.(3)證明： AB/CD , AMF CNE ,又. MG, NH分別平分 AMF , CNE ,GMF HNE AMF CNE ,MONGMF HNE ,MG NH .從本題我能得到的結論是：兩直線平行，同旁內(nèi)角的角平分線垂直.【提示】平行線的性質(zhì)和判定相結合，練習平行線倒角.

21、模塊例題15(1)如圖6-1,(2)如圖6-2,(3)6-3,平行線的構造已知直線AB/CD ,如圖【解析】(1)(2)a/b,ABE,則；(3)【提示】 練習基礎的平行線倒角模型：鉛筆模型和豬蹄模型.例題16(1)如圖 7-1, AB/CD , BAFEAF , FCDECF , AEC度數(shù)為ABP和 CDP的平分線相交于點 E,ABE和 CDE的圖7-2,BED(2)如圖 7-2,已知:AB/CD , 平分線相交于點 F, BFDBC圖7-1【解析】(1)【提示】鉛筆模型和豬蹄模型綜合.,則 F .,則 EAB的度數(shù)為例題17(1)如圖 8-1, AB/CD , A , C(2)如圖 8-

22、2, AB/CD , E , C【解析】(1); (2).【提示】鉛筆模型和豬蹄模型的變形.例題18 -如圖，直線AC/BD ,連結AB,直線AC、BD及線段AB把平面分成、四個部分，規(guī)定線上各點不屬于任何部分，當動點P落在某個部分時，連結PA、PB,構成 PAC,APB,PBD三個角。(提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是角)(1)當動點P落在第部分時，求證： APB PAC PBD ；(2)當動點P落在第部分時，APB PACPBD是否成立(直接回答成立不成立)？(3)當動點P在第部分時，全面探究PAC, APB, PBD之間的關系，并寫出動點【解析】(1)過P點做平行線即可證明；

23、(2)不成立，結論是 APB PAC PBD ;(3)過P點做平行線即可證明當 P在AB左側時 PAC APB PBD ;當P在AB右側時 PBD APB PAC .【提示】模型的探究.非常挑戰(zhàn)如圖，已知 AB/CD , EAF _ EAB , ECF _ ECD ,求證： AFC AEC .【解析】如右圖所示，分別過點 E, F做AB和CD的平行線；易得： AEC EAB ECD EAF ECF ( EAF ECF)；AFC FAB FCD EAF ECF ( EAF ECF)即有： AFC AEC .模塊復習鞏固演練8 卜列結論正確的是（A.不相交的兩條直線叫做平行線B.兩條直線被第三條直

24、線所截，同位角相等C.垂直于同一條直線的兩條直線互相平行D.平行于同一條直線的兩條直線互相平行【解析】D.演練9如圖：已知 證明：, A C ,求證： AB/CD ; AD/BC .),C CBE (又 C A (A 【解析】已知；AB, CD;內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；已知；CBE;等量代換；AD, BC;同位角相等，兩直線平行.演練10如圖，已知 BAPAPD，那么 E與F相等嗎？說明理由.【解析】 BAP .AB/CD BAP 又 BAP 即 EAP .AE/PFEAPD（已知），（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 ）.CAP （兩直線平行，內(nèi)錯角相等（已知），CAP（等式

25、的性質(zhì)），APF （等量代換），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），F(xiàn) （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）),演練11如圖，A, B, C和D, E, F分別在同一直線上，AF分別交CE , BD于點G, H .已知 C D ,EGF BHA .求證： A F .DEF【解析】EGFBHA ,EGF AGC , BHAAGC ,.CE/BD , C ABD , 又 C D ,ABD D ,DF/AC , A F .GHABC演練12(1)如圖4-1, a/b, M、N分別為a、b上，P為兩平行線間一點，則(2)如圖4-2,AB/CD , BM a1N圖4-4題P23b圖4-2H 圖4-3(3)如圖4-3,已知

26、 AB/CD,點F在其外部,【解析】【解析】(1); (2); (3)演練13 K如圖所示，直線l /l , AB l ,垂足為 O, BC與l相交于點 E,若,求的度數(shù).E C2演練14如圖，ABDE,ABC , CDE【解析】如圖，過點C作CF/AB, ABC , BCF 又 AB/DE , .CF/DE , DCFCDE BCD BCF DCF線與角1.基本概念：(1)直線：能夠向兩端無限延伸的線叫做直線.表示方法：直線可以用兩個大寫字母來表示，這兩個大寫字母表示直線上的點，不分先后順序；直線也可以用一個小寫字母來表示.【例】如圖1:可以記為直線 AB或直線BA;如圖2:記為直線1.A

27、B1* 圖1圖2(2)射線：直線上的一點和這點一旁的部分叫射線，這個點叫做射線的端點.表示方法：射線可以用兩個大寫字母來表示，第一個大寫字母表示射線的端點，第二個大寫字母表示射線上的點；射線也可以用一個小寫字母來表示.【例】如圖3:記為射線 OA,但不能記為射線 AO;如圖4:記為射線1.OA1 圖3圖4(3)線段：直線上兩點和中間的部分叫線段，這兩個點叫做線段的端點.連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.表示方法：線段可以用兩個大寫字母來表示，這兩個大寫字母表示線段的兩個端點，不分先后順序； 線段也可以用一個小寫字母來表示.【例】如圖5:可以記為線段 AB或線段BA;如圖6:記為線段1.

28、AB11 «圖(5)圖66(4)中點：把線段分成兩條相等的線段的點叫做這條線段的中點.【例】如圖7:點O是線段AB的中點，此時 AO BO - AB .A O B圖72.公理：(1)兩點確定一條直線：經(jīng)過兩點有且只有一條直線； (2)兩點之間，線段最短：兩點之間的連線中，線段最短.1.定義:(1)靜態(tài)定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角.這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊，可以無限延伸.(2)動態(tài)定義：由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.處于 初始位置的那條射線叫做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊.表示方法：通常用三個字母表示： 兩條邊上

29、的點的字母寫在兩旁，頂點上的字母寫在中間.用一個大寫字母來表示： 這個大寫字母一定要表示角的頂點，而且以它為頂點的角只有一個.用數(shù)字或希臘字母來表示：可以用希臘字母(，)表示角的大小。為避免混淆，符號 兀一般不用來表示角度。a aAOB 或obB0AAA112.角的相關換算：1)=60 ), 1 (2)2, , ( 1 = 60呼 ),1平角 ，1占角 ；1度=60(4)1周角 364)(4)(4)補角：如果兩個角的和是,那么這兩個角互為 補角，簡稱互補.等角或 同角的補角相等.如果 1+ 2=，則 1與 2互補；反之，如果1與2互補， 則 1+ 2=.CA<1A0B(8)余角：如果兩個

30、角的和是9 ,那么這兩個角互為 余角，簡稱互余.等角或 同角的余角相等.如果1+2=9 ，則1與2 互余；反之，如果1與2互余， 貝 U 1+ 2 = 9 .003B角平分線：從一個角的頂 點出發(fā)，把這個角分成相 等的兩個角的射線，叫做 這個角的平分線.射線0C是A0B的角平分線，2 - A0B .A 上： 0 B1周角 2平角，1平角 2直角.3.相關概念例題19(1)下列說法正確的是()A.直線AB和直線BA是兩條直線B.射線AB和射線BA是兩條射線C.線段AB和線段BA是兩條線段D.直線AB和直線a不能是同一條直線(2)下列四個生活、生產(chǎn)現(xiàn)象：用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；植樹時，只

31、要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB架設；把彎曲的公路改直，就能縮短路程，其中可用公理“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有()A.B.C.D.(3)如圖，在同一平面內(nèi)有四個點A、B、C、D.按要求作圖：A?B畫射線CD;畫直線 AD;連結AB;直線BD與直線AC 相交于點O.D?不【解析】(1) B;D; (3)略.C【提示】主要考查線的基本概念， 練習基本作圖技巧.“兩點確定一條直線” 是直線的性質(zhì), “兩點之間，線段最短”是線段的性質(zhì).例題20(1)補全下面解題過程.已知：如圖，B、D是線段AC上兩點，D是BC的中點，BD -AC,B

32、D cm , 求線段 AB 的長.*?*AB D C解：: BD AC, BD cm,(已知) AC BD cm . D是BC的中點，(已知)BC BD cm.(線段中點的定義)AB AC cm.(2)如圖，在直線l的同側有A、B兩點，在直線l上找？B點C、D,分別使AC CB最小，DB DA最大.(不用說理由，保留作圖痕跡即可)A?【解析】(1) 2, 4, BC, 6; (2)略.例題21 (1)如圖3-1,線段 AC 6cm ,線段BC 15cm ,點M是AC的中點，在 CB上取一點 N, 使得 CN:NB 1:2,貝U MN .(2)如圖3-2已知線段 AB cm,點M為AB的中點，點

33、 P在MB上，點N為PB的中 點，且NB cm ,求PM的長.A M C N圖3-1A*BP圖3-2【解析】(1) 8cm;(2) AB cm,點M為AB的中點，(已知). BM -AB cm .(線段中點的定義) 點N為PB的中點，且 NB cm (已知) BP NBcm.(線段中點的定義) PM BM BP cm .【提示】練習書寫.例題22(1)如圖，M是線段 AB上一點，AB cm, BM cm , C、D分別是 AM、BM的中點. 求 CD 的長.A C M D B(2)若把上題中的條件“ BM cm”去掉，其它條件不變，你能求出CD的長度嗎？若能，請求出CD的長度，若不能請說明理由

34、.(3)若M是線段AB延長線上一點,AB acm , C、D 分別是 AM、BM的中點，請畫出相應的圖形，并求出 CD的長(用含a的代數(shù)式表出)【解析】(1) CD cm; (2) CD = cm;(3)如圖，: C、D分別是AM、BM的中點,CM AM, DM -BM (線段中點的定義) . CD CM DM -(AM BM) -AB acm.【提示】探究題型.例題23(1)延長線段AB到C,使BC AB,反向延長線段 AB至IJD,使DA AB ,若AB cm, 則線段CD的長為.(2)已知A, B, C三點在同一直線上， 線段AB , D是線段 AB的中點，且BC : AB :, 則線段

35、CD的長為.(3)已知 A, B, C, D四點共線，若 AB cm , BC cm , CD cm ,畫出圖形，求 AD的長.【解析】(1) DC cm ; (2) 1.5cm 或 7.5cm；(3)情況 1 :如圖(1) ADcm .情況2:如圖(2) ADcm .情況3:如圖(3) AD () cm .情況4:如圖(4) AD () cm .A D B C(2)A C B D(4)IllIAB CDDAC B 【提示】鍛煉孩子根據(jù)題意自己畫圖和分類討論的能力.例題24已知關于m的方程m (m )的解也是關于x的方程(x ) n 的解.(1)求m, n的值；(2)已知線段AB m ,在線段

36、AB所在直線上取一點 P,恰好使-AP n,點Q是PB的中PB點，求線段AQ的長.【解析】(1) m , n ;(2)如圖1,點P在線段AB上時，_ AP AB , -AP / PBAP ,PB AB AP .點Q為PB的中點，PQ -PB -.如圖2,點P在線段AB的延長線上時, AB,BPBPAP一PB,得BP點Q為PB的中點,BQ -BP -.A AQ AB BQ .綜上，線段 AQ的長為一或一.【提示】方程與線段綜合.,則 COB；若(2) 一個角的補角比它的余角的4倍少,則這個角的度數(shù)為AODAOC,OE平分 BOD ,則(3)如圖7-2, O是直線 AB上的一點,圖中彼此互補的角共

37、有對.【解析】(1)(2)(3)余角相等，130;55;根據(jù)題意可得，BOEEODDOCBOD EOC補的角只需滿足和為AOE與這個數(shù)量關系即可，與位置無關，所以共有6對:EOD , AOE 與 DOC , AOD 與 BOD ,AOC 與 BOC .例題26如圖，已知 BOCAOC , OD 平分 AOB ,且 COD【解析】設AOCAOB,則AOCBOCBOC OD平分AODAOBCODAODAOCCODAOB【提示】利用角平分線倒角，設小角.? AOEAOD與AOB的度數(shù).,求【解析】(1) AOB , BOC例題27 如圖所示，已知 OM平分 AOC , ON平分 BOC .(1)當

38、AOB , BOC ,求 MON的度數(shù);(2)若 AOB , BOC 時，求 MON的度數(shù).AOC AOB BOC又OM平分 AOC ,MOC AOC 一又ON 平分 BOC , NOC 一 BOC MON(2) AOBAOCMOC NOC , BOC , AOB BOC. OM 平分 AOC , MOC AOC ().又 BOC , ON 平分 BOC ,NOC BOC .又 MON MOC NOC , MON MOC NOC -()-.【提示】探究題型.例題28已知 AOB ,從 O點引射線 OC,若 AOC : COB :，求OC與 AOB的平分線 所成的角的度數(shù)為.【解析】 分OC在

39、AOB的內(nèi)部和外部兩種情形討論.(1) OC在 AOB內(nèi)部，如圖1,則 AOC AOB ，AOD -,故 COD AOD AOC.(2) OC在 AOB外部,如圖 2,則 AOC AOB ，AOD , 故 COD AOC AOD非常挑戰(zhàn)1已知 、 中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算 一（）的值時,有三位同學分別計算出了、這三個不同的結果，其中只有一個是正確答案，則.【解析】、中有兩個銳角和一個鈍角，故，從而 （），三個結果中只有 是正確的，此時演練15(1)下列說法正確的是(A.射線PA和射線AP是同一條射線B,射線 OA的長度是12cmC.直線ab、cd相交于點MD.兩點確定一條

40、直線(2)如圖1-1長度為 線段AC的長度為(A. 10cm復習鞏固12cm的線段AB的中點為M, C點將線段MB分成MC : CB :,則C. 6cm(3)已知：如圖1-2,中點，ED ,求線段AB ，點C為線段AB上一點，點D、E分別為線段AB、AC的AC的長.圖1-1圖1-2【解析】(1)(2)D;B;(2)由E是AC的中點可知,AE同理可知，AD AB.故 DE AD AE AB又DE , AB ，故AC演練16 線段AB上有兩點P、Q, AB , AP , PQ ，求BQ的長.【解析】情況1,如圖(1), BQ BP PQ情況2,如圖(2) , BQ BP PQP(2)A Q P(1

41、)演練17如圖所示，把一根繩子對折成線段AB,從點P處把繩子剪斷，已知 AP:BP :,若剪斷后的各段繩子中最長的一段為60cm,求繩子的原長.,【解析】設AP x ,則BP x .APAP由AP x ,可得x繩子的原長為 (AP PB)BP x(2)若B是繩子的對折點，則最長一段為)BP(cm),解得由BP x ,可得x繩子的原長為 (AP BP)AP x(cm)，綜上，繩子的原長為150cm 或 100cm.(1)若A是繩子的對折點，則最長一段為演練18如圖所示，已知 AOB和 COD都是 BOC的余角，OE、OF分別為 AOB和 COD的角平分線.若 BOCe求 EOF的度數(shù).【解析】由

42、題意知，AOB COD由于 OE、OF分別為 AOB和 COD的角平分線，故 BOE 一 AOBCOFCOD所以 EOF BOE BOC COF演練19如圖所示,(1)(2) 時，如果如果OM是AOCMONAOC的平分線，ON是 BOC的平分線., MON ,求 AOB的度數(shù)； n ,求 AOB的度數(shù).當 MON的大小改變AOB的大小是否隨之改變？它們之間有怎樣的大小關系?(1) . OM 平分 AOC , ON 平分 BOC ,MOC AOC, NOCBOC,MON NOC MOC -( BOC AOC)AOB.n° .AOB的大小也隨之改變,AOB MON .又 MON，.二(2

43、)同上， AOBMON當 MON的大小改變時,AOB MON演練20如圖，是一個的正方形網(wǎng)格，則【解析】k平行線的性質(zhì)和構造模塊一平行線折線模型拓展1.平行線折線模型模型示例剖析aIT若 a / b ,則 123 ；b -若 123 ,貝 U a / b .a 若 a / b ,貝U 123 360 ;3Z若 123 360 ,貝U a / b .b2.平行線折線模型拓展模塊二等積變形（利用平行線來轉(zhuǎn)化面積）1 .平行線間距離這個定值兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離都是一個定值, 叫做這兩條平行線間的距離.推論：平行線間的距離處處相等.2 .如圖，AB/CD，則 S>

44、;A ACD SA BCD， S*A AOC S*A BOD -模塊一平行線折線模型拓展如圖所示，已知AB II CD , ABE和CDE的平分線相交于 F,BED 140° ,求 BFD 的過點 E 作 EM II AB, MEB ABE 180° .又 AB II CD , ME II CD .， MED EDC 180° . MEB ABE MED EDC 180° 180° 360°.又 MEB MED BED, BED 140°, ABE CDE 360° BED 360° 140°

45、220° .BF、DF 分別平分 ABE , CDE ,._ 1。FBE FDE 220110 .2BFD 360° ( FBE FDE) BED 110°.【教師備課提示】 這道題主要考查平行線的“鉛筆”和“豬蹄”模型綜合.(1)如圖 2-1,已知 MA1 / NAn , (2)如圖 2-2,已知 MA / NAn , 的關系.(3)如圖 2-3,已知 MA / NA4 ,探索 A、探索A1、A2、An之間的關系.A2、An,B1、B2、探索 A、 A、A3、Bn 1之間N A1MA4,B1、B2之間的關系.圖2-1圖2-2圖2-3(1) AA(2) AA(3)

46、 AA2【教師備課提示】A A (n 1) 180 ;“IAnB1B2 I"Bni；A3A4B1B2 180.這道題主要考查平行線折線模型的拓展.例 31(1) (2014 樹德實驗半期)如圖 3-1, AB/EF,1 113 , C 35 ,2 105 ,則EFA 30 , FGH 90 , HMN（2）（初二希望杯二試）如圖3-2 ,直線AB II CD ,CNP 50 ,則 GHM的大小是.圖3-1圖3-2(1)過C作平行線，73°.(2)過點G, H作AB, CD的平行線， 則 AB / OG / HQ / CD . OGE AFE 30 ,MQR HQP CNP

47、50 OG / HQ , GHQ OGH HGE EGO 60 在 4MHQ 中MHQ HMQ MQH 180又 MQR MQH 180 , MHQHMQMQRMHQ 503020 , GHMGHQMHQ 40例5(1)如圖4-1所示,D 360 ,求證：AB II CD .(2)如圖4-2所示， AEC A C,求證:AB II CD .圖4-1圖4-2(1)如圖1 ,過點E作EF / AB ,則 BBED 360 ,BBEFDEFD 360 , DDEF 180 , EF II CD , AB II CD .(2)證法一：如圖 2,過點E作EF II AB , 則 A AEF ,AEC A

48、EF CEF A C ,C CEF , EF II CD , AB II CD .證法二：如圖3,過點E作EF II AB,則 A AEF 180 , AEC AEF CEF 360 , A C AEF CEF 360 , C CEF 180 , EF II CD .【教師備課提示】這道題主要考查平行線折線模型的逆應用，證明平行.如圖，已知，CD / EF , ZC ZF /ABC ,求證 AB/GF如圖，過點 B作PQ / CD交GF的延長線于點 Q ,則PQ / EF , ./ABC ZABP ZPBC ZC ZPBA/ PBA / EFG / PQF , AB II EF .【教師備課提示】 例4和例5主要考查平行線折線模型的逆應用.希望老師們在講解這道題的時候強調(diào)下，過折點做平行線是通解的方法, 但不一定是最簡單的方法，因此